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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.11

निश्चित समाकलनों में गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{3 / 2} x d x}{\sin ^{3 / 2} x+\cos ^{3 / 2} x} d x\)
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{-5}^{5}|x+2| d x\)
हल:
\(\int_{-5}^{5}|x+2| d x\)

प्रश्न 6.
\(\int_{2}^{8}|x-5| d x\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} d x\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\int_{0}^{\pi / 2}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\sin x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{7} x d x\)
हल:
माना \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{7} x d x\)
क्योंकि sin⁷ x एक विषम फलन है।
अतः I = 0.

प्रश्न 14.
\(\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x d x\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x d x\)
माना f (x) = cos⁵ x तब
f(2π – x) = [cos (2π – x)]⁵ = cos⁵ x = f (x)

प्रश्न 15.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x\)
हल:

प्रश्न 16.
\(\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x\)
हल:

प्रश्न 17.
\(\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\int_{0}^{4}|x-1| d x\)
हल:
\(\int_{0}^{4}|x-1| d x\)

प्रश्न 19.
\(\int_{0}^{a} f(x) g(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)
यदि f और g को f(x) = f(a – x) एवं g(x) + g(x – a) = 4 के रूप में परिभाषित किया गया है।
हल:

प्रश्न 20 एवं 21 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 20.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x^{3}+x \cos x+\tan ^{5} x+1\right) d x\) का मान है-
(A) 0
(B) 2
(C) π
(D) 1
हल:


अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 21.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right)\) का मान है
(A) 2
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 0
(D) -2
हल:

अतः l = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4

प्रश्न 1. यदि \(\vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}\) हो तो \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) की लम्ब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\) है।
हल:

प्रश्न 3.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}, \hat{i}\) के साथ π/3, \(\hat{j}\) के साथ π/4 और \(\hat{k}\) के साथ एक न्यून कोण 8 बनाता है तो 0 का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से \(\hat{a}\) के घटक भी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि
\((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})\)
हल:
L.H.S. \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})\)

प्रश्न 5.
λ और μ ज्ञात कीजिए यदि
\((2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}\)
हल:
दिया है

प्रश्न 6.
दिया हुआ है कि \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\) और \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं|
हल:
दिया है \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)

प्रश्न 7.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) क्रमशः \(a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}, b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}, c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}\) के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि
\(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}\)
हल:
सिद्ध करना है-

प्रश्न 8.
यदि \(\vec{a}=\overrightarrow{0}\) अथवा \(\vec{b}=\overrightarrow{0}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) होता है। क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A (1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C (1, 5, 5) हैं।
हल:
दिया है A (1, 1, 2), B (2, 3, 5) और C (1, 5, 5)

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश \(\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}\) द्वारा निर्धारित हैं।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संगत भुजाएँ सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) हैं = \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)

प्रश्न 11.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) इस प्रकार हैं कि \(|\vec{a}|=3\) और| \(|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक मात्रक सदिश है। तब \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है-

हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
एक आयत के शीर्ष A, B, C और D जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \quad \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) \(\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) और \(-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) हैं, का क्षेत्रफल है

हल:

अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल:
माना y = x² + 3x + 2

प्रश्न 2.
x²⁰
हल:
माना y = x²⁰
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
xcosx
हल:
माना y = x cosx

प्रश्न 4.
log x
हल:
y = logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x³ log x
हल:
माना y = x³ logx

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
हल:
माना y = e^xsin 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
हल:
माना y = e^6x cos 3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= e^6x [-6sin 3x. 3 – 3cos 3x. 3] + [6cos 3x – 3sin 3x] × e^6x . 6
= e^6x[-18sin 3x – 9cos 3x] + e^6x[36cos 3x – 18sin 3x]
= e^6x[-18sin 3x – 9cos 3x + 36cos 3x – 18sin 3x]
= e^6x[-36sin 3x + 27cos 3x]
= 9e^6x[3 cos 3x – 4sin 3x]

प्रश्न 8.
tan^-1x
हल:
माना y = tan^-1 x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
log (log x)
हल:
माना y = log (log x)

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल:
माना y = sin (log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cosx – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0
हल:
∵ y = 5cosx – 3sin x

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1x है तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) पदों में ज्ञात कीजिए-
हल:
∵ y = cos^-1x

प्रश्न 13.
यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है तो दर्शाइए कि x²y₂ + xy₁ + y = 0
हल:
∵ y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x)


इसलिए
x²y₂ + xy₁ + y = – 7cos (log x) – sin log x – 3sin (log x) + 4cos (cosx) + 3cos (log x) + 4 sin (log x)
= -7cos (log x) – sin (logx) + sin (log x) + 7cos (log x)
= 0
अत: x²y₂ + xy₁ + y = 0

प्रश्न 14.
यदि y = Ae^mx + Be^nx है तो दर्शाइए कि

हल:
∵ y = Ae^mx + Be^nx

प्रश्न 15.
यदि y = 500e^7x + 600^-7x है तो दर्शाइए कि
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 49 y है।
हल:
y = 500e^7x + 600^-7x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 3500e^7x – 4200e^-7x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3500 \frac{d}{d x} e^{7 x}-4200 \frac{d}{d x} e^{-7 x}\)
=3500 × e^7x × 7 – 4200 × e^-7x x (-7)
= 500 × 49e^7x + 600 × 49e^-7x
= 49(500e^7x + 600e^-7x)
= 49y

प्रश्न 16.
यदि e^y (x + 1) = 1 है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) है|
हल:
e^y (x + 1) = 1

प्रश्न 17.
यदि y = (tan^-1x)² है तो दर्शाइए कि (x² + 1²)y₂ + 2x (x² + 1) y₂ = 2 है।
हल:
y = (tan^-1x)²
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.10 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.10

1 से 8 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi d \phi\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} d x\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\int_{0}^{2} \frac{d x}{x+4-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x\)
हल:

प्रश्न 9 एवं 10 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 9.
समाकलन \(\int_{1 / 3}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{1 / 3}}{x^{4}} d x\) का मान है-
(A) 6
(B) 0
(C) 3
(D) 4
हल:
x = sin θ रखने पर
dx = cos θ dθ

पुनः cot θ = t प्रतिस्थापित करने पर
-cosec²θ dθ = dt


अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 10.
यदि f(x) = \(\int_{0}^{x} t \sin t d t\) है, तब f'(x) है-
(A) cos x + x sin x
(B) x sin x
(C) x cos x
(D) sin x + x cos x
हल:
f(x) = \(\int_{0}^{x} t \sin t d t\)

अतः f'(x) = -[cos x – x sin x] + cos x
= – cos x + x sin x + cos x
= x sin x
अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ( यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
\(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) + sin (y”’) = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज कोटि \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) है इसलिए समीकरण की कोटि 4 है। इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल:
कोटि → 1
घात → 1

प्रश्न 3.
\(\left(\frac{d s}{d t}\right)^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0\)
हल:
ये कोटि 2 है तथा घात 1 है।

प्रश्न 4.

हल:
\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0\) की कोटि 2 है तथा इसके बायें पद में कोई फलन नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = cos 3x + sin 3x
हल:
∵ उच्चतम अवकलज \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) है।
∴ इसकी कोटि 2 है तथा दायें पद में बहुपद की उच्चतम घात 1 है।
इसलिए समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 6. (y”’)² (y”)³ + (y’)⁴ + y⁵ = 0
हल:
⇒ \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}\) + y⁵ = 0
उपरोक्त समीकरण में उच्चतम अवकलज \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}\) है।
∴ समी० की कोटि 3 है।
तथा घात 5 है।

प्रश्न 7.
y” + 2y” + y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि-3 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 8.
y + y = e^x
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 1 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 10.
y’ + 2y’ + sin y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0\) की घात है-
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
यह समीकरण अवकलज़ में बहुपदीय नहीं है; अतः यह परिभाषित नहीं है।
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि है
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि 2 है।
अतः विकल्प (A) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.2

प्रश्न 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\frac{2 x}{1+x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{(\log x)^{2}}{x}\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{1}{x+x \log x}\)
हल:

प्रश्न 4.
sin x sin (cosx)
हल:

प्रश्न 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
हल:

प्रश्न 6.
\(\sqrt{a x+b}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(x \sqrt{x+2}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(x \sqrt{1+2 x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 9.
(4x + 2) \(\sqrt{x^{2}+x+1}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{x}{\sqrt{x+4}}\), x > 0
हल:

प्रश्न 12.
(x³ – 1)^1/3 . x⁵
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{x^{2}}{\left(2+3 x^{3}\right)^{3}}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{x(\log x)^{m}}\), x > 0, m ≠ 1
हल:

प्रश्न 15.
\(\frac{x}{9-4 x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 16.
e^2x+3
हल:

प्रश्न 17.
\(\frac{x}{e^{x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}}\)
हल:

प्रश्न 21.
tan²(2x – 3)
हल:

प्रश्न 22.
sec² (7 – 4x)
हल:

प्रश्न 23.
\(\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 24.

हल:

प्रश्न 25.

हल:

प्रश्न 26.
\(\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
हल:

प्रश्न 27.
\(\sqrt{\sin 2 x} \cdot \cos 2 x\)
हल:

प्रश्न 28.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\)
हल:

प्रश्न 29.
cot x log sin x
हल:

प्रश्न 30.
\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 31.
\(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 32.
\(\frac{1}{1+\cot x}\)
हल:

प्रश्न 33.
\(\frac{1}{1-\tan x}\)
हल:

प्रश्न 34.
\(\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x}\)
हल:

प्रश्न 35.
\(\frac{(1+\log x)^{2}}{x}\)
हल:

प्रश्न 36.

हल:

प्रश्न 37.

हल:

प्रश्न 38 व 39 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 38.


हल:

प्रश्न 39.
\(\int \frac{d x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\) बराबर है-
(A) tan x + cot x + C
(B) tan x – cotx + C
(C) tan x cot x + C
(D) tan x – cot 2x + C
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। –
प्रश्न 1.
sin²(2x + 5)
हल:

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x
हल:

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x
हल:

प्रश्न 4.
sin² (2x + 1)
हल:

प्रश्न 5.
sin³ x cos³ x
हल:

प्रश्न 6.
sin x sin 2x sin 3x
हल:

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 10.
sin⁴ x
हल:

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
हल:

प्रश्न 12.
\(\frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}\)
हल:

प्रश्न 15.
tan³2x sec 2x
हल:

प्रश्न 16.
tan⁴ x
हल:

प्रश्न 17.
\(\frac{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{\cos 2 x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\frac{1}{\sin x \cos ^{3} x}\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 21.
sin^-1(cos x)
हल:
\(\int \sin ^{-1}(\cos x) d x\)

प्रश्न 22.
\(\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}\)
हल:

प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 23.
\(\int \frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\) बराबर है-
(A) tan x + cot x + C
(B) tan x + cosecx + C
(C) – tan x + cot x + C
(D) tan x + sec x + C
हल:

प्रश्न 24.
\(\int \frac{e^{x}(1+x)}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)} d x\)
(A) – cot (ex^x ) + C
(B) tan (xe^x) + C
(C) tan (e^x) + C
(D) cot (e^x) + C
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(a) \(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\)
(b) (33)^-1/5
हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि f (x) = \(\frac{\log x}{x}\) द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
हल:

अतः f, x = e पर उच्चतम है।

प्रश्न 3.
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
हल:
माना ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें AB = AC = x (माना)


त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ह्रास \( \sqrt{{3}} \)b cm²/sec की दर से हो रहा है।

प्रश्न 4.
वक्र x² = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण = x² = 4y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = acosθ + aθ sinθ, y = a sinθ – aθ cosθ के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचर दूरी पर है।
हल:
वक्र x = acosθ + aθsinθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर :

से प्रदत्त फलन f (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
हल:
यहाँ

प्रश्न 7.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर f (x) = x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\), x ≠ 0 से प्रदत्त फलन
(i) वर्धमान
(ii) ह्रासमान है।
हल:

⇒ x⁶ – 1 > 0 ⇒ (x³ – 1)(x + 1) > 0
जब x < -1 है तो (x³ – 1)(x³ + 1) दोनों ही ऋण हैं।
⇒ (x³ – 1)(x³ + 1) धन होगा।
⇒ (x³ – 1) (x³ + 1) > 0
इस प्रकार, जब x > 1 है तो x³ – 1 और (x + 1) दोनों धन
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) भी धन है।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) > 0
⇒ x < -1 और x > 1 में फलन f वर्धमान हैं।
जब -1 < x < 1, x³ – 1 ऋण और x³ + 14 धन होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) का चिह्न ऋण होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) < 0 ह्रासमान है।
अतः f वर्धमान है जब x < -1 और x > 1 है।
ह्रासमान है जब -1 < x < 1है।

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
हल:
दीर्घवृत्त, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P (acos θ, b sin θ) है। APP’ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
PP’ दीर्घवृत्त के अक्ष AA’ को बिन्दु M पर काटती है।
∆APP’ का क्षेत्रफल A = \(\frac{1}{2}\)PP’ × AM

प्रश्न 9.
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2m गहरी और 8 m³ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m² और दीवारों पर Rs. 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
हल:
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल =ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m²
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु०

प्रश्न 10.
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योगk है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
हल:
माना वर्ग की भुजा x तथा वृत्त की त्रिज्या r है।
वर्ग का परिमाप = 4x, वृत्त की परिधि = 2πr
दोनों परिमापों का योग = 2πr + 4x = k … (1)
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
वर्ग का क्षेत्रफल = x²
∴ दोनों का योग A = πr² + x² …(2)
समी० (1) से, 4x = k – 2πr

प्रश्न 11.
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCPD एक खिड़की है जिसमें CPD अधिवृत्त
∴ AB = 2r, BC = AD = x
तो CPD = \(\frac{1}{2}\) . 2πr = πr

प्रश्न 12.
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^2/3 + b^2/3)^3/2 है।
हल:
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लम्ब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = asecθ, PC = bcosec θ
माना कर्ण की लम्बाई l है, तब
l = AP + PC
= asecθ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴ द्वारा प्रदत्त फलन f का
(i) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
(ii) स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
(iii) नत परिवर्तन बिन्दु है।
हल:
यहाँ f (x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴
∴ f'(x) = (x – 2)⁴ . 3(x + 1)² + (x + 1)³ . 4(x – 2)³
= (x – 2)³ (x + 1)² [3(x – 2) + 4(x + 1)]
= (x – 2)³ (x + 1)² [3x – 6 + 4x + 4]
= (x – 2)³ (x + 1)² (7x – 2)
= 7(x – 2)³ (x + 1)² (x – \(\frac{2}{7}\))
उच्चतम व निम्नतम के लिए 1 (x)= 0
⇒ 7(x – 2)³ + (x + 1)²(x – \(\frac{2}{7}\)) = 0
∴ = 2, -1,\(\frac{2}{7}\)
(i) जब x=2 पर,
x, 2 के निकट और 2 के बायीं ओर तो, f(x) = (-)(+)(+) = -ve
x, 2 के निकट और 2 के दायीं ओर तो, f(x) = (+)(+)(+) = + ve
∴ जब x, x = -2 से होकर आगे बढ़ता है तो f(x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित हो जाता है।
⇒ f, x = 2 पर निम्नतम है।

(ii) x = -1 पर
x, -1 के निकट और 1 से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x, -1 के निकट और -1 से अधिक मान रखने पर,
f(x) = (-)(+)(-) = + ve
⇒ x, -1 एक नत परिवर्तन बिन्दु है।

(iii) x = \(\frac{2}{7}\) = 0.28 पर
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट \(\frac{2}{7}\) से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट और \(\frac{2}{7}\) से अधिक मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = -ve
⇒ x = \(\frac{2}{7}\) पर, (x) धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है, जैसे ही x, x = \(\frac{2}{7}\) से होकर आगे बढ़ता है।
इस प्रकार x = 2 पर निम्नतम है, x = -1 पर नति परिवर्तन और x = \(\frac{2}{7}\) पर उच्चतम होता है।

प्रश्न 14.
f (x) = cos² x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) =cos² x + sin x, x ϵ (0, π)
en f'(x)= 2cos x(–sin x) + cos x
= cos x(-2sin x + 1)
उच्चतम व निम्नतम के लिए, f (x)= 0
⇒ cos x (-2sin x + 1) = 0

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई \(\frac{4 r}{3}\) है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या = r
शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई = AM
= OA + OM
= r + rcosθ
= r(1 + cosθ)
जबकि ∠ BOM = θ
BC = शंकु के आधार का व्यास
∴ शंकु की त्रिज्या = r sin θ

प्रश्न 16.
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ϵ (a, b) के लिए f (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना x₁, x₂, ϵ (a, b) इस प्रकार है कि x₁ < x₂ ϵ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x₁, x₂] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x₁, x₂] पर संतत है और (x₁, x₂) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ c ϵ (x₁, x₂) का अस्तित्व इस प्रकार है कि

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या, OA = R
बेलन के अक्ष के साथ θ कोण बनाती है।
बेलन की त्रिज्या = Rsin θ
बेलन की ऊँचाई = 2Rcosθ
∴ बेलन का आयतन = πr²h
V = π (Rsin θ)² × 2Rcosθ

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन \(\frac{4}{27}\) = πh³ tan² α है।
हल:
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A’B’DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।

नोट-प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 19.
एक 10m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में 314 m³/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है-
(A) 1 m/h
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/n
हल:
माना बेलनाकार टंकी की लम्बाई h और त्रिज्या r है।
टंकी का आयतन = πr²h
= π × 10 × 10 × h [∵ r = 10m]
V = 100πh

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 20.
वक्र x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-

हल:
वक्र x = t² + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
2 = t² + 3t – 8 ⇒ t² + 3t – 10 = 0
⇒ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2.
इसी प्रकार y = 2t² – 2t – 5 में y = -1 रखने पर,
-1 = 2t² – 2t – 5 ⇒ 2t² – 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t² – 2t – 4 = 0
⇒ t² – t – 2 = 0
⇒ (t – 2)(t + 1) = 0
∴ t = -1, 2
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।

अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 21.
रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की एक स्पर्श रेखा है यदि m का मान है-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) \(\frac{1}{2}\)
हल:
वक्र y² = 4x

प्रश्न 22.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण है
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(C) x + y + 1 = 0
(D) x – y = 1
हल:
वक्र 2y + x² = 3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.
वक्र x² = 4y का बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है-
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y =1
(D) x – y = 1
हल:
वक्र x² = 4y
अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
वक्र 9y² = x³ पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तःखण्ड बनाता है-

हल:
वक्र 9y² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1

प्रश्न 1.
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) r = 3cm है
(b) r = 4 cm है।
हल:
त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²

प्रश्न 2.
एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है।
हल:
माना x लम्बाई के घन का आयतन V है।
तब V = x³

= \(\frac{8}{3}\)cm²/s
अत: घन का पृष्ठ क्षेत्रफल \(\frac{8}{3}\)cm²/s से बढ़ रहा है।

प्रश्न 3.
एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।
हल:
दिया है \(\frac{dr}{dt}\) = 3 cm/sec
वृत्त का क्षेत्रफल
A = πr²

प्रश्न 4.
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?
हल:
माना घन के कोर की लम्बाई = x cm तब,
\(\frac{dx}{dt}\) = 3 cm/s (दिया है)
∴ घन का आयतन,

प्रश्न 5.
एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 सेमी/सेकण्ड की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले वृत्ताकार तरंग का क्षेत्रफल A है
तब, \(\frac{dr}{dt}\) = 5 cm/s (दिया है)
तथा क्षेत्रफल,
A = πr²

प्रश्न 6.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r = 4.9 cm है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि c है
तथा दिया है

अतः परिधि 1.4 cm/s की दर से बढ़ रही है।

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है। तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : \(\frac{dx}{dt}\) = -5cm/min तथा \(\frac{dy}{dt}\) = 4cm/min
माना आयत का क्षेत्रफल = A
परिमाप = p
लम्बाई = x cm, चौड़ाई = y cm
(a) p = 2(x + y)
\(\frac{d p}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)\)
= 2[-5 + 4] = -2cm/min
अतः परिमाप 2 cm/min की दर से घट रहा है।
(b) A = xy

अतः क्षेत्रफल 2 cm²/min की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 8.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा 900 cm³ गैस प्रति सेकण्ड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।
हल:
माना r त्रिज्या वाले गुब्बारे का आयतन V है

प्रश्न 9.
एक गुब्बारा जो सदैव लगातार गोलाकार रहता है कि त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन = V
त्रिज्या = 2

प्रश्न 10.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 cm दूर है?
हल:
माना सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 m
BC = xm,
AB = y m,
∠ABC = 90°
समकोण ∆ABC में,
x² + y² = 5² = 25
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x निर्देशांक की तुलना में निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है|
हल:
वक्र का समीकरण
6y = x² + 2 …(i)

प्रश्न 12.
हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)cm/s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले बुलबुले का आयतन V है।
दिया है :

अतः बुलबुले का आयतन 2π cm³/s की दर से बढ़ रहा

प्रश्न 13.
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास \(\frac{3}{2}\)(2x + 1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन = V

प्रश्न 14.
एक पाइप से रेत 12 cm³/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंक बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधर की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है।
हल:
माना बालू के शंकु का आयतन = V, ऊँचाई = h, त्रिज्या = r

प्रश्न 15.
एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्धित कुल लागत C(x)(रुपये में).
C(x) = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000 से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
हल:
दिया है
C = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000
∴ सीमान्त लागत
(mx) = \(\frac{d c}{d x}\) = 0.021x² – 0.006x + 15
x = 17 रखने पर
mc = 0.021 × 289 – 0.006 x 17 + 15
= 6.069 – 0102 + 15
= 20.967
अतः सीमान्त लागत (mc) = 20.97 रुपये।

प्रश्न 16.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में
R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।
हल:
दिया है R(x) = 13x² + 26x + 15.
∴ सीमान्त लागत (MR) = \(\frac{d R}{d x}\) = 26x + 26
x = 7 पर,
MR = 26 × 7 + 26
= 208
अतः सीमान्त लागत 3208 रुपये।

प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 17.
एक वृत्त की त्रिज्याr r = 6 cm पर के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है :
(A) 10 π
(B) 12 π
(C) 8 π
(D) 11 π
हल:
माना वृत का क्षेत्रफल = A, त्रिज्या = r
∴ A = πr²
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d r}\) = 2πr
परन्तु r = 6 रखने पर,
∴ 2π × 6 = 12πcm²/cm
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x) = 3x² + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमान्त आय है :
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
हल:
राजस्व समीकरण है
R(x) = 3x² + 36x + 5
MR = \(\frac{d}{d x}\) R(x) = \(\frac{d}{d x}\) (3x² + 36x + 6)
= 6x + 36 = 6(x + 6)
x = 15, ∴ MR = 6 × 21 = 126 रु०
अत: विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.9

1 से 20 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{-1}^{1}(x+1)\) dx
हल:
समाकलन करने पर

प्रश्न 2.
\(\int_{2}^{3} \frac{1}{x}\) dx
हल:
माना I = \(\int_{2}^{3} \frac{1}{x}\) dx
= \([\log x]_{2}^{3}\) = log 3 – log 2 = log\(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 3.
\(\int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-5 x^{2}+6 x+9\right)\) dx
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \sin 2 x\) dx
हल:
माना I = \(\int_{0}^{\pi / 4} \sin 2 x\) dx

प्रश्न 5.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos 2 x\) dx
हल:

प्रश्न 6.
\(\int_{4}^{5} e^{x} d x\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \tan x d x\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{\pi / 6}^{\pi / 4} \csc x d x\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\int_{2}^{3} \frac{d x}{x^{2}-1}\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\int_{2}^{3} \frac{x d x}{x^{2}+1}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{5 x^{2}+1} d x\)
हल:

प्रश्न 15.
\(\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x\)
हल:
x² = t प्रतिस्थापित करने पर
x dx = \(\frac{1}{2}\) dt

प्रश्न 16.
\(\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3}\)
हल:

प्रश्न 17.
\(\int_{0}^{\pi / 4}\left(2 \sec ^{2} x+x^{3}+2\right) d x\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}-\cos ^{2} \frac{x}{2}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\int_{0}^{2} \frac{6 x+3}{x^{2}+4} d x\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\int_{0}^{1}\left(x e^{x}+\sin \frac{\pi x}{4}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 21.
\(\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}}\) बराबर है-

हल:

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 22.
\(\int_{0}^{2 / 3} \frac{d x}{4+9 x^{2}}\) बराबर है-

हल:

अतः विकल्प (D) सही है।