MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए –

हल:
1. 32² = (30 + 2)² = (30 + 2) (30 + 2)
= 30 (30 + 2) + 2 (30 + 2)
= 30² + 30 x 2 + 2 x 30 + 2²
= 900 + 60 + 60 +4
अतः 32² = 1024

2. 35² = (30 + 5)² + (30 + 5) (30 + 5)
= 30 (30 + 5) + 5 (30+ 5)
= 30² + 30 x 5 + 5 x 30 + 5²
= 900 + 150 + 150 + 25
अतः 35² = 1225

3. 86² = (80 + 6)² = (80 + 6) (80 + 6)
= 80 (80 + 6) + 6 (80 + 6)
= 80² + 80 x 6 + 6 x 80 + 6²
= 6400 + 480 + 480 + 36
अतः 86² = 9396

4. 93² = (90 + 3)² = (90 + 3) (90 + 3)
= 90 (90 + 3)+ 3 (90 +3)
= 90² + 90 x 3 + 3 x 90 + 3²
= 8100 + 270 + 270 + 9
अतः 93² = 8649

5. 71² = (70 + 1)² = (70 + 1) (70 + 1)
= 70 (70 + 1) + 1 (70 + 1)
= 70² + 70 x 1 + 1 x 70 + 12
= 4900 + 70 + 70 + 1
अतः 71² = 5041

6. 46² = (40 + 6) = (40 + 6) (40 + 6)
= 40 (40 + 6) + 6 (40 + 6)
= 40² + 40 x 6 + 6 x 40 + 62
= 1600 + 240 + 240 + 36
अतः 46² = 2116

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य

हल:
1. m = 3 रखने पर,
2m = 6, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8
और m² + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10
अतः पाइथागोरस त्रिक = 6, 8 और 10 हैं।

2. m = 7 रखने पर,
2m = 14, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
और m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
अतः पाइथागोरस त्रिक = 14, 48 और 50 हैं।

3. m = 8 रखने पर,
2m = 16, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
और m² + 1 = 82 + 1 = 64 + 1 = 65
अंतः पाइथागोरस त्रिक = 16, 63 और 65 हैं।

5. m = 9 रखने पर,
2m = 18, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
और m² + 1 = 92 + 1 = 81 + 1 = 82
अतः पाइथागोरस त्रिक = 18, 80 और 82 हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 106

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.12)

प्रश्न 1.

11² = 121, 121 का वर्गमूल क्या है?
14² = 196, 196 का वर्गमूल क्या है?

हल:

क्योंकि 11² = 121, अतः 121 का वर्गमूल 11
क्योंकि 14² = 196, अतः 196 का वर्गमूल 14 है।

सोचिए चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.1)

प्रश्न 1.
(-1)² = 1, क्या 1 का वर्गमूल है-1?
हल:
हाँ, 1 का वर्गमूल – 1 है।

प्रश्न 2.
(-2)² = 4, क्या 4 का वर्गमूल है -2?
हल:
हाँ, 4 का वर्गमूल – 2 है।

प्रश्न 3.
(-9)² = 81, क्या 81 का वर्गमूल है -9?
हल:
हाँ, 81 का वर्गमूल -9 है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 107

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.13)

प्रश्न 1.
1 से प्रारम्भ होनेवाली विषम संख्याओंको बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग हैं तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

हल:
121 से हम 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाते हैं –
1.

121 – 1 = 120,
120 – 3 = 117
117 – 5 = 112
112 – 7 = 105
105 – 9 = 96
96 – 11 = 85
85 – 13 = 72
72 – 15 = 57
57 – 17 = 40
40 – 19 = 21
21 – 21 = 0.

संख्या 121 में से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 11 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः संख्या 121 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 11 है।
\(\sqrt { 121 } \) = 11

2. संख्या 55 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

55 – 1 = 54
54 – 3 = 51
51 – 5 = 46
46 – 7 = 39
39 – 9 = 30
30 – 11 = 19
19 – 13 = 6
6 – 15 = – 9.

यह दर्शाता है कि संख्या 55 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता हैं। अतः 55 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

3. संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

36 – 1 = 35
35 – 3 = 32
32 – 5 = 27
27 – 7 = 20
20 – 9 = 11
11 – 11 = 0

संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर, 6 वाँ पद शून्य प्राप्त होता है। अतः संख्या 36 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 6 है। \(\sqrt { 36 } \) = 6

4. संख्या 49 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

49 – 1 = 48
48 – 3 = 45
45 – 5 = 40
40 – 7 = 33
33 – 9 = 24
24 – 11 = 13
13 – 13 = 0.

संख्या 49 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 7 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 7 है। \(\sqrt { 49 } \) = 7

5. संख्या 90 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

90 – 1 = 89
89 – 33 = 86
86 – 5 = 81
81 – 73 = 74
74 – 9 = 65
65 – 11 = 54
54 – 13 = 41
41 – 15 = 26
26 – 17 = 9
9 – 19 = – 10

यह दर्शाता है कि संख्या 90 को 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः 90 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।