Category: Class 8

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए –

(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(xi) 576
(x) 1024
(xi)3136
(xii) 900.

हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल के अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए (बिना गणना के) –

1. 64
2. 144
3. 4489
4. 27225
5. 390625

हल:
1. संख्या 64 में 2 अंक हैं।
∴ \(\sqrt { 64 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{n}{2}\) = \(\frac{n}{2}\) = 1 होगी।

2. संख्या 144 में 3 अंक है।
∴ \(\sqrt { 144 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{3+1}{2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 होगी।

3. संख्या 4489 में अंकों की संख्या = 4 है।
∴ \(\sqrt { 4489 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{4}{2}\) = 2 होगी।

4. संख्या 27225 में अंकों की संख्या = 5 है।
∴ \(\sqrt { 27225 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{5+1}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3 होगी।

5. संख्या 390625 में अंकों की संख्या = 6 है।
∴ \(\sqrt { 390625 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{6}{2}\) = 3 होगी।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

(i) 2.56
(ii) 7.29
(iii) 51.84
(iv) 42.25
(v) 31.36

हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 402
2. 1989
3. 3250
4. 825
5. 4000.

हल:
1.

स्पष्ट है कि 202, 402 से 2 कम है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए दी हुई संख्या में से 2 घटाना चाहिए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 402 – 2 = 400
पुनः \(\sqrt { 400 } \) = 20

2.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 53 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 53 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1989 – 53
= 1936
पुनः \(\sqrt { 1936 } \) = 44

3.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 1 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 1 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 3250 – 1 = 3249
पुनः \(\sqrt { 3249 } \) = 57

4.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 41 शेष बचता है।
अत: संख्या में से 41 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 825 – 41 = 784
पुनः \(\sqrt { 784 } \) = 28

5.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 31 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 31 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 4000 – 31 = 3969
पुनः \(\sqrt { 3969 } \) = 63

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए ? इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 525
2. 1750
3. 252
4. 1825
5. 6412

हल:
1.

स्पष्ट है कि 22² < 525 < 23²
अतः अभीष्ट संख्या = 23² – 525
= 529 – 525
= 4 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 525 + 4 = 529
स्पष्टतः \(\sqrt { 529 } \) = 23

2.

स्पष्ट है कि 41² < 1750 < 42²
अतः अभीष्ट संख्या = 422 – 1750
= 1764 – 1750
= 14 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1750 + 14 = 1764
स्पष्टतः \(\sqrt { 1764 } \) = 42

3.

स्पष्ट है कि 15² < 252 < 16²
अतः अभीष्ट संख्या = 162 – 252
= 256 – 252 = 4 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 252 + 4 = 256
स्पष्टतः \(\sqrt { 1764 } \) = 16

4.

स्पष्ट है कि 42² < 1825 < 43²
अतः अभीष्ट संख्या = 432 – 1825
= 1849 – 1825
= 24 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1825 + 24 = 1849
स्पष्टतः \(\sqrt { 1849 } \) = 43

5.

स्पष्ट है कि 802 <6412 <812 अतः अभीष्ट संख्या = 812 – 6412
= 6561 – 6412
=149 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 6412 + 149 = 6561
स्पष्टतः \(\sqrt { 1849 } \) = 81

प्रश्न 6.
किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 441 मी है।
हल:
वर्ग का क्षेत्रफल = (वर्ग की भुजा)²
441 = (वर्ग की भुजा)²
∴ वर्ग की भुजा = \(\sqrt { 441 } \) मीटर
= 21 मीटर

प्रश्न 7.
किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°

(a) यदि AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी है, तो AC ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AC = 13 सेमी, BC = 5 सेमी, तो AB ज्ञात कीजिए।

हल:
(a) समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8²
= 36 + 64 = 100
∴ AC = \(\sqrt { 100 } \) = 10 सेमी

(b) समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

AC² = AB² + BC²
13² = AB² + 5²
169 = AB² + 25
AB² = 169 – 25 = 144
AB = \(\sqrt { 144 } \) = 12 सेमी.

प्रश्न 8.
एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।
हल:
1000 का वर्गमूल लेने पर,

यह दर्शाता है कि 312, 1000 से 39 कम हैं और 32² = 1024
अतः माली को अभीष्ट पौधों की आवश्यकता होगी = 1024 – 1000 – 24 पौधे

प्रश्न 9.
एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं। पी. टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?
हल:
500 का वर्गमूल लेने पर,

यह दर्शाता है कि 222 = 484 जो कि 500 से 16 कम है
अतः इस व्यवस्था को बनाने में 16 विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में इकाई अंक की क्या सम्भावना है –

1. 9801
2. 99856
3. 998001
4. 657666025

हल:

संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की सम्भावना –

1. 9801 में 1 या 9
2. 99856 में 4 या 6
3. 998001 में 1 या 9
4. 657666025 में 5

प्रश्न 2.
बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है –

1. 153
2. 257
3. 408
4. 441.

हल:
संख्या (i) 153, (ii) 257, तथा (iii) 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।

प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:
1. 100 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

• 100 – 1 = 99
• 99 – 3 = 96
• 96 – 5 = 91
• 91 – 7 = 84
• 84 – 9 = 75
• 75 – 11 = 64
• 64 – 13 = 51
• 51 – 15 = 36
• 36 – 17 = 19
• 19 – 19 = 0

संख्या 100 से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 10वाँ पद शून्य (0) प्राप्त होता है।
अतः \(\sqrt { 100 } \) = 10

2. 169 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 169 – 1 = 168
• 168 – 3 = 165
• 165 – 5 = 160
• – 160 – 7 = 153
• 153 – 9 = 144
• 144 – 11 = 133
• 133 – 13 = 120
• 120 – 15 = 105
• 105 – 17 = 88
• 88 – 19 = 69
• 69 – 21 = 48
• 48 – 23 = 25
• 25 – 25 = 0.

संख्या 169 से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 13वाँ पद शून्य (0) प्राप्त होता है। अतः \(\sqrt { 169 } \) = 13

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

1. 729
2. 400
3. 1764
4. 4096
5. 7744
6. 9604
7. 5929
8. 9216
9. 529
10. 8100

हल:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 252
2. 180
3. 1008
4. 2028
5. 1458
6. 768

हल:
1.

हम जानते हैं कि पूर्ण वर्ग संख्या में प्रत्येक पद के जोड़े बनते हैं।
परन्तु यहाँ 7 का जोड़ा नहीं है। अतः यदि 252 में 7 का गुणा कर दें तो संख्या पूर्ण वर्ग बन जाएगी।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 252 x 7 = 1764

2.

अतः दी गई संख्या में 5 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 5 का गुणा करना आवश्यक है।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 180 x 5 = 900

3.

अतः दी गई संख्या में 7 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 7 का गुणा करना चाहिए।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 1008 x 7 = 7056

4.

अतः दी गई संख्या में 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 3 का गुणा करेंगे।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 2028 x 3 = 6084

5.

अतः दी गई संख्या में 2 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 2 का गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 2 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या= 1458 x 2 = 2916

6.

अतः दी हुई संख्या में 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 3 का गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 होगी। गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 768 x 3

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

1. 252
2. 2925
3. 396
4. 2645
5. 2800
6. 1620

हल:
1.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 7 का भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या 7 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 36

2.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 13 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 13 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 225

3.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 11 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 11 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 36

4.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 5 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 529

5.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 7 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 400

6.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 5 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 324

प्रश्न 7.
एक विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमन्त्री राहत कोष में ₹ 2,401 दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपये दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = x है।
अतः विद्यार्थियों द्वारा दान में दी गई कुल धनराशि = ₹ x × x = ₹ x² परन्तु राहत कोष में दिए गए रुपये = ₹ 2,401

अतः कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = 49 है।

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पंक्तियों की संख्या = x है।
और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = x
∴ कुल पौधों की संख्या =x × x = x²
लेकिन पौधों की संख्या = 2025
अब, प्रश्नानुसार,

अतः पंक्तियों की अभीष्ट संख्या = 45 तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = 45

प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए, 4, 9 और 10 का ल. स. होगी।

इस संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 5 से गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी अभीष्ट वर्ग संख्या = 180 x 5 = 900

प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाए।
हल:
8, 15 और 20 से विभाजित होने वाली पूर्ण वर्ग संख्या 8, 15 और 20 का ल. स. होगी।

इसे पूर्ण बर्ग बनाने के लिए 2 x 3 x 5 = 30 से गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी अभीष्ट वर्ग संख्या = 120 x 30
= 3600

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 110

प्रश्न 1.
क्या आप हमें 5 या 6 अंकों वाली संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या बता सकते हैं?
हल:
हाँ, 5 या 6 अंकों वाली संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या 3 होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 111

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.2)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में यदि n अंक हैं तो उसके वर्गमूल में \(\frac{n}{2}\) अंक होंगे। यदि n सम है या (\(\frac{n+1}{2}\)) होंगे यदि n विषम है?
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि यदि n अंकों की कोई पूर्ण वर्ग संख्या है, तो उसके वर्गमूल में –

1. \(\frac{n}{2}\) अंक होंगे यदि n सम है तथा
2. अंक होंगे यदि (\(\frac{n+1}{2}\)) विषम है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 112

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.14)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में अंकों की संख्या को गणना के बिना ज्ञात कीजिए –

1. 25600
2. 100000000
3. 36864

हल:

1. क्योंकि संख्या 25600 में 5 अंक हैं, अतः इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या \(\frac{5+1}{2}\) अर्थात् 3 अंक होगी।
2. क्योंकि संख्या 100000000 में अंकों की संख्या = 9, अतः इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या \(\frac{9+1}{2}\) अर्थात् 5 अंक होगी।
3. क्योंकि संख्या 36864 में अंकों की संख्या = 5, अत: इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या = \(\frac{5+1}{2}\), अर्थात् 3 अंक होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 115

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.15)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के निकटतम पूर्ण संख्याओं का अनुमान लगाइए –

1. \(\sqrt { 80 } \)
2. \(\sqrt { 1000 } \)
3. \(\sqrt { 350 } \)
4. \(\sqrt { 500 } \)

हल:
1. हम जानते हैं कि –
64 < 80 < 81
8 < \(\sqrt { 80 } \) < 9
∵ 81, 80 से अधिक निकटतम है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 9

2. हम जानते हैं कि –
31² और 32² = 1024
31² \(\sqrt { 1000 } \) < 32
∵ 1000, 1024 के अधिक निकटतम है
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 32

3. हम जानते हैं कि –
18² = 324 और 19² = 361
18 < \(\sqrt { 1000 } \) < 19
क्योंकि 350, 324 की अपेक्षा 361 के अधिक नजदीक है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 19

4. हम जानते हैं कि –
22² = 484 और 23² = 529
22 < \(\sqrt { 500 } \) < 23
∴ 500, 529 की अपेक्षा 484 के अधिक निकट है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 22

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए –

1. 32
2. 35
3. 86
4. 93
5. 71
6. 46.

हल:
1. 32² = (30 + 2)² = (30 + 2) (30 + 2)
= 30 (30 + 2) + 2 (30 + 2)
= 30² + 30 x 2 + 2 x 30 + 2²
= 900 + 60 + 60 +4
अतः 32² = 1024

2. 35² = (30 + 5)² + (30 + 5) (30 + 5)
= 30 (30 + 5) + 5 (30+ 5)
= 30² + 30 x 5 + 5 x 30 + 5²
= 900 + 150 + 150 + 25
अतः 35² = 1225

3. 86² = (80 + 6)² = (80 + 6) (80 + 6)
= 80 (80 + 6) + 6 (80 + 6)
= 80² + 80 x 6 + 6 x 80 + 6²
= 6400 + 480 + 480 + 36
अतः 86² = 9396

4. 93² = (90 + 3)² = (90 + 3) (90 + 3)
= 90 (90 + 3)+ 3 (90 +3)
= 90² + 90 x 3 + 3 x 90 + 3²
= 8100 + 270 + 270 + 9
अतः 93² = 8649

5. 71² = (70 + 1)² = (70 + 1) (70 + 1)
= 70 (70 + 1) + 1 (70 + 1)
= 70² + 70 x 1 + 1 x 70 + 12
= 4900 + 70 + 70 + 1
अतः 71² = 5041

6. 46² = (40 + 6) = (40 + 6) (40 + 6)
= 40 (40 + 6) + 6 (40 + 6)
= 40² + 40 x 6 + 6 x 40 + 62
= 1600 + 240 + 240 + 36
अतः 46² = 2116

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य

1. 6
2. 14
3. 16
4. 18

हल:
1. m = 3 रखने पर,
2m = 6, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8
और m² + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10
अतः पाइथागोरस त्रिक = 6, 8 और 10 हैं।

2. m = 7 रखने पर,
2m = 14, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
और m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
अतः पाइथागोरस त्रिक = 14, 48 और 50 हैं।

3. m = 8 रखने पर,
2m = 16, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
और m² + 1 = 82 + 1 = 64 + 1 = 65
अंतः पाइथागोरस त्रिक = 16, 63 और 65 हैं।

5. m = 9 रखने पर,
2m = 18, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
और m² + 1 = 92 + 1 = 81 + 1 = 82
अतः पाइथागोरस त्रिक = 18, 80 और 82 हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 106

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.12)

प्रश्न 1.

1. 11² = 121, 121 का वर्गमूल क्या है?
2. 14² = 196, 196 का वर्गमूल क्या है?

हल:

1. क्योंकि 11² = 121, अतः 121 का वर्गमूल 11
2. क्योंकि 14² = 196, अतः 196 का वर्गमूल 14 है।

सोचिए चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.1)

प्रश्न 1.
(-1)² = 1, क्या 1 का वर्गमूल है-1?
हल:
हाँ, 1 का वर्गमूल – 1 है।

प्रश्न 2.
(-2)² = 4, क्या 4 का वर्गमूल है -2?
हल:
हाँ, 4 का वर्गमूल – 2 है।

प्रश्न 3.
(-9)² = 81, क्या 81 का वर्गमूल है -9?
हल:
हाँ, 81 का वर्गमूल -9 है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 107

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.13)

प्रश्न 1.
1 से प्रारम्भ होनेवाली विषम संख्याओंको बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग हैं तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

1. 121
2. 55
3. 36
4. 49
5. 90

हल:
121 से हम 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाते हैं –
1.

• 121 – 1 = 120,
• 120 – 3 = 117
• 117 – 5 = 112
• 112 – 7 = 105
• 105 – 9 = 96
• 96 – 11 = 85
• 85 – 13 = 72
• 72 – 15 = 57
• 57 – 17 = 40
• 40 – 19 = 21
• 21 – 21 = 0.

संख्या 121 में से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 11 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः संख्या 121 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 11 है।
\(\sqrt { 121 } \) = 11

2. संख्या 55 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 55 – 1 = 54
• 54 – 3 = 51
• 51 – 5 = 46
• 46 – 7 = 39
• 39 – 9 = 30
• 30 – 11 = 19
• 19 – 13 = 6
• 6 – 15 = – 9.

यह दर्शाता है कि संख्या 55 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता हैं। अतः 55 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

3. संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 36 – 1 = 35
• 35 – 3 = 32
• 32 – 5 = 27
• 27 – 7 = 20
• 20 – 9 = 11
• 11 – 11 = 0

संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर, 6 वाँ पद शून्य प्राप्त होता है। अतः संख्या 36 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 6 है। \(\sqrt { 36 } \) = 6

4. संख्या 49 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 49 – 1 = 48
• 48 – 3 = 45
• 45 – 5 = 40
• 40 – 7 = 33
• 33 – 9 = 24
• 24 – 11 = 13
• 13 – 13 = 0.

संख्या 49 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 7 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 7 है। \(\sqrt { 49 } \) = 7

5. संख्या 90 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

• 90 – 1 = 89
• 89 – 33 = 86
• 86 – 5 = 81
• 81 – 73 = 74
• 74 – 9 = 65
• 65 – 11 = 54
• 54 – 13 = 41
• 41 – 15 = 26
• 26 – 17 = 9
• 9 – 19 = – 10

यह दर्शाता है कि संख्या 90 को 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः 90 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Social Science Solutions Chapter 1 The Adventure and Expansion of British Rule in India

MP Board Class 8th Social Science Chapter 1 Text Book Exercise

Choose the correct option of the following

Question 1.
Who signed the Allahabad fact?
(a) Mir Qasim
(b) Nawab Najmudaulah
(c) Sujaudaulah
(d) Bahadurshah Zafar
Answer:
(c) Sujaudaulah

Question 2.
Which of the following trading company did not come to India?
(a) Portuguese
(b) Dutch
(C) French
(d) American
Answer:
(d) American

Question 3.
Where was the Dutch factory in India?
(a) Goa
(b) Daman
(c) Pullicut
(d) Div
Answer:
(c) Pullicut

Question 4.
Where was Thomas Roe sent as envoy in 1615 ?
(a) England
(b) America
(c) India
(d) France
Answer:
(c) India

Question 5.
Who was the French Governor in India during first two Canatic wars?
(a) Duplex
(b) Clive
(c) Cornwallis
(d) Colbert
Answer:
(a) Duplex

Fill in the blanks:

1. First in India …………. European came.
2. ………. was the European to come to India in 1498.
3.  ……….. had control over Goa, Daman and Diu.
4. East India Company was established in ………..
5. ………..Was the Nawab of Bengal during the Battle of Plassey.
6. ……….. and Hyderabad were brought under Company control by Wellesley’s subsidiary Alliance.
7. Lord Dalhousie followed the policy of …………
8. ………….. company got success in Carnatic wars.

Answers:

1. Portuguese
2. Vasco De Gama
3. Portuguese
4. 1600
5. Siraj – uddaulah
6. Avadlomb de Lapse
7. British East India

MP Board Class 8th Social Science Chapter 1 Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Why European trading companies came to India ?
Answers:
European trading companies came to India for trading and business of spices with India. They purchased spices, indigo, raw silk, lead, nice and opium from India at cheap rates and earned a huge profits.

Question 2.
Where did Portuguese company establish trading center in India?
Answer:
Portuguese company established trading centers at Calicut, Goa, Daman, Diu and Hooghly in India.

Question 3.
Which gold coin was floated by Dutch in India?
Answer:
Dutch floated gold coins as currency in India known as Pagodal.

Question 4.
Which Governor – General adopted subsidiary alliance?
Answer:
Lord Weaselly adopted subsidiary alliance.

Question 5.
Write two reasons of British success in India.
Answer:
Two reasons of British success in India are:

• The English Policy, of divide and rule.
• They had better artillery, well – trained  co-soldiers and commanders.

MP Board Class 8th Social Science Chapter 1 Short Answer Type Questions

Question 1.
Elaborate the trade works of Dutch Company in India?
Answer:
The Dutch East India Company was formed in 1602 in Holland for trading purpose with India. They set up first factory at Macchalipatnam and established trading houses in the coromandal coast of Gujarat, Bengal, Bihar, and Orissa They traded in Spices, indigo, raw silk, lead, rice and opium. They introduced gold coins as currency in India known as Pagoda.

Question 2.
What were the reasons of rivalry between European trading companies ?
Answer:
The rivalry between the European tan-dang companies were for trade and then was HD déduire political power and supremacy.

Question 3.
Write the terms of subsidiary
answer:
Urider the subsidiary alliance system, the ruler of the Indian state was compelled to Accept the permanent stationing of a British force within his territory the rule had to pay fixed amount for maintenance of force and to keep a 6 British officer at his court.

MP Board Class 8th Social Science Chapter 1 Long Answer Type Questions

Question 1.
Causes of Carnatic wars?
Answer:
The canatic wars were fought between British East India company and French company The causes of the war are as follows:

• The companies were making efforts to earn waris more benefits and expand political influence.
• The companies tried to surpass each by purchasing Indian goods ate lowest price.
• They interfered in the political affairs of Ont to a the state and wanted to dominate the markets.
• The Headquarter of French company was in Pondicherry, while British company was at Fort St. George (Madras) which was not far away from Pondicherry. So the ambitions of both companies soared and som resulted into War.

Question 2.
Causes of Battle or Plassey?
Answer:
The Battle of Plassey was fought in 1757 between the English and the Nawab of Bengal, Siraj-ud-daulan. The Nawab was defeated. The causes of the Battle of Plassey were:

• The English wanted to control Bengal although they got various facilities with the trendy of Alinagar.
• Nawab siraj – ud – daulah waived the treaty – Of Alinager.
• Mirafan the commander of the Nawab’s army cheated Sirajud – daulah. He secretly entered into a conspiracy with English. The defeat of Siraj-ud-daulah, marked the beginning of British Power in India.

Question 3.
Write the terms of Allahabad pact?
Answer:
In the August 1765, the English signed a treaty with the Nawab of Avadh at Allahabad. The terms were.

• The English demanded Rs 50 lakh as war compensation from Nawab to return Avadh under his possession.
• Nawab of Avadh conceded Allahabad, Kara and adjoining areas to Mughal a Emperor Shah Alam.
• The British extended full control over Chunar fort.
• The British were to have the right to trade fee of tax in the territory of Avadh.

Question 4.
Explain the Doctrine of Lapse Policy of Lord Dalhousie
Answer:
1. Lord Dalhousie exercised a very wicked policy called doctrine of lapse in order to annex various indian state under the company rule.
2. Frist of all he banned the age old tradition of adaption of heir his state was annexed to British dominions many states including jhansi Nagpur satire were annexed under his doctrine in 1856 Nawab of avadh was accused of having mis governing his state and thus it was annexed to British rule.

Question 5.
Causes of British success in politics trades ?
Answer:

1. The English was a united body where as the Indians were divided in a lot. Thus, the English took advantage of the deteriorating political conditions in India.
2. The English policy of divide and rule stood in good stead for their imperialistic designs .
3. The English had better artillery, better out on a soldiers, and better commanders than those in India Internal weakness, mutual rivalries, constant conflicts among the Indians made it easier for the British to capture them one after another.
4. The Indians were not as devoted to their cause as the English were.

MP Board Class 8th Social Science Solutions

MP Board Class 8th Social Science आदर्श प्रश्न-पत्र

निर्देश 1 – निम्नलिखित प्रश्नों के सही विकल्प चुनकर लिखिए -(प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित हैं)
(1) ब्रिटिश संसद ने रेग्यूलेटिंग एक्ट कब पारित किया था ?
(क) 1750 ई. में
(ख) 1773 ई. में
(ग). 1857 ई. में
(घ) 1940 ई. में।
उत्तर:
(ख) 1773 ई. में

(2) सन् 1828 ई. में ब्रह्म समाज की स्थापना किसने की थी?
(क) स्वामी दयानन्द सरस्वती
(ख) राजा राममोहन राय
(ग) ईश्वरचन्द्र विद्यासागर
(घ) केशवचन्द्र सेन।
उत्तर:
(ख) राजा राममोहन राय

(3) संविधान में कितनी भारतीय भाषाओं को अधिसूचित किया गया है ?
(क) 14
(ख) 18
(ग) 22
(घ) 26
उत्तर:
(क) 14

(4) मृदा को उपजाऊ बनाने में कौन-सा तत्व महत्वपूर्ण है?
(क) मूल चट्टानी पदार्थ
(ख) ह्यूमस
(ग) जलवायु
(घ) मनुष्य।
उत्तर:
(ख) ह्यूमस

(5) विघटनीय ठोस अवशिष्ट नहीं है –
(क) सब्जी
(ख) फल
(ग) कागज
(घ) पॉलीथिन बैग।
उत्तर:
(घ) पॉलीथिन बैग।

निर्देश 2 – रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-(प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित हैं।)
(1) लॉर्ड डलहौजी ने साम्राज्य विस्तार हेतु …………. नीति का अनुसरण किया।
(2) 1876 ई. में सिविल सेवा में भाग लेने की न्यूनतम आयु ………….. कर दी गई थी।
(3) ऐंठे हुए तन्तु को …………… कहते हैं।
(4) सियाल में सिलिका तथा ………….. धातुओं की प्रधानता होती है।
(5) ऑस्ट्रेलिया महाद्वीप में अच्छे किस्म की ऊन …………. जाति की भेंड़ों से प्राप्त होती है।
उत्तर:

1. विलय नीति (हड़प नीति)
2. 19 वर्ष
3. सूत
4. एलुमिनियम
5. ‘मेरीनो’

निर्देश 3 – निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दो-तीन वाक्यों में लिखिए-(प्रत्येक प्रश्न के लिए 3 अंक निर्धारित हैं।)
(1) भारत में अंग्रेजों की सफलता के कोई दो कारण लिखिए।
उत्तर:
उस समय भारत में राजनीतिक अराजकता, राजनीतिक बिखराव व केन्द्र का कमजोर होना।
अंग्रेजों पर हल्के और छोटे हथियार तथा प्रशिक्षित सेना का होना।

(2) आत्मनिर्वाह कृषि क्या है ?
उत्तर:
देश के बहुसंख्यक किसान छोटी और बिखरी जोतों व परम्परागत औजारों का प्रयोग करते हैं। कमजोर आर्थिक स्थिति के कारण उन्नत बीजों, उर्वरकों एवं कीटनाशकों का प्रयोग नहीं कर पाते, अतः इससे उत्पादन भी कम होता है। इनका उत्पादन खाद्यान्न के रूप में उनके परिवार के उपभोग में प्रयुक्त हो जाता है। इस प्रकार की कृषि को आत्मनिर्वाह कृषि कहते हैं।

(3) संयुक्त राष्ट्र संघ के कोई दो उद्देश्य लिखिए।
उत्तर:
संयुक्त राष्ट्र संघ के दो उद्देश्य इस प्रकार हैं –

• अन्तर्राष्ट्रीय शान्ति और सुरक्षा बनाए रखना एवं इस उद्देश्य की प्राप्ति के लिए सामूहिक कार्यवाही द्वारा शान्ति अवरोधों को रोकना या हटाना।
• विभिन्न राष्ट्रों में समान मानव अधिकारों तथा आत्मनिर्णय के सिद्धान्तों पर आधारित मैत्रीपूर्ण समन्वय स्थापित करना।

(4) हिम शैल किसे कहते हैं ?
उत्तर:
समुद्र में तैरते हुए बर्फ के बड़े-बड़े खण्ड जिनकी ऊँचाई समुद्र तल से कम से कम 5 मीटर होती है वे हिम शैल कहलाते हैं।

(5) समोच्च रेखा किसे कहते हैं ?
उत्तर:
धरातल की बनावट और ढाल सम्बन्धी छोटी-छोटी बातों को भी पूरी शुद्धता से मानचित्र पर प्रदर्शित करने वाले माध्यम या विधि को समोच्च रेखाएँ कहा जाता है। ये वे रेखाएँ हैं, जो समुद्र तल से एकसमान ऊँचाई वाले स्थानों को मिलाती हुई मानचित्र में खींची जाती हैं।

निर्देश 4 – निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 40-50 शब्दों में लिखिए-(प्रत्येक प्रश्न के लिए 5 अंक निर्धारित हैं।)
(6) आर्य समाज द्वारा समाज एवं संस्कृति के लिए किए गए किन्हीं तीन मुख्य कार्यों का उल्लेख कीजिए।
उत्तर:
आर्य समाज द्वारा समाज एवं संस्कृति के लिए किए गए प्रमुख तीन कार्य इस प्रकार हैं –

• आर्य समाज ने ही सबसे पहले हिन्दी भाषा के प्रचार-प्रसार एवं स्वराज्य की बात कही।
• आर्य समाज ने बाल विवाह का विरोध किया एवं
• आर्य समाज ने ‘विधवा पुनर्विवाह’ का समर्थन किया।

(7) मुस्लिम लीग के गठन के क्या उद्देश्य थे ?
उत्तर:
मुस्लिम लीग के गठन के प्रमुख उद्देश्य निम्नलिखित थे –

• मुसलमानों में ब्रिटिश सरकार के प्रति वफादारी की भावना जगाना।
• मुसलमानों के मन में यदि कोई गलतफहमी हो तो उसे दूर करना तथा उनकी आशाओं और आकांक्षाओं को आदर के साथ सरकार के सामने रखना।
• भारतीय मुसलमानों के राजनीतिक अधिकारों और हितों की रक्षा की घोषणा करना तथा दूसरे समुदायों के प्रति किसी भी प्रकार के विरोध की भावना को रोकना।

(8) वयस्क मताधिकार का अर्थ लिखिए।
उत्तर:
जहाँ पर वयस्क व्यक्ति को मत देने का अधिकार प्राप्त हो उसे वयस्क मताधिकार कहते हैं। हमारे देश में 18 वर्ष की आयु पूर्ण कर लेने वाले हर नागरिक को मत देने का अधिकार प्राप्त है। यह मताधिकार का सबसे अधिक प्रचलित सिद्धान्त है।

(9) वलन तथा भ्रंशन में क्या अन्तर है ?
उत्तर:
पृथ्वी के अन्दर क्षैतिज भू-संचलन द्वारा जब शैलों में लहरनुमा मोड़ पड़ जाते हैं तो इन्हें ‘वलन’ कहते हैं जबकि क्षैतिज भू-संचलन से उत्पन्न दबाव तथा तनाव के कारण शैलों के टूटकर अलग होने की प्रक्रिया को ‘भ्रंशन’ कहते हैं।

(10) मनुष्य में सामाजिकता का गुण किस कारण से
उत्तर:
मनुष्य में सामाजिकता का गुण पारस्परिक निर्भरता के कारण है।

अथवा

ग्रामीण रोजगार गारण्टी योजना क्या है ?
उत्तर:
केन्द्र सरकार द्वारा ‘ग्रामीण रोजगार गारण्टी योजना-2005’ विधेयक पारित किया गया है। इस विधेयक में ग्रामीण क्षेत्रों में प्रत्येक परिवार के एक वयस्क व्यक्ति को 100 दिवसों का रोजगार उसके निवास के निकट (पाँच किलोमीटर के दायरे में) दिये जाने हेतु प्रावधान किया गया है।

(11) उत्तर अमेरिका की वनस्पति में विविधता के कारण लिखिए।
उत्तर:
उत्तर अमेरिका एक ऐसा महाद्वीप है जहाँ विश्व में पाई जाने वाली लगभग सभी प्रकार की वनस्पतियाँ पाई जाती हैं। जलवायु की विविधता तथा वर्षा के असमान वितरण के कारण वनस्पति में भी विविधता दृष्टिगोचर होती है।

अथवा

पैटेगोनिया मरुस्थल बनने के कारण लिखिए।
उत्तर:
एण्डीज पर्वत के पश्चिमी भाग में पछआ पवनों द्वारा पर्याप्त वर्षा होती है। परन्तु जब ये पवनें पर्वत पार कर पूर्वी भाग में उतरती हैं तो शुष्क हो जाती हैं, जिससे वर्षा नहीं हो पाती। सम्पूर्ण क्षेत्र अर्थात् पैटेगोनिया का पठार वृष्टि छाया प्रदेश में आ जाता है और इस प्रकार पैटेगोनिया के मरुस्थल का निर्माण होता है।

(12) ऑस्ट्रेलिया की जलवायु का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
ऑस्ट्रेलिया दक्षिणी गोलार्द्ध में स्थित महाद्वीप है। इसलिए यहाँ उत्तरी गोलार्द्ध के विपरीत ऋतुएँ होती हैं। जब भारत में ग्रीष्म ऋतु होती है, उस समय ऑस्ट्रेलिया में शीत ऋतु होती है। ऑस्ट्रेलिया में वर्षा मुख्यतः दक्षिणी-पूर्वी व्यापारिक हवाओं से होती है। पूर्वी श्रेणियों के अलावा पश्चिम और मध्य भाग में कोई ऊँचा पर्वतीय क्षेत्र नहीं है जो भाप भरी हवाओं को रोक सके जिससे यहाँ वर्षा हो सके। उत्तरी तटीय क्षेत्रों में मानसूनी हवाओं द्वारा तथा दक्षिणी तटीय क्षेत्रों में विशेषकर तस्मानियाँ द्वीप में पछुआ हवाओं द्वारा वर्षा होती है।

अथवा

ऑस्ट्रेलिया महाद्वीप में अंगूर की खेती कहाँ व क्यों होती है ?
उत्तर:
ऑस्ट्रेलिया महाद्वीप में फलों की खेती बहुतायत से होती है। ऑस्ट्रेलिया महाद्वीप के दक्षिण में भूमध्य सागरीय जलवायु काले प्रदेश में अन्य रसदार फलों के साथ अंगूर की बहुतायत में खेती.शराब बनाने के लिए की जाती है।

निर्देश 5 – निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 80-100 शब्दों में लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 10 अंक निर्धारित हैं।)

(13) होमरूल आन्दोलन का भारतीय राजनीति पर क्या प्रभाव पड़ा?
उत्तर:
अप्रैल, 1916 ई. में बाल गंगाधर तिलक ने इण्डियन होमरूल लीग तथा एनी बेसेण्ट ने सितम्बर, 1916 ई. में होमरूल लीग की स्थापना की, जिसका लक्ष्य ब्रिटिश साम्राज्य के अन्तर्गत भारतीयों के लिए स्वशासन प्राप्ति था। इस आन्दोलन के महत्व का उल्लेख करते हुए विपिन चन्द्र पाल ने लिखा है-‘होमरूल आन्दोलन की सबसे बड़ी उपलब्धि यह रही कि इसने भावी राष्ट्रीय आन्दोलन के लिए जुझारू योद्धा तैयार किए।’ होमरूल आन्दोलन सोसायटी के पं. मोतीलाल नेहरू, चितरंजन दास, तेज बहादुर सपू, रामास्वामी अय्यर, मोहम्मद अली, मूलाभाई देसाई आदि सदस्य थे।

अथवा

भारत छोड़ो आन्दोलन पर लेख लिखिए।
उत्तर:
8 अगस्त, 1942 ई. को बम्बई में आयोजित अखिल भारतीय कांग्रेस कमेटी ने एक प्रस्ताव में घोषणा की कि भारत में ब्रिटिश सरकार को जल्दी समाप्त करना अति आवश्यक हो गया है। गाँधीजी ने ‘करो या मरो’ (Do or Die) का नारा दिया। 9 अगस्त, 1942 ई. की सुबह कांग्रेस के अधिकांश नेता गिरफ्तार कर लिए गए। उन्हें देश की विभिन्न जेलों में बन्द कर दिया गया। परिणामस्वरूप आन्दोलन ने उग्र रूप धारण कर लिया। गोलियाँ चली, लाठीचार्ज हुए और सारे देश में गिरफ्तारियाँ हुईं। लगभग ‘हजारों लोग घायल हुए। अन्ततः आक्रोशित जनता भी हिंसा पर उतर आयी।

बलिया और सतारा जैसे कुछ स्थान अंग्रेजी दासता से मुक्त हो गए। मगर सरकारी दमन चक्र की उग्रता अपनी सभी सीमाएँ तोड़ गईं। हवाई जहाजों से बम बरसाए गए। गोलियाँ चलाई गईं। बड़ी संख्या में लोग मारे गए। सभी बड़े नेता बन्दीगृह में थे जो बाहर थे वे भूमिगत हो गए। सरकारी दमन चक्र के कारण भारत छोड़ो आन्दोलन अधिक समय नहीं चल सका।

(14) शान्तिकाल में रक्षा सेनाओं की भूमिका का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
रक्षा सेना शान्तिकाल में समाज सेवा के अनेक प्रकार के कार्य करती है, जैसे-बाढ़, भूकम्प, अन्य प्राकृतिक प्रकोपों व बड़ी दुर्घटनाओं के समय पर राहत कार्य करना। संयुक्त राष्ट्र द्वारा विश्व के विभिन्न देशों में शान्ति स्थापित करने के कार्यों में भी भारतीय सेना ने सहायता की है। हमारी सेनाओं द्वारा कोरिया, गाजा पट्टी, लेबनान, कांगो, यमन आदि स्थानों में किये गये कार्यों की सराहना की गई है। इसके अलावा देश में हो रही विघटनकारी एवं आतंकवादी गतिविधियों का सामना करने में भी सेना का विशेष योगदान रहा है।

अथवा

भारत और पाकिस्तान के मध्य विवाद के कारण बताइए।
उत्तर:
भारत और पाकिस्तान में विभाजन के परिणामस्वरूप प्रारम्भिक समय में तो सम्पत्ति, सीमा, नदी, जल वितरण आदि समस्याओं को लेकर विवाद चलते रहे, किन्तु शीघ्र ही दोनों देशों के बीच राजनीतिक विवाद प्रारम्भ हो गए। कश्मीर को लेकर दोनों देशों के मध्य विवाद पाकिस्तान की स्थापना के कुछ ही दिनों बाद प्रारम्भ हो गया।

इस विवाद के चलते पाकिस्तान ने चार बार भारत पर सैनिक आक्रमण भी किया। पहली बार अक्टूबर, 1947 में सीमावर्ती कबीलाइयों को भड़काकर तथा उन्हें सैनिक सहायता देकर कश्मीर पर आक्रमण करवाया। दूसरी बार सितम्बर, 1965 में कश्मीर पर पाकिस्तान ने व्यापक आक्रमण किया। तीसरी बार 1971 में बांग्लादेश के युद्ध के समय कश्मीर पर आक्रमण किया। चौथी बार 1999 में पुन: पाकिस्तान ने कश्मीर पर आक्रमण किया जो ‘कारगिल युद्ध’ के नाम से मशहूर है।

(15) उत्तर अमेरिका के मानचित्र में निम्नांकित को दर्शाइए
(क) अप्लेशियन एवं रॉकी पर्वत
(ख) मिसीसिपी और सेंट लॉरेन्स नदी
(ग) मैक्सिको और हडसन की खाड़ी
(घ) मीठे पानी की झीलें (महान झील क्षेत्र)
(ङ) न्यूयार्क और वाशिंगटन।
उत्तर:

अथवा

दक्षिण अमेरिका के मानचित्र में निम्नांकित को दर्शाइए
(क) एण्डीज पर्वतमाला,
(ख) अमेजन और ओरीनोको नदी,
(ग) ब्राजील तथा बोलीविया के पठार,
(घ) पनामा नहर और पनामा की खाड़ी,
(ङ) अटाकामा व पैटेगोनिया मरुस्थल।
उत्तर:

MP Board Class 8th Social Science Solutions

MP Board Class 8th Social Science Solutions विविध प्रश्नावली 3

MP Board Class 8th Social Science विविध प्रश्नावली 3 अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के सही विकल्प चुनकर लिखिए –
(1) कांग्रेस के प्रथम अध्यक्ष कौन थे ?
(क) डब्ल्यू. सी. बनर्जी
(ख) मोती लाल नेहरू
(ग) सुरेन्द्र नाथ बनर्जी
(घ) गोपाल कृष्ण गोखले।
उत्तर:
(क) डब्ल्यू. सी. बनर्जी

(2) किस महिला क्रान्तिकारी द्वारा अंग्रेजों के क्लब पर गोलियां चलाई गईं ?
(क) क्रोमिल्ला
(ख) प्रीतिलता
(ग) शान्ति घोष
(घ) सुनीता चौधरी।
उत्तर:
(ख) प्रीतिलता

(3) ‘करो या मरो’ का नारा किसने दिया ?
(क) महात्मा गाँधी
(ख) सुभाषचन्द्र बोस
(ग) पं. जवाहरलाल नेहरू
(घ) भीमराव आम्बेडकर।
उत्तर:
(क) महात्मा गाँधी

(4) नाथुला दर्रा वर्तमान में किस राज्य में है ?
(क) जम्मू और कश्मीर
(ख) सिक्किम
(ग) महाराष्ट्र
(घ) हिमाचल प्रदेश।
उत्तर:
(ख) सिक्किम

(5) प्रथम विश्व युद्ध के बाद किस अन्तर्राष्ट्रीय संगठन का निर्माण किया गया था ?
(क) संयुक्त राष्ट्र संघ
(ख) लीग ऑफ नेशन्स
(ग) दक्षेस
(घ) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(ख) लीग ऑफ नेशन्स

(6) ऑस्ट्रेलिया के उत्तर-पूर्वी तट के साथ-साथ मूंगे की चट्टान कितने किलोमीटर लम्बाई तक फैली
(क) 920 किलोमीटर
(ख) 209 किलोमीटर
(ग) 1920 किलोमीटर
(घ) 9120 किलोमीटर।
उत्तर:
(ग) 1920 किलोमीटर

(7) ऑस्ट्रेलिया के मूल निवासी शिकार करने हेतु किस औजार का प्रयोग करते हैं ?
(क) धनुष-बाण
(ख) बूमरँग
(ग) भाला
(घ) पिंजरा।
उत्तर:
(ख) बूमरैंग

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
(1) मौलाना अबुल कलाम आजाद ने …………. नामक अखबार प्रारम्भ किया था।
(2) फॉरवर्ड ब्लॉक के संस्थापक ……….. थे।
(3) यूनेस्को का मुख्यालय ………….. में है।
(4) तीन ओर से भू-भाग. द्वारा घिरा समुद्री भाग …………. कहलाता है।
(5) भेड़पालन केन्द्र पर काम करने वाले मजदूरों को ………….. कहते हैं।
उत्तर:

1. अल हिलाल
2. सुभाषचन्द्र बोस
3. पेरिस
4. खाड़ी
5. जेकारू

MP Board Class 8th Social Science विविध प्रश्नावली 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 3.
(1) विभाजन के समय बंगाल में कौन-कौनसे प्रान्त सम्मिलित थे ?
उत्तर:
विभाजन के समय बंगाल में बंगाल, बिहार, असम, उड़ीसा (ओडिशा) प्रान्त सम्मिलित थे।

(2) द्वितीय चरण के क्रान्तिकारियों का प्रमुख नारा क्या था ?
उत्तर:
हम दया की भीख नहीं माँगते। हमारी लड़ाई आखिरी फैसला होने तक ही है। यह फैसला है जीत या मौत।”

(3) अन्तर्राष्ट्रीय श्रम संगठन का मुख्य उद्देश्य बताइए।
उत्तर:
अन्तर्राष्ट्रीय श्रम संगठन का मुख्य उद्देश्य सामाजिक न्याय के लिए प्रयास करना और श्रमिकों की दशा में सुधार लाना है।

(4) जल प्रदूषण के प्रमुख स्रोत क्या-क्या हैं ?
उत्तर:
वर्तमान समय में नगरीकरण, कृषि, औद्योगिक, सामाजिक एवं धार्मिक गतिविधियाँ जल प्रदूषण के प्रमुख स्रोत हैं।

(5) द्वीप किसे कहते हैं ?
उत्तर:
चारों ओर से जल से घिरे भू-भाग को द्वीप कहते हैं।

(6) ओपल धातु का उपयोग किस कार्य में किया जाता
उत्तर:
ओपल धातु का उपयोग चूड़ियाँ तथा अंगूठियाँ बनाने में होता है।

MP Board Class 8th Social Science विविध प्रश्नावली 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 4.
(1) कांग्रेस के सूरत अधिवेशन का महत्व बताइए।
उत्तर:
नरम दल और गरम दल के नेताओं के मतभेद बढ़ते जा रहे थे। 1906 ई. में दादाभाई नौरोजी की कुशलता के कारण दोनों दलों में संघर्ष होने से रुक गया था, लेकिन 1907 ई. में सूरत अधिवेशन के अवसर पर दोनों में गम्भीर मतभेद हो गये। इस वर्ष सभापति के लिए रास बिहारी बोस चुने गए; जबकि गरम दल वाले बाल गंगाधर तिलक को सभापति बनाना चाहते थे। इसी कारण दोनों में विवाद हो गया और तिलक तथा उनके साथी कांग्रेस से अलग कर दिए गए और 1907 में कांग्रेस का विभाजन हो गया।

(2) श्रीमती भीकाजी कामा द्वारा क्या उद्घोष किया गया ?
उत्तर:
श्रीमती भीकाजी कामा के द्वारा यह उद्घोष किया गया -“यह भारत की स्वाधीनता का झण्डा है। देखिए इसने जन्म ले लिया है। शहीद भारतीयों के रक्त से इसे पवित्र किया जा चुका है। मैं भद्रजनों का आह्वान करती हूँ कि आप खड़े होकर भारतीय स्वाधीनता की इस पताका को सलामी दें। इस झण्डे के नाम पर मैं विश्व भर के स्वतन्त्रता प्रेमियों से अपील करती हूँ कि सम्पूर्ण मानव जाति के पाँचवें हिस्से को स्वतन्त्र करने में सहयोग दें।”

(3) ‘साम्प्रदायिक पंचाट’ क्या था ? समझाइए।
उत्तर:
ब्रिटेन के प्रधानमन्त्री मेक्डोनल्ड ने 1932 में साम्प्रदायिक पंचाट (पंच निर्णय) की घोषण कर दी जिसमें भारत के हरिजनों के लिए भी अलग निर्वाचक मण्डलों की घोषणा कर दी गई। भारत को तोड़ने और जातियों में बाँटने के लिए ब्रिटिश सरकार की यह एक कूटनीतिक चाल थी।

(4) वायु प्रदूषण के प्रमुख कारकों का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
वायु प्रदूषण के प्रमुख कारकों को दो भागों में बाँट सकते हैं –

• प्राकृतिक कारक – ज्वालामुखी के फूटने पर उसमें से निकलने वाली, गैसें, धुआँ, चट्टान के टुकड़े, राख आदि हवा में मिलकर प्रदूषण फैलाते हैं।
• मानव जनित कारक – वाहनों द्वारा, उद्योगों द्वारा और घरेलू कार्य; जैसे-कोयला, लकड़ी, मिट्टी का तेल आदि जलाने | से वायु प्रदूषण फैलता है।

(5) ऑस्ट्रेलिया की प्रमुख नदियाँ कौन-कौन सी हैं ?
उत्तर:
मर्रे एवं डार्लिंग ऑस्ट्रेलिया की दो प्रमुख नदियाँ हैं। ये दोनों नदियाँ समुद्र में गिरती हैं।

(6) ऑस्ट्रेलिया के प्रमुख नगर एवं बन्दरगाह कौन-कौन से हैं ?
उत्तर:
सिडनी, मेलबोर्न, एडिलेड, वेलिंगटन, पर्थ, फीमैंटल, कैनबरा, ब्रिस्बेन, रॉक हम्पटन आदि प्रमुख नगर एवं बन्दरगाह हैं।

MP Board Class 8th Social Science विविध प्रश्नावली 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 5.
(1) गाँधीजी द्वारा समाज सुधार हेतु किए गए कार्यों का उल्लेख कीजिए।
उत्तर:
सामाजिक सुधार को गाँधीजी ने राष्ट्रवादी आन्दोलन का एक अभिन्न अंग बनाया। समाज सुधार के क्षेत्र में उनका बड़ा योगदान रहा। उन्होंने छुआछूत की उस अमानवीय प्रथा के विरोध में अभियान चलाया था जिसने लाखों भारतीयों को अत्यन्त निम्न स्थिति में पहुंचा दिया था। उनका दूसरा योगदान कुटीर उद्योगों के क्षेत्र में था।

चरखे को उन्होंने ग्रामीण जनता की मुक्ति का साधन बताया। लोगों में राष्ट्रवाद की भावना भरने के अलावा चरखे से लाखों लोगों को रोजगार उपलब्ध कराया। गाँधीजी ने हिन्दू-मुस्लिम एकता के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया। वे साम्प्रदायिकता को राष्ट्रविरोधी और अमानवीय समझते थे। महात्मा गाँधी सत्य और अहिंसा के मार्ग पर चलकर देश की स्वतन्त्रता के लिए प्रयास करते रहे।

(2) टिप्पणी लिखिए

1. वासुदेव फड़के
2. खुदीराम बोस
3. साइमन कमीशन।

उत्तर:
1. वासुदेव फड़के-क्रान्तिकारी वासुदेव फड़के क्रान्तिकारी आन्दोलन के अग्रदूत थे। उन्होंने कुछ लोगों को लेकर 1879 में धामरी, बल्टे, पलस्पे आदि ग्रामों पर कब्जा कर लिया। 1879 में उन्हें गिरफ्तार कर लिया गया तथा उन्हें काले पानी की सजा सुनाई गई।

2. खुदीराम बोस-खुदीराम बोस बंगाल के प्रमुख क्रान्तिकारी थे। 1908 ई. में खुदीराम बोस ने प्रफुल्ल चाकी के साथ मिलकर एक बग्घी पर यह समझकर बम फेंका था कि मुजफ्फरपुर का बदनाम जज किंग्सफोर्ड सवार है, किन्तु अन्दाजा गलत निकला। उसमें दो अंग्रेज महिलाएँ मारी गईं। इस घटना के बाद खुदीराम बोस को फाँसी की सजा दी गई।

3. साइमन कमीशन-वर्ष 1919 के एक्ट को पारित करते समय ब्रिटिश सरकार ने यह घोषणा की थी कि वह 10 वर्ष बाद पुनः इन सुधारों की समीक्षा करेगी, लेकिन नवम्बर, 1927 में एक आयोग की नियुक्ति कर दी। सर जॉन साइमन इसके अध्यक्ष बनाए गए। इसके सभी सात सदस्य अंग्रेज थे। इसे ‘साइमन कमीशन’ के नाम से जाना जाता है।

(3) भारत और श्रीलंका के बीच सम्बन्धों का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
भारत से श्रीलंका के घनिष्ठ सम्बन्धों का इतिहास बहुत पुराना है। भगवान राम और उनके बाद सम्राट अशोक के काल में भारत-श्रीलंका सम्बन्ध प्राचीन इतिहास की महत्वपूर्ण कड़ी है। बहुत से भारतीय नागरिक विशेषतः तमिलनाडु के लोग श्रीलंका जाकर बस गए हैं तथा वहाँ चाय और रबड़ के बागानों में कार्य करते हैं। श्रीलंका के साथ भारत के अच्छे व्यापारिक सम्बन्ध हैं। राजनीति के क्षेत्र में भी भारत श्रीलंका के साथ पारस्परिक सहयोग और सहायता की नीति का अनुसरण करता रहा है।

यद्यपि भारत-श्रीलंका सम्बन्ध घनिष्ठ और सुदृढ़ हैं, तथापि दोनों देशों के बीच कुछ समस्याएँ भी हैं। भारतीय मूल के निवासी ब्रिटिश शासनकाल से ही रबर और चाय बागानों में काम करने के लिए श्रीलंका जाते रहे हैं और वहाँ बसते रहे हैं। प्रारम्भिक काल में तो कोई समस्या नहीं थी पर श्रीलंका के स्वाधीन होने के बाद श्रीलंका नागरिकता नियम 1948 तथा श्रीलंका संसदीय नियम 1949 के द्वारा अधिकांशतः प्रवासी भारतवासियों को नागरिकता और मताधिकार से वंचित कर दिया गया। तमिल समस्या के कारण भारत और श्रीलंका में तनाव की स्थिति बनी है।

(4) संयुक्त राष्ट्र की आर्थिक एवं सामाजिक परिषद् का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि आर्थिक तथा सामाजिक परिषद् संयुक्त राष्ट्र के सामाजिक और आर्थिक कार्यों का संयोजन करती है। यह बाल कल्याण और नारी अधिकारों से सम्बन्धित कार्य करती है। यह उच्च जीवन स्तर तथा आर्थिक एवं सामाजिक परिवर्तन के लिए प्रोत्साहन देती है। इसका उद्देश्य अन्तर्राष्ट्रीय आर्थिक, सामाजिक एवं स्वास्थ्य सम्बन्धी समस्याओं का समाधान करना है।

इसका यह भी उद्देश्य है कि ये जाति, भाषा या धर्म पर आधारित किसी प्रकार के भेदभाव के बिना मानव अधिकारों के प्रति व्यापक सम्मान और उसके अनुपालन की दिशा में कार्य करे। इसमें 54 सदस्य होते हैं। प्रत्येक वर्ष 18 सदस्य 3 वर्ष की अवधि के लिए महासभा द्वारा निर्वाचित होते हैं।

(5) संयुक्त राष्ट्र में भारत की भूमिका की समीक्षा कीजिए।
उत्तर:
संयुक्त राष्ट्र द्वारा शान्ति के लिए की गई सैन्य कार्यवाही में भारत की महत्वपूर्ण भूमिका रही। संयुक्त राष्ट्र की अपनी कोई निजी सेना नहीं है। कोरिया के युद्ध में घायलों की प्राथमिक चिकित्सा हेतु भारत ने एक चिकित्सकीय दल भेजा था। कोरिया युद्धबन्दियों के आदान-प्रदान की देखरेख का उत्तरदायित्व भारत को दिया गया था।

गाजा में संयुक्त राष्ट्र आपातकालीन सैन्य दल में शामिल करने हेतु सबसे बड़ी टुकड़ी भारत ने भेजी थी। साइप्रस राष्ट्र की सेना के प्रथम दो सेनापति भारतीय थे। कांगो में की गई सैन्य कार्यवाही में भारत ने सबसे बड़ा सैन्य दल भेजने का भार अपने ऊपर लिया, जो इस संकट को समाप्त करने में सहायक हुआ था।

(6) ऑस्ट्रेलिया के मूल निवासियों के जनजीवन का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
भारत की तरह ऑस्ट्रेलिया भी कृषि प्रधान देश है। गेहूँ यहाँ की प्रमुख फसल है। यहाँ बहुत बड़े-बड़े कृषि फार्म हैं। खेती का सारा काम मशीनों से होता है। ऑस्ट्रेलिया महाद्वीप के मूल निवासी फलों की पैदावार बहुतायत में करते हैं। महाद्वीप के उत्तर के उष्ण कटिबन्धीय भाग में अन्नानास, केला, पपीता खूब होते हैं।

दक्षिण में भूमध्य सागरीय जलवायु वाले प्रदेश में सेब, नाशपाती, नींबू, नारंगी, आड़ और अंगूर की खेती की जाती है। अंगूर से शराब बनाकर निर्यात की जाती है। ऑस्ट्रेलिया के शीतोष्ण जलवायु वाले पूर्वी तथा पश्चिमी क्षेत्रों में नागरिक पशुपालन करते हैं। यह महाद्वीप पशुपालन के लिए विश्व प्रसिद्ध है। पशुओं को आधुनिक तरीकों से पाला जाता है। कुछ पशु दूध, मक्खन और पनीर के लिए तो कुछ पशुओं को माँस व ऊन के लिए पाला जाता है।

यहाँ के लोग भेड़ों को मुख्यतः ऊन के लिए पालते हैं और कुछ भेड़ें माँस के लिए भी पाली जाती हैं। यहाँ भेड़ों को बड़े-बड़े बाड़ों (फार्म हाउस) में रखा जाता है, यहाँ काम करने वाले मजदूरों को ‘जेकारू’ कहा जाता है जो भेड़ों को चराने तथा उनकी देखभाल करने का काम करते हैं। ऑस्ट्रेलिया के मूल निवासियों की कड़ी मेहनत एवं लगन के परिणामस्वरूप आज ऑस्ट्रेलिया महाद्वीप संसार का सबसे बड़ा ऊन उत्पादक एवं निर्यातक देश है।

MP Board Class 8th Social Science Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?

1. 81
2. 272
3. 799
4. 3853
5. 1234
6. 26387
7. 52698
8. 99880
9. 12796
10. 55555

उत्तर:
संख्याओं के वर्गों के इकाई अंक –

1. 1
2. 4
3. 1
4. 9
5. 6
6. 9
7. 4
8. 0
9. 6
10. 5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए –

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222
5. 64000
6. 89722
7. 222000
8. 505050.

हल:
(a) ऐसी संख्या जो 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त होती है, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती।
(b) ऐसी संख्या जिनके अन्त में विषम शून्य हों, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती।

1. दी हुई संख्या 1057, 7 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
2. दी हुई संख्या 23453, 3 पर समाप्त होती है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
3. दी हुई संख्या 7928, 8 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
4. दी हुई संख्या 222222, 2 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
5. दी हुई संख्या 64000 के अन्त में विषम संख्या में शून्य हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
6. दी हुई संख्या 89722, 2 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
7. दी हुई संख्या 222000 में विषम संख्या में शून्य हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
8. दी हुई संख्या 505050 के अन्त में विषम संख्या में शून्य है। अत: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?

1. 431
2. 2826
3. 7779
4. 82004.

हल:
संख्याओं (1) 431 एवं (3) 7779 का वर्ग विषम संख्या होगा।

प्रश्न 4.
निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए –

हल:

प्रश्न 5.
निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए –

हल:

प्रश्न 6.
दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए –

• 1² + 2² + 2² = 3²
• 2² + 3² + 6² =7²
• 3² + 4² + 12² = 13²
• 4² + 5² + …..² = 21²
• 5² + …² + 30² = 31²
• 6² + 7² + …..² = ……²

हल:
लुप्त संख्याएँ निम्नलिखित हैं –

• 4² + 5² + 20² = 21²
• 5² + 6² + 30² = 31²
• 6² + 7² + 42² = 43³

प्रतिरूप प्राप्त कीजिए –

तीसरी संख्या पहली और दूसरी से सम्बन्धित है। कैसे? चौथी संख्या तीसरी संख्या से सम्बन्धित है। कैसे?

• (1 x 2)² = 2² – (2 + 1)² = 3²
• (2 x 3)² = 6² – (6 + 1)² = 7²
• (3 x 4)² = 12² – (12 + 1)² = 13²
• (4 x 5)² = 20² – (20 + 1)² = 21²
• (5 x 6)² = 30² – (30 + 1)² = 31²
• (6 x 7)² = 42² – (42 + 1)² = 43²

प्रश्न 7.
योगसंक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए –

1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9
2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23.

हल:
1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = प्रथम पाँच विषम संख्याओं का योग
= 5² = 25

2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग
= 10² = 100

3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = प्रथम 12 विषम संख्याओं का योग
= 122 = 144

प्रश्न 8.

1. 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
2. 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।

हल:

1. 49 = 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
2. 121 = 11² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?

1. 12 और 13
2. 25 और 26
3. 99 और 100

हल:

1. 12² और 13² के बीच में संख्याएँ = 2 x 12 = 24
2. 25² और 26² के बीच में संख्याएँ = 2 x 25 = 50
3. 99² और 100² के बीच में संख्याएँ = 2 x 99 = 198

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 104

प्रश्न 1.
अब क्या आप 95 का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं?
हल:
हाँ, 95² = (9 x 10) सैकड़े + 25
= 9000 + 25 = 9025

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.11)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए जिनके इकाई अंक 5 हैं –

1. 15
2. 95
3. 105
4. 205

हल:
1. 15² = (1 x 2) सैकड़े + 25
= 200 + 25 = 225

2. 95² = (9 x 10) सैकड़े + 25
= 9000 + 25 = 9025

3. 105² = (10 x 11) सैकड़े + 25
= 11000 + 25 = 11025

4. 205² = (20 x 21) सैकड़े + 25
= 42000 + 25 = 42025

पाइथागोरस त्रिक

प्रश्न 1.
आप इस प्रकार के कुछ और त्रिक प्राप्त कर सकते हैं?
किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए हम पाते हैं (2m)² + (m² – 1²) = (m² + 1²)
अत: 2m, m² – 1 और m + 1 पाइथागोरस त्रिक के रूप में हैं।
इस रूप का उपयोग करते हुए कुछ और पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए।
हल:
हाँ, इस नियम का उपयोग करते हुए कुछ और त्रिक प्राप्त कर सकते हैं।
किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, हम 2m, m² – 1 और m² + 1 पाइथागोरस त्रिक प्राप्त करते हैं।
कुछ पाइथागोरस त्रिक निम्न हैं –

1. 8, 15, 17
2. 18, 80, 82
3. 14,48, 50 इत्यादि।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Social Science Solutions Chapter 27 हमारा जीवन और पर्यावरण

MP Board Class 8th Social Science Chapter 27 अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के सही विकल्प चुनकर लिखिए –

(1) विघटनीय ठोस अपशिष्ट नहीं है –

(क) सब्जी
(ख) फल
(ग) कागज
(घ) पॉलीथिन बैग।

उत्तर:
(घ) पॉलीथिन बैग।

MP Board Class 8th Social Science Chapter 27 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 2.
(1) औद्योगिक अपशिष्ट क्या हैं ? इसके उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
औद्योगिक इकाई में किसी वस्तु विशेष के निर्माण होने पर जो शेष कचरा रह जाता है वह औद्योगिक अपशिष्ट कहलाता है। यह अपशिष्ट ठोस, तरल या गैसीय हो सकते हैं। जैसे-कपड़ा रंगने में अधिक मात्रा में पानी चाहिए। जब यह पानी अपशिष्ट में छोड़ा जाता है, तो इसमें कई रसायन मिले होते हैं।

(2) वस्तु निर्माण की कौन-कौनसी प्रक्रियाएँ हैं ?
उत्तर:
वस्तुओं का निर्माण तीन प्रक्रियाओं से होता है –

• संयोजन-विभिन्न भागों को जोड़कर अन्तिम उत्पाद तैयार करना संयोजन है। जैसे-साइकिल के पहियों, हैंडल, सीट, चेन एवं अन्य भागों को जोड़कर तैयार करते हैं।
• परिवर्तन-परिवर्तन में कच्चे माल को नए माल या अन्तिम उत्पाद के रूप में परिवर्तित करते हैं। जैसे-वृक्षों को चीरकर लकड़ी बनाना।
• निष्कर्षण-निष्कर्षण में कच्चे माल में से एक या दो अवयव निकाल लिए जाते हैं। जैसे-पेट्रोल से तेल अलग किया जाता है।

(3) उद्योगों के प्रमुख अवयव कौन-कौन से हैं ?
उत्तर:
अधिकतर उद्योगों के निम्नलिखित चार अवयव होते हैं –

• पूँजी-प्रत्येक उद्योग को दो प्रकार की पूँजी की आवश्यकता होती है। भौतिक पूँजी (संसाधन) तथा आर्थिक पूँजी।
• कच्चा माल-अधिकतर उद्योग प्राकृतिक संसाधनों द्वारा प्रदत्त कच्चे माल पर निर्भर हैं।
• प्रौद्योगिकी-वर्तमान में प्रौद्योगिकी के विकास से अत्यधिक औद्योगिक निर्माण हुआ है।
• श्रम-श्रम का सम्बन्ध कार्मिक शक्ति से है। श्रमिकों के समूह बनाए जाते हैं, जो अपने-अपने कार्य को मालिकों के साथ निर्धारित करते हैं।

MP Board Class 8th Social Science Chapter 27 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 3.
(1) कृषि एवं पशुपालन पर्यावरण को किस प्रकार प्रभावित करते हैं ?
उत्तर:
आज कृषि में उत्पादन वृद्धि के लिए उर्वरकों का प्रयोग दिन-प्रतिदिन बढ़ रहा है। रासायनिक उर्वरक यद्यपि खाद्यान्नों का उत्पादन बढ़ाने में लाभदायक हैं, लेकिन पर्यावरण पर ये हानिकारक प्रभाव डाल रहे हैं। सामान्यतः खेत में डाले गए कुल रासायनिक उर्वरक का 60 प्रतिशत अंश ही पौधों द्वारा उपयोग में लाया जाता है। अवशेष उर्वरक जो मिट्टी में रह जाते हैं, वे वर्षा के जल में मिलकर खेतों के निकट स्थित तालाबों, नदियों या झीलों में पहुँच जाते हैं।

वहाँ ये उन जल स्रोतों को प्रदूषित करते हैं तथा मिट्टी में रिसकर भू-जल को भी प्रदूषित करते हैं। – बढ़ती जनसंख्या का दबाव पशुधन पर भी पड़ रहा है। पशु उत्पादों की माँग दिन-प्रतिदिन बढ़ती जा रही है। वैज्ञानिक इन उत्पादों की वृद्धि पर कठोर परिश्रम कर रहे हैं। उन्होंने पशुओं पर गहन शोध किया है जैसे अधिक ऊन के लिए उन्नत किस्म की भेड़ों का पालन, क्लोन निर्माण कर पशुओं का कृत्रिम प्रजनन। इससे जैविक विविधता प्रभावित हो रही है।

(2) ठोस अपशिष्टों के निपटारे की विधियों का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
ठोस अपशिष्ट के निपटारे की कई विधियाँ हैं –
1. पुनःउपयोग-यह प्राचीन विधि है, जिसमें अपशिष्ट वस्तुओं को पुनःउपयोग के योग्य बनाते हैं। सभी धात्विक वस्तुओं को पिघलाकर नई वस्तुएँ बन सकती हैं। शीशा और कागज 100 प्रतिशत पुनः उपयोग योग्य हैं।

2. भूमि में दबाना-यह भूमि पर अपशिष्ट के निपटारे की अत्यन्त प्रचलित विधि है, क्योंकि इसमें मुख्य खर्च केवल परिवहन का है। आधुनिक भूमि भराव में ठोस अपशिष्ट को पतली परतों में बिछाया जाता है। बीच-बीच में मिट्टी की परत बिछाई जाती है और उसे भी बुलडोजर से ठोस बनाया जाता है।

3. कूड़ा खाद बनाना-इस प्रक्रिया में अपशिष्ट की छंटाई की जाती है ताकि वही पदार्थ चुने जाएँ, जिन्हें अपघटित किया जा सकता है; जैसे-कागज, लकड़ी, पत्ते आदि। अपशिष्ट को इस प्रकार की परतों में रखते हैं कि सुगमता से वायु संचार हो सके। थोड़ा पानी डाला जाता है ताकि अपघटन सुगम हो सके। कुछ दिन तक सामग्री या ढेर को ढंक दिया जाता है। लगभग तीन सप्ताह के बाद इसे खाद के रूप में प्रयुक्त कर सकते हैं।

4. भस्मक-भस्मक में अपशिष्ट को जलाया जाता है, ताकि इसका भार तथा आयतन कम हो जाए। इससे लगभग 90 प्रतिशत अपशिष्ट नहीं हो जाते हैं।

(3) पर्यावरण सहयोगी प्रौद्योगिकी से आप क्या समझते हैं ? समझाइए।
उत्तर:
पर्यावरण सहयोगी प्रौद्योगिकी से आशय उस प्रौद्योगिकी से है जो पर्यावरण को कम से कम नुकसान पहुँचाती है, जिसे आधुनिक प्रौद्योगिकी भी कहा जाता है। आधुनिक प्रौद्योगिकी, उद्योगों को सुरक्षित व मितव्ययी बना सकती है, जैसे –

• ऑटोमोबाइल उद्योग का कबाड़ अन्य धातुओं से मिश्रित कर नई धातु बनाने में उपयोगी हो सकता है। इन्हें आधुनिक प्रौद्योगिकी द्वारा प्रभावी रूप से पुनः उपोग के योग्य बनाया जा सकता है।
• उद्योगों की चिमनियों द्वारा हानिकारक उत्सर्जक वायु प्रदूषण का एक प्रमुख कारण है। धूम्रमार्जक औद्योगिक संयन्त्रों द्वारा हानिकारक गैसों तथा प्रदूषक तत्वों को दूर किया जा सकता
• कुछ उद्योगों द्वारा रासायनिक अपशिष्ट नदियों तथा तालाबों में प्रवाहित कर दिए जाते हैं। आधुनिक प्रौद्योगिकी में कई ऐसी तकनीकें विकसित हो गई हैं, जिनसे इन अपशिष्टों के हानिकारक तत्वों को कम करके उनका पुनः उपयोग किया जा सकता है।
• परिवहन क्षेत्र में सी.एन.जी. का प्रयोग बढ़ रहा है, क्योंकि यह अन्य ऊर्जा स्रोतों की अपेक्षा न्यूनतम प्रदूषण फैलाती
• आधुनिक कम्प्यूटर पर आधारित मशीनें सटीक तथा मितव्ययी सिद्ध हुई हैं। ये ऊर्जा बचाती हैं तथा न्यूनतम अपशिष्ट छोड़ती हैं।
• आधुनिक ऊर्जा संरक्षण के स्रोतों में कुछ पौधों की पत्तियों का उपयोग बायो डीजल बनाने में किया जा रहा है तथा इस पर शोध भी जारी है।

(4) राष्ट्रीय एवं क्षेत्रीय पर्यावरणीय मुद्दों का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
भारत में औद्योगीकरण 70 तथा 80 के दशक में त्वरित हुआ। इसी के साथ कई संगठन, समितियाँ तथा विभाग स्थापित हुए, इनमें सरकारी तथा गैर-सरकारी संगठन दोनों ही शामिल हैं। शीघ्र तथा प्रभावकारी परिणामों के लिए भारत सरकार ने कई कानून बनाए हैं, जैसे-पर्यावरण संरक्षण अधिनियम, फैक्ट्री संशोधन अधिनियम, केन्द्रीय मोटरवाहन सम्बन्धी नियम आदि। जैसे – यदि कोई फैक्ट्री अपशिष्ट का समुचित निपटारा न करके प्रदूषण का कारण बन रही है तो ये बोर्ड उसे बन्द करने का आदेश दे सकते हैं।

स्थानीय स्तर पर नगर पालिका तथा नगर निगम अपशिष्ट के निपटारे में सीधी भूमिका निभाते हैं। औद्योगिक ठोस अपशिष्ट के लिए विभिन्न स्थानों पर बड़े कूड़ेदान स्थापित किए जाते हैं। प्रतिदिन इनको उठाने की व्यवस्था की जाती है। नगर का मल – जल नगर के दूरस्थ भागों में ले जाकर छोड़ा जाता है। अपशिष्टों के निपटारे में सामुदायिक भूमिका भी महत्वपूर्ण है। लोगों को सड़कों या पार्कों में कूड़ा नहीं फेंकना चाहिए और पानी का जमाव नहीं होने देना चाहिए। यह हम सभी की अनिवार्य जिम्मेदारी भी है।

MP Board Class 8th Social Science Solutions

MP Board Class 8th Social Science Solutions Chapter 26 स्थानीय मानचित्र का अध्ययन

MP Board Class 8th Social Science Chapter 26 अभ्यास प्रश्न

MP Board Class 8th Social Science Chapter 26 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
(1) धरातल की तीन प्रमुख स्थलाकृतियाँ कौन-सी हैं ?
उत्तर:
ऊँचाई के आधार पर धरातल की तीन प्रमुख स्थलाकृतियों को मैदान, पठार और पहाड़ नाम दिये हैं।’

(2) मानचित्र पर स्थलाकृतियों को दर्शाने के कौन-से दो माध्यम हैं ?
उत्तर:
चूँकि मानचित्र समतल पटल पर बनाया जाता है इसलिए ऊँचाई-नीचाई को दिखाना कठिन होता है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए मानचित्र में स्थलाकृतियों को दिखाने के लिए ‘समोच्च रेखाओं’ और विभिन्न रंगों का प्रयोग किया जाता

(3) समोच्च रेखा किसे कहते हैं ?
उत्तर:
धरातल की बनावट और ढाल सम्बन्धी छोटी-छोटी बातों को भी पूरी शुद्धता से मानचित्र पर प्रदर्शित करने वाले माध्यम या विधि को समोच्च रेखाएँ कहा जाता है। ये वे रेखाएँ हैं, जो समुद्र तल से एकसमान ऊँचाई वाले स्थानों को मिलाती हुई मानचित्र में खींची जाती हैं।

(4) मानचित्र में मैदान, पठार और पर्वत किन-किन रंगों से दर्शाए जाते हैं ?
उत्तर:
इन बड़ी स्थल आकृतियों को पहली नजर में ही समझ लेने के लिए मानचित्र में हरा रंग मैदान के लिए, पीला रंग अथवा भूरा रंग पठारों के लिए व कत्थई रंग पर्वतों या ऊँची . चोटियों के लिए प्रयोग किया जाता है।

(5) हल्का नीला और गहरा नीला रंग क्या दर्शाता है ?
उत्तर:
मानचित्र में समुद्र नीले रंग से प्रदर्शित किया जाता है। कम गहरे समुद्र को हल्के नीले रंग से दिखाया जाता है व समुद्र की गहराई जैसे-जैसे बढ़ती जाती है रंग का नीलापन वैसे-वैसे गहरा होता जाता है।

(6) शंक्वाकार पहाड़ी और पठार को समोच्च रेखाओं द्वारा दर्शाइए।
उत्तर:

MP Board Class 8th Social Science Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Intext Questions

MP Board Class 8th Maths Chapter 6 पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 95-96

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं और उनके वर्गों के बारे में विचार कीजिए –
क्या आप इसे पूरा कर सकते हैं?

उपर्युक्त सारणी से क्या आप 1 से 100 के बीच की वर्ग संख्याओं को लिख सकते हैं? क्या 100 तक कोई प्राकृत वर्ग संख्या छूट गई है?
हल:
सारणी को पूरा करना –

1 से 100 के बीच वर्ग संख्याएँ 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81 हैं।
हाँ, 100 तक दो प्राकृत वर्ग संख्याएँ छूट गई हैं। ये प्राकृत वर्ग संख्याएँ 1 और 100 हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 96

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.1)

प्रश्न 1.
दी गई संख्याओं के बीच की पूर्ण वर्ग संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

1. 30 और 40
2. 50 और 60

हल:
1. ∴ 5 x 5 = 25; 6 x 6 = 36; 7×7 = 49.
∴ 30 और 40 के बीच अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या 36 है।

2. ∴ 7 x 7 = 49; 8 x 8 = 64
∴ 50 और 60 के बीच कोई भी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं

वर्ग संख्याओं के गुणधर्म

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में 1 से 20 तक की वर्ग संख्याओं को दिखाया गया है।

उपर्युक्त सारणी में वर्ग संख्याओं का अध्ययन कीजिए। वर्ग संख्याओं का अन्तिम अंक (यानी वर्ग संख्याओं के इकाई स्थान का अंक) क्या है?
क्या हम कह सकते हैं कि यदि एक संख्या 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती है, तो वह एक वर्ग संख्या होगी? इस बारे में सोचिए।
हल:
वर्ग संख्याओं का अन्तिम अंक या तो 0, 1, 4, 5, 6 है या 9 है। और इनमें से किसी भी संख्या के वर्ग का अन्तिम अंक 2, 3, 7 या 8 नहीं है।

हम यह नहीं कह सकते हैं कि यदि एक संख्या 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती है, तो वह एक वर्ग संख्या ही होगी। वास्तव में जिन संख्याओं के अन्तिम अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हैं वे संख्याएँ वर्ग हो भी सकती है और वर्ग नहीं भी हो सकती हैं। जैसे-10, 11, 14, 15, 19, 21, 24, 29 इत्यादि वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 97

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.2)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि निम्न संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं? हम कैसे जानते हैं?

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222
5. 1069
6. 2061.

पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप बता सकें कि ये संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।
हल:
संख्याओं –

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222 अन्तिम अंक अर्थात् इकाई स्थान के अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 नहीं हैं। अतः ये पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं।
5. चूँकि संख्या 1069 का अन्तिम अंक 9 है। अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग हो भी सकती है और पूर्ण वर्ग नहीं भी हो सकती है।
   ∴ 32² = 32 x 32 = 1024 और 33² = 33 x 33 = 1089
   ∴ 1069 पूर्ण वर्ग नहीं है।
6. चूँकि संख्या 2061 का अन्तिम अंक 1 है, अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग हो भी सकती है। और नहीं भी हो सकती है।
   ∴ 45² = 45 x 45 = 2025 और 46² = 46 x 46 = 2116
   ∴ 2061 पूर्ण वर्ग नहीं है।

22, 33, 57, 268 और 193 ऐसी संख्याएँ हैं जिनके इकाई स्थान को देखकर हम बता सकते हैं कि ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

प्रश्न 2.
पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप नहीं बता सकते कि वे वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं।
हल:
संख्याएँ 1331, 2744, 3375, 17576 एवं 24389 ऐसी संख्याएँ हैं जिनके इकाई स्थान को देखकर यह नहीं कहा जा सकता है कि ये वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित वर्ग संख्याएँ अंक 1 पर समाप्त होती है –

इनके अलावा अगली दो वर्ग संख्याएँ लिखिए जो 1 पर उनकी संगत संख्याओं पर समाप्त होती हैं।
हल:
अगली दो वर्ग संख्याएँ 841 और 961 हैं जो 1 पर समाप्त होती हैं। इनकी संगत संख्याएँ क्रमशः 29 और 31 हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.3)

प्रश्न 1.
123², 77², 82², 161², 109² में से कौन-सी संख्या अंक 1 पर समाप्त होगी?
हल:
∴ जिन संख्याओं के इकाई स्थान पर 1 या 9 अंक होते हैं, उन संख्याओं के वर्ग 1 पर समाप्त होते हैं।
अतः 161² और 109² अंक 1 पर समाप्त होंगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 98

प्रश्न 1.
क्या आप इस प्रकार के कुछ और नियम, सारणी में लिखी गई संख्याओं एवं उनके वर्गों के अवलोकन से ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
हाँ, जो संख्याएँ 0 और 5 पर समाप्त होती हैं, उन संख्याओं के वर्ग क्रमशः 0 और 5 पर ही समाप्त होंगे।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याओं के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा –

1. 19²
2. 24²
3. 26²
4. 36²
5. 34².

हल:
वे संख्याएँ जिनके इकाई स्थान पर 4 या 6 अंक होता है, उन संख्याओं के वर्गों के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा।

1. (i) चूँकि संख्या 19 के इकाई स्थान पर 4 या 6 नहीं है, अतः 19² के इकाई स्थान पर 6 अंक नहीं होगा।
2. अब चूँकि संख्याएँ (ii) 24 और (v) 34, अंक 4 पर समाप्त होती हैं, अतः इनके वर्गों के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा।
3. इसी प्रकार संख्याएँ (iii) 26 और (iv) 36, अंक 6 पर समाप्त होती हैं, अतः इनके वर्गों के इकाई स्थान पर, अंक 6 होगा।
4. इस प्रकार, (ii) 24², (ii) 26², (iv) 36², (v) 34² के इकाई स्थान पर अंक 6 होगा।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.4)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग करने पर उनके इकाई स्थान पर क्या होगा?

1. 1234
2. 26387
3. 52698
4. 99880
5. 21222
6. 9106

हल:

1. संख्या 1234 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 6 होगा।
2. संख्या 26387 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 9 होगा।
3. संख्या 52698 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 4 होगा।
4. संख्या 99880 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 0 होगा।
5. संख्या 21222 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 4 होगा।
6. संख्या 9106 के वर्ग करने पर, इसके इकाई स्थान पर 6 होगा।

प्रश्न 1.
यदि एक संख्या के अन्त में तीन शून्य हों, तो उसके वर्ग में कितने शून्य होंगे? क्या आपने, संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या और उसके वर्ग के अन्त में शून्यों की संख्या पर ध्यान दिया?
हल:
उस संख्या के वर्ग में छह शून्य होंगे। हाँ, हमने वर्ग के अन्त में शून्यों की संख्या पर ध्यान दिया है। जिस संख्या के अन्त में जितने शून्य होते हैं, उस संख्या के वर्ग के अन्त में उससे दुगुने शून्य होते हैं।

प्रश्न 2.
क्या आप कह सकते हैं कि वर्ग संख्याओं के अन्त में शून्यों की संख्या केवल सम संख्या होती है।
हल:
हाँ, हम यह कह सकते हैं कि वर्ग संख्याओं के अन्त में शून्यों की संख्या केवल सम संख्या होती है।

प्रश्न 3.
संख्या और उनके वर्गों के लिए सारणी 1(वर्ग संख्याओं के गुणधर्म) देखिए। सम संख्याओं के वर्गों एवं विषम संख्याओं के वर्गों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
हल:
सारणी 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि –

1. सम संख्याओं के वर्ग सदैव सम होते हैं।
2. विषम संख्याओं के वर्ग सदैव विषम होते हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.5)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किन संख्याओं के वर्ग विषम संख्या/सम संख्या होंगे? क्यों?

1. 727
2. 158
3. 269
4. 1980

हल:

1. ∴ संख्या 727 एक विषम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगी।
2. ∴ संख्या 158 एक सम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग सम संख्या होगी।
3. ∴ संख्या 269 एक विषम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगी।
4. ∴ संख्या 1980 एक सम संख्या है, अतः इस संख्या का वर्ग सम संख्या होगी।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग में शून्यों की संख्या क्या होगी?

1. 60
2. 400

हल:

1. संख्या 602 में दो शून्य होंगे।
2. संख्या 4002 में चार शून्य होंगे।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 100

प्रश्न 1.
क्या तुम कह सकते हो कि 6² और 7² के बीच कितनी संख्याएँ हैं?
हल:
हाँ, 6² और 7² के बीच में 2 x 6 = 12 संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.6)

प्रश्न 1.
9² और 10² के बीच कितनी प्राकृत संख्याएँ हैं? 11² और 12² के बीच भी प्राकृत संख्याओं की संख्या बताइए।
हल:
9² और 10² के बीच प्राकृत संख्या = 2 x 9 = 18
अतः 9² और 10² के बीच 18 प्राकृत संख्याएँ हैं।
11² और 12² के बीच 2 x 11 = 22 प्राकृत संख्याएँ हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के युग्मों के बीच की संख्या बताइए जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं –

1. 100² और 101²
2. 90² और 91²
3. 1000 ² और 1001².

हल:

1. 100² और 101² के बीच में 2 x 100 = 200 संख्याएँ हैं, जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
2. 90² और 91² के बीच में 2 x 90 = 180 संख्याएँ हैं, जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
3. 1000² और 1001² के बीच में 2 x 1000 = 2000 संख्याएँ हैं, जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 101

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.7)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक पूर्ण वर्ग । संख्याएँ हैं या नहीं?

1. 121
2. 55
3. 81
4. 49
5. 69.

हल:
1. दी हुई संख्या 121 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 व 21 घटाने पर,

• 121 – 1 = 120
• 120 – 3 = 117
• 117 – 5 = 112
• 112 – 7 = 105
• 105 – 9 = 96
• 96 – 11 = 85
• 85 – 13 = 72
• 72 – 15 = 57
• 57 – 17 = 40
• 40 – 19 = 21
• 21 – 21 = 0.

अर्थात् यहाँ 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21; 121 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं।
∴ 121 पूर्ण वर्ग संख्या है।

2. दी हुई संख्या 55 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, __11, 13 व 15 घटाने पर,

• 55 – 1 = 54
• 54 – 3 = 51
• 51 – 5 = 46
• 46 – 7 = 39
• 39 – 9 = 30
• 30 – 11 = 19
• 19 – 13 = 6
• 6 – 15 = – 9.

यह दर्शाता है कि हम 55 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिख सकते हैं।
∴ 55 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

2. दी हुई संख्या 81 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 घटाने पर,

• 81 – 1 = 80
• 80 – 3 = 77
• 77 – 5 = 72
• 72 – 7 = 65
• 65 – 9 = 56
• 56 – 11 = 45
• 45 – 13 = 32
• 32 – 15 = 17
• 17 – 17 = 0

अर्थात् यहाँ 81 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
∴ 81 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं। अतः 81 पूर्ण वर्ग संख्या है।

4. यहाँ दी हुई संख्या 49 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7,9, 11, 13 घटाने पर,

• 49 – 1 = 48
• 48 – 3 = 45
• 45 – 5 = 40
• 40 – 7 = 33
• 33 – 9 = 24
• 24 – 11 = 13
• 13 – 13 = 0

अर्थात् 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
49 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं।
∴ 49 पूर्ण वर्ग संख्या है।

5. यहाँ, दी हुई संख्या = 69 है। इसमें से क्रमागत 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 घटाने पर,

• 69 – 1 = 68
• 68 – 3 = 65
• 65 – 5 = 60
• 60 – 7 = 53
• 53 – 9 = 44
• 44 – 11 = 33
• 33 – 13 = 20
• 20 – 15 = 5
• 5 – 17 = -12

यह दर्शाता है कि हम 69 को 1 से प्रारम्भ करके सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिख सकते हैं।
∴ 69 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.8)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को दो क्रमागत पूर्णांकों के योग के रूप में लिखिए –

1. 21²
2. 13²
3. 11²
4. 19².

हल:
हम किसी भी विषम संख्या के वर्ग को दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

1. 21² = 441 = 220 + 221
अत: 21 के वर्ग को हम दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों 220 और 221 के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
(∴ \(\frac { 21^{ 2 }-1 }{ 2 } \) = 220 तथा 2\(\frac { 21^{ 2 }-1 }{ 2 } \)= 221)

2. 13² = 169 = 84 + 85
अतः 13 के वर्ग को हम दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों 84 और 85 के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
(∴ \(\frac { 13^{ 2 }-1 }{ 2 } \) = 84 तथा \(\frac { 13^{ 2 }-1 }{ 2 } \)= 85)

3. 11² = 121 = 60 + 61
अतः 11 के वर्ग को हम दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों 60 और 61 के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
(∴ \(\frac { 11^{ 2 }-1 }{ 2 } \) = 60 तथा 1\(\frac { 11^{ 2 }-1 }{ 2 } \) = 61)

4. 19² = 361 = 180 + 181
अतः 19 के वर्ग को हम दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों 180 और 181 के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
(∴ \(\frac { 19^{ 2 }-1 }{ 2 } \) = 180 तथा 1\(\frac { 19^{ 2 }-1 }{ 2 } \) = 181)

प्रश्न 2.
क्या आप सोचते हैं कि इसका विलोम सत्य है अर्थात् क्या दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग एक पूर्ण वर्ग होता है? अपने उत्तर के पक्ष में अपने एक उदाहरण दीजिए।
हल:
इसका विलोम सत्य नहीं हैं। दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्ण वर्ग नहीं होता है।
उदाहरणार्थ – 11 + 12 = 23.

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 102

वर्ग संख्याओं के कुछ और प्रतिरूप प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.9)

प्रश्न 1.
उपरोक्त प्रतिरूप का उपयोग करते हुए वर्ग संख्याएँ लिखिए –

1. 111111²
2. 1111111².

हल:
दिए हुए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए –

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.10)

प्रश्न 1.
उपर्युक्त प्रतिरूप का उपयोग करते हुए क्या आप निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कर सकते हैं?

1. 6666667²
2. 66666667²

हल:
प्रतिरूप

MP Board Class 8th Maths Solutions