MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब का दिक् कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए-
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2x + 3y – 2 = 5
(d) 5y + 8 = 0
हल:
माना दिये गये समतल का कार्तीय समीकरण ax + by + cz =d तथा अभिलम्ब के दिक् अनुपात a, b, c हैं।
तब मूल बिन्दु से लम्बवत् दूरी = \(\left|\frac{d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|\)
(a) समतल का समी० z = 2
∴ दिक् कोसाइन 0, 0, 1 हैं।
(b) समतल x + 1 + z = 1
दिक अनुपात 1, 1, 1 हैं।
तब दिक् कोसाइन
प्रश्न 2.
उस समतल का सदिश समी० ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है और सदिश \(3 \hat{\mathbf{i}}+5 \hat{\mathbf{j}}-6 \hat{\mathbf{k}}\) पर अभिलम्ब है।
हल:
प्रश्न 3.
निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समी० ज्ञात कीजिए–
हल:
प्रश्न 4.
निम्न स्थितियों में, मूल बिन्दु से खींचे गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए–
(a) 2x + 3y + 4z – 12 = 0
(b) 3y + 4z – 6 = 0
(c) x + y + z = 1
(d) 5y + 8 = 0
हल:
(a) समतल का समीकरण
2x + 3y + 4z – 12 = 0 ……(i)
(b) समतल का समीकरण
(c) समतल का समीकरण
(d) समतल का समीकरण
प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अन्तर्गत समतलों का सदिश व कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो-
(a) बिन्दु (1,0,-2) से जाता हो और \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) समतल पर अभिलंब हो।
(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता हो और \(\hat{\boldsymbol{i}}-2 \hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}}\) समतल पर अभिलम्ब सदिश है।
हल:
(a) बिन्दु (1, 0, – 2) का स्थिति सदिश
यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।
यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।
प्रश्न 6.
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है।
(a) (1, 1, – 1), (6, 4, – 5), (- 4, – 2, 3)
(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (- 2, 2, – 1)
हल:
(a) माना
(x1, y1, z1) ≡ (1, 1, – 1)
(x2, y2, z2) ≡ (6, 4, – 5)
(x3, y3, z3) ≡ ( – 4, – 2, 3)
इन तीन बिन्दुओं से जाने वाले समतल का समी०
समीकरण (1), (2), (3) में से a, b, c को लुप्त करने से, समतल का समीकरण
\(\left|\begin{array}{ccc}{x-1} & {y-1} & {z} \\ {0} & {1} & {1} \\ {3} & {-1} & {1}\end{array}\right|\) = 0
⇒ 2(x – 1) + 3 (y – 1) – 3z = 0
⇒ 2x – 2 + 3y – 3 – 3z = 0
⇒ 2x + 3y – 3z = 5
प्रश्न 7.
समतल 2x + y – x = 5 द्वारा काटे गये अन्तः खण्डों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल 2x + y – z = 5 समी० को अन्तः खण्ड रूप में लिखने पर
\(\frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{5}+\frac{2}{(-5)}\) = 1
जो कि \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 के रूप की हैं।
अत: अक्षों से कटे अन्तः खण्ड, \(\frac{5}{2}\), 5, – 5 हैं।
प्रश्न 8.
उस समतल का समी० ज्ञात कीजिए जिसका y- अक्ष पर
अंतः खण्ड 3 और जो तल ZOX के समांतर है।
हल:
अक्ष ZOX का समी० y = 0 है।
∴ इस समतल के समांतर समी० y = a
∵ समतल का -अक्ष पर अंत: खण्ड 3 है इसलिए समतल y- अक्ष पर (0, 3, 0) पर मिलता हैं।
∴ 3 = a
अतः समतल का समी० y = 3
प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x – y + 22 – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल:
समतल तथा उसके प्रतिच्छेदन बिन्दु से जाने वाले तल का समीकरण
(3x – y + 2z – 4) + λ (x + y + z – 2) = 0 …(i)
परन्तु तल बिन्दु (2.2.1) से होकर जाता है तब
(6 – 2 + 2 – 4) + (2 + 2 + 1 – 2) = 0
2 + 3λ = 0
λ = – \(\frac{2}{3}\)
λ का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
(3x – y + 2z – 4) – \(\frac{2}{3}\) (x + y + z – 2) = 0
(9x – 3y + 6z – 12) – (2x + 2y + 2z – 4) = 0
7x – 5y + 4z – 8 = 0
प्रश्न 10.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलो \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{3} \hat{k})=7\), \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9\) के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
हल:
प्रश्न 11.
तलों x + y+ z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाली समतल का समीकरण
(x + y + z – 1) + λ (2x + 3y + 4z – 5) = 0
या (1+ 2λ) x + (1+3λ) y+ (1+4λ) z – 1 – 5λ = 0
यह तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् है
∴ (1 + 2λ) . 1 + (1 + 3λ)(- 1) + (1 + 4λ) . 1 = 0 (∵ a1 a2 + b1 b2 + c1 c2) = 0
या 1 = 2λ – 1 – 3λ + 1 + 4λ = 0
⇒ 1 + 3λ = 0
⇒ λ = – \(\frac{1}{3}\)
λ का मान समी० (i) में रखने पर,
x – z + 2 = 0
प्रश्न 12.
समतलों जिनके सदिश समीकरण \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5\) और \(\vec{r}(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3\) हैं के बीच का कोण ज्ञात करो।
हल:
माना
प्रश्न 13.
निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत्, उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x -y – 10z + 4 = 0
(b) 2x + y + 3z – 2 = 0 और x – 2y + 5 = 0
(c) 2x – 2y + 4x + 5 = 0 और 3x – 3y + 6z – 1 = 0
(d) 2x – y + 3z – 1 = 0 और 2x – y + 3x + 3 =0
(e) 4x + 8y + 7 – 8 = 0 और y + 2 – 4 = 0
हल:
(b) दिए गए समतल
प्रश्न 14.
निम्न प्रश्नों में प्रत्येक दिये गये बिन्दु से दिये गये संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
