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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।

हल:
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1
यह बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) एक की प्रायिकता – 0.1 ऋणात्मक है।
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) प्रायिकताओं का योग
= 0.6 + 0.1+ 0.2 = 0.9 ≠ 1 है।
∴ दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iv) प्रायिकताओं का योग
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05
= 1.05 >1
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।

प्रश्न 2.
एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं। दो गेंद यादृच्छया निकाली गईं। मान लीजिए x काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। X के संभावित मान क्या हैं? क्या x यादृच्छिक चर है?
हल:
एक कलश से, दो गेंदें निकाली गईं RR, RB, BR, BB जहाँ लाल गेंद को R से तथा काली गेंद को B से व्यक्त करते है।
X चर के मान 0, 1, 2
यहाँ कोई काली गेंद नहीं, एक काली गेंद या दोनों गेंदें काली है।
∴ हाँ, X यादृच्छिक है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए x चितों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के संभावित मूल्य क्या हैं?
हल:
जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है, हम चित और पटों की संख्या निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं-

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए-
(i) एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(iii) एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
हल :
(i) जब एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या
S = {IT, TH, HT, HH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मानते हैं।

∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक-बार उछालने पर पटों की संख्या
S = {TIT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1, 2 3 मानते हैं। अब, P(X = 0) = P (पट नहीं) = सभी चित [HHH]

∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

(iii) जब एक सिक्के को चार बार उछाला जायX एक यादृच्छिक चर है, जो 0, 1, 2, 3, 4 मानते हैं।

प्रश्न 5.
एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
(i) ‘4’ से बड़ी संख्या’ को एक सफलता माना गया है
(ii) ‘पासे पर संख्या 6 का प्रकट होना’ को एक सफलता माना गया है।
हल:
(i) यदि प्रत्येक पासे पर 1, 2, 3, 4 संख्या है
∴ सम्भव परिणाम = {(1,1), (1,2)…(2,1), (2, 2) …(4,4)} = 16 परिणाम
तथा प्रतिदर्श समष्टि में परिणामों की कुल संख्या
= 6 x 6 =36
P(X = 0) = \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)
P(X = 1) = \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)
P(X = 2) = दोनों पासे 5 या 6
= (5, 6),(6,5), (5,5), (6,6)
= \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

(ii) पासे पर 6 अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा पासे पर 6 अंक न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
0
तथा दो पासों पर 6 न आने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\)
इसलिए दो पासों पर कम-से-कम एक 6 आने की प्रायिकता
= \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\)
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 6.
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
अच्छे बल्ब निकालने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
माना 4 बल्बों के नमूने में खराब बल्बों का बंटन x से व्यक्त करते हैं।

∴ खराब बल्बों की प्रायिकता बंटन निम्नवत् है।

प्रश्न 7.
एक सिक्का समसर्वय सन्तुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब सिक्का उछाला जाता है, जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है।
माना पट x बार आए।
∴ चित 3x बार आएगा।
परिणामों की कुल संख्या = x + 3x = 4x
∴ चित प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{3 x}{4 x}=\frac{3}{4}\)
∴ पट प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{4 x}=\frac{1}{4}\)
जब पट की सम्भावना नहीं है तब प्रायिकता होगी
{HH} = \(\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)
∴ P(X = 0) = \(\frac{9}{16}\)
जब एक पट और 1 चित की संभावना हो–
p (X =1) = P (H) P (T) + P (T) P (H)
= \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}\)
दोनों पटों की प्रायिकता
P(X = 2) = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 8.
एक यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।

ज्ञात कीजिए–
(i) k
(ii) P (X <3) (iii) P(X >6)
(iv) P(0 < X <3)
हल:
(i) प्रायिकताओं का योग =1
0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2x² + 7k² + k =1

∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 9.
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन (x) निम्न प्रकार से है जहाँ k कोई संख्या है।

(b) (i) P(X < 2) = P(0) + P(1)

प्रश्न 10.
एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
= [TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH]

∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

= \(\frac{3}{2}=1 \frac{1}{2}\)

प्रश्न 11.
दो पासों को युग्मत उछाला गया है। यदि x छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
छक्कों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। एक पासा उछालने से प्रतिदर्श समष्टि = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
एक पासे पर छक्का प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
एक पासे पर 1, 2, 3, 4, 5 प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
जब दो पासे उछाले जाते हैं n(s) =36.

∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है

प्रश्न 12.
प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गईं। मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ छ: धन पूर्णांक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं।
एक अंक 6 तरीकों से चुना जा सकता है।
जब 1 संख्या को चुना जाता है तब 5 संख्याएँ छोड़ते हैं।
प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया या (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई संख्या = 6 x 5 = 30
अब, P(X = 2)
= P {(1, 2), (2, 1}} = \(\frac{2}{30}\)
P(X = 3)
= P {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} = \(\frac{4}{30}\)
P(X = 4)
=P {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} = \(\frac{6}{30}\)
= P(X = 5)
=P {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1, (5, 2), (5, 3), (5, 4)} = \(\frac{8}{30}\)
P(X = 6)
= P {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}= \(\frac{10}{30}\)
x का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

प्रश्न 13.
मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को x से व्यक्त किया गया है। x का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल: जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या
= 6 x 6 = 36
P(X = 2) = P {(1,1)} = \(\frac{1}{36}\)
P(X = 3) = P {(1, 2), (2,1)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 4) = P {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4,1)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P {(1, 5), (2, 4), (3, 3),(4, 2), (5, 1) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P {{1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)} = \(\frac{6}{36}\)
P(X =8). = P {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = \(\frac{5}{36}\)
P(X =9) = P {(3, 6) (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X =10) = P {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X =11) = P {(5, 6), (6, 5)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X =12) = P(6, 6) = \(\frac{1}{36}\)
अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-


X का मानक विचलन = \(\sqrt{5.83}\) = 2.4 (लगभग)

प्रश्न 14.
एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
एक कक्षा में 15 छात्र हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है।
प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता = \(\frac{1}{15}\)
प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-


मालक विचलन = \(\sqrt{4.78}\) = 2.19

प्रश्न 15.
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और, यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो x = 0लिया गया, जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो x = 1 लिया गया। E(X) और var (X)ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ चर मान 1 और 0 है।
किसी प्रस्ताव का अनुमोदन करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=70% = 0.70
किसी प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=30% = 0.30
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।
प्रश्न 16.
ऐसे पासे, जिनके तीन फलकों पर 1 अन्य तीन पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है-
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) \(\frac{8}{3}\)
हल:
चर राशि 2 और 5 है।
3 फलक पर 1 लिखा गया है।
∴ 1 प्राप्त करने की प्रायिकता P(1) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
दो फलक पर 2 लिखा गया है।
∴ 2 प्राप्त करने की प्रायिकता P(2) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
1 फलक पर 5 लिखा गया है।
∴ 5 प्राप्त करने की प्रायिकता P(5) = \(\frac{1}{6}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए ताश की एक गड्डी से यादृच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए X इक्कों की संख्या प्रकट करता है। तब E(X) का मान है-

हल :
(i) जब दो पत्ते खींचे जाते हैं।
दो पत्ते इक्के नहीं खींचे जा सकते हैं।
= \(^{48} C_{2}=\frac{48 \times 47}{2}\) =1128
दो पत्ते खींचे जा सकते हैं 52 पत्तों में से = ⁵²C₂
= \(\frac{52 \times 51}{2}\) = 26 x 51 =1326
∴ इक्का न खींचने की प्रायिकता = \(\frac{1128}{1326}\)
(ii) \(^{4} C_{1} \times^{48} C_{1}\) में एक इक्का और एक इक्का न खींचे जा सकते हैं
= 4 x 48 = 192
एक इक्का और एक इक्का न होने की प्रायिकता = \(\frac{192}{1326}\)
(iii) दो इक्कों को खींचने की संख्या = 6
2 इक्कों की संख्या प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{1326}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

अतः विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

प्रश्न 1.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासे पर सम संख्या प्राप्त होना एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होंगी?
(i) तथ्यतः 5 सफलताएँ?
(ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ?
(iii) अधिकतम 5 सफलताएँ?
हल:
एक पासे पर 3 सम संख्या हैं।
∴ एक पासे पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता

= \(\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\) = (6 + 1)
= \(\frac{7}{64}\)
(iii) P (अधिकतम 5 सफलताएँ)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(O) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)] – P(6)
= 1 – P(6) =1 – \(\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\)
=1 – \(\frac{1}{64}=\frac{63}{64}\)

प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का दिक होना’ एक सफलता मानी जाती है तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे के एक जोड़े को उछाला जाता है, तब n(s) =36
पासों पर प्राप्त अंकों का दिक् प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 3.
वस्तुओं के एक ढेर से 5%त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी?
हल:
एक त्रुटियुक्त वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता
= 5% = \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)
एक अच्छी वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी।

प्रश्न 4.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं। इनकी क्या प्रायिकता है कि–
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो?
हल:
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या =52
तथा हुकुम के पत्तों की संख्या =13
∴ 1 पत्ता खींचने पर हुकुम का पत्ता आने की प्रायिकता
= \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
∴ हुकुम का पत्ता न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
(i) पाँच पत्ते खींचने पर सभी हुकुम के पत्ते आने की | प्रायिकता = \(\left(\frac{1}{4}\right)^{5}=\frac{1}{1024}\)
(ii) पाँच पत्तों में से 3 पत्ते हुकुम के आने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
किसी फैक्टरी में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम-से-कम एक, 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगें।
हल:
∵ 150 दिनों के उपयोग होने के बाद फ्यूज की प्रायिकता = 0.05
∴ फ्यूज न होने की प्रायिकता =1 – 0.05 = 0.95
(i) 5 बल्बों में से 150 दिनों के उपयोग होने के बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
= (0.95)⁵ = 0.7738 = 0.77
(ii) एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होने की प्रायिकता
= P(0) + P(1)
= (0.95)⁵ + ⁵C₁ x (0.95)⁴ x (0.05)
= (0.95)⁴ (0.95 + 5 x 0.05)
= (0.95)⁴ (0.95 + 0.25)
=(0.95)⁴ x 1.2 = 9.5
(iii) एक से अधिक फ्यूज होने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(O) + P(1)]
= 1 – [P(0) + P(1)]
= 1 – (0.95)⁴ x 1.2
= 1 – 0.52 = 0.43
(iv) कम से कम 1 बल्ब फ्यूज होने की प्रायिकता
= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(0)
=1 – P(0)
=1 – (0.95)⁵ = 1 – 0.77
= 0.23

प्रश्न 6.
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदे उत्तरोत्तर पुन: वापस रखते हुए निकाली जाती हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो?
हल:
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है।
0 अंक वाली एक गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{10}\) = 0.1
गेंद पर 0 न लिखा होने की प्रायिकता
= 1 – 0.1 = 0.9
अब 4 गेंदें निकाली गईं।
उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा होने की प्रायिकता
=(0.9)⁴ = \(\left(\frac{9}{10}\right)^{4}\)

प्रश्न 7.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो तो ‘असत्य’ लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम-से-कम 2 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
हल:
P (सिक्का उछालने पर चित आता है) = \(\frac{1}{2}\)
P (सिक्का उछालने पर चित नहीं आता है)
= \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
सत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
असत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
P (कम-से-कम 2 प्रश्नों के उत्तर सत्य हैं)

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि x का बंटन बंटन है। दर्शाइए कि x =3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
हल:


अतः X = 3 पर अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।

प्रश्न 9.
एक बहुविकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों का सही उत्तर दे देगा।
हल:
∵ 1 प्रश्न के तीन सम्भावित उत्तर हैं।
∴ सही उत्तर की प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\)
P = \(\frac{1}{3}\)
तथा गलत उत्तर देने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
q = \(\frac{2}{3}\)
इसलिए पाँच प्रश्नों में से चार या अधिक सही उत्तरों की प्रायिकता

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह
(a) न्यूनतम एक बार
(b) तथ्यतः एक बार
(c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा।
हल:
1 टिकट पर जीतने की प्रायिकता = \(\frac{1}{100}\)
न जीतने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{100}\) = \(\frac{99}{100}\)
(a) ∴ 50 मिनट लेने पर न्यूनतम 1 बार इनाम जीतने की
प्रायिकता = 1 – \(\left(\frac{99}{100}\right)^{50}\)
= 1 – (0.99),sup>50
(b) तथ्यतः एक बार इनाम जीतने की प्रायिकता
= \(^{50} C_{1}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left(\frac{1}{100}\right)^{1}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\)
(c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीतने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) +…P(50)
= P(0) + P(1) +…P(50) – [P(0) + P(1)] = 1 – [P(O) + P(1)]
=1 – [P(0) + P(1)]

प्रश्न 11.
एक पासे को सात बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को 1 बार उछालने पर 5 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा 5 न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
इसलिए पासे को सात बार उछालने पर दो बार 5 आने की प्रायिकता

प्रश्न 12.
एक पासे को छः बार उछालने पर अधिकतम 2 बार 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को 1 बार उछालने पर 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा 6 न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
अत: पासे को 6 बार उछालने पर अधिकतम दो बार 6 आने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब हों?
हल:
निर्मित वस्तुओं में खराब वस्तुओं के चुनने की प्रायिकता
= 10% = \(\frac{1}{10}\)
अच्छी वस्तुओं को चुनने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब होने की प्रायिकता

प्रश्न 14.
एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं। जिसमें 10 त्रुटियुक्त हैं। 5 बल्ब के नमूने में से, किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है-

हल:
बॉक्स में बल्बों की संख्या =100
खराब बल्बों की संख्या =10
खराब बल्ब होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\)
अच्छे बल्ब होने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
अतः 5 बल्बों के नमूने में से, किसी भी बल्ब की त्रुटि युक्त न होने की प्रायिकता = \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 15.
एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता है। तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता है-

हल: छात्रों की कुल संख्या = 5
एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)
∴ एक छात्र की तैराक होने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
∴ छात्रों का प्रायिकता बंटन जो तैराक है = \(\left(\frac{1}{4}+\frac{4}{5}\right)^{5}\)
इसलिए 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता
= \(^{5} C_{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{4} \frac{1}{5}\)
अतः विकल्प (A) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1

प्रश्न 1.
यदि एक रेखा x, y और अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135°, 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए
हल:
माना x, y और 2 के साथ रेखा के दिक् कोसाइन l, m, n हैं तथा दिया है α = 90°, β=135° तथा γ = 45° तब
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 135° = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
n = cos γ = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 2.
एक रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों के साथ समान कोण बनाती है। हल : माना रेखा अक्षों के साथ समान कोण ए बनाती है
α = β = γ = 0 (माना)
अतः दिक् कोसाइन cos α , cos β, cos γ होंगे
परन्तु cos²α + cos²β +cos²γ = 1
⇒ cos²θ + cos²q + cos²θ = 1 (∵ α = β = γ = θ)
⇒ 3 cos²θ = \(\frac{1}{3}\)
⇒ cos²θ = \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ अभीष्ट दिक् कोसाइन \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) . \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) . \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) है।

प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात- 18, 12, – 4 हैं तो इसके दिक् कोसाइन क्या हैं?
हल:
माना दिक् कोसाइन l, m तथा n हैं, तथा a = – 18, b = 12, c = – 4 तब

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), 5, 8,7) संरेख हैं।
हल:
माना बिन्दु A(2, 3, 4) B (-1, -2, 1), C (5, 8, 7) हैं।
∴ A और B को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
– 1 – 2, – 2 – 3, 1 – 4 हैं।
या – 3, – 5, – 3 हैं।
तथा B और C को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1 अर्थात् 6, 10, 6 हैं।
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं,
अत: AB और BC समान्तर हैं परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ हैं। अतः A, B, C संरेख बिन्दु हैं।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, – 4), (- 1, 1, 2) और (- 5, – 5, – 2) हैं।
हल:
माना त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, – 4), B (- 1, 1, 2) था C (- 5, – 5, 2) हैं।
AB के दिक् अनुपात – 1 – 3, 1 – 5, 2 + 4 या – 4, – 4, 6
∴ AB के दिक् कोसाइन

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2

प्रश्न 1.
रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों। भोज्य P की लागत Rs 60/kg और भोज्य ए की लागत Rs 80/kg है। भोज्य P में 3 मात्रक/kg विटामिन A और 5 मात्रक/kg विटामिन B है जबकि भोज्य में 4 मात्रक/kg विटामिन A और 2 मात्रक/kg विटामिन है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मिश्रण में भोज्य पदार्थ P की मात्रा x kg और Q की मात्रा y kg है।
स्पष्टतः x ≥ 0, y ≥ 0
प्रदत्त आंकड़ों से निम्नलिखित सारणी बनाते हैं।

∴ मिश्रण में विटामिन A के 8 मात्रक और विटामिन B के 11 मात्रक होने चाहिए अतः निम्न अवरोध प्राप्त होते हैं।
3x + 4 ≤ 8
5x + 2y ≥ 11
भोज्य P के x kg और Q के y kg खरीदने का कुल मूल्य z है तब
Z = 60x + 80y
अतः समस्या का गणितीय समीकरण निम्नलिखित है।
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
3x + 4y ≥ 8 …(i)
5x + 2y ≥ 11 …(ii)
x, y ≥ 0 …(iii)

असमीकरणों
(i) व
(iii) तक के आलेखों द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र X APDY हैं तथा सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है।
P\(\left(2, \frac{1}{2}\right)\) प्रतिच्छेदत बिन्दु हैं।
AB: 3x + 4y = 8
और 5x + 2y = 11
Z के मान की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

स्पष्ट है कि 2 का न्यूनतम मान 160 है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है।
अब हमें असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा।
60x + 80y < 160
या 3x + 4y < 8
यह रेखा के बीच का क्षेत्र प्रदर्शित करता है।
AB: 3x + 4y = 8
आलेख से ज्ञात होता है कि यह क्षेत्र तथा सुसंगत क्षेत्रों के बीच कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः z का न्यूनतम मूल्य 160 रु० है, जो कि \(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\) और \(\left(2, \frac{1}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखाखण्ड के सभी बिन्दुओं पर न्यूनतम

प्रश्न 2:
एक प्रकार के केक को 200 g आटा तथा 25g वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 g आटा तथा 50g वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।
हल:
माना पहली प्रकार के केक x तथा दूसरी प्रकार के केक y हैं।
∴ कुल केकों की संख्या z =x+y
St 200x + 100y ≤ 5000 (आटा)
25x + 50y ≤ 1000 (वसा)
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न हैं-
उच्च अवरोधों के अन्तर्गत
z = x + y
या 2x + y ≤ 50
x + 2y ≤ 40 और x,y ≥ 0
असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OAEB प्राप्त होता है।

रेखाओं AB: 2x + y = 50 और CD: x +2y = 40 के प्रतिच्छेद बिन्दु E (20,10) हैं।
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

अतः केकों की अधिकतम संस्था = 30 एक प्रकार की तथा 10 अन्य प्रकार की हैं।

प्रश्न 3.
एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिक समय तथा 3 घंटे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिक समय तथा 1 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यंत्रों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के 42 घंटे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं।
(i) रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
(ii) यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमश: Rs 20 तथा Rs 10 हों तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
हल:
माना रैकेटों की संख्या = x तथा बल्लों की संख्या = y
(i) अधिकतम
z = x + y
St 15x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
x, y ≥ 0
असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC है तथा रेखाओं x +2y = 28 तथा 3x +y = 24 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(4,12) है।

अब र की प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर गणना करने पर

∵ 2 का अधिकतम मात्रा 16 है,
∵ 4 रैकेट तथा 12 बल्ले।
(ii) लाभ z = 20x + 10y
At D(0, 0), z = 0
At A(8, 0), z = 160
At B(4, 12), z = 200
At C(0, 14), z = 14
∴ अधिकतम लाभ 200 रु० हैं।

प्रश्न 4.
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
हल:
माना बोल्ट के पैकिट = x तथा y पैकेट नटों का निर्माण हुआ
तब दिये गये अवरोध का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है-
अधिकतम z = 17.50x + 7y
या x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
x, y ≥ 0
अब असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है
रेखाओं x + 3y = 12 और 3x + y = 12 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(3,3) हैं।

अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

अतः नट के तीन पैकेट तथा बोल्ट के तीन पैकेट और अधिकतम लाभः = 73.50 रु० हैं।

प्रश्न 5.
एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक के निर्माण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन, तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4घंटे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच के प्रत्येक पैकेट पर Rs7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर Rs 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अधिकतम हो तथा
अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x पैकेट पेंच A के तथा y पैकेट पेंच B के उत्पादित होने चाहिए।
इसलिए गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित होगा-
अधिकतम : z = 7x + 10y (लाभ)
St 4x + 6y ≤ 240 (स्वचालित मशीन)
2x + 3y ≤ 120
6x + 3y ≤ 240 (हस्तचालित मशीन)
x, y ≥ 0
2x + y ≤ 80

अब असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।
रेखाओं 2x + 3y = 120 और 2x + y = 80 का प्रतिच्छेद बिन्दु B (30, 20) है।
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

इसलिए 30 पैकिट A प्रकार के पेंच तथा 20 पैकेट B प्रकार के पेंचों के तथा अधिकतम लाभ = 410 रु० है।

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैंप के निर्माण में 2 घंटे रगड़ने/काटने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगड़ने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घंटे और रंगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री पर Rs 5 और एक शेड की बिक्री पर Rs 3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते हैं, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?
हल:
माना x लैंप तथा y लकड़ी के शेड उत्पादित होते हैं। इस समस्या को गणितीय सूत्रीकरण करने पर अधिकतम
लाभ
z = 5x + 3y
St 2x + y ≤ 12 (रगड़ना/काटना)
3x + 2y ≤ 20 (स्प्रेयर)
x, y ≥ 20
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OAPD प्राप्त होता है।
रेखाओं 2x + y = 12 तथा 3x + 2y = 20 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(4,4) है।

अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर कोणीय बिन्दु

इसलिए 4 लैंप तथा 4 लकड़ी के शेड तथा अधिकतम लाभ = 32 रु० है।

प्रश्न 7.
एक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
हल:
माना A प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या x तथा B प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या y हैं।
दी गई समस्या का गणितीय समीकरण करने पर
अधिकतम = 5x + 6y (लाभ)
St 5x + 8y ≤ 200 (कटिंग)
10x + 8y ≤ 240 (जोड़ना)
x, y ≥ 0
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होते हैं।

अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

क्योंकि B(8, 20) पर 2 का मान अधिकतम है अत: A प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या 8 तथा B प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या 20 है तथा अधिकतम लाभ 160 रु० है।

प्रश्न 8.
एक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमश: Rs 25,000 और Rs 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागर अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए Rs 70 लाख से अधिक नहीं है और यदिडेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ Rs 4500 और पोर्टेबल नमूने पर Rs 5000 लाभ हो।
हल:
माना डेस्कटॉप की संख्या x तथा पोर्टेबल की संख्या y है। तब समस्या का गणितीय समीकरण करने पर
अधिकतम z = 4500x + 5000y (लाभ)
25000x + 40000y ≤ 70,00,000 (लागत मूल्य)
5x + 8y ≤ 1400
x + y ≤ 250 (माँग)
x, y ≥ 0
अब समस्या का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है जहाँ कोणीय बिन्दुओं 0,A, B, C के निर्देशांक
क्रमशः (0,0), (250,0), (200,50) और (0,175) हैं।

अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

अत: डेस्कटोंपों के नमूनों की संख्या 200 तथा पोर्टेबल नमूनों की संख्या 50 है तथा अधिकतम लाभ = 1150,000 रु० हैं।

प्रश्न 9.
एक भोज्य पदार्थ में कम से कम 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य F₁ और F₂ उपलब्ध हैं। भोज्य F₁ की लागत Rs 4 प्रति मात्रक और F₂ की लागत Rs 5 प्रति मात्रक है। भोज्य F₁ की एक इकाई में कम से कम 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है। F₂की प्रति इकाई में कम से कम 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज हैं। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्त्व हैं।
हल:
माना x मात्रक भोज्य पदार्थ F₁ के तथा y मात्रक भोज्य पदार्थ F₂ के हैं। तब गणितीय सूत्रीकरण करने पर
न्यूनतम z = 4x + 6y
St 3x + 6y ≥ 80 (लागत)
4x + 3y ≥ 100 (विटामिन A)
x, y ≥ 0 (विटामिन B)
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र X AEDY प्राप्त होता है जो कि अपरिवद्ध है।

कोणीय बिन्दु A, E तथा D के निर्देशांक क्रमशः
\(\left(\frac{80}{3}, 0\right)\left(24, \frac{4}{3}\right)\) तथा \(\left(0, \frac{100}{3}\right)\) हैं।
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

सारणी से स्पष्ट है कि – का न्यूनतम मान 104 है अतः न्यूनतम मूल्य = 104 रु०।

प्रश्न 10.
दो प्रकार के उर्वरक F₁ और F₂ हैं। F₁ में 10% नाइट्रोजन और 6% फास्फोरिक अम्ल है। तथा F₂ में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फास्फोरिक अम्ल है। मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए 14 kg नाइट्रोजन और 14 kg फास्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि F₁ की कीमत Rs. 6/kg और F₂ की कीमत Rs. 5/kg है, प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है?
हल:
माना मिश्रण में x kg F₁ के तथा y kg F₂ के मिश्रित है।
तब न्यूनतम z = 6x + 5y (लागत)

x, y ≥ 0 या न्यूनतम z = 6x +5y
St 2x + y ≥ 280
3x + 5y ≥ 2700
x, y ≥ 0
अब असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र Y ABCX प्राप्त है जो अपरिबद्ध है।

अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर कोणीय बिन्दु

इसलिए सारणी से z का निम्नतम मान 1000 है तथा बिन्दु B(100, 80) पर है, परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है इसलिए असमीकरण 6x + 5y < 1000 लेने पर।
क्योंकि यहाँ पर कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है। अतः उर्वरक F₁ के 100 kg तथा उर्वरक F₂ के 80 kg मात्रा है, और न्यूनतम मूल्य 1000 रु० है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित असमीकरण निकाय : 2x + y ≤ 10, x+3y ≤ 15, x, y ≥ 0 से निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिन्दु (0,0), (5,0), (3,4) और (0, 5) हैं। माना कि Z = px + qy, जहाँ p, q>0, p तथा q के लिए निम्नलिखित में कौन प्रतिबन्ध उचित है ताकि Z का अधिकतम (3, 4) और (0, 5) दोनों पर घटित होता है।
(A) p = q
(B) p = 2q
(C) p = 3q
(D) q = 3p
हल:
दिया है : Z = px + qy
बिन्दु (3, 4) पर, Z = 3p + 4q
बिन्दु (0, 5) पर, Z = 0 + 5q = 5q
∴ 3p + 4q=5q
⇒ 3p = 5q – 4q
⇒ 3p = q
अतः विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए।आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
माना x पैकेट भोज्य A के और y पैकेट भोज्य B के खरीदे गए।
दिया है:

उद्देश्य फलन : Z = 6x + 3y
अवरोध : 12x + 3y ≥ 240, 4x + 20y ≥ 460, 6x + 4y ≤ 300, x, y ≥ 0
या 4x + y ≥ 80, x + 5y ≥ 115, 3x + 2y ≤ 150, x, y ≥ 0
(1) 4x + y ≥ 80 का आलेखन
रेखा 4x + y = 80, बिन्दु A(20,0), B(0, 80) से होकर जाती है।
4x + y ≥ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 80 जो सत्य नहीं है।
⇒ 4x + y ≥ 80 रेखा AB पर तथा उसके ऊपर का क्षेत्र है।
(2) रेखा x + 5y = 115, बिन्दु C(115, 0), D (0, 23) से गुजरती है।
∴ x + 5y ≥ 115 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 115 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 5y ≥ 115 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर हैं।
(3) रेखा 3x + 2y = 150, बिन्दु E (50, 0), F (0,75) से होकर जाती है।
∴ 3x + 2y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 150 जो सत्य है।
⇒ 3x + 2y ≤ 150 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा EF है या उसके नीचे है।

(4) x ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर है और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: 4x + y = 80 तथा CD: x + 5y = 115 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(15, 20) हैं।
(7) रेखा CD: x + 5y = 115 तथा EF = 3x + 2y = 150 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(40, 15) हैं।
(8) रेखा AB : 4x + y = 80 तथा EF : 3x + 2y = 150 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(2, 72) है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQR है।
अब, उद्देश्य फलन : Z = 6x + 3y
बिन्दु P (2, 72) पर,
Z = 12 + 3 x 72 =12 + 216 = 228
बिन्दु Q (15, 20) पर,
Z = 6 x 15 + 3 x 20 = 90 + 60 = 150
बिन्दु R(40, 15) पर,
Z = 6 x 40 +3 x 15 = 240 + 45 = 285
इस प्रकार विटामिन की अधिकतम मात्रा 285 मात्रक है जब भोज्य P के 40 पैकेट और भोज्य के 15 पैकेट खरीदे जाते हैं।

प्रश्न 2.
एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य Rs. 250 प्रति थैला जो कि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि ए प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs. 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो। मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
हल:
माना x थैले P प्रकार के चारे के और y थैले Q प्रकार के चारे के मिलाये जाते हैं।
दिया है :

उद्देश्य फलन : Z = 250x + 200y
अवरोध : 3x + 1.5y ≥ 18, 2.5x + 11.25y ≥ 45, 2x + 3y ≥ 24 और x, y ≥ 0
या 2x + y ≥ 12, 2x + 9y ≥ 36, 2x + 3y ≥ 24 तथा x, y ≥ 0
(1) 2x + y ≥ 12 का आरेख
रेखा 2x + y =12 बिन्दु A(6,0), B(0, 12) से गुजरती है।
∴ 2x + y ≥ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 12 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + y ≥ 12 का क्षेत्र AB या उसके ऊपर है।
(2) 2x + 9y ≥ 36 का आरेख
रेखा 2x + 9y = 36 में, बिन्दु C(18, 0) तथा D (0, 4) से गुजरती है।
∴ 2x + 9y ≥ 36 में x = 0, y= 0 रखने पर,
0 ≥ 36 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + 9y = 36 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा CD पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(3) 2x + 3y ≥ 24 का आरेख
रेखा 2x + 3y = 24, बिन्दु E(12, 0) तथा F(0, 8) से गुजरती है।
∴ 2x+3y ≥ 24 में x – 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 24 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + 3y ≥ 24 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB : 2x + y =12 और EF: 2x + 3y = 24 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(3, 6) हैं।

(7) रेखा CD : 2x + 9y = 36 और EF : 2x + 3y = 24 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(9, 2) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र BPRC है।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 250x + 200y
बिन्दु B(0, 12) पर,
Z = 0 + 200 x 12 = 2400
बिन्दु P(3, 6) पर,
Z = 250 x 3 + 200 x 6
= 750 + 1200 = 1950
बिन्दु R(9, 2) पर,
Z = 250 x 9 + 200×2
= 2250 + 400 = 2650
बिन्दु C(18, 0) पर,
Z = 250 x 18 + 0 = 4500
∴ Z की न्यूनतम मान 1950 है। सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
असमिका 250x + 200y < 1950 या 5x + 4y < 39, यह रेखा \(\left(\frac{39}{4}, 0\right)\left(0, \frac{39}{4}\right)\) से गुजरती है और बिन्दु (3, 6) पर स्थित है।
इस प्रकार x = 0, y = 0 रखने पर, 0 < 39 जो सत्य है।
5x + 4y < 39 के क्षेत्र बिन्दु रेखा 5x + 4y = 39 के नीचे है जिसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
∴ Z का न्यूनतम मान 1950 तथा P प्रकार के 3 और 0 प्रकार के 6 थैले मिलाये जाते हैं।

प्रश्न 3.
एक आहारविद्दो प्रकार के भोज्यों x और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A की कम-से-कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम-से-कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों। 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है।

भोज्य x के 1 kg का मूल्य Rs. 16 और भोज्य के 1kg का मूल्य Rs.20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x kg भोज्य X और y kg भोज्य Y का मिश्रण बनाया जाता है।
भोज्य X का मूल्य = 160 रु० प्रति kg
और भोज्य Y का मूल्य = 20 रु० प्रति kg
अतः मिश्रण का मूल्य = (16x + 20y) रु०
अब, उद्देश्य फलन : Z = 16x + 20y
और अवरोध : x + 2y ≥ 10, 2x + 2y ≥ 12 या x + y ≥ 6 3x + y ≥ 8 और x, y ≥ 0

(1) x + 2y ≥ 10 का आरेख
रेखा x + 2y = 10, बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से गुजरती है।
∴ x + 2y ≥ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 10, जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 2y ≥ 10 रेखा AB पर है या उसके ऊपर है।
(2) x +y ≥ 6 का आरेख:
रेखा x + y = 6, बिन्दु C (6, 0) तथा D (0, 6) से गुजरती है।
∴ x +y ≥ 6 में, x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6, जो सत्य नहीं है।
⇒ x+y ≥ 6 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर है।
(3) 3x + y ≥ 8 का आरेख:
रेखा 3x + y = 8, बिन्दु E\(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\) तथा F(0, 8) से गुजरती है।
∴ 3x + y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 8 जो सत्य नहीं है।
⇒ 3x + y ≥ 8 के क्षेत्र बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके ऊपर है।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5)y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा CD: x + y = 6 और EF: 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(1, 5) हैं।
(7) रेखा AB: x + 2y = 10 और CD: x + y = 6 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(2, 4) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र FPOA है।
अब, उद्देश्य फलन: Z = 16x + 20y
बिन्दु F(0, 8) पर,
Z = 0 + 20 x 8 = 160
बिन्दु P(1,5) पर,
Z = 16 x 1 + 20 x 5 = 16 + 100 = 116
बिन्दु Q(2, 4) पर,
Z = 16 x 2 + 20 x 4 = 32 + 80 = 112
बिन्दु A(10, 0) पर,
Z = 16 x 10 + 0 = 160
Z का न्यूनतम मान 112 रु० है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
∴ 16x + 20y < 112 पर विचार करते हैं।
इसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
इसलिए Z का न्यूनतम मान Rs. 112 है जिसके लिए भोज्य X का 2 kg और भोज्य Y का 4kg मिश्रण बनाना चाहिए।

प्रश्न 4.
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में ) निम्नलिखित है-

प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घण्टे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs. 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs. 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने निर्मित होने चाहिएँ।
हल:
माना A प्रकार के x और B प्रकार के y खिलौने बनाए जाते हैं।
उद्देश्य फलन : Z = 7.5x + 5y का अधिकतमीकरण करना।
अवरोध : 12x + 6y ≤ 360, 18x ≤ 360, 6x + 9y ≤ 360, x, y ≥ 0
या 2x + y ≤ 60, x ≤ 20, 2x + 3y ≤ 120, x, y ≥ 0

(1) रेखा 2x + y = 60, बिन्दु A(30, 0) , B(0, 60) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 60 जो सत्य है।
⇒ 2x + y ≥ 60 रेखा AB पर है या उसके नीचे है।
(2) x ≤ 20 के बिन्दु x =0 और x = 20 के बीच में स्थित हैं।
(3) रेखा 2x + 3y = 8, बिन्दु C (60, 0), D (0, 40) से होकर जाती है।
2x +3y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 120, जो सत्य है।
⇒ 2x + 3y ≤ 120 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर हैं या उसके नीचे हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB तथा CD क्रमश: 2x + y = 60, 2x + 3y = 120 बिन्दु P(15, 30) पर मिलती हैं।
(7) रेखा x = 20, रेखा AB, 2x + y = 60 और बिन्दु Q(20, 20) पर मिलती है।
समस्या के सुसंगत क्षेत्र ODPQR छायांकित किया जाता
उद्देश्य फलन : Z = 7.5x + 5y
बिन्दु D(0, 40) पर,
Z = 7.5 x 0 + 5 x 40 = 200
बिन्दु P(15, 30) पर,
Z = 7.5 x 15 + 5 x 30 = 112.5 + 150 = 262.50
बिन्दु Q(20, 20) पर,
Z=7.5 x 20 + 5 x 20 = 150 +100 = 250
बिन्दु R(20,0) पर,
Z = 7.5 x 20 + 0 = 150
इसलिए अधिकतम लाभ 262.50 रु० तब होगा। यदि 15 खिलौने A प्रकार के और 30 खिलौने B प्रकार के बनाए जाएँ।

प्रश्न 5.
एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर Rs. 1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर Rs. 600 का लाभ कमाया जा सकता है। यद्यपि एयरलाइन कम-से-कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम-से-कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
हल:
माना प्रत्येक श्रेणी के x यात्री और सस्ती श्रेणी के y यात्री यात्रा करते हैं।
प्रथम श्रेणी के एक यात्री से Rs. 1000 का और सस्ती श्रेणी के एक यात्री से 600 रु० का लाभ होता है।
अब उद्देश्य फलन :
Z = 1000x + 600y
तथा अवरोध : x ≥ 20, x + y ≥ 200, y ≥ 4x, x, y ≥ 0
(1) x + y ≤ 200 का आरेख :
रेखा x + y = 200, बिन्दु (200, 0), (0, 200) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 200 में, x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 200 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 200 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 200 पर और उसके नीचे है।

(2) x ≥ 20 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 20 पर और उसके दायीं ओर हैं।
(3) y ≥ 4x का आरेख :
रेखा y = 4x, मूल बिन्दु 0 (0, 0) और B (40, 160) से होकर गुजरती है।
y – 4x ≥ 0 में x = 0, y = 40 रखने पर 40 20 जो सत्य है।
⇒ y – 4x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु OB पर और उसके ऊपर हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दाईं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा x = 20 और y = 4x बिन्दु C(20, 80) पर मिलती हैं।
(7) रेखा y = 4x और x + y = 200 बिन्दु B(40, 160) पर मिलती हैं।
(8) रेखा x = 20 और x + y = 200 बिन्दु A(20,180) पर मिलती हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्रABC है जिसे छायांकित किया गया है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 1000x + 600y
बिन्दु A (20,180) पर,
Z = 1000 x 20 + 600 x 180
= 20000 + 108000 = 128000
बिन्दु B (40,160) पर,
Z = 1000 x 40 + 600 x 160
= 40000 + 96000 = 136000
बिन्दु C (20, 80) पर,
Z = 1000 x 20 + 600 x 80
= 20000 + 48000 = 68000
इसलिए अधिकतम लाभ Rs. 136000 पाने के लिए 40 यात्री प्रथम श्रेणी और 160 सस्ती श्रेणी में होने चाहिए।

प्रश्न 6.
दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमश: 100 क्विटल और 50 क्विटल हैं। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है। जिनकी आवश्यकताएँ क्रमश: 60, 50 और 40 क्विटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है-

परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
हल:
माना भंडारण A से D दुकान पर x क्विटल भंडार और E को y क्विटल भंडार भेजा जाता है। भंडार A में कुल 100 क्विटल की भंडारण क्षमता है।
∵ A से F दुकान को भंडार भेजा जाता है
= 100 – (x + y) क्विटल
D दुकान में कुल भंडार = 60 क्विटल
भंडार B से D दुकान को भंडार भेजा जाता है
= 60 – x क्विटल
इसी प्रकार, B से दुकान E को भंडार भेजा जाता है
= 50 – y क्विटल
भंडार B में कुल भंडारण क्षमता = 50 क्विटल
⇒ B से दुकान F में भंडार भेजा जाता है।
= 50 – (60 – x + 50 – y) = x + y – 60 क्विटल
भंडार A और B में दुकान D, E, F को भेजा गया भंडार

अवरोध : x ≥ 0, y ≥ 0, 100 – x – y ≥ 0, x + y ≥ 100, 600 – x ≥ 0
या x ≤ 60, 50 – y ≥ 0 या y ≤ 50
x + y – 60 ≥ 0 या x + y ≥ 60
कुल परिवहन व्यय
= 6x + 3y + 2.5 (100 – x – y) + 4 (60 – x) + 2 (50 – y) + 3 (x + y – 60)
= 6x + 3y + 250 – 2.5x – 2.5y + 250 – 4x + 100 – 2y + 3x + 3y – 180
= 2.5x + 1.5y + 410

(1) x ≥ 0क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और उसकी दायीं ओर है।
(2) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(3) x + y ≤ 100 का आरेख :
रेखा x + y = 100 बिन्दु (100, 0) और (0, 100) से होकर जाती है।
∴ x + y ≤ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 5100 जो सत्य
→ x + y ≤ 100 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 100 पर या इसके नीचे हैं।
(4) x ≤ 60 का क्षेत्र x = 60 पर और इसके बायीं ओर है।
(5) y ≤ 50 के क्षेत्र बिन्दु y = 50 पर और उसके नीचे हैं।
(6) x + y ≥ 60 का आरेख :
रेखा x + y = 60, बिन्दु (60,0) और (0, 60) से गुजरती है।
∴ x + y ≥ 60 में x = 0 और y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + y ≥ 60 के क्षेत्र बिन्दु x + y = 60 पर और उसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABCD है।
(i) रेखा AB : y = 50 और AD: x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु A(10, 50) हैं।
(ii) रेखा BC : x + y = 100 और AB: = 50 के प्रतिच्छेद बिन्दु B(50, 50) हैं।
(iii) रेखा BC : x + y = 100 और AD : x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु C(60, 40) हैं।
(iv) रेखा CD: x = 60 और AD: x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु D (60, 0) हैं।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 2.5x + 1.5y + 410
बिन्दु A(10, 50) पर,
Z = 2.5 x 10 + 1.5 x 50 + 410
= 25 + 75 + 410 = 510
बिन्दु B(50, 50) पर,
Z = 2.5 x 50 + 1.5 x 50 + 410
= 125 + 75 + 410 = 610
बिन्दु C(60, 40) पर,
Z = 2.5 x 60 + 1.5 x 40 + 410
= 150 + 60 + 410 = 620
बिन्दु D(60, 0) पर,
Z = 2.5 x 60 + 0 + 410
= 150 + 410 = 560
इस प्रकार Z का न्यूनतम मान 100 रु० है। जब भंडार A से दुकान D पर 10 क्विटल और दुकान E को 50 क्विटल भंडार भेजा जाता है।
अतः भंडार A से दुकान D, E, F को क्रमशः 10, 50, 40 क्विटल और भंडार B से दुकान D, E, F को क्रमशः 50, 0, 0 क्विटल भंडार भेजने से न्यूनतम परिवहन व्यय 100 रु० होगा।

प्रश्न 7.
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लीटर और 4000 लीटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लीटर, 3000 लीटर और 3500 लीटर की हैं। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार हैं-

यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है। ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
हल:
माना डिपो A से D पेट्रोल पम्प को x लीटर और E पेट्रोल पम्प के y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
∴ डिपो A की कुल क्षमता = 7000 लीटर
⇒ डिपो A पेट्रोल पम्प F को तेल की आपूर्ति करता है
= 7000 – (x + y) लीटर
⇒ 7000 – (x + y) ≥ 0
∴ x+ y ≤ 7000 …(1)
पेट्रोल पम्प D की माँग = 4500 लीटर
∴ डिपो B से तेल की आपूर्ति = (4500 – x) लीटर 3
⇒ 4500 – x ≥ 0
या x ≤ 4500 …(2)
पेट्रोल पम्प E को तेल की आवश्यकता = 3000 लीटर
⇒ डिपो B पेट्रोल पम्प E को तेल-आपूर्ति करता है
= (3000-y) लीटर
⇒ 3000 – y ≥ 0
या y ≤ 3000 …(3)
पेट्रोल F को तेल की आवश्यकता है = 3500 लीटर
F को डिपो A द्वारा आपूर्ति हो चुकी है = 7000 – (x + y)
⇒ डिपो B द्वारा पेट्रोल पम्प F को तेल की आपूर्ति होती है
= 3500 – (7000 – x – y)
= – 3500 + x + y
या x + y ≥ 3500 …(4)
∴ अवरोध : x + y ≤ 7000, x ≤ 4500, y ≤ 3000, x + y ≥ 3500, y ≥ 0
∵ परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर प्रति किलोमीटर = 1रुपया
∴ परिवहन व्यय प्रति लीटर प्रति किलोमीटर = 0.1 रुपया
परिवहन व्यय की सारणी निम्नवत् है-

परिवहन व्यय :
Z = 0.7x + 0.6y + 0.3 (7000 – x – y) + 0.3 (4500 – x) + 0.4 (3000 – y) + 0.2 (x + y – 3500)
= 0.3x + 0.1y + 3940
अब उद्देश्य फलन Z का न्यूनतमीकरण करते हैं।

(1) x + y ≤ 7000 का आरेख :
रेखा x + y =7000, बिन्दु (7000, 0) तथा (0, 7000) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 7000 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 7000 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 7000 रेखा x + y = 7000 पर और उसके नीचे का क्षेत्र है।
(2) x ≤ 4500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 4500 पर और उसके बायीं ओर स्थित हैं।
(3) y ≤ 3000 के क्षेत्र बिन्दु रेखा y = 3000 पर और उसके नीचे हैं।
(4) रेखा x + y = 3500 बिन्दु (3500, 0) (0, 35000) से होकर जाती हैं।
x + y ≥ 3500 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 3500 जो सत्य नहीं है।
या x + y ≥ 3500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 3500 पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(5) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर दायीं ओर हैं।
(6) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष तथा उसके ऊपर हैं।
(7) x + y = 3500 रेखा y = 0 और y = 3000 से क्रमश: B(3500, 0) और A(500, 3000) पर मिलती हैं।
(8) x + y = 7000 रेखा x + 4500 और y = 3000 से
क्रमशः बिन्दु C (4500, 2500) और D (4000, 3000) पर मिलती हैं।
(9) रेखा x = 4500, x- अक्ष पर बिन्दु E (4500, 0) पर मिलती है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABECD है।
उद्देश्य फलन :
Z = 0.3x + 0.1y + 3950
बिन्दु A(500, 3000) पर,
Z = 0.3 x 500 + 0.1 x 3000 + 3950 = 4400
बिन्दु B(3500, 0) पर,
Z = 0.3 x 3500 + 0 + 3950 = 5000
बिन्दु E (4500, 0) पर,
Z = 0.3 x 4500 + 0 + 3950 = 5300
बिन्दु C (4500, 2500) पर,
Z = 0.3 + 4500 + 0.1 x 2500 + 3950 =5550
बिन्दु D (4000, 3000) पर,
Z = 0.3 x 4000 + 0.1 x 3000 + 3950 = 5450
∴ परिवहन व्यय 4400 रु० न्यूनतम होगा जब डिपो A पेट्रोल पम्प D, E, F को क्रमश: 500, 3000, 3500 लीटर तेल की आपूर्ति करते हैं और डिपो B पेट्रोल पम्प D, E, F को 4000,0, 0 लीटर के लिए तेल की सप्लाई करते हैं।

प्रश्न 8.
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड़ और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फॉस्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में ) सारणी में दिया गया है। परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम-से-कम 240 kg फॉस्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 kg की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तब प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?

हल:
माना ब्रांड P के x थैले और ब्रांड Q के y थैले मिलाए जाते हैं।
थैलों की नाइट्रोजन की मात्रा
= 3x + 3.5y
उद्देश्य : Z = 3x + 3.5y का मान न्यूनतम हो।
मिश्रण में फॉस्फोरिक अम्ल की मात्रा
= (x +2y) kg
⇒ x + 2y ≥ 240
मिश्रण में पोटाश की मात्रा
= 3x + 1.5y
⇒ 3x + 1.5y ≥ 270
मिश्रण में क्लोरीन की मात्रा = 1.5x + 2y
= 1.5x + 2y ≤ 310
अवरोध : x + 2y ≥ 240, 3x + 1.5y ≥ 270, 1.5x + 2y ≤ 310, x, y ≥ 0

(1) x + 2y ≥ 240 का आरेख :
रेखा x + 2y = 240, बिन्दु A(0,120), B(240, 0) से गुजरती है।
∴ x + 2y ≥ 240 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 240 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 2y ≥ 240 के क्षेत्र बिन्दु AB पर और उसके ऊपर
(2) 3x + 1.5y ≥ 270 का आरेख :
रेखा 3x+ 1.5y = 270, बिन्दु C (90,0) और D (0,180) से गुजरती है।
∴ 3x +1.5y ≥ 270 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 270 जो सत्य नहीं है।
⇒ 3x + 1.5y ≥ 270 के क्षेत्र के बिन्दु CD पर या उसके ऊपर है।
(3) 1.5x + 2y ≤ 310 का आरेख :
रेखा 1.5x + 2y ≤ 310 बिन्दु E \(\left(206 \frac{2}{3}, 0\right)\) और F(0, 155) से होकर जाती है।
∴ 1.5x + 2y ≤ 310 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 310 जो सत्य है।
⇒ 1.5x + 2y ≤ 310 के क्षेत्र के बिन्दु EF पर या इसके नीचे हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा y- अक्ष पर हैं या उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x- अक्ष पर या उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: x + 2y = 240 और CD: 3x + 1.5y = 260 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(40, 100) हैं।
(7) रेखा AB: x + 2y = 240 तथा EF = 1.5x + 2y = 310 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(140, 50) हैं।
(8) रेखा CD: 3x + 1.5y = 270 और EF = 1.5x + 2y = 310 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(20, 140) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज POR है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 3x + 3.5y
बिन्दु P(20, 140) पर,
Z = 3 x 20 + 3.5 x 140= 60 + 490 = 550
बिन्दु Q(40, 100) पर,
Z = 3 x 40 + 3.5 x 100 = 120 + 350 = 470
बिन्दु R(140, 50) पर,
Z = 3 x 140 + 3.5 x 50 = 420 + 175 = 595
∴ x + 40, y =100 पर Z का मान न्यूनतम है।
अतः ब्रांड P के 40 थैले तथा ब्रांड Q के 100 थैले मिलाए जाने चाहिए।
∴ नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा 470 kg है।

प्रश्न 9.
उपर्युक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
प्रश्न 8 के हल से देखें,
Z = 3x + 3.5y
बिन्दु R (140, 50) पर Z अधिकतम है।
नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 kg है जब 140 थैले ब्रांड P के और 50 थैले ब्रांड एके मिलाए जाने चाहिए।

प्रश्न 10.
एक खिलौना कम्पनी A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक-से-अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों से आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कम्पनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमश: Rs. 12 और Rs. 16 का लाभ कमाती है। लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए?
हल:
माना कम्पनी A प्रकार की x तथा B प्रकार की y गुड़ियों का उत्पादन करती है।
∴ कम्पनी को A प्रकार की गुडियों पर लाभ = 12 रु०
और B प्रकार की गुड़ियों पर लाभ = 16 रु०
कुल लाभ =12x + 16y
उद्देश्य फलन : Z = 12x + 16y का अधिकतमीकरण करना है।
दोनों प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन = 1200
∴ x + y ≤ 1200 …(1)
A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन B प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन के 3 गुने से 600 गुड़ियाँ अधिक है।
⇒ x – 3y ≥ 600 …(2)
B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक-से-अधिक A प्रकार की गुड़ियों से आधी है।

⇒ y ≤ \(\frac{x}{2}\) या 2y – x ≤ 0 …(3)
अवरोध : x + y ≤ 1200, x – 3y ≥ 600, 2y – x ≤ 0, x, y ≥ 0.
(1) x + y ≤ 1200 का आरेख
रेखा x + y = 1200 बिन्दु A(0, 1200) और B (1200, 0) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 1200 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 1200 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 1200 के क्षेत्र के बिन्दु AB पर और उसके नीचे हैं।
(2) x – 3y ≤ 600 का आरेख :
रेखा x – 3y = 600, बिन्दु C(600, 0), D (0, – 200) से गुजरती हैं।
∴ x – 3y ≤ 600 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 600 जो सत्य है।
⇒ x – 3y ≤ 600, CD पर मूल बिन्दु की ओर है अर्थात् CD के ऊपर है।
(3) 2y – x ≤ 0 का आरेख :
रेखा 2y – x = 0 मूल बिन्दु 0 और E (800, 400) से होकर गुजरती है।
∴ 2y – x ≤ 0 में x = 200, y = 0 रखने पर, – 200 ≤ 0 जो सत्य है।
⇒ 2y – x ≤ 0 क्षेत्र बिन्दु OP पर और OP के नीचे बिन्दु (200, 0) की ओर है।
∴ इसका क्षेत्र OP के नीचे है।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर हैं और उसके दायीं ओर
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: x + y = 1200 और x = 2y के प्रतिच्छेद बिन्दु P(800, 400) हैं।
(7) रेखा CD: x – 3y = 600 और AB : X + y =1200 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(1050, 150) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र OPQC है।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 12x +16y
बिन्दु P (800, 400) पर,
Z = 12 x 800 +16 x 400
= 9600 + 6400 =16000
बिन्दु Q (1050,150) पर,
Z = 12 x 1050 + 16 x 150
= 12600 + 2400
= 15000
बिन्दु C (600, 0) पर,
Z = 12 x 600 + 16 x 0
= 7200 + 0 = 7200
∴ x = 800, y = 400 पर अधिकतम लाभ 16000 रु० है।
इस प्रकार अधिकतम लाभ 16000 रु० पाने के लिए A प्रकार की 800 और B प्रकार की 400 गुड़ियों का उत्पादन करना चाहिए।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2, 1, 1) मिलाने वाली रेखा, बिन्दुओं (3, 5, -1 ) और (4, 3, – 1)से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दु A(2, 1, 1) और मूल बिन्दु B (0, 0, 0) से जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात 2 – 0, 1 – 0 या 2, 1, 1
बिन्दु C (3, 5, – 1) और D (4, 3, – 1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात 4 – 3, 3 – 5, – 1 + 1 या 1, – 2, 0 हैं।
AB और CD लम्ब हैं यदि
a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂ = 0
अब a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂
= 2 x 1 + 1 x (- 2) + 1 x 0
= 2 – 2 + 0 = 0
अतः AB और CD परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁, और l₂, m₂, n₂ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर
लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m₁n₂ – m₂n₁ – n₁l₂ – n₂l₁, l₁m₂ – l₂m₁ हैं।
हल:
माना दो रेखाएँ AB और CD जिसकी दिक्-कोसाइन क्रमश: l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हैं
जो परस्पर लम्ब हैं।
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ दिक्-कोसाइन है तो

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं।
हल:
माना रेखाओं के मध्य का कोण θ है तब
cos θ = \(\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \cdot \sqrt{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}}\)
cos θ = 0
⇒ θ =90°

प्रश्न 4.
x- अक्ष के समांतर तथा मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
x- अक्ष के दिक् कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
∴ x अक्ष के समांतर रेखा के दिक् कोसाइन भी 1, 0, 0 होंगे
अतः रेखा का समी० जो मूल बिन्दु से जाती है जिसमें दिक कोसाइन 1, 0, 0 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7) (- 4, 3, – 6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात 4 – 1, 5 – 2, 7 – 3
या 3, 3, 4
इसी प्रकार CD के दिक् अनुपात 2 + 4, 9 – 3, 2 + 6
या 6, 6, 8 हैं।
यह दिक् अनुपात समानुपाती हैं इस प्रकार \(\frac{3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}\)
इसलिए रेखाओं AB और CD के बीच का कोण 0° हैं।
अतः रेखाएँ समांतर हैं।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\) परस्पर लंब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात – 3, 2k, 2 और 3k, 1, – 5 हैं।
∵ रेखाएँ परस्पर लंब है तब a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂ = 0
∴ – 3.3k + 2k.1+ 2.(- 5) = 0
⇒ 9k + 2k – 10 = 0
– 7k = 10
k = \(\frac{-10}{7}\)

प्रश्न 7.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल \(\vec{r}=(\vec{i}+2 \vec{j}-5 \vec{k})\) + 9 = 0 पर लंबवत् रेखा का सदिश समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल का समी०
\(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+9\) = 0
∴ समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात 1, 2, – 5 होंगे।
∴ बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण होगा।
\(\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+l(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})\)

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 2 के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये तल के समांतर तल का समी०

प्रश्न 9.
रेखाओं \(\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})\) और \(\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि दो बिन्दु , a2 रेखा पर और b1 और 22 उनकी direction तब उनके बीच न्यूनतम दूरी

प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁ ) और (x₁, y₁, z₁) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण

प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX- तल को काटती है।
हल:
यहाँ बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा

प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, – 4, – 5) और (2, – 3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
दो बिन्दु (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ।

प्रश्न 13.
बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y+ c = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण :
a (x + 1) + b(y – 3) + c (z – 2) …(1)
यह समतल x + 2y + 37 = 5 पर लम्ब है।
a + 2b +3c =0 …2
समी० (1) 3x + 3y + x = 0 के अनुलम्ब है।
3a + 3b + c = 0 …(3)
समी० (2) और (3) से,
\(\frac{a}{2-9}=\frac{b}{9-1}=\frac{c}{3-6}\)

प्रश्न 14.
यदि बिन्दु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल 7.(3i +4j -12k) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

20 – 12p = ± 8
धनात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = 8
12p = 20 – 8 = 12
∴ p=1
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = – 8
12p = 20 +8 = 28
p = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
अतः p=1, \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 15.
समतलों \(\vec{r}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 1 और \(\vec{r}(2 \hat{i}+3 \hat{j}\)\(-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो समतल [Latex]\overrightarrow{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}})[/latex] – 1 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले 3
समतल का समीकरण

अतः यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
यदि मूल बिन्दु 0 तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2, – 3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत्तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ बिन्दु O(0, 0, 0) और P(1, 2, –3) से होकर जाने वाली रेखा का दिक्-अनुपात OP, 1-0, 2-0, -3 -0 या
1, 2, -3 हैं।
⇒ अभीष्ट समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 2, – 3)
और समतल P(1, 2, – 3) से होकर जाता है।
a (x – x₁) + b (y – y₁) + c (z – z₁) = 0
1.(x – 1) + 2 (y – 2) – 3(z + 3) = 0
⇒ x – 1 + 2y – 4 – 3z -9 = 0
∴ x + 2y – 37 – 14 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 17.
समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})\) – 4 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\) + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल 7 (5i +3j-6k) +8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समतल

प्रश्न 18.
बिन्दु (- 1,- 5, – 10) से रेखा \(\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})\) और समतल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) = 5 के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ रेखा

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})\) = 5 और \(\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् हैं।
∴ b₁ – b₂ + 2b₃ = 0

प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अभीष्ट रेखा

प्रश्न 21.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a,b,c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि
\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}\)
हल:

प्रश्न 22 और 23 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 22.
दो समतलों 2x + 3y + 4z =4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है-
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D)\(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई।
हल:
समतलों का समीकरण
2x + 3y + 4z = 4 …(1)
4x + 6y + 8z = 12 …(2)
समी० (2) में 2 से भाग करने पर,
2x + 3y + 4z = 6 …(3)
समतलों के बीच की दूरी
ax + by + cz = d₁, और ax + by + cz = d₂

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 23.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं-
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं
(D) बिन्दु \(\left(0,0, \frac{5}{4}\right)\) से गुजरते हैं।
हल:
समतलों के समीकरण
2x – y + 4z = 5 …(1)
5x – 2.5y + 10z = 6 …(2)
x, y, z के गुणांकों की तुलना करने पर

(1) व (2) समान्तर हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
हल:

प्रश्न 2.
बिन्दु P (x₁, y₁, z₁) और Q (x₂, y₃, z₃) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O बिन्दु से Ox की ओर OP (4 km) चलती है। इसे \(-4 \hat{i}\) सदिश निरूपित करते हैं। अतः \(\overrightarrow{O P}=-4 \hat{i}\) अब वह उत्तर से 30° पश्चिम की ओर 3 km चलती है, वह Q बिन्दु जा पहुँचती है।
PQ ऊर्ध्वाधर से 30° का कोण बनाती है और OX’ के साथ 60° का कोण बनाती है।
PQ का OX’ पर प्रक्षेप PM है।

प्रश्न 4.
यदि \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\), तब क्या यह सत्य है कि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|\)? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
दिया है : \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\)
\(|\vec{a}|=|\vec{b}+\vec{c}|\)

प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।
हल:
\(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।

प्रश्न 6.
सदिशों \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\) के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिणाम 5 इकाई है।
हल:
माना \(\vec{P}\) सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) का परिणामी सदिश हैं।

प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\), तो सदिश \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\) के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, -2, -8), B (5, 0, -2) और C (11, 3, 7)संरेख हैं और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A, B, C के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं-
A(1, -2, -8), B (5, 0, -2), C (11, 3, 7)

प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं \(P(2 \vec{a}+\vec{b})\) और \(Q(\vec{a}-3 \vec{b})\) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
हल:
बिन्दु P, Q के स्थिति सदिश क्रमश: \(2 \vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-3 \vec{b}\) हैं।
बिन्दु R, PQ को बाह्य 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।


जो P का स्थिति सदिश है।
अतः P, RQ का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\) हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज इस प्रकार है कि

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइन कोज्याएँ \(\pm\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) हैं|
हल:
∵ सदिश अक्ष OX, OY तथा OZ के साथ बराबर झुके हैं
∴ α = β = γ
⇒ cos α = cos β = cos γ
परन्तु cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ cos² α + cos² α + cos² α = 1
3 cos²α = 1
cos² α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ cos α = cos β = cos γ = 1
अतः दिक्-कोज्याएँ \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।

प्रश्न 12.
मान लीजिए \(\vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\), \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{c}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\) एक ऐसा सदिश \(\vec{d}\) ज्ञात कीजिए जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के दोनों पर लम्ब है और \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15
हल:
माना \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है पर कोई लम्ब सदिश \(\vec{a} \times \vec{b}\) है।

प्रश्न 13.
सदिश \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) का, सदिशों \(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
दिया है \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) सदिश परस्पर लम्बवत् हैं अतः

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}+\vec{b})\)\((\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}\) यदि और केवल यदि \(\vec{a}, \vec{b}\) लम्बवत् हैं। यह दिया हुआ है कि \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}\) है
हल:

16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 16.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है तो \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \geq \boldsymbol{0}\) होगा यदि-
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो \(\vec{a}+\vec{b}\) के एक मात्रक सदिश है, यदि-

हल:


अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 18.
\(\hat{\boldsymbol{i}}(\hat{\boldsymbol{j}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{j}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{k}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{j}})\) का मान है-
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
हल:
\(\{\hat{i} \hat{j} \hat{k}\}\) परस्पर लम्बवत् मात्रक सदिश हैं।

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण 0 है तो \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\) जब θ बराबर है
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
(i) माना एक लाल गेंद निकाली जाती है।
∴ लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
अब दो लाल गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
⇒ कलश में 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{7}{12}\)
(ii) माना पहले काली गेंद निकाली जाती है।
काली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
फिर दो काली गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
अब कलश में 5 लाल और 7 काली गेंदें हैं।
एक लाल गेंद होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{12}\)
दूसरी लाल गेंद होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}+\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}\)
= \(\frac{7}{24}+\frac{5}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से 1 गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
हल:
माना पहले थैले चुनने की घटना E₁ व दूसरे थैले को चुनना E₂ है
∴1 थैले चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E₁) = P(EE₂) = \(\frac{1}{2}\)
∵ पहले थैले में 4 लाल व 4 काली गेंद हैं
∴ इनमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
माना लाल गेंद R से प्रदर्शित है
∴ \(P\left(\frac{R}{E_{1}}\right)=\frac{1}{2}\)
चूँकि दूसरे थैले में 2 लाल व 6 काली गेंद हैं।
∴ इसमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता

अतः पडले शैले से लाल गोट निकाले जाने की परिकता

अतः पडले शैले से लाल गोट निकाले की परिकता
= \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 3.
यह ज्ञात है कि महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A- ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A- ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
हल:
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की घटनाएँ क्रमश: E₁ तथा E₁ हैं।
छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 60% = 0.6
छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 40% = 0.4
A- ग्रेड छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 30%
= 0.3 = P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\)
A- ग्रेड छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता
P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 20% = 0.2
A- ग्रेड छात्रावास में रहने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\)है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
हल:
माना घटनाएँ
E₁ = विद्यार्थी के उत्तर जानने की
E₂ = वह अनुमान लगाता है।
P(E₁) = \(\frac{3}{4}\), P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
माना A उत्तर सही होने की घटना है।
यदि विद्यार्थी उत्तर जातना है
⇒ उत्तर सही है।
\(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1
जब अनुमान लगाता है, P\(P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ इस बात की प्रायिकता कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है —

प्रश्न 5.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
हल:
माना घटनाएँ E = रोग से ग्रस्त व्यक्ति
E’ = रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति
A = रक्त की जाँच में रोग
रोग से ग्रस्त व्यक्ति की प्रायिकता
P(E) = 0.1% = 0.001
रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति की प्रायिकता
P(E’) =1 – P(E)
=1 – 0.001 = 0.999
उन व्यक्तियों की प्रायिकता जो रोगी तथा रक्त की जाँच में रोग हो
P\(\left(\frac{A}{E}\right)\) = 99% = 0.99
किसी स्वस्थ व्यक्ति के रक्त की जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता हैं यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बताने की प्रायिकता
P\(\left(\frac{A}{E^{\prime}}\right)\) = 0.005
कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में पाये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 6.
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
हल:
कुल सिक्कों की संख्या = 3
∴ तीनों सिक्कों में से 1 सिक्का चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\)
माना तीनों सिक्कों की घटनाएँ E₁, E₂ व E₃ हैं तथा चित आने की घटना A है
∴ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
∵ एक सिक्के के दोनों और चित है
∴ P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1
∵ दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 1
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.75% = \(\frac{3}{4}\)
तथा तीसरा सिक्का अनभिनत है।
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 7.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 हैं। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना
E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना
E₂ = कार चालक का बीमा होना
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों 4000 चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
कुल चालकों की संख्या
= 2000 + 4000 + 6000 = 12000
माना स्कूटर चालकों के होने की प्रायिकता
=P(E₁) = \(\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6}\)
कार चालकों के होने की प्रायिकता
= P(E₂) = \(\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3}\)
ट्रक चालकों के होने की प्रायिकता
= P(E₃) = \(\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}\)
स्कूटर चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01 (जहाँ दुर्घटाओं की घटना A से प्रदर्शित है।)
कार चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
=P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.03
ट्रक चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
=P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.15
बीमाकृत चालकों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक कारखाने में A और B दो मशीने लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो तो इस वस्तु के ‘मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
माना मशीन A द्वारा उत्पादन की घटना = E₁
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की घटना = E₂
माना C खराब उत्पादन को प्रदर्शित करते हैं
∴ मशीन A द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
P(E₁) = 60%
= 0.6
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
= 0.4
तथा मशीन A द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता
P\(\left(\frac{c}{E_{1}}\right)\) = 2% = 0.02
तथा मशीन B द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता
P\(\left(\frac{c}{E_{1}}\right)\) =1% = 0.01
∵ कुल उत्पादन के ढेर से निकाली खराब वस्तु के मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता

प्रश्न 9.
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरा दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
हल:
माना
E₁ = पहले दल के जीतने की घटना
E₂ = दूसरे दल के जीतने की घटना
A/E₁ = पहला दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
A/E₂ = दूसरा दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₁) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₂) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता
=P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.7
दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता
=P \(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.3
i.e., P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4
अब नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किए गए, की प्रायिकता

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितों’ की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1,2,3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘चित’ या ‘पट’ प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
P(E₁) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
1, 2, 3, 4 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
P(E₂) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
जब वह 5 या 6 प्राप्त करती है, तब वह सिक्का तीन बार उछालती है।
∴ [HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
एक चित प्राप्त होने के तरीके [HTT, THT, TTH] यानी तीन तरीके
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
∴ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{3}{8}\)
जब वह 1, 2, 3, 4 प्राप्त करती है तब वह एक सिक्के को एक बार उछालती है।
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
i.e., P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{2}\)
यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासों पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमश: 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ E₁, E₂, E₃ घटती हैं।
P(E₁) =50% = 0.5,
P(E₂) =30% = 0.3,
P(E₃) = 20% = 0.2
माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=0.01\)
दूसरा ऑपरेटर 5% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=0.05\)
तीसरा ऑपरेटर 7% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)=0.07\)
इस प्रकार, P(E₁) = 0.5,
P(E₂) = 0.3,
P(E₃) = 0.2
P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01,
P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.05,
P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.07
यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता

प्रश्न 12.
52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
E₁ = खो गए पत्ते ईंट की घटना है।
E₂ = खो गए पत्ते ईंट न होने की घटना है।
यहाँ 52 ताशों की गड्डी में से 13 पत्ते ईंट के हैं।
P(E₁) = \(\frac{13}{52} \mathrm{C}_{1}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
यहाँ 39 पत्ते हैं जिसमें ईंट के पत्ते नहीं हैं।
P(E₂) = \(\frac{39}{52}=\frac{3}{4}\)
(i) जब ईंट का पत्ता खो गया हो तब 51 पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जाएंगे।
P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{^{12} C_{2}}{^{51} C_{2}}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}
यहाँ A खो गए पत्तों को प्रदर्शित करता है।
जब ईट के पत्ते खोए नहीं हैं, तब यहाँ 13 ईंट के पत्ते हैं।
दो ईंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{13} C_{2}}{^{51} C_{2}}=\frac{13 \times 12}{51 \times 50}\)
खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है –
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{5}\)
(D) \(\frac{2}{5}\)
हल:
माना E₁ = A सत्य बोलने की घटना
E₂ = A सत्य न बोलने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{4}{5}\) (दिया है)
∴ P(E₂) =1 – P(E₁)
= \(1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
चित प्रदर्शित होने की घटना A है।
∴ P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
जब A सत्य नहीं बोलता, तब यह चित है।
चित प्रकट होने की प्रायिकता
P \(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 14.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A⊂B तथा P(B) ≠ 0 तो निम्न में से कौन ठीक है –
(A) \(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(B)}{P(A)}\)
(B) \(P\left(\frac{A}{B}\right)<P(A)\)
(C) \(P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A)\)
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
A ⊂ B ⇒ A ∩B = A

अत: विकल्प (C) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.1

ग्राफीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए।
प्रश्न 1.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
अधिकतम
Z = 3x +4y
x + y ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

पहले सभी समस्याओं को समीकरण के रूप में लिखने पर
x + y = 4
x = 0   ….(ii)
y = 0   …(iii)
अब ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OAB प्राप्त होता है।
Z के मान की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

अतः Z का अधिकतम मान 16 बिन्दु (0, 4) पर है।

प्रश्न 2.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = – 3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम सभी असमीकरणों को समीकरण के रूप में लिखने पर
x + 2y =  8 ……(i)
3x + 2y = 12 ……(ii)
x = 0, y = 0 ……(iii)
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।
समी०
(i) व
(ii) को हल करने पर
x = 2, y = 3 प्राप्त होता है।
∵ रेखा
(i) व
(ii) बिन्दु (2, 3) पर मिलती हैं।

अतः बिन्दु (4,0) पर Z का मान न्यूनतम है।

प्रश्न 3:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर,
3x + 5y =15 ….(i)
5x + 2y=10 …(ii)
x = 0 …(iii)
y = 0 …(iv)
अब समीकरणों का ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।

अब Z का मान प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर ज्ञात करने पर

अतः बिन्दु Z का अधिकतम मान \(\frac{245}{19}\) है।
\(\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)\)

प्रश्न 4.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए-
x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम सभी असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर,
x + 3y =3 …(i)
x + y=2 …(ii)
x = 0 …(iii)
y = 0 …(iv)
अब ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र X ABCY प्राप्त होता हो।

सारणी से Z का न्यूनतम मान बिन्दु B\(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\) पर 7 है।

प्रश्न 5.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x +2y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर
x + 2y = 10 …(i)
3x + y = 15 …(ii)
x = 0, y = 0 …(iii)
अब ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
x =4, y=3
ये रेखाएँ बिन्दु B(4,3) पर प्रतिच्छेदित करती हैं।

सारणी से बिन्दु (4,3) पर Z का अधिकतम मान 18 है।

प्रश्न 6.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x+2y का न्यूनतमीकरण कीजिए-
2x+y ≥ 3, x+2y ≥ 6, x,y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर
2x + y =3 ….(i)
x + 2y =6 …(ii)
x = 0, y = 0 …(iii)

ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र XABY प्राप्त होता है।
z का मान प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर ज्ञात करने पर

यहाँ z का प्रत्येक मान 6 है।।
अतः बिन्दुओं (6,0) और (0,3) को मिलाने वाली रेखा खण्ड पर स्थित सभी बिन्दुओं पर Z का न्यूनतम मान 6 है।

दिखाइए कि z का न्यूनतम मान दो बिन्दुओं से अधिक बिन्दुओं पर घटित होता है।

प्रश्न 7.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≤ 120; x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x, y ≥ 0
हल:
दिया है : उद्देश्य फलन : Z = 5x + 10y
अवरोध : x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60
x – 2y ≥ 0, x, y ≥ 0

(1) x +2y ≤ 120 का आरेख,
रेखा x + 2y =120, बिन्दु A(120, 0) और बिन्दु B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + 2y =120 का आरेख रेखा AB है।
x + 2y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 120, जो सत्य है।
∴ x +2y ≤ 120 के क्षेत्र में बिन्दु रेखा AB पर और उसके नीचे मूल बिन्दु की ओर स्थित है।
(2) x + y ≥ 60 का आरेख
रेखा x + y = 60, बिन्दु P(60, 0), B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + y = 60 का आरेख रेखा PB है।
x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है।
⇒ x +y ≥ 60 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PB पर और उसके ऊपर होते हैं।
(3) x – 2y ≥ 0 का आरेख
रेखा x – 2y = 0 मूल बिन्दु 0 और Q(120, 60) से होकर जाती है।
∴ x – 2y ≥ 0 का आरेख रेखा OQ है।
x – 2y ≥ 0 में x =1, y = 0 रखने पर 1 ≥ 0 जो सत्य है।
⇒ (1, 0) इस क्षेत्र में स्थित है। x – 2y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु रेखा OQ पर और इसके नीचे (1, 0) की ओर हैं।
(4) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और y- अक्ष के दायीं ओर है।
(5) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और इसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र PSRA है।
जबकि बिन्दु S(40, 20) PB: x + y = 60 और OQ: x – 2y = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
और R(60, 30), AB: x + 2y =120 और x – 2y = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
उद्देश्य फलन : Z = 5x + 10y
बिन्दु A(120, 0) पर,
Z = 5 x 120 + 10 x 0 = 600
बिन्दु R(60, 30) पर,
Z = 5 x 60 + 10 x 30
= 300 + 300 = 600
बिन्दु S(40, 20) पर,
Z = 5 x 40 + 10x 20
= 200 + 200 = 400
बिन्दु P(60, 0) पर,
Z = 5 x 60 + 10 x 0
= 300 + 0 = 300
⇒ Z का न्यूनतम मान P(60, 0) पर 300 है।
और Z का अधिकतम मान RA के सभी बिन्दुओं पर 600 है।

प्रश्न 8.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≥ 100, 2x – y ≤ 0, 2x +y ≤ 200, x, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर
x + 2y = 100
2x – y = 0
2x + y = 200
x = 0 y=0
ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र BEDC प्राप्त होता है।
समी० 2x + y = 200 तथा 2x – y = 0 को हल करने पर x = 50, y = 100 प्राप्त होता है।
⇒ D(50,100)
पुनः समी० x + 2y = 100 तथा 2x – y = 0 को हल करने पर, x = 20, y = 40 प्राप्त होता है।

अतः Z का न्यूनतम मान 100 है तथा अधिकतम मान बिन्दु (0, 200) पर 400 है।

प्रश्न 9.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = – x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0
हल:
दिया है : उद्देश्य फलन :
Z = – x + 2y
(1) x + y ≥ 5 का आरेख
रेखा x + y =5, बिन्दु A(5, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है।
∴ x + y =5 का आरेख रेखा AB है।
x + y ≥ 5 में x =0, y=0 रखने पर,
0 ≥ 5 जो सत्य नहीं है।
∴ x + y ≥ 5 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर है।

(2) x + 2y ≥ 6 का आरेख
रेखा x + 2y = 6, बिन्दु C (6, 0) और D (0, 3) से होकर जाती है।
∴ x + 2y = 6 रेखा का आरेख रेखा CD है।
⇒ x + 2y ≥ 6 में x =0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 6 जो सत्य नहीं है।
∴ x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र के बिन्दु CD पर या उसके ऊपर है।
(3) x ≥ 3 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ: x =3 पर या उसके दायीं ओर है।
(4) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर होते हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQRCX है।
बिन्दु रेखा PQ =3 और AB: x + y =5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु Q के निर्देशांक (3, 2) है।
बिन्दु R रेखा CD: x + 2y = 6 और AB: x + y =5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु (4, 1) है।
उद्देश्य फलन : Z = – x + 2y
अब, बिन्दु Q (3, 2) पर,
Z = – 3 + 2 x 2 = – 3 + 4 =1
बिन्दु R(4, 1) पर,
Z = – 4 + 2 x 1 = – 4 + 2 = – 2
बिन्दु C(6, 0) पर,
Z = – 6 + 0 = – 6
⇒ z का अधिकतम मान 1 है परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है तो – x + 2y > 1 क्षेत्र पर विचार करें। .
– x + 2y > 1 तथा सुसंगत क्षेत्र में अनेकों बिन्दु उभयनिष्ठ है।
अतः Zका कोई अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 10.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x – y ≤ – 1, – x + y ≤ 0, x, y ≥ 0
हल:
(i) x – y ≤ -1 का क्षेत्र
रेखा x – y = – 1 बिन्दु A(-1,0), B(0, 1) से होकर जाती है, जो AB आरेख है।
x – y ≤ – 1 में x =0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ -1 जो सत्य नहीं है।
⇒ x – y ≤ – 1 के क्षेत्र बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर है।
(ii) – x + y ≤ का क्षेत्र
रेखा – x + y = 0, मूल बिन्दु O और C(1, 1) से होकर जाती है।
– x + y ≤ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर, -1 ≤ 0 जो सत्य है।
⇒ – x + y ≤ 0 के क्षेत्र बिन्दु OC पर या उसके नीचे (1,0) ओर हैं।

(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और -अक्ष के दायीं ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और x- अक्ष के ऊपर स्थित हैं।
इस समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
अतः Z का अधिकतम मान नहीं है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
(iv) g (x) = x² + 1
हल:
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(2x – 1)² का कम – से – कम मान = 0
∴ f(x) का निम्नतम मान = 3

(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2 = 9x² + 12x + 4 – 2
= (3x + 2)² – 2
(3x + 2)² का निम्नतम मान = 0
∴ f (x) का निम्नतम मान = – 2

(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
– (x – 1)² का अधिकतम मान = 0
∴ f का उच्चतम मान = 10

(iv) g (x) = x³ + 1
g'(x) = 3x² जो x ϵ R के लिए धनात्मक है।
∴ g एक वर्धमान फलन है; अतः इसका कोई न्यूनतम तथा अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) |x + 2| – 1
(ii) g (x) = – |x + 1| + 3
(iii) h (x) = sin (2x) + 5
(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
(v) h(x) = x + 1, x ϵ ( – 1, 1)
हल:
(i) f(x) = |x + 2| – 1
|x + 2| का न्यूनतम मान 0 है।
∴ f का निम्नतम मान = – 1
अतः उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(ii) g (x) = -|x + 1| + 3
– |x + 1| का अधिकतम मान = 0
∴ g (x) = – |x + 1| + 3 का उच्चतम मान 0 + 3 = 3
निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(iii) h (x) = sin (2x) + 5
sin 2x का अधिकतम मान = 1
∴ h(x) = sin 2x + 5 का उच्चतम मान, 1 + 5 = 6
sin 2x का न्यूनतम मान = – 1
∴ h (x) = sin 2x + 5 का निम्नतम मान = – 1 + 5 = 4

(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
sin 4x का अधिकतम मान = 1
f(x) = |sin 4x + 3| का उच्चतम मान = |1 + 3| = 4
तथा sin 4x का निम्नतम मान = – 1
f (x) = |sin 4x + 3| का निम्नतम मान = |- 1 + 3| = 2

(v) h (x) = x + 1 .
h'(x) = 1 = धनात्मक
h वर्धमान फलन है।
इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान,जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x²
(ii) g (x) = x³ – 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, o < x < \(\frac{\pi}{2}\)
(iv) f (x) = sin x – cos x, 0 < x < 2π
(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
(vi) g (x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\), x > 0
(vii) g (x) = \(\frac{1}{x^{2}+2}\)
(viii) f (x) = \(x \sqrt{1-x}\), x > 0
हल:
(i) f (x) = x²
f'(x) = 2x
यदि f'(x) = 0 तब 2x = 0 या x = 0
f'(x) जैसे ही x = 0 से होकर आगे बढ़ता है तो इसका चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है।
∴ x = 0 पर f स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = f (0) = 0

(ii) g(x) = x³ – 3x
∴ g'(x) = 3x² – 3 = 3 (x² – 1) = 3 (x – 1) (x + 1)
यदि g’ (x) = 0 तब 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0 ⇒ x = ± 1
x = – 1 पर g'(x) का चित – – = +
– + = –
जैसे ही x, x = – 1 से होकर आगे बढ़ता है, g’ का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
∴ x = – 1 पर g उच्चतम है।
उच्चतम मान = g (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1) = – 1 + 3 = 2
x = 1 पर g'(x) के चिह्न जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है,
– + = –
+ + = +
g’ (x), ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित हो जाता है।
x = 1 पर g निम्नतम है।
निम्नतम मान = g(1) = 1³ – 3 = – 2

(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
h'(x) = cos x – sin x = cos x(1 – tan x)
यदि h'(x) = 0 तब 1 – tan x = 0 या tan x = 1 या x = \(\frac{\pi}{4}\)
x = \(\frac{\pi}{4}\) पर x का मान \(\frac{\pi}{4}\) से थोड़ा कम करने से tan x, 1 से कम होगा और x का मान \(\frac{\pi}{4}\) से थोड़ा अधिक रखने पर tan x, 1 से अधिक होगा।
इस प्रकार 1 – tan x का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है। cos x में चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता।
∴ x = \(\frac{\pi}{4}\) उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान

(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
∴ f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3 (x² – 4x + 3)
= 3(x – 1)(x – 3)
यदि f'(x) = 0 ⇒ x – 1 = 0 या x – 3 = 0
∴ x = 1 .या x = 3

x का मान 1 से थोड़ा कम रखने पर
x का मान 1 से थोड़ा अधिक रखने पर
इस प्रकार f'(x) का चिह्न, जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है, + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
⇒ x = 1, पर स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
स्थानीय उच्चतम मान = f (1) = 1 – 6 + 9 + 15 = 19

x का मान 3 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 3 से थोड़ा अधिक रखने पर,
∴ f'(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है, जब x, x = 3 बिन्दु से होकर जाता है।
∴ x = 3 पर स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
∴ स्थानीय निम्नतम मान = f (3) = 27 – 54 + 27 + 15
= 69 – 54 = 15

x का मान 2 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 2 से थोड़ा अधिक रखने पर,
g'(x) का चिह्न – – ve से + ve में परिवर्तित होता है, जब x,x = 2 से होकर आगे बढ़ता है।
∴ f, x = 2 पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = g (2) = \(\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=2\)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम यो निम्नतम मान नहीं है
(i) f (x) = e^x
(ii) g (x) = log x
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
हल:
(i) f(x) = e^x

अतः दिया गया फलन न तो उच्चतम है और न ही न्यूनतम
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
= h'(x) = 3x² + 2x + 1
यदि h'(x) = 0
⇒ 3x² + 2x + 1 = 0
⇒ \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{6}=\frac{-1 \pm \sqrt{-2}}{3}\)
जो कि काल्पनिक संख्या है
अत: ∀ x ϵ R, h'(x) ≠0
अतः h का कोई भी मान उच्चतम या निम्नतम नहीं है।

प्रश्न 5.
प्रदत्त अन्तरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x³, x ϵ [- 2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x x ϵ [0, 1]
(iii) f (x) = 4x – \(\frac{1}{2}\)x², x ϵ [-2, \(\frac{9}{2}\)]
(iv) f (x) = (x – 1)² + 3, x ϵ [- 3, 1]
हल:
(i) f (x) = x³, अन्तराल [ – 2, 2]
∴ (x) = 3x²
यदि f’ (x) = 0, तब 3x² = 0 ∴ x = 0
f(- 2) = (- 2)³ = – 8
f (0) = (0)³ = 0
तथा f (2) = (2)³ = 8
निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 8

(ii) f(x) = sinx + cosx, x ϵ [0, π]
⇒ f'(x) = cosx – sin x
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए
f'(x) = 0
⇒ cosx – sin x = 0
⇒ tan x = 1
⇒ x = π/4
अब x = \(\frac{\pi}{4}\), 0, π पर f(x) का मान ज्ञात करना है।

f(0) = sin 0° + cos0° = 0 + 1 = 1
f(π) = sin π + cos π = 0 – 1 = – 1
अत: फलन f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान x = \(\frac{\pi}{4}\) पर \( \sqrt{{2}} \) है।
तथा x = π पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान – 1 है।

अंत: x = 4 पर f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
तथा x = – 2 पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान = – 10

(iv) यहाँ f (x) = (x – 1)² + 3, [- 3, 1]
∴ f'(x) = 2(x – 1)
यदि f'(x) = 0, 2(x – 1) = 0, x = 1
f(1) = (1 – 1)² + 3 = 0 + 3 = 3
f(- 3) = (- 3 – 1)² + 3 = 16 + 3 = 19
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = 19
तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = 3

प्रश्न 6.
यदि लाभ फलन P(x) = 41 – 72x – 18x² से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है लाभ फलन
P(x) = 41 – 72x – 18x²

⇒ 36x = – 72
x = – 2
∴ x = – 2 पर
\(\frac{d^{2} P}{d x^{2}}\) = – 36 < 0
अतः x = – 2 पर लाभ फलन का मान उच्चतम है।
अतः उच्चतम लाभ = P( – 2)
= 41 – 72(- 2) – 18(- 2)²
= 41 + 144 – 72
= 113

प्रश्न 7.
अन्तराल [0, 3] पर 3x⁴ – 8x³ + 12x² – 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = 3x⁴ – 8x² + 12x² – 48x + 25
∴ f'(x) = 12x³ – 24x² + 24x – 48
= 12[x³ – 2x² + 2x – 4] = 12[x² (x – 2) + 2(x – 2)]
= 12(x – 2)(x² + 2)
यदि f'(x) = 0, तब
x – 2 = 0 ∴ x = 2
अन्तराल (0, 3) पर,
f (0) = 25
f(2) = 3(2)⁴ – 8(2)³ + 12(2)² – 48(2) + 25
= 3 × 16 – 8 × 8 + 12 × 4 – 48 × 2 + 25
= 48 – 64 + 48 – 96 + 25 = – 39
तथा f(3) = 3(3)⁴ – 8(3)³ + 12(3)² – 48(3) + 25
= 3 × 81 – 8 × 27 + 12 × 9 – 48 × 3 + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
∴ निरपेक्ष उच्चतम मान = 25
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 39

प्रश्न 8.
अन्तराल [0, 2 π] के किन बिन्दुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
हल:
यहाँ f (x) = sin 2x,[0, π] पर
∴ (x) = 2cos 2x
यदि f'(x) = 0 ⇒ 2cos 2x = 0

प्रश्न 9.
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
हल:
यहाँ f(x) = sin x + cos x, [0, 2π] पर,
∴ f(x) = cos x – sin x
f'(x) = 0 = cos x – sin x = 0 ⇒ tan x = 1

प्रश्न 10.
अन्तराल [1,3] में 2x³ – 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।इसी फलन का अन्तराल [- 3, – 1]में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = 2x³ – 24x + 107, [1, 3]
∴ f(x) = 6x² – 24
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए,
f'(x) = 0
⇒ 6x² – 24 = 0 ⇒ 6x² = 24 ⇒ x² = 4 ∴ x = ± 2
अन्तराल [1, 3] के लिए,
f(1) = 2(1)³ – 24 (1) + 107 = 2 – 24 + 107 = 85
f(2) = 2(2)³ – 24 (2) + 107 = 16 – 48 + 107 = 75
f(3) = 2(3)³ – 24 (3) + 107 = 54 – 72 + 107 = 89
इस प्रकार अधिकतम f (x) = 89, x = 3 पर, अन्तराल [- 3, – 1] के लिए हम x = – 3, – 2, – 1 पर f (x) का मान ज्ञात करते हैं।
f(- 3) = 2(- 3)³ – 24(- 3) + 107
= – 54 + 72 + 107 = – 54 + 179 = 125
f(- 2) = 2(- 2)³ – 24 (- 2) + 107
= – 16 + 48 + 107 = 139
f(- 1) = 2(- 1)³ – 24(- 1) + 107 = – 2 + 24 + 107 = 129
इस प्रकार अधिकतम मान f (x) = 139, x = – 2 पर

प्रश्न 11.
यदि दिया है कि अन्तराल [0, 2] में x = 1 पर फलन x⁴ – 62x³ + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = x⁴ – 62x³ + ax + 9
∴ f'(x) = 4x³ – 124x + a
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, f'(x) = 0
⇒ 4x³ – 124x + a = 0
x = 1, पर f उच्चतम है ⇒ f (1) = 0
∴ 4 × – 124 × 1 + a = 0 ⇒ 4 – 124 + a = 0
⇒ – 120 + a = 0
∴ a = 120
f(x) = 4x³ = 124x + a
f(x) = 12x² – 124
f(1) = 12 – 124 = – 112 < 0
अतः x = 1, उच्चतम है जब a = 120

प्रश्न 12.
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = x + sin 2x
∴ f(x) = 1 + 2cos 2x
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए, f'(x) = 0
⇒ 1 + cos 2x = 0 ⇒ cos 2x = – 1


f(x) का उच्चतम मान = 2π
f (x) का उच्चतम मान = 0

प्रश्न 13.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
हल:
माना अभीष्ट संख्याएँ x तथा 24 – x हैं।
माना उनका गुणनफल P है।
∴ P = x(24 – x)
P = 24x – x²

अतः x = 12 के लिए P (संख्याओं का गुणनफल) उच्चतम है।

प्रश्न 14.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
हल:
∵ x + y = 60
माना P = xy³
⇒ P = (60 – y) y³
(∵ x + y = 60
⇒ x = 60 – y)
⇒ P = 60y³ – y⁴


अत: x = 15, y = 45 के लिए P = xy³ उच्चतम है।

प्रश्न 15.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y² उच्चतम हो।
हल:
दो धन संख्याएँ x, y हैं।
x + y – 35
∴ y = 35 – x
गुणनफल P = x²y⁵
y का मान समी० (2) में रखने पर
P = x² (35 – x)⁵
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

केवल 10 स्वीकृत मान है जैसे कि x = 0, 35 अस्वीकृत कर दिए जाते हैं।
x = 10 पर,
जब x, 10 के निकट और 10 की बाईं ओर हो तो
\(\frac{d P}{d x}\) = (1)(+ 1)(+ 1) = + ve
जब x, 10 के निकट और 10 की दाई ओर हो तो
\(\frac{d P}{d x}\) = (+)(+)(-) = – ve
इस प्रकार x, 10 से होता हुआ आगे बढ़ता है
\(\frac{d P}{d x}\) + ve से – ve को परिवर्तित होता है।
x = 10 पर P उच्चतम है।
∴ y = 35 – 10 = 25
अतः अभीष्ट संख्याएँ 10 और 25 हैं।

प्रश्न 16.
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
हल:
माना x और 16 – x दो धन संख्याएँ हैं।
प्रश्नानुसार, घनों का योग S = x³ + (16 – x)³
अवकलन करने पर,
\(\frac{d S}{d x}\) = 3x² + 3(16 – x)² ( – 1)
= 3x² – 3(16 – x)²
= 3x² – 3(256 + x² – 32x)
= 3x² – 3 × 256 – 3x² + 3 × 32x
= 3(32x – 256)
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए,

अतः अभीष्ट संख्याएँ 8 और (16 – 8)अर्थात् 8 और 8 हैं।

प्रश्न 17.
18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ सन्दूक के लिए,
लम्बाई = 18 – 2x
चौड़ाई = 18 – 2x
ऊँचाई = x
∴ आयतन V = ल० × चौ० × ॐ
= x (18 – 2x)(18 – 2x) = x (18 – 2x)².1


∴ x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा। अर्थात् वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।

प्रश्न 18.
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना प्रत्येक कोने से x सेमी भुजा काटी गई है।
∴ आयताकार सन्दूक की भुजाएँ
l = 45 – 2x
b = 24 – 2x
h = x सेमी


अतः x = 5 के लिए आयतन उच्चतम है।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
हल:
माना a त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत आयतन की लम्बाई x तथा चौड़ाई y है।

∴ x² + y² = (2a)²
⇒ x² + y² = 4a² …(1)
∴ आयतन का क्षेत्रफल = xy

जब x बिन्दु x = \( \sqrt{{2}} \) a से होकर जाता है तो A’ (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है। अतः आयत का क्षेत्रफल उच्चतम होगा, जब x = \( \sqrt{{2}} \)a और y = \( \sqrt{{2}} \)a होगा। अर्थात् आयत वर्ग होगा।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।
हल:
माना बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S
त्रिज्या = r
ऊँचाई = h
आयतन = V
पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2πr² + 2πrh


अतः जब बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर है तो आयतन अधिकतम होता है।

प्रश्न 21.
100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लम्ब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलनाकार डिब्बों की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमश: r और h है।
आयतन = πr²h = 100 cm³


⇒ S न्यूनतम होगा।
अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।

प्रश्न 22.
एक 28 cm लम्बे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृस का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
हल:
माना तार के एक भाग की लम्बाई x सेमी है तब दूसरा भाग = (28 – x) सेमी होगा।
माना x लम्बाई वाला भाग । त्रिज्या वाले वृत्त में बदला गया है।

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।
हल:
माना V AB गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन है।
स्पष्टतयाः अधिकतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले . की ऊँचाई के साथ होना चाहिए।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की 72 गुनी होती है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h


∴ S न्यूनतम है जब h = \( \sqrt{{2}} \)r
अतः न्यूनतम वक्र पृष्ठ वाला लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या की \( \sqrt{{2}} \) गुनी है।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan^-1\( \sqrt{{2}} \) होता है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
ऊँचाई = l
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई = AM = lcosθ
शंकु की त्रिज्या = MC = lsinθ

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण sin^-1\(\left(\frac{1}{3}\right)\) होता है।
हल:
माना शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल S तथा आयतन V है। शंकु की त्रिज्या , ऊँचाई h तथा तिर्यक ऊँचाई l है।
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr²

नोट – प्रश्न संख्या 27 से 29 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 27.
वक्र x² = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है
(A) (2\( \sqrt{{2}} \), 4)
(B) (2\( \sqrt{{2}} \), 0)
(C) (0, 0)
(D) (2, 2)
हल:
माना वक्र x² = 2y पर कोई बिन्दु P (x, y) है।
दिया हुआ बिन्दु A (0, 5) है।
PA² = (x – 0) + (y – 5)² = Z (माना)
∴ Z = x² + (y – 5) …(1)
तथा वक्र x² = 2y …(2)
x² का मान समी० (1) में रखने पर,
Z = 2y + (y – 5)² = 2y + y² + 25 – 10y
= y² + 25 – 8y
अवकलन करने पर,

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 28.
x के सभी वास्तविक मानों के लिए \(\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}\) का न्यूनतम मान है
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \(\frac{1}{3}\)
हल:

प्रश्न 29.
[x(x – 1) + 1]^1/3, 0 ≤ x ≤ 1का उच्चतम मान है-
(A) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) 1
(D) 0
हल:
यहाँ y = [x(x – 1) + 1]^1/3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

उच्चतम मान = 1
अतः विकल्प (C) सही है।