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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
हल:
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प्रश्न 2.
बिन्दु P (x1, y1, z1) और Q (x2, y3, z3) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:
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प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O बिन्दु से Ox की ओर OP (4 km) चलती है। इसे \(-4 \hat{i}\) सदिश निरूपित करते हैं। अतः \(\overrightarrow{O P}=-4 \hat{i}\) अब वह उत्तर से 30° पश्चिम की ओर 3 km चलती है, वह Q बिन्दु जा पहुँचती है।
PQ ऊर्ध्वाधर से 30° का कोण बनाती है और OX’ के साथ 60° का कोण बनाती है।
PQ का OX’ पर प्रक्षेप PM है।
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प्रश्न 4.
यदि \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\), तब क्या यह सत्य है कि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|\)? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
दिया है : \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\)
\(|\vec{a}|=|\vec{b}+\vec{c}|\)
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प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।
हल:
\(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।
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प्रश्न 6.
सदिशों \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\) के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिणाम 5 इकाई है।
हल:
माना \(\vec{P}\) सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) का परिणामी सदिश हैं।
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प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\), तो सदिश \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\) के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
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प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, -2, -8), B (5, 0, -2) और C (11, 3, 7)संरेख हैं और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A, B, C के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं-
A(1, -2, -8), B (5, 0, -2), C (11, 3, 7)
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प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं \(P(2 \vec{a}+\vec{b})\) और \(Q(\vec{a}-3 \vec{b})\) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
हल:
बिन्दु P, Q के स्थिति सदिश क्रमश: \(2 \vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-3 \vec{b}\) हैं।
बिन्दु R, PQ को बाह्य 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
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जो P का स्थिति सदिश है।
अतः P, RQ का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\) हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज इस प्रकार है कि
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प्रश्न 11.
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइन कोज्याएँ \(\pm\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) हैं|
हल:
∵ सदिश अक्ष OX, OY तथा OZ के साथ बराबर झुके हैं
∴ α = β = γ
⇒ cos α = cos β = cos γ
परन्तु cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
⇒ cos2 α + cos2 α + cos2 α = 1
3 cos2α = 1
cos2 α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ cos α = cos β = cos γ = 1
अतः दिक्-कोज्याएँ \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।

प्रश्न 12.
मान लीजिए \(\vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\), \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{c}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\) एक ऐसा सदिश \(\vec{d}\) ज्ञात कीजिए जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के दोनों पर लम्ब है और \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15
हल:
माना \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है पर कोई लम्ब सदिश \(\vec{a} \times \vec{b}\) है।
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प्रश्न 13.
सदिश \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) का, सदिशों \(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
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प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
दिया है \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) सदिश परस्पर लम्बवत् हैं अतः
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प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}+\vec{b})\)\((\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}\) यदि और केवल यदि \(\vec{a}, \vec{b}\) लम्बवत् हैं। यह दिया हुआ है कि \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}\) है
हल:
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16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 16.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है तो \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \geq \boldsymbol{0}\) होगा यदि-
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
हल:
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अतः विकल्प (B) सही है।

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प्रश्न 17.
मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो \(\vec{a}+\vec{b}\) के एक मात्रक सदिश है, यदि-
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हल:
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अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 18.
\(\hat{\boldsymbol{i}}(\hat{\boldsymbol{j}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{j}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{k}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{j}})\) का मान है-
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
हल:
\(\{\hat{i} \hat{j} \hat{k}\}\) परस्पर लम्बवत् मात्रक सदिश हैं।
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अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण 0 है तो \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\) जब θ बराबर है
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
हल:
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अतः विकल्प (B) सही है।