Prasanna

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cosec θ + cot θ = p, तो सिद्ध कीजिए कि \(\cos \theta=\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\)
हल :
\(\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\)


इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}=\tan \theta+\cot \theta\)
हल :
LHS =

= tan θ + cot θ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}\)
हल :
LHS =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\sec \theta+\tan \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\)
हल :
LHS =

LHS = \(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\) = RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta\)
हल :
LHS =

= secθ – tanθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\csc \theta-\cot \theta\)
हल :
LHS =

= cosecθ – cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}=\csc \theta+\cot \theta\)
हल :
LHS =

= cosecθ + cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{1+\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{2}{\sin A}=2 \csc A\)
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{\tan A}{1+\sec A}-\frac{\tan A}{1-\sec A}=2 \csc A\)
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
यदि tanA = 3/4 तो सिद्ध कीजिए कि sin A cos A = \(\frac { 12 }{ 25 }\)
हल :
चूँकि tan A = 3/4 = p/b
p = 3 एवं b = 4
⇒ \(h=\sqrt{p^{2}+b^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
L.H.S. = sin A. cos A = \(\frac{3}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{12}{25}\)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि:
(sin α + cos α) (tan α + cot α) = sec α + cosec α.
हल:
L.H.S. = (sin α + cos α) (tan α + cot α)


LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि : (√3 + 1) (3 – cot 30°) = tan³ 60° – 2 sin 60°.
हल:
L.H.S. = (√3 +1) (3 – cot 30°)
= (√3 + 1) (3 – √3)
= 3 √3 – 3 + 3 – √3
= 2√3
R.H.S. = tan³ 60° – 2 sin 60°
= (√3) – 2 (√3/2)
= 3 √3 – √3
= 2√3
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि :
\(1+\frac{\cot ^{2} \alpha}{1+\csc \alpha}=\csc \alpha\)
हल :
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि : tanθ + tan (90° – θ) = sec θ. sec (90° – θ).
हल :
L.H.S. = tanθ + tan (90° – 0)
= tan θ + cot θ
= sin θ/cos θ + cos θ/sin θ
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\)
= sec θ cosec θ
= sec θ. sec (90° – θ)[ ∵ sec (90° – θ) = cosec θ]
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि √3 tanθ = 1 हो तो sin²θ – cos²θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ √3 tanθ = 1 ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
तब sin²θ – cos²θ = sin² 30° – cos² 30

अतः sin²θ – cos²θ का अभीष्ट मान = \(-\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 9.
सरल कीजिए :
(1 + tan²θ) (1 – sin θ) (1 + sin θ).
हल :
(1 + tan²θ) (1 – sin θ) (1 + sin θ).

अतः अभीष्ट सरल मान = 1 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि : \(\frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}=1\)
हल:
L.H.S. =

= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि : tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ.
हल :
L.H.S. = tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
= (sec² θ – 1) (sec² θ) [∴ 1 + tan² θ = sec² θ]
= sec⁴ θ – sec² θ
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए :
sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1.
हल :
हम जानते हैं कि
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (sin²θ + cos²θ)³ = (1)³ = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1. [∴ sin² θ + cos² θ = 1]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि :
(sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ = 2
हल:
L.H.S. = (sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ
= [(sin²θ + cos²θ) (sin²θ – cos²θ) + 1] x cosec²θ
= (sin²θ – cos²θ + 1) x cosec²θ
= sin²θ cosec²θ – cos²θ cosec²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + 1 + cot²θ)
= 2 (∵ sin²θ cosec²θ = 1, cos²θ cosec²θ = cot²θ)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
(secθ + tanθ) (1 – sinθ) को सरल कीजिए।
हल:
(secθ + tanθ) (1 – sinθ)

अत: अभीष्ट मान = cosθ है।

प्रश्न 15.
निम्न सर्वसमिका सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\csc A}{\csc A-1}+\frac{\csc A}{\csc A+1}=2 \sec ^{2} A\)
हल:
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित कथनों में सत्य/असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) \(\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}}=1\)
(ii) (cos² 23° – sin² 67°) का मान धनात्मक है।
(iii) \(\sqrt{\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \sec ^{2} \theta}=\tan \theta\)
(iv) (tanθ + 2) (2 tanθ + 1) = 5 tanθ + sec²θ
(v) sinθ + cosθ का मान सदैव 1 से बड़ा होता है।
(vi) tan θ (θ < 90°) का मान θ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
(vii) θ का मान बढ़ने पर sinθ की अपेक्षा tanθ का मान तेजी से बढ़ता है।
हल :
(i) कथन सत्य है,
क्योंकि

(ii) कथन असत्य है,
क्योंकि
(cos² 23° – sin² 67°) = cos² 23° – cos² 23° = 0.

(iii) कथन सत्य है,
क्योंकि

(iv) कथन असत्य है,
क्योंकि (tan θ + 2) (2 tan θ + 1) = 2 tan²θ + 4 tan θ + tan θ + 2
= 5 tan θ + 2 (1 + tan²θ)
= 5 tan θ + 2 sec²θ
≠ 5 tan θ + sec²θ.

(v) कथन असत्य है, क्योंकि θ = 0° के लिए sin θ + cos θ = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1.

(vi) कथन सत्य है, क्योंकि tan 0 = 0, tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) , tan 45° = 1, tan 60° = √3.

(vii) कथन सत्य है,
क्योंकि
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
जब θ का मान बढ़ता है तो sin θ का मान बढ़ता है लेकिन cos θ का मान घटता है, इसलिए tan θ का मान तेजी से बढ़ता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cos A = \(\frac { 4 }{ 5 }\), तो tan A का मान है :
(a) 3/5
(b) 3/4
(c) 4/3
(d) 5/3.
उत्तर:
(b) 3/4

प्रश्न 2.
यदि sin A = \(\frac { 1 }{ 2 }\), तब cot A का मान होगा :
(a) √3
(b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) 1.
उत्तर:
(a) √3

प्रश्न 3.
cosec (75° + θ) – sec (15° – θ)]- tan (55° + θ) + cot (35° – θ) का मान है :
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) 3/2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac { a }{ b }\) हो तो cosθ का मान होगा :
(a) \(\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
(b) \(\frac { b }{ a }\)
(c) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)
(d) \(\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)

प्रश्न 5.
यदि cos 9α = sin α एवं 9α. < 90°, तब tan 5α का मान होगा :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(b) √3
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 6.
\(\left(\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}+\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \cdot \sin 27^{\circ}\right)\) का मान होगा :
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 7.
यदि 4 tanθ = 3 तब \(\left[\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}\right]\) का मान है :
(a) 2/3
(b) 1/3
(c) 1/2
(d) 3/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 8.
यदि sinθ – cosθ = 0, तब (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है :
(a) 1
(b) 3/4
(c) 1/2
(d) 1/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 9.
sin (45° + θ) – cos (45° – θ) का मान है :
(a) 2 cosθ.
(b) 0
(c) 2 sinθ
(d) 1.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 10.
(sin 30° + cos 30°)-(sin 60° + cos 60°) का मान है:
(a) -1.
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 11.
tan 30°/ cot 60° का मान है:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(c) √3
(d) 1.
उत्तर:
(d) 1.

प्रश्न 12.
(sin 45° + cos 45°) का मान है :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(b) √2
(c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) 1.
उत्तर:
(b) √2

प्रश्न 13.
sin²20° + cos²20° का मान होगा :
(a) 0
(b) 1
(c) tan² 20°
(d) cot² 20°.
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{\csc ^{2} \theta}+\frac{1}{\sec ^{2} \theta}\) का मान होगा:
(a) 1
(b) 0
(c) sin²θ
(d) cos²θ.
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 15.
sin² 40° + cos² 40° का मान है :
(a) 40
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 16.
\(\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}\) का मान है :
(a) sin θ
(b) cos θ
(c) tan θ
(d) – cos θ.
उत्तर:
(a) sin θ

प्रश्न 17.
tan 45° का मान होगा:
(a) 0
(b) 45
(c) 1
(d) -1.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 18.
sin (90° – θ) का मान है :
(a) sinθ
(b) cosθ
(c) – cosθ
(d) – sinθ.
उत्तर:
(b) cosθ

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. \(\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}\) का मान ……. होगा।
2. \(\frac{\cot 59^{\circ}}{\tan 31^{\circ}}\) का मान ………….. होगा।
3. (cosec 90° – θ) का मान ………… होगा।
4. \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\) का मान …………. होगा।
5. 1 + tan²θ = …………
6. sec (90° – θ) का मान ………… होता है।
उत्तर-
1. sinθ,
2. 1,
3. sec θ,
4. tan θ,
5. sec²θ,
6. cosec²θ.

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1. →(c),
2. →(d),
3. →(a),
4. →(b).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(e),
5.→(d).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(f),
6.→(e).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(e),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a)
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. tan (90° – θ) = cotθ
2. sin² θ + cos² θ = – 1
3. \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\sec \theta\)
4. sec²θ – 1 = tan²θ
5. sin 60° + cos 60° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
6. cosec θ = \(\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}\)
7. sin 12° cos 78° + cos 12° sin 78° = 2
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य
6. सत्य,
7. असत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 1 + tan²θ का मान लिखिए।
2. 1 + cot²θ का मान लिखिए।
3. sin²θ + cos²θ का मान लिखिए।
4. cos 0° का मान लिखिए।
5. sin (90° – θ) का मान लिखिए।
6. cos (90° – θ) का मान लिखिए।
7. tan (90° – θ) का मान लिखिए।
8. sin θ / cosθ का मान क्या होगा ?
उत्तर-
1. sec²θ,
2. cosec²θ,
3. 1 (एक),
4. 1 (एक),
5. cos θ,
6. sin θ,
7. cote θ
8. tan θ.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3, -5), (5, 2)
हल :
(i) माना A (2, 3), B (-1,0) एवं C (2,-4)
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [2 (0 + 4) + (-1) (-4 – 3) + (2) (3 – 0)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [2 (4) + (-1) (-7) + 2 (3)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 + 7 + 6]
= 21
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 21 }{ 2 }\) वर्ग मात्रक है।

(ii) जहाँ A (-5, – 1), B (3, -5), C (5, 2)
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-5 (-5-2) + 3 (2 + 1) + 5 (-1 + 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-5 (-7) + 3 (3) + 5 (4)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [35 + 9 + 20]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 64
= 32
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु सरेख हों :
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल :
हम जानते हैं कि तीन बिन्दु सरेख हों तो उनसे निर्मित त्रिभुज (यद्यपि त्रिभुज बनेगा नहीं) का क्षेत्रफल शून्य होगा। यहाँ A (7, -2), B (5, 1), C (3, k)
(i) चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [7 (1 – k) + 5 (k + 2) + 3 (-2-1)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [7 – 7k + 5k + 10 – 9] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8-2k] = 0
2k = 8
k = \(\frac { 8 }{ 2 }\)
= 4
अतः k का अभीष्ट मान = 4 है।

(ii) यहाँ A (8, 1), B (k, – 4), C (2,-5)
चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 (-4 + 5) + k (-5-1) + 2 (1 + 4)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 (1) + k (-6) + 2 (5)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 – 6k + 10] = 0
6k = 18
k = \(\frac { 18 }{ 6 }\) = 3
अतः k का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दिए हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A (0,- 1), BC (2, 1) एवं C (0, 3) है। यदि इनकी भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E एवं F हों तो

D (1,0), E (1, 2) एवं F (0, 1)
चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 (1 – 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 – 1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 (-2) + 2 (4) + 0 (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 + 8 + 0]
= 4 वर्ग इकाई

एवं ar (DEF) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 + 1 + 0]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2
= 1 वर्ग इकाई
\(\frac { ar(DEF) }{ ar(ABC) } =\frac { 1 }{ 4 } \)
ar (DEF) : ar (ABC) = 1 : 4
अतः दिए त्रिभुज के मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक एवं इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात 1:4 है।

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (- 4,- 2), (- 3, – 5), (3,- 2) और (2, 3) हैं।
हल :
मान लीजिए चतुर्भुज ABCD के शीर्ष क्रमशः A (-4, -2), B (-3, -5), C (3, -2) और D (2, 3)
क्षेत्र. (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-5 + 2) + (-3) (-2 + 2) + 3 (-2 + 5)]
क्षेत्र. (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-3) – 3 (0) + 3 (3)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 0 + 9]
= \(\frac { 21 }{ 2 }\) वर्ग मात्रक
क्षेत्र. (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-2 – 3) + 3 (3 + 2) + 2 (-2 + 2)]
क्षेत्र. (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-5) + 3 (5) + 2 x 0]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [20 + 15 + 0]
= \(\frac { 35 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (ABC) + क्षेत्रफल (ADC)
क्षेत्रफल (ABCD) = \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{56}{2}\)
= 28 वर्ग मात्रक
अतः, दिए हुए चतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9 उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष (4,-6), B (3,-2) और C (5, 2) हैं।
हल :
दिया है ∆ABC के शीर्षों A (4, -6), B (3, – 2) और C (5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D (x, y) है तो

अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, – 2)
ar (ADB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 – 0)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 + 16 – 18]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (24 – 18)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6
= 3 वर्ग मात्रक
एवं ∆ADC में A (4, -6), D (4, 0) एवं C (5, 2) हैं
ar (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (0 – 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 – 0)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 + 32 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-6]
= -3 वर्ग मात्रक
लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक
ar (ADB) = ar (ADC)
अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अच्छी तरह से फेंटी गयी एक ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता
(i) हुकुम का पत्ता या एक इक्का है।
(ii) एक काले रंग का बादशाह है।
(iii) न तो गुलाम है और न ही बादशाह है।
(iv) या तो बादशाह है या बेगम है।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 52
(i) हुकुम का पत्ता या एक इक्का होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) एक काले रंग का बादशाह होने के अनुकूल परिणाम

(iii) न तो गुलाम है और न ही बादशाह होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(iv) या तो बादशाह या बेगम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 4 }{ 13 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 26 }\). (iii) \(\frac { 11 }{ 13 }\) एवं (iv) \(\frac { 2 }{ 13 }\) हैं।

प्रश्न 2.
संख्याओं 1, 2, 3 तथा 4 में से कोई संख्या x यादृच्छया चुनी गयी तथा संख्याओं 1, 4, 9 तथा 16 में से कोई संख्या y यादृच्छया चुनी गयी। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि x तथा y का गुणनफल 16 से कम है।
हल :

∵ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 4 x 4 = 16
एवं 16 से कम गुणनफल होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = 8

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 3.
दो विभिन्न पासों को एक साथ फेंका गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्राप्त संख्याओं का
(i) योगफल सम होगा और
(ii) गुणनफल सम होगा।
हल :
(i)

सम्भावित पूर्ण परिणामों की संख्या = n(S₁) = 6 x 6 = 36
योगफल सम आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₁) = 18

(ii)

यहाँ सम्पूर्ण परिणामों की संख्या = n(S₂) = 6 x 6 = 36
एवं गुणनफल सम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या
n(E₂) = 27.

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\) एवं (ii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) हैं।

प्रश्न 4.
एक जार में केवल लाल, नीली तथा नारंगी रंग की गेंदें हैं। यादृच्छया एक लाल रंग की गेंद के निकलने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 4 }\) है। इसी प्रकार उसी जार से यादृच्छया एक नीली गेंद निकलने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है। यदि नारंगी रंग की कुल गेंदें 10 हैं, तो बताइए कि जार में कुल कितनी गेंदें हैं।
हल :
मान लीजिए कि जार में कुल गेंदें = n(S) = x हैं। दिया है P(R) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
P(B) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
n (O) = नारंगी रंग की कुल गेंदें की संख्या = 10
चूँकि P (O) + P (R) + P (B) = 1


अतः जार में कुल गेंदों की संख्या = 24 है।।

प्रश्न 5.
तीन विभिन्न सिक्के एक साथ उछाले गए। निम्न के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) केवल 2 चित
(ii) कम-से-कम दो चित
(ii) कम-से-कम दो पट।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम S = (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)
n(S) = 8
(i) केवल 2 चित आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₁) = 3

(ii) कम-से-कम दो चित आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₂) = 4

(iii) कम-से-कम दो पट आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₃) = 4

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 6.
एक थैले में 15 सफेद तथा कुछ काली गेंदें हैं। यदि थैले में से काली गेंद निकालने की प्रायिकता एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता की तीन गुनी हो, तो थैले में काली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि काली गेंदों की संख्या n(B) = x है
तथा सफेद गेंदों की संख्या n(B) = 15 दी गयी है
गेंदों की कुल संख्या n(S) = n(S) + n(W)
n(S) = (x + 15)
प्रश्नानुसार, P(B) = 3 × P(W) (दिया है)

x = 3 × 15 = 45
अतः थैले में काली गेंदों की अभीष्ट संख्या = 45 है।

प्रश्न 7.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, उनके ऊपर आने वाले अंकों का योग निम्न होने की प्रायिकता क्या होगी?
(i) 7?
(ii) अभाज्य संख्या ?
(iii) 1?
हल:

कुल सम्भावित परिणामों का योग n(S) = 6 x 6 = 36
(i) 7 योग आने के अनुकूल परिणामों का योग = n(E₁) = 6

(ii) योग एक अभाज्य संख्या आने के अनुकूल परिणामों का योग n(E₂) = 15

(iii) योग 1 आने की अनुकूल परिणामों की संख्या n (E₃) = 0

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 6 }\), (ii) \(\frac { 5 }{ 12 }\) एवं (ii) 0 हैं।

प्रश्न 8.
द्रो पासे एक साथ फेंके जाते हैं तथा उनके ऊपर आने वाले अंकों के गुणनफल लिखे जाते हैं। गुणनफल 9 से कम होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :

कुल सम्भावित परिणामों का योग = n (S) = 36
9 से कम गुणनफल के अनुकूल परिणामों का योगफल
= n(E) = 16

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 4 }{ 9 }\) है।

प्रश्न 9.
दो पासों के फलकों पर अंक क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6 एवं 1, 1, 2, 2, 3, 3 अंकित हैं वे साथ-साथ फेंके जाते हैं तथा उन पर आने वाले अंकों के योग लिख लिए जाते हैं। योग 2 से 9 तक प्रत्येक के आने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल:

कुल परिणामों की संख्या = n(S) = 36

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 10.
एक 52 पत्तों की तास की गड्डी से चिड़ी के बादशाह, बेगम एवं गुलाम के पत्ते निकालकर शेष गड्डी को अच्छी तरह से फेंट दिया जाता है। इनमें से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है तो इसकी प्रायिकता क्या होगी कि खींचा गया पत्ता :
(i) एक पान का पत्ता हो?
(ii) एक बादशाह हो?
(iii) एक चिड़ी का पत्ता हो?
(iv) पान का 10 हो?
हल :
चिड़ी के तीन पत्ते निकाल देने पर बचे हुए कुल पत्तों की संख्या = 52 – 3 = 49 = n(S)
(i) पान के पत्ते के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) शेष बादशाहों की संख्या

(iii) चिड़ी के शेष पत्तों की संख्या

(iv) पान के दहले (10) की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 13 }{ 49 }\) (ii) \(\frac { 3 }{ 49 }\), (iii) \(\frac { 10 }{ 49 }\) एवं (iv) \(\frac { 1 }{ 49 }\) हैं।

प्रश्न 11.
52 पत्तों की एक तास की गड्डी में से सभी बादशाह, बेगम एवं गुलाम निकाल दिए गए हैं। शेष पत्तों में को अच्छी तरह फेंट दिया जाता है और तब उनमें से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। प्रत्येक इक्के का मूल्य 1 मानकर इसी प्रकार शेष पत्तों के मूल्यों को ध्यान में रखकर इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड का मूल्य
(i) 7 हो,
(ii) 7 से बड़ा हो,
(iii) 7 से छोटा हो।
हल :
सभी 4 बादशाहों, 4 बेगमों एवं 4 गुलामों को तास की गड्डी से निकाले जाने के बाद गड्डी के पत्तों की कुल संख्या = n(S) = 52 – 4 x 3 = 52 – 12 = 40.
(i) 7 अंक वाले कुल पत्तों की संख्या

(ii) 7 से बड़े पत्ते 8, 9 एवं 10 में प्रत्येक के 4-4 पत्ते हैं इस प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या

(iii) 7 से छोटे पत्ते, 1, 2, 3, 4, 5 एवं 6 में प्रत्येक के 4-4 पत्ते हैं इस प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : क्रमशः (i) \(\frac { 1 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 3 }{ 10 }\) एवं (iii) \(\frac { 3 }{ 5 }\) हैं।

प्रश्न 12.
एक बच्चे के एक खेल में 8 पीस त्रिभुज हैं जिनमें 3 नीले तथा शेष लाल हैं एवं 10 पीस वर्ग हैं जिनमें 6 नीले एवं शेष लाल हैं। उनमें से यकायक एक पीस खो जाता है। इस बात की
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खोने वाला पीस है
(i) त्रिभुज
(ii) वर्ग
(iii) नीले रंग का वर्ग
(iv) लाल रंग का त्रिभुज।
हल :
8 त्रिभुजों में = 3 नीले त्रिभुज + शेष 5 लाल त्रिभुज
एवं 10 वर्गों में = 6 नीले वर्ग + शेष 4 लाल वर्ग
कुल पीसों की संख्या = n(S) = 8 + 10 = 18
(i) कुल त्रिभुजों की संख्या

(ii) कुल वर्गों की संख्या

(iii) कुल नीले वर्गों की संख्या

(iv) कुल लाल त्रिभुजों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 4 }{ 9 }\), (ii) \(\frac { 5 }{ 9 }\), (iii) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (iv) \(\frac { 5 }{ 18 }\) हैं।

प्रश्न 13.
एक खेल का प्रवेश शुल्क Rs 5 है। इस खेल में एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। यदि एक या दो चित आते हैं तो स्वेता अपना प्रवेश शुल्क वापस पा लेती है। यदि वह तीन चित दिखाती है तो वह अपने प्रवेश शुल्क का दूना प्राप्त करती है। अन्यथा वह अपना प्रवेश शुल्क खो देती है। तीन बार सिक्का उछालने पर निम्न की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि स्वेता
(i) अपना प्रवेश शुल्क खो देती है।
(ii) अपने प्रवेश शुल्क का दुगना वापस पाती है।
(iii) अपने प्रवेश शुल्क ही वापस पाती है।
हल :
सिक्के को तीन बार उछालने के कुल परिणाम हैं : (HHH), (HTH), (HHT), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT) = n(S) = 8
(i) एक भी चित नहीं अर्थात् तीनों पट आने पर स्वेता अपना प्रवेश शुल्क खो देती है अतः तीनों पट आने के कुल परिणामों की संख्या

(ii) अपने प्रवेश शुल्क का दुगना प्राप्त करने के लिए उसे तीन चित लाने हैं अतः तीन चित आने ‘, के परिणामों की कुल संख्या

(iii) केवल अपना प्रवेश शुल्क प्राप्त करने के लिए उसे एक या दो चित लाने हैं और इसके परिणामों की कुल संख्या

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) हैं।

प्रश्न 14.
टेलीफोन के एक लॉट में 48 मोबाइल फोन हैं जिनमें 42 ठीक हैं, 3 में मामली खराबी है तथा 3 में अधिक बड़ी खराबी है। वर्गिका एक फोन खरीदेगी यदि यह बिल्कुल ठीक होगा लेकिन व्यापारी एक फोन तभी खरीदेगा जब उसमें अधिक बड़ी खराबी नहीं होगी। एक फोन यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि वह फोन
(i) वर्गिका के चयन के योग्य हो?
(ii) व्यापारी के चयन के योग्य हो?
हल :
कुल फोनों की संख्या = n(S) = 48
(i) वर्गिका के चयन के योग्य फोन अर्थात् बिल्कुल ठीक फोनों की कुल संख्या = n(E) = 42

(ii) व्यापारी के चयन योग्य फोनों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) \(\frac { 7 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 16 }\) हैं।

प्रश्न 15.
एक मेले में 1000 कार्डों पर क्रमशः 1 से 1000 संख्या (प्रत्येक पर एक संख्या) अंकित है। इन कार्यों को एक बक्से में रखा गया है। प्रत्येक खिलाड़ी यादृच्छिक एक कार्ड खींच सकता है और वह कार्ड पुनः बक्से में नहीं डाला जाता है। यदि चयनित कार्ड एक पूर्ण वर्ग संख्या है जो कि 500 से बड़ी है तो खिलाड़ी पुरस्कार जीत जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) प्रथम खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है?
(ii) दूसरा खिलाड़ी पुरस्कार तब जीतता है जबकि पहला खिलाड़ी इस पुरस्कार को जीतता है?
हल :
(i) कार्डों की कुल संख्या = n(S) = 1000
500 से अधिक एवं 1000 से कम पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं : 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 हैं
n(E₁) = 9

(ii) जब प्रथम खिलाड़ी जीतता है तो एक पूर्ण वर्ग का कार्ड कुल कार्डों में से कम हो जाता है अतः शेष पूर्ण वर्ग कार्डों की संख्या = n (E₂) = 9 – 1 = 8
एवं कुल कार्डों की संख्या भी एक कम हो जायेगी।
n(S₂) = 1000 – 1 = 999

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) 0.009 एवं (ii) \(\frac { 8 }{ 999 }\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। निम्न को प्राप्त करने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए :
(i) दोनों पासों पर समान संख्याएँ।
(ii) दोनों पासों पर भिन्न-भिन्न संख्याएँ।
हल :
कुल परिणाम = n(S) = 6 x 6 = 36
(i) समान अंकों वाले परिणाम होंगे (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) एवं (6, 6)

(ii) निम्नलिखित संख्याओं वाले परिणाम

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 6 }\), (ii) \(\frac { 5 }{ 6 }\)

प्रश्न 2.
दो पासे एक साथ फेंके गए हैं। इसकी क्या प्रायिकताएँ हैं कि पासों पर आये अंकों का गुणनफल हो :
(i) 12
(ii) 7.
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = n(S) = 6 x 6 = 36
(i) दो अंकों का गुणनफल 12 की सम्भावनाएँ हैं : (2 x 6), (6 x 2), (3 x 4), (4 x 3)

एवं (ii) दो अंकों का गुणनफल (7) होने की सम्भावनाएँ हैं शून्य

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 9 }\) एवं (ii) 0 हैं।

प्रश्न 3.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। सम्भव परिणामों को लिखिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए निम्न प्राप्त करने के लिए :
(i) सभी चित
(ii) कम-से-कम दो चित।
हल :
सम्भावित परिणाम = (TTT), (TTH), (THT), (HTT), (HHH), (HHT), (HTH), (THH),
⇒ परिणामों की पूर्ण संख्या = n(S) = 8
(i) सभी चित होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) कम-से-कम दो चित होने के अनुकूल परिणाम हैं : (HHH), (HHT), (HTH), (THH)

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 4.
एक थैले में 10 लाल, 5 नीली एवं 7 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इस गेंद के निम्न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल गेंद,
(ii) हरी गेंद,
(iii) नीली गेंद नहीं।
हल :
कुल बॉलों की संख्या = n(S) = 10 + 5 + 7 = 22
(i) लाल गेंदों की संख्या = n(R) = 10

(ii) हरी गेंदों की संख्या = n(G) = 7

(iii) नीली गेंद न होने की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 11 }\) (ii) \(\frac { 7 }{ 22 }\) एवं (iii) \(\frac { 17 }{ 22 }\) हैं।

प्रश्न 5.
0 एवं 100 के बीच एक पूर्णांक का चयन किया जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह पूर्णांक :
(i) 7 से विभाज्य हो?
(ii) 7 से विभाज्य न हो?
हल :
0 एवं 100 के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या = n(S) = 99
(i) 7 से विभाज्य संख्याएँ 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 एवं 98

(ii) 7 से अभाज्य कुल संख्याओं की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 14 }{ 99 }\) एवं (ii) \(\frac { 85 }{ 99 }\) हैं।

प्रश्न 6.
एक बॉक्स में 100 कार्ड जिन पर संख्या 2 से 101 तक अंकित हैं, रखे गए हैं। एक कार्ड उनमें से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर
(i) एक सम संख्या है।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
हल :
कार्डों की कुल संख्या = n(S) = 101 – 1 = 100
(i) सम संख्याएँ हैं : 2, 4, 6, 8, …., 98, 100

(ii) वर्ग संख्याएँ है : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (ii) \(\frac { 9 }{ 100 }\) हैं।

प्रश्न 7.
24 बल्बों के एक कार्टून में 6 बल्ब खराब हैं। यादृच्छिक रूप से एक बल्ब निकाला जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह बल्ब खराब नहीं है? यदि निकाला गया बल्ब खराब है और यह पुनः कार्टून में नहीं डाला गया है एवं एक दूसरा बल्ब फिर यादृच्छिक रूप से शेष बल्बों में से निकाला जाता है तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह बल्ब खराब है?
हल :
चूँकि 24 बल्बों में 6 बल्ब खराब हैं अतः शेष ठीक बल्बों की संख्या = n(E₁) = 24 – 6 = 18
एवं कुल बल्बों की संख्या = n(S₁) = 24

यदि पहले निकाला गया बल्ब खराब है एवं उसे पुनः कार्टन में नहीं डाला गया है तो कार्टून में कुल खराब बल्बों की संख्या n(S₂) = 24 – 1 = 23
एवं खराब बल्बों की संख्या = n(E₂) = 6 – 1 = 5

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 23 }\) हैं। .

प्रश्न 8.
एक पासे के 6 (छ:) पृष्ठों पर क्रमशः 0, 1, 1 ,1, 6 एवं 6 अंकित हैं। इस प्रकार के दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं एवं कुल योग को लिख लिया जाता है।
(i) कितने विभिन्न स्कोर प्राप्त होते हैं?
(ii) कुल योग 7 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:

(i) कुल 6 प्रकार के स्कोर (0, 1, 2, 6, 7, 12) प्राप्त होते हैं।
(ii) कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 36
7 प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = 12

अतः, अभीष्ट (i) 6 प्रकार के स्कोर प्राप्त होते हैं एवं (ii) 7 प्राप्त होने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।

प्रश्न 9.
एक थैले में 24 गेंदें हैं जिनमें x लाल, 2x सफेद एवं 3x नीली हैं। इनमें से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चयनित की जाती है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह गेंद
(i) लाल नहीं है?
(ii) सफेद है?
हल :
कुल गेंदें = x + 2x + 3x = 24 ⇒ 6x = n(S) = 24


अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(P(\overline{R})=\frac{5}{6}\) एवं \(P(W)=\frac{1}{3}\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो भिन्न पासों को एक साथ उछाला गया। दोनों पासों के ऊपरी तलों पर आई संख्याओं का गुणनफल 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 6 x 6 = 36
गुणनफल 6 आने के सम्भावित परिणाम (2 x 3), (3 x 2), (1 x 6), (6 x 1)
n(6) = 4

अतः अभीष्ट प्रायिकता P(6) = \(\frac { 1 }{ 9 }\) है।

प्रश्न 2.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी ताश की गड्डी में से यादृच्छया एक पत्ता निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल रंग का है और न ही एक बेगम है।
हल :
चूँकि कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = कुल पत्तों की संख्या = n(S) = 52
चूँकि निकाला गया पत्ता न तो लाल रंग का है और न ही बेगम है अर्थात् निकाला गया पत्ता बेगम रहित काले रंग का पत्ता है अतः सम्भावित परिणामों की कुल संख्या = n(E) = 26 – 2 = 24

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 6 }{ 13 }\) है।

प्रश्न 3.
900 सेबों के एक ढेर में से यादृच्छया एक सेब चुनने पर सड़ा हुआ सेब निकलने की प्रायिकता 0.18 है। ढेर में सड़े हुए सेबों की संख्या क्या है?
हल :
चूँकि कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = ढेर के कुल सेबों की संख्या = n(S) = 900
मान लीजिए सड़े हुए सेबों की संख्या = n(E) = x है तथा चुना हुआ सेब सड़ा होने की प्रायिकता
P(E) = 0.18 (दी है)

x = 900 × 0.18
= 162.
अतः सड़े हुए अभीष्ट सेबों की संख्या = 162 है।

प्रश्न 4.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = (H, H), (H, T) (T, H), (T, T) ⇒ n(S) = 4
कम-से-कम एक चित आने के सम्भावित परिणाम = (H, H), (H, T), (T, H) ⇒ n(E) = 3

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 3 }{ 4 }\) है।

प्रश्न 5.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पासों पर आने वाले अंकों का अन्तर 2 हो।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 36
अन्तर 2 होने के सम्भावित परिणाम (3, 1), (1, 3), (4, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 3) (4, 6), (6, 4)
n(E) = 8

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 9 }\) है।

प्रश्न 6.
आंग्ल भाषा की वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। चुना गया अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
आंग्ल भाषा में उपस्थित समस्त अक्षरों की कुल संख्या = n(S) = 26
व्यंजनों की कुल संख्या = n(C) = 26 – 5 = 21

अत: अभीष्ट प्रायिकता P(C) = \(\frac { 21 }{ 26 }\) है।

प्रश्न 7.
एक बक्से में 1000 सील किए हुए लिफाफे हैं। उनमें से 10 पर नकद पुरस्कार Rs 100 का अंकित है, 100 पर Rs 50 का पुरस्कार एवं 200 पर Rs 10 का पुरस्कार अंकित है। शेष पर कोई भी नकद पुरस्कार नहीं है। उन लिफाफों को अच्छी तरह से फेंटकर मिला दिया जाता है और एक लिफाफा यादृच्छया निकाला जाता है तो उस लिफाफे को बिना नकद पुरस्कार वाला लिफाफा होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :
कुल लिफाफों की संख्या = n(S) = 1000
नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की कुल संख्या = n(E) = 10 + 100 + 200 = 310
बिना नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0.69 है।

प्रश्न 8.
एक बक्से A में 25 स्लिप हैं जिनमें से 19 पर Rs 1 अंकित है तथा शेष पर Rs 5 अंकित है। दूसरे बक्से B में 50 स्लिप हैं जिनमें से 45 पर Rs 1 अंकित है तथा शेष पर Rs 13 अंकित है। दोनों बक्सों की सभी स्लिपों को एक तीसरे बक्से में डालकर अच्छी तरह मिला दिया जाता है। इनमें से एक स्लिप को यादृच्छया निकाला जाता है तो इसकी प्रायिकता क्या होगी कि निकाली गयी स्लिप पर Rs 1 अंकित न हो।
हल :
कुल स्लिपों की संख्या = n(S) = 25 + 50 = 75
Rs 1 अंकित स्लिपों की संख्या = n (Rs 1) = 19 + 45 = 64
Rs 1 अंकित न होने वाली स्लिपों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकता

है।

प्रश्न 9.
किसी परिस्थिति में यदि केवल दो ही सम्भावनाएँ हैं तो प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी। क्या यह सत्य है या असत्य और क्यों ?
हल :
असत्य है, क्योंकि प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) तभी सम्भव है जबकि दोनों सम्भावनाएँ सम-सम्भावी हैं।

प्रश्न 10.
एक परिवार में तीन बच्चे हैं उनमें से कोई भी लड़की न हो एक लड़की हो, दो लड़कियाँ हों या तीन लड़कियाँ हों, तो प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 4 }\) होगी। क्या यह सत्य है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि सम्भावनाएँ सम-सम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 11.
एक खेल में एक घूमने वाली सुई जो घूमते हुए किसी एक क्षेत्र (1, 2 या 3) में आ कर रुक जाती है (देखिए संलग्न आकृति)। क्या परिणाम 1, 2 एवं 3 सम-समभावी घटना है?

हल :
नहीं, सम-सम्भावी नहीं है क्योंकि घटना 3 अन्य से अधिक सम्भावी है।

प्रश्न 12.
अपूर्व दो पासों को एक साथ फेंकता है तथा उनके पृष्ठ पर अंकित अंकों के गुणनफल की गणना करता है। पीहू एक पासे को फेंकती आकृति : 15.5 है और उस पर आये अंक के वर्ग का परिकलन करती है। परिणाम 36 प्राप्त करने का अच्छा अवसर किसे प्राप्त होगा? और क्यों? कारण बताइए।
हल :
पीहू को अच्छा अवसर मिलेगा क्योंकि अपूर्व को 36 प्राप्त करने भी प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 36 }\) है जबकि
पीहू को 36 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\) = \(\frac { 6 }{ 36 }\) है।

प्रश्न 13.
जब हम एक सिक्के को उछालते हैं तो वहाँ दो सम्भावनाएँ हैं-चित या पट। इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता होगी \(\frac { 1 }{ 2 }\) अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
हाँ, प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी क्योंकि दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी हैं।

प्रश्न 14.
एक विद्यार्थी कहता है कि जब तुम एक पासे को फेंकते हो तो दो ही सम्भावनाएँ हैं कि 1 आयेगा या 1 नहीं आयेगा। इसलिए ‘1 प्राप्त करने की प्रायिकता एवं 1 नहीं प्राप्त करने की प्रायिकता प्रत्येक \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी। क्या यह सत्य है? कारण बताइए।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि ‘1 आने की सम्भावना एवं ‘1 न आने की सम्भावना सम-सम्भावी नहीं है अर्थात्
P(1) = \(\frac { 1 }{ 6 }\) एवं \(P(\overline{1})=\frac{5}{6}\) .

प्रश्न 15.
मैं तीन सिक्कों को एक साथ उछालता हूँ तो सम्भावित परिणाम होंगे कोई चित नहीं,’ ‘एक चित’ ‘दो चित’ ‘तीन चित’ इसलिए मैं कहता हूँ कि कोई चित न आने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 4 }\) है। इस निर्णय में क्या गलती है?
हल :
हाँ, सभी सम्भावनाएँ सम-सम्भावी नहीं हैं क्योंकि कोई चित नहीं (TTT) जबकि एक चित (HTT),
(THT) एवं (TTH) …… इसी प्रकार कुल 8 सम्भावनाएँ हैं अतः P(TTT) = \(\frac { 1 }{ 8 }\).

प्रश्न 16.
यदि आप एक सिक्के को 6 बार उछालते हैं और हर बार ऊपर चित आता है। क्या आप कह सकते हैं कि चित आने की प्रायिकता 1 होगी? कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि ‘चित’ या ‘पट’ आने की घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं। इसका कोई मतलब नहीं कि आपने इतने कम उछाल में क्या प्राप्त किया है।

प्रश्न 17.
सुषमा एक सिक्के को तीन बार उछालती है और हर बार पट प्राप्त करती है। क्या आप सोचते हैं कि अगली उछाल में भी पट ही आयेगा? कारण दीजिए।
हल :
नहीं, यह चित भी हो सकता है और पट भी क्योंकि प्रत्येक उछाल में दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं।

प्रश्न 18.
यदि मैं एक सिक्के को तीन बार उछालता हूँ और हर बार चित पाता हूँ। क्या मैं अगले चौथे उछाल में पट आने की अधिक सम्भावना कर सकता हूँ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
हल :
नहीं, चौथे उछाल में पट आने की अधिक सम्भावना नहीं कर सकते, क्योंकि दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं।

प्रश्न 19.
एक थैले में 1 से 100 तक अंक लिखी स्लिप हैं। यदि फातिमा यादच्छया एक स्लिप चनती है तो यह या तो विषम अंक होगा या सम अंक होगा। चूँकि इस स्थिति में केवल दो सम्भावनाएँ हैं इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी। औचित्य दीजिए।
हल :
हाँ, दोनों सम्भावनाएँ सम-सम्भावी हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि एक घटना घटित नहीं हो सकती तो इसकी प्रायिकता होगी :
(a) 1
(b) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) 0.
उत्तर:
(d) 0.

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(b) 0.1
(c) 3%
(d) \(\frac { 17 }{ 16 }\)
उत्तर:
(d) \(\frac { 17 }{ 16 }\)

प्रश्न 3.
एक घटना असम्भावी है तो इसकी प्रायिकता निम्न के निकटस्थ होगी :
(a) 0.0001
(b) 0.001
(c) 0.01
(d) 0.1.
उत्तर:
(a) 0.0001

प्रश्न 4.
यदि किसी घटना की प्रायिकता p है तो इसकी पूरक घटना की प्रायिकता होगी :
(a) p – 1
(b) p
(c) 1 – p
(d) 1 – \(\frac { 1 }{ p }\)
उत्तर:
(c) 1 – p

प्रश्न 5.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता प्रतिशत में दी गई है। यह कभी नहीं हो सकती :
(a) 100 से कम
(b) शून्य से कम
(c) एक से अधिक
(d) कोई भी लेकिन एक पूर्ण संख्या।
उत्तर:
(b) शून्य से कम

प्रश्न 6.
यदि P(A) किसी घटना A की प्रायिकता को प्रदर्शित करती है, तो :
(a) P(A) < 0 (b) P(A) > 1.
(c) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(d) – 1 ≤ P(A) ≤ 1.
उत्तर:
(c) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 7.
52 ताश के पत्तों की गड्डी में से एक कार्ड (पत्ते) का चयन किया गया। इस पत्ते का लाल फोटो वाला पत्ता होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 3 }{ 26 }\)

प्रश्न 8.
इसकी प्रायिकता कि लीप वर्ष के अतिरिक्त अन्य वर्षों में यादृच्छया चयनित वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 1 }{ 7 }\)

प्रश्न 9.
जब एक पासा फेंका जाता है तो 3 से कम विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 1 }{ 6 }\)

प्रश्न 10.
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। घटना E पान का इक्का नहीं होने की घटना है तो E के अनुकूल घटनाओं की संख्या होगी :
(a) 4
(b) 13
(c) 48
(d) 51.
उत्तर:
(d) 51.

प्रश्न 11.
400 अण्डों के एक लॉट से एक खराब अण्डा प्राप्त करने की प्रायिकता 0.035 है तो उस लॉट में खराब अण्डों की संख्या होगी :
(a) 7
(b) 14
(c) 21
(d) 28.
उत्तर:
(b) 14

प्रश्न 12.
एक लड़की गणना करती है कि एक लॉटरी में उसके प्रथम पुरुस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकटों की बिक्री हुई हो तो उसको कितने टिकट खरीदने होंगे?
(a) 40
(b) 240
(c) 480
(d) 750.
उत्तर:
(c) 480

प्रश्न 13.
क्रमांक 1 से 40 अंक अंकित टिकटों में से एक टिकट यादृच्छया खींची गयी। उस टिकट पर 5 का गुणक अंक होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 1 }{ 5 }\)

प्रश्न 14.
एक व्यक्ति से 1 से 100 तक के अंकों में से एक अंक सोचने के लिए कहा गया। इसके अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(c) \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 15.
एक स्कूल में पाँच समूह हैं A, B, C, D एवं E एक कक्षा में 23 विद्यार्थी हैं, 4 समूह A से, 8 समूह B से, 5 समूह C से, 2 समूह D से और शेष समूह E से। एक अकेला विद्यार्थी यादृच्छया चयनित किया जाता है जिसे कक्षा का मॉनीटर बनाना है। इस बात की प्रायिकता कि चयनित विद्यार्थी समूह A, B एवं C से न हो, है:

उत्तर:
(b) \(\frac { 6 }{ 23 }\)

प्रश्न 16.
निम्न में से कौन-सी किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है?
(a) – 0.04
(b) 1.004
(c) \(\frac { 18 }{ 23 }\)
(d) \(\frac { 8 }{ 7 }\)
उत्तर:
(c) \(\frac { 18 }{ 23 }\)

प्रश्न 17.
अच्छी तरह से फेंटे गए 52 पत्तों की ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। इस पत्ते का फोटो वाला पत्ता होने की प्रायिकता है :

उत्तर:
(a) \(\frac { 3 }{ 13 }\)

प्रश्न 18.
एक थैले में 3 लाल गेंदें, 5 सफेद गेंदे और 7 काली गेंदें हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यादृच्छया खींची गयी गेंद न तो लाल होगी और न ही काली?

उत्तर:
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)

प्रश्न 19.
एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता होगी :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(-\frac { 1 }{ 3 }\)
उत्तर:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. सभी सम्भव प्रायिकताओं का योग सदैव ……. होता है।
2. एक साथ घटित न होने वाली घटनाएँ …… घटनाएँ कहलाती हैं।
3. यादृच्छिक प्रयोग में सभी सम्भव परिणामों का समुच्चय ……… कहलाता है।
4. प्रतिदर्श समष्टि का प्रत्येक उप-समुच्चय उसकी एक ……… है।
5. किसी असम्भव घटना की प्रायिकता ……… होती है।
6. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकता का योग ……… है। (2019)
उत्तर-
1. 1 (एक),
2. परस्पर अपवर्जी,
3. प्रतिदर्श समष्टि,
4. घटना,
5. शून्य (0),
6. एक (1).

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4. →(a),
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. किसी घटना की प्रायिकता एक से अधिक भी हो सकती है।
2. एक पासे को फेंकने पर उसके फलक पर 7 आने की प्रायिकता शून्य (0) होती है।
3. किसी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक भी हो सकती है।
4. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता का मान एक होता है।
5. एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता एक होती है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. किसी घटना के घटित होने की सम्भावनाओं का परिमाण बोधक या संख्यात्मक निरूपण क्या कहलाता है?
2. असम्भव घटना की प्रायिकता क्या होगी?
3. निश्चित घटना की प्रायिकता लिखिए।
4. घटना ‘E’ की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ का मान होता है। (2019)
उत्तर-
1. प्रायिकता,
2. 0 (शून्य),
3. 1 (एक),
4. 1 (एक)।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण चेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल:

अतः प्रति घर माध्य पौधों की अभीष्ट संख्या = 8.1 पौधे है।
हमने प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया क्योंकि f_i एवं x_i के संख्यात्मक मान बहुत कम हैं।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

अत: अभीष्ट माध्य दैनिक मजदूरी = Rs 545.20 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च Rs 18 है। लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए।

हल:

अतः f का अभीष्ट मान = 20 है।

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गयी और उनके हृदय स्पन्दन (beats) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाये अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गयी। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए इन महिलाओं के हृदय स्पन्दन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :


अतः हृदय स्पन्दनों की प्रति मिनट अभीष्ट माध्य संख्या = 75.9 है।

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल:

अतः आमों की अभीष्ट माध्य संख्या = 57.19 है।
हमने पद (वर्ग) विचलन विधि का प्रयोग किया है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुए माध्य व्यय को निकालिए।
हल :


अतः भोजन पर हुआ अभीष्ट माध्य व्यय = Rs 211 है।

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाई ऑक्साइड (SO₂) की सान्द्रता (मान प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए एक नगर के 30 मोहल्लों में आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः SO₂ की अभीष्ट सान्द्रता का माध्य = 0.099 ppm है।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (Record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उसका माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

अतः विद्यार्थी के अनुपस्थित दिनों का अभीष्ट माध्य = 12.475 है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

हल:

अतः अभीष्ट माध्य साक्षरता दर = 69.43% है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्मों को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14; x – y = 4
(ii) s – t = 3; \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = 6
(iii) 3x – y = 3; 9x – 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.33; 0.4x + 0.5y = 2.3
(v) \(\sqrt { 2 }\) x + \(\sqrt { 3 }\) y = 0; \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 8 }\) y = 0
(vi) \(\frac { 3x }{ 2 } \) – \(\frac { 5y }{ 3 } \) = -2; \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \)
हल:
(i) चूँकि
x + y = 14 ….(1)
एवं x – y = 4 ….(2)
समीकरण (2) से x का मान x = y + 4 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
y + 4 + y = 14 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5
एवं x = y + 4 = 5 + 4 = 9
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 9 एवं y = 5 है।

(ii) चूँकि s – t = 3 ….(1)
एवं \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = 6 ….(2)
समीकरण (1) से s = t + 3 समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
\(\frac { t+3 }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = 6 ⇒ 2t + 6 + 3t = 36
⇒ 5 t = 30 ⇒ t = \(\frac { 30 }{ 5 } \) = 6
एवं s = t + 3 = 6 + 3 = 9
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल s = 9 एवं t = 6 है।

(iii) चूँकि 3x – y = 3
एवं 9x – 3y = 9
समीकरण (1) से y = 3x – 3 समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
9x – 3 (3x – 3) = 9 ⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9 जो x से रहित समीकरण है
इसलिए x के सभी मानों के लिए सत्य है।
अतः उक्त समीकरण युग्म के अभीष्ट हल अनन्तशः अनेक हैं :

(iv) चूंकि 0.2x + 0.3y = 1.3 ….(1)
एवं 0.4x + 0.5y = 2.3 ….(2)
⇒ 2x + 3y = 13 ….(3)
[दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर]
एवं 4x + 5y = 23
समीकरण (3) से x = \(\frac { 13-3y }{ 2 } \) समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

अतः उक्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 3 है।

(v) चूँकि \(\sqrt { 2 }\)x + \(\sqrt { 3 }\) y = 0 …(1)
एवं \(\sqrt { 3 }\)x – \(\sqrt { 8 }\) y = 0 ….(2)
समीकरण (1) से x = \(=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) करण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

अतः उक्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 0 एवं y = 0 है।

(vi) चूँकि \(\frac { 3x }{ 2 } \) – \(\frac { 5y }{ 3 } \) = -2 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ….(2)
⇒ 9x – 10y = -12 ….(3)
[दोनों समीकरणों को 6 से गुणा करने पर]
एवं 2x + 3y = 13 ….(4)
समीकरण (4) से, x = \(\frac { 13-3y }{ 2 } \) समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

अतः उक्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 3 है।

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल:
चूँकि 2x + 3y = 11 ….(1)
एवं 2x – 4y = – 24 ….(2)
समीकरण (2) से x = 2y – 12 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
2 (2y – 12) + 3y = 11 ⇒ 4y – 24 + 3y = 11
⇒ 7y = 11 + 24 = 35 ⇒ y = \(\frac { 35 }{ 7 } \) = 5
एवं x = 2y – 12 = 2 × 5 – 12 = 10 – 12 = -2
अत: दत्त समीकरणों का अभीष्ट हल x = -2 एवं y = 5 है।
अब चूँकि y = mx + 3
⇒ 5 = m (-2) + 3 (x एवं y के मान रखने पर)
⇒ 2 m = 3 – 5 = -2 ⇒ m = \(\frac { -2 }{ 2 } \) = -1
अत: m का अभीष्ट मान = -1 है।

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो सम्पूरक कणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले एवं प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है, तथा 15 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह ” हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह – हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
(i) मान लीजिए अभीष्ट संख्याएँ x एवं y हैं और x > y तो प्रश्नानुसार,
x – y = 26 …(1) एवं x = 3y …(2)
अब समीकरण (2) सेx का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = \(\frac { 26 }{ 2 } \) = 13
एवं x = 3y = 3 × 13 = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ क्रमशः 39 एवं 13 हैं।

(ii) मान लीजिए कि दो अभीष्ट सम्पूरक कोण x एवं y हैं और x > y तो प्रश्नानुसार,
x + y = 180 ….(1) (सम्पूरक कोणों का योग = 180°)
एवं x – y = 18 ….(2)
समीकरण (2) से x = 18 + y समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
18 + y + y = 180 ⇒ 2y = 180 – 18 = 162
⇒ y = \(\frac { 162 }{ 2 } \) = 81
एवं x = 18 + y = 18 + 81 = 99
अतः अभीष्ट कोण क्रमश: 99° एवं 81° हैं।

(iii) मान लीजिए एक बल्ले का मूल्य ₹x एवं एक गेंद का मूल्य ₹y है तो प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 …..(1)
एवं 3x + 5y = 1750 …..(2)
समीकरण (2) से x = \(\frac { 1750-5y }{ 3 } \) समीकरण (1) में रखने पर,

अतः बल्ले एवं गेंद का अभीष्ट मूल्य क्रमशः ₹ 500 एवं ₹50 प्रति नग हैं।

(iv) मान लीजिए कि नियत भाड़ा ₹ x एवं प्रति km भाड़े की दर ₹ y है, तो प्रश्नानुसार,
x + 10y = 105 ….(1)
एवं x + 15y = 155 ….(2)
अब समीकरण (1) से x = 105 – 10y समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
105 – 10y + 15y = 155 ⇒ 10y + 15y = 155 – 105
⇒ 5y = 50 ⇒ y = \(\frac { 50 }{ 5 } \) = ₹ 10
एवं x = 105 – 10y = 105 – 10 × 10 = 105 – 100 = ₹5
अतः अभीष्ट नियत भाड़ा ₹ 5 एवं प्रति km भाड़े की दर ₹10 है।

(v) मान लीजिए कि भिन्न का अभीष्ट अंश x एवं हर y है, तो अभीष्ट भिन्न = \(\frac { x }{ y } \) है।
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { x+2 }{ y+2 } \) = \(\frac { 9 }{ 11 } \)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x – 9y = 18 – 22 = – 4 ….(1)
एवं \(\frac { x+3 }{ y+3 } \) = \(\frac { 5 }{ 6 } \)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18 = -3
समीकरण (2) से x = \(\frac { 5y-3 }{ 6 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :

(vi) मान लीजिए जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है
तो प्रश्नानुसार, (x + 5) = 3 (y + 5)
⇒ x – 3y = 15 – 5 = 10 ….(1)
एवं (x – 5) = 7 (y – 5)
⇒ x – 7y = – 35 + 5 = -30 ….(2)
समीकरण (2) से x = 7y – 30 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
7y – 30 – 3y = 10
⇒ 7y – 3y = 10 + 30.
⇒ 4y = 40 ⇒ y = \(\frac { 40 }{ 4 } \) = 10 वर्ष
एवं x = 7y – 30 = 7 × 10 – 30 = 70 – 30 = 40 वर्ष
अतः जैकब की अभीष्ट वर्तमान आयु = 40 वर्ष एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न. 1
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
यहाँ x₁ = – 1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = – 3, m₁ = 2, m₂ = 3

अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3) है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बिन्दुओं A (4, – 1) एवं B (- 2, – 3) को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB है। P (x’, y’ ) एवं Q (x”, y”) ऐसे दो बिन्दु हैं जो दिए रेखाखण्ड AB को समत्रिभाजित करते हैं।
चूँकि P के लिए m₁ = 1 एवं m₂ = 2 हैं

चूँकि Q के लिए m₁ = 2 एवं m₂ = 1 हैं।

अतः दी हुए रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दु क्रमश: \(\left(2, \frac{-5}{3}\right)\) एवं \(\left(0, \frac{-7}{3}\right)\) हैं।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 7.3 में दिया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac { 1 }{ 4 }\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं MT पंक्ति में AD का \(\frac { 1 }{ 5 }\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो, तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना
चाहिए?
हल :

हरे झण्डे के स्थिति निर्देशांक
G(2, \(\frac { 100 }{ 4 }\)) अर्थात् G (2, 25) एवं लाल झण्डे के स्थिति निर्देशांक R (8, \(\frac { 100 }{ 5 }\)) अर्थात् R (8, 20) हैं। मान लीजिए रश्मि नीला झण्डा B (x,y) पर गाड़ती है जो GR रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु है।


अतः हरे एवं लाल झण्डे के बीच की अभीष्ट दूरी = √61 m एवं रश्मि अपना नीला झण्डा 5वीं पंक्ति में 22.5 m की दूरी पर गाड़ेगी।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (- 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल :
मान लीजिए बिन्दु (-1, 6) दिए रेखाखण्ड को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है एवं रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (- 3, 10) एवं (6, – 8) हैं।
चूँकि

⇒ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
⇒ 6m₁ + m₁ = 3m₂ – m₂
⇒ 7m₁ = 2m₂
⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\)
⇒ m₁ : m₂ = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7 है।

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : बिन्दु A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड AB को x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) मान लीजिए m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः अभीष्ट अनुपात 1 : 1 एवं विभाजक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{-3}{2}, 0\right)\) हैं।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए समान्तर चतुर्भुज ABCD के निर्देशांक क्रमशः A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) एवं D (3, 5) हैं तो समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण से विकर्ण AC एवं BD परस्पर बिन्दु O पर द्विभाजित करते हैं।
⇒ AC के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक = BD के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक

अतः x एवं’ के अभीष्ट मान क्रमशः 6 एवं 3 हैं।

प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं।
हल :
मान लीजिए बिन्दु A के निर्देशांक (x, y) हैं तब केन्द्र के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) से.
⇒ \(\frac { x+1 }{ 2 }\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
⇒ \(\frac { y+4 }{ 2 }\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 6 – 4 = – 10
अत: A के अभीष्ट निर्देशांक (3,-10) है।

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो। हल :
चूँकि AP = \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB तथा बिन्दु P रेखाखण्ड AB पर है
BP = AB – \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB = \(\frac { 4 }{ 7 }\) AB
बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है तथा A (-2, – 2) और B (2, -4) दिए हैं।
मान लीजिए P के निर्देशांक (x, y) हैं

अतः P के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\) हैं।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:

जैसा कि आकृति 7.4 में दिखाया गया है। मान लीजिए A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः P (x’, y’), Q (x”, y”) एवं R (x”‘,y'”) हैं।
चूँकि यहाँ Q रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है।

Q के निर्देशांक (0, 5) हैं।
अब P रेखाखण्ड AQ का मध्य-बिन्दु है

एवं R रेखाखण्ड QB का मध्य-बिन्दु है

अतः रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः (-1, \(\frac { 7 }{ 2 }\)) (0, 5) एवं (1, \(\frac { 13 }{ 2 }\)) हैं।

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष क्रम में (3,0), (4, 5), (-1,4) और (-2,-1) हैं।
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुज के शीर्ष क्रमशः A (3, 0), B (4, 5), C (-1,4) और D (-2, – 1) दिए हुए हैं।

चूँकि समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AC × BD
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 4√2 x 6√2
= 4 x 6
= 24
वर्ग मात्रक अतः दिए समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई है। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm.
हल :
(i) (7)² = 49, (24)² = 576 एवं (25)² = 625
चूँकि 49 + 576 = 625
(7)² + (24)² = (25)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 25 cm है।

(ii) यहाँ (3)² = 9, (8)² = 64 एवं (6)² = 36.
चूँकि 9 + 36 = 45 ≠ 64 अर्थात् (3)² + (6)² ≠ (8)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iii) यहाँ (50)² = 2,500, (80)² = 6,400 एवं (100)² = 10,000
चूँकि 2,500 + 6,400 = 8900 + 10,000 अर्थात् (50)² + (80)² ≠ (100)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) यहाँ (13)² = 169, (12)² = 144 एवं (5)² = 25
चूँकि 144 + 25 = 169
(12)² + (5)² = (13)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 13 cm है।

प्रश्न 2.
PQR समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM.MR है।
हल :

दिया है समकोण ∆PQR जिसका कोण P समकोण है। इसके समकोण वाले शीर्ष P से कर्ण QR पर लम्ब PM डाला गया है।
∆PMR ~ ∆QMP [प्रमेय 6.7 से]
\(\frac{P M}{Q M}=\frac{M R}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
PM² = QM.MR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.34 में ABD एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
(i) AB = BC.BD
(ii) AC² = BC.DC
(iii) AD² = BD.CD.

हल :
समकोण त्रिभुज ABD में समकोण बनाने वाले शीर्ष A से BD पर लम्ब AC डाला गया है।
∆ACB ~ ∆DCA ~ ∆DAB …(1) [प्रमेय 6.7 से]
(i) ∆ACB ~ ∆DAB [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A B}{B D}=\frac{B C}{A B}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AB² = BC.BD.
इति सिद्धम्

(ii) ∆ACB ~ ∆DCA [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A C}{D C}=\frac{B C}{A C}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AC² = BC.DC.
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA ~ ∆DAB [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AD² = BD.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है। (2019)
हल :

त्रिभुज एक दिया हुआ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠C समकोण है, तथा
BC = AC …(1)
AB² = BC² + AC² …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = AC² + AC²
= 2AC². [समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल :

∵ ∆ABC में, AC = BC एवं AB² = 2AC² दिए हुए हैं।
⇒ AB² = AC² + BC² [∵ AC = BC]
⇒ ∠ACB एक समकोण है [प्रमेय 6.9, पाइथागोरस प्रमेय का विलोम]
अत: ABC एक समकोण त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = BC = CA = 2a
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुजों के शीर्षलम्ब परस्पर बराबर होते हैं तथा सम्मुख भुजाओं को समद्विभाजित करते हैं। समकोण त्रिभुज ADB में ∠D समकोण है [AD ⊥ BC]
तथा कर्ण AB = 2a [दिया है]
BD = a [BD = DC]
अब समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है।
⇒ AD² = AB² – BD² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AD² = (2a)² – (a)²
⇒ AD² = 4a² – a² = 3a²
⇒ AD = √3a² = a√3
अतः दिए हुए समबाहु ∆ABC को प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई = a√3 है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं तथा उसके विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं एवं समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं।
अब समकोण त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 90°
⇒ AB² = AO² + BO² [पाइथागोरस प्रमेय से]
= \(\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+\left(\frac{B D}{2}\right)^{2}\)
[∵ AO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC एवं BO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD]
⇒ AB² = \(\frac { 1 }{ 4 }\)AC² + \(\frac { 1 }{ 4 }\)BD²
⇒ 4AB² = AC² + BD²
⇒ AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² [∵ AB = BC = CD = DA]
अतः एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.39 में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O है, तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ CA और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + OB² + CE² = AE² + CD² + BF²
हल :

दिया है : ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O तथा
OD ⊥ BC, OE ⊥ CA, OF ⊥ AB
रचना : OA, OB और OC को मिलाइए।
(i) ∵ पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OFA में,
OA² – OF² = AF² …(1)
समकोण ∆ODB में,
OB² – OD² = BD² ….(2)
एवं समकोण ∆OEC में,
OC² – OE² = CE² …(3)
OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE² = AF² + BD² + CE²
[समीकरण (1) + (2) + (3) से]
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE² …(4)
इति सिद्धम्

(ii) चूँकि पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OEA में,
OA² – OE² = AE² ….(5)
समकोण ∆OFB में,
OB² – OF² = BF² ….(6)
एवं समकोण ∆ODC में,
OC² – OD² = CD² ….(7)
OA² – OE² + OB² – OF² + OC² – OD² = AE² + BF² + CD²
[समीकरण (5) + (6) + (7) से]
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AE² + CD² + BF² …(8)
AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
[समीकरण (4) एवं (8) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
10 m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

AB एक 10 m लम्बी सीढ़ी है जिसे दीवार BC पर टिकाया गया है। दीवार पर स्थित खिड़की B दीवार पर उसके आधार से 8 m की ऊँचाई तक जाती है। सीढ़ी का निचला सिरा A दीवार के आधार C से AC की दूरी पर है।
अब समकोण ∆BCA में, ∠C = 90°
AC² = AB² – BC² [पाइथागोरस प्रमेय से]
AC² = (10)² – (8)
= 100 – 64
= 36
AC² = √36 = 6 m
अतः सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से अभीष्ट दूरी = 6 m है।

प्रश्न 10.
18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूटे को कितनी दूरी पर गाढ़ा जाए कि तार तना रहे, जबकि तार की लम्बाई 24 m है।
हल :

एक ऊर्ध्वाधर खम्भा AB = 18 m है जो सिरे A से एक तार AC = 24 m से एक खूटे C से जुड़ा है। खम्भे के आधार B से खूटे C की दूरी BC है।
अब समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से, चूँकि
BC² = AC² – AB²
BC² = (24)² – (18)²
BC² = 576 – 324
= 252
BC = √252 = 6√7 m
अतः खूटे की खम्भे के आधार से अभीष्ट दूरी = 6√7 m.

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अण्डे से पश्चिम की ओर 1200 k/hr की चाल से उड़ता है। \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी ?
हल :

पहले हवाई जहाज द्वारा \(1\frac { 1 }{ 2 }\) , घण्टे में उत्तर की ओर चली गई दूरी = \(\frac { 3 }{ 2 }\) x 1000 = 1500 km तथा
दूसरे हवाई जहाज द्वारा \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे में पश्चिम की ओर चली गई दूरी = \(\frac { 3 }{ 2 }\) x 1200 = 1800 km जहाज A और B की स्थिति \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे बाद दूरी की संलग्न आकृति में प्रदर्शित की गई है तथा उनके बीच की दूरी AB है।
चूँकि समकोण त्रिभुज AOB में ∠AOB समकोण है।
AB² = (AO)² + (BO)²
पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = (1500)² + (1800)²
= 2250000 + 3240000
= 5490000
AB = \(\sqrt{5490000}=\sqrt{90000 \times 61}\)
= 300√61 km
अतः दोनों हवाई जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी = 300√61 km है।

प्रश्न 12.
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m है तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके बीच की दूरी 12 m है, तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दो खंभे AB = 6m एवं CD = 11m समतल भूमि पर दूरी BD = 12 m पर स्थित है उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC है। (देखिए संलग्न आकृति 6.43) E से AE ⊥ CD खींचिए।
अब समकोण ∆AEC में,
भुजा AE = BD = 12 m एवं ED = AB = 6 m
एवं CD = 11 m
CE = CD – ED
= 11 m – 6 m
= 5m
अब समकोण ∆AEC में (जहाँ ∠AEC = 90°),
AC² = AE² + CE² [पाइथागोरस प्रमेय से]
AC² = (12)² + (5)²
= 144 + 25
= 169
AC = √169 = 13 m
अतः खम्भों के ऊपरी सिरे के बीच की अभीष्ट दूरी = 13 m है।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।
हल :

दिया है : ABC एक त्रिभुज जिसका ∠C = 90°. इसकी भुजाओं CA एवं CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं।
AE, BD एवं DE को मिलाया गया है।
चूँकि समकोण ∆ACE में, ∠ACE समकोण है
AE² = AC² + EC² ….(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆BCD में, ∠BCD समकोण है
BD² = BC² + DC² …(2) पाइथागोरस प्रमेय से]
AE² + BD² = AC² + BC² + EC² + DC² …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
समकोण ∆ACB में, ∠ACB समकोण है
AB² = AC² + BC² …(4) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆DCE में, ∠DCE समकोण है
DE² = DC² + EC² …(5)
AB² + DE² = AC² + BC² + EC² + DC² …(6) [समीकरण (4) + (5) से]
AE² + BD² = AB² + DE². [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। (देखिए संलग्न आकृति 6.45) सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।
हल :

दिया है : ∆ABC के शीर्ष से शीर्ष लम्ब AD ⊥ BC खींचा गया है जो BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD
DB = \(\frac { 3 }{ 4 }\) BC
तथा CD = \(\frac { 1 }{ 4 }\) BC ….(1)
समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है
AB2 = AD2 + BD2 …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆ADC में, LADC समकोण है
AC² = AD² + CD² …(3) [पाइथागोरस प्रमेय]
AB² – AC² = BD² – CD² [समीकरण (2) – (3) से]
AB² – AC² = (BD + CD) (BD – CD)
= \(B C\left[\frac{3}{4} B C-\frac{1}{4} B C\right]\) [समीकरण (1) से]
AB² – AC² = BC x \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC²
2 AB² – 2AC² = BC²
2AB² = 2 AC² + BC².
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी समाबहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC. सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7 AB² है।
हल :

दिया है : ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा BC पर
बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC
यहाँ AB = BC = CA ….(1)
एवं BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC …(2)
रचना : A से AE ⊥ BC खींचिए।
चूँकि BE = EC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB_…(3)
[∵ BC = AB]
[∵ समबाहु त्रिभुज का शीर्ष लम्ब आधार को समाद्विभाजित करता है।]
⇒ DE = BE – BD = \(\frac{B C}{2}-\frac{B C}{3}\) [समीकरण (3) एवं (2) से]
\(D E=\frac{3 B C-2 B C}{6}=\frac{B C}{6}=\frac{A B}{6}\) …..(4) [∵BC = AB]
∵समकोण ∆AEB में, ∠AEB समकोण है।
⇒ AE² = AB² – BE² ….(5)
∵समकोण ∆AED में, ∠AED समकोण है
⇒ AE² = AD² – DE² …(6)
⇒ AB² – BE² = AD² – DE² …..(7) [समीकरण (5) एवं (6) से]

⇒ 36AB² – 9AB² = 36AD² – AB²
⇒ 36AD² = 36AB² + AB² – 9AB² = 28AB²
⇒ 9AD² = 7AB².
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्ष लम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्षलम्ब AD है जो BC को समद्विभाजित करता है [समबाहु ∆ का शीर्ष लम्ब है]
BD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB …(1)
चूँकि समकोण त्रिभुज ADB में, LADB समकोण है
AB² = AD² + BD² …(2)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = AD² + \(\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}\)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
AB² = AD² + \(\frac{A B^{2}}{4}\)
4AB² = 4AD² + AB²
3AB² = 4AD²
अतः किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए : ∆ABC में AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है तो कोण B है :
(a) 120°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45°.
हल :
सही उत्तर (c) 90° है, क्योंकि
(AB)² = (6√3)² = 108
(AC)² = (12)² = 144
(BC)² = (6)² = 36
⇒ 108 + 36 = 144
⇒ (AB)² + (BC)² = (AC)²
⇒ ∠B = 90° समकोण [पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा]

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

निम्न में से प्रत्येक में रचना का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 cm की दूरी पर स्थिर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हल :

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड OP = 10 cm खींचिए।
2. O की केन्द्र लेकर 6 cm की त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
3. OP का लम्ब अर्द्धक XY खींचिए – जो OP को बिन्दु Q पर समद्विभाजित करता है।
4. Q को केन्द्र लेकर OQ = QP = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को R एवं S बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PR एवं PS को मिलाइए।

अतः यही PR एवं PS अभीष्ट स्पर्श रेखा युग्म है जिनका मापन करने पर प्रत्येक की लम्बाई 8 cm है।
रचना का औचित्य : ∆PRO में चूँकि ∠ORP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो कि त्रिज्या OR के सिरे पर बना कोण है।
अतः PR और इसी प्रकार PS स्पर्श रेखायुग्म है, क्योंकि स्पर्श रेखा और स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या के बीच कोण एक समकोण (90°) होता है।

प्रश्न 2.
4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :

1. O को केन्द्र लेकर दो वृत्त क्रमश: 6 cm एवं 4 cm त्रिज्या के खींचे।
2. 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर कोई बिन्दु P लेकर OP को मिलाइए।
3. OP का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
4. M को केन्द्र लेकर MO = MP के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त को N बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PN को मिलाइए जो बाह्य वृत्त को Q पर प्रतिच्छेद करती है।

यही PN अभीष्ट स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4-4 cm (लगभग) आती है। परिकलन करने पर समकोण ∆ONP में पाइथागोरस प्रमेय से,
PN = \(\sqrt{(O P)^{2}-(O N)^{2}}=\sqrt{(6)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\) = 4.4 cm लगभग
अतः अभीष्ट स्पर्श रेखा PN है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4.4 cm (लगभग) एवं परिकलन करने पर भी 4.4 cm (लगभग)
रचना का औचित्य : चूँकि ∠ONP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो ON त्रिज्या के सिरे पर PN रेखा द्वारा अन्तरित है।
अतः PN, ON त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 3.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल :

1. O को केन्द्र मानकर 3 cm की त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त के एक व्यास MON को दोनों ओर क्रमशः बिन्दु P एवं Q तक इस प्रकार बढ़ाइए कि OP = OQ = 7 cm हो।
3. OP एवं OQ को क्रमशः बिन्दु R और S बिन्दुओं पर समद्विभाजित कीजिए।
4. R एवं S को केन्द्र लेकर क्रमश: RP = RO एवं SQ = SO की त्रिज्याओं से वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को क्रमश: A और B तथा C और D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
5. PA, PB तथा QC, QD को मिलाइए।

अतः यही PA, PB, QC एवं QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि PA, PB, QC एवं QD क्रमशः वृत्त की त्रिज्याओं OA, OB, OC एवं OD के सिरों क्रमश: A, B, C एवं D पर समकोण (90°) बनाते हैं क्योंकि ये अर्द्धवृत्तों के कोण हैं।
अत: PA, PB, QC और QD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हल :

चूँकि हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दुओं से जाने वाली त्रिज्याएँ केन्द्र पर जो कोण बनाती है वह स्पर्श रेखाओं के मध्य बनने वाले कोण का सम्पूरक होता है।
⇒ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्याओं के मध्य कोण = 180° – 60° = 120°
रचना के पद :

1. O को केन्द्र लेकर 5 cm त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त भी एक त्रिज्या OP खींचिए तथा OP के बिन्दु O पर ∠POQ = 120° का कोण बनाती हुई दूसरी त्रिज्या OQ खींचिए।
3. OP एवं OQ के बिन्दु P एवं Q पर क्रमश: ∠OPR = ∠OQR = 90° का कोण बनाते हुए रेखाएँ PR एवं QR खींचिए जो परस्पर बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ RP एवं RQ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : चूँकि RP एवं RQ क्रमशः त्रिज्याओं OP एवं OQ के अन्त्यः बिन्दुओं P एवं Q पर लम्ब हैं (रचना से)। अत: RP एवं RQ स्पर्श रेखाएँ हैं तथा उनके बीच का कोण 60° है (कारण उपरोक्त)।

प्रश्न 5.
8 cm लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त
के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :

रचना के चरण :

1. एक रेखाखण्ड AB = 8 cm खींचिए।
2. A को केन्द्र लेकर 4 cm की त्रिज्या से तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm की त्रिज्या से दो वृत्त खींचिए।
3. AB का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
4. O को केन्द्र लेकर OA = OB की लम्बाई के बराबर त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए जो वृत्तों को क्रमश: P एवं Q तथा R एवं S पर प्रतिच्छेद करता है।
5. BP, BQ, AR एवं AS को मिलाइए।

अत: BP, BQ, AR एवं AS अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : प्रत्येक स्पर्श रेखा संगत वृत्त के स्पर्श बिन्दु पर खींची गयी त्रिज्या पर लम्ब है क्योंकि ये कोण अर्द्धवृत्त के कोण हैं। अतः ये रेखाएँ स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90° हैं। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि ∆ABC एक दिया हुआ समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°, AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा B से AC पर डाला गया लम्ब BD है।
बिन्दुओं B, C, D से होकर एक वृत्त खींचा गया है।
चूँकि वृत्त समकोण ∆BDC का परिवृत्त है, अत: BC •इसका व्यास है और चूँकि AB त्रिज्या OB के बिन्दु B पर लम्ब है इसलिए AB इस वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
A से इस वृत्त पर एक अन्य स्पर्श रेखा खींचनी है और बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती है।
रचना : A को केन्द्र लेकर AB = 6 cm के बराबर त्रिज्या से एक चाप खींचा जो वृत्त को P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है। AP को मिलाइए।
अतः, AB एवं AP अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।
रचना का औचित्य : स्वयं हल में स्पष्ट है।

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (2019)
हल :

रचना के पद :

1. चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का केन्द्र O उचित विधि से ज्ञात PK किया।
3. वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया और OP को मिलाया।
4. OP का लम्ब-अर्द्धक XY खींचा जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
5. M को केन्द्र लेकर MP = MO की त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जो दिए हुए वृत्त को क्रमशः Q और R बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
6. PQ और PR को मिलाइए।

अत: PQ एवं PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : PQ और PR क्रमशः OQ एवं OR त्रिज्याओं के साथ समकोण बनाती हैं क्योंकि अर्द्धवृत्त के कोण हैं।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं का योग ………… है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता …………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा …………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1 (एक),
(ii) 0 (शून्य), असम्भव घटना
(iii) 1 (एक), अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1 (एक),
(v) 0 (शून्य), 1 (एक)।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
हल :
प्रयोग (iii) एवं (iv) के परिणाम सम्प्रायिक या समसम्भावी होंगे, क्योंकि इनकी समान सम्भावनाएँ होंगी।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय, यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित या पट् आने का परिणाम समसम्भावी है। इसलिए यह विधि न्याय संगत है।

प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(b) – 1.5
(c) 15%
(d) 0.7.
हल :
(b)- 1.5, क्योंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक अर्थात् शून्य से कम नहीं हो सकती है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है? (2019)
हल:
\(P(\overline{E})\) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95
जहाँ \(P(\overline{E})\) ‘E नहीं’ की प्रायिकता है।

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गयी गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है,
(ii) नीबू की महक वाली है।
हल :
(i) प्रायिकता 0 (शून्य) होगी, क्योंकि थैले में सन्तरे की महक वाली एक भी गोली नहीं है।
(ii) प्रायिकता 1 (एक) होगी, क्योंकि थैले में सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हों?
हल :
मान लीजिए दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना E और एक ही दिन नहीं होने की घटना \((\overline{E})\) है, तो
चूँकि P(E) = 1 – \(P(\overline{E})\)
P(E) = 1 – 0.992 [\(P(\overline{E})\) = 0.992 (दिया है)]
= 0.008
अतः, दोनों विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की अभीष्ट प्रायिकता = 0.008 है।

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या S = 3 + 5 = 8
अर्थात् प्रयोग के सभी सम्भावित परिणामों की संख्या S = 8
लाल गेंद होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3

(ii) लाल गेंद नहीं होने की प्रायिकता

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 8 }\) हैं।

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या (S) = 17
(i) लाल कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(ii) सफेद कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(iii) हरा कंचा होने के अनुकूल परिणाम \(n\left(E_{G}\right)=4\).
हरा कंचा न होने का परिणाम \(n\left(\overline{E}_{G}\right)=17-4=13\)

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 17 }\), (ii) \(\frac { 8 }{ 17 }\) और (iii) \(\frac { 13 }{ 17 }\) हैं।

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, Rs 1 के 50 सिक्के, Rs 2 के 20 सिक्के और Rs 5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होना?
(ii) Rs 5 का नहीं होगा।
हल :
मान लीजिए
n(E₁) = Rs 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
n(E₂) = Rs 1 के सिक्कों की संख्या = 50
n(E₃) = Rs 2 के सिक्कों की संख्या = 20
n(E₄) = Rs 5 के सिक्कों की संख्या = 10
कुल सिक्कों की संख्या n(S) = n(E₁) + n(E₂) + n(E₃) + n(E₄)
n(S) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 9 }\) एवं (ii) \(\frac { 17 }{ 18 }\) हैं।

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछलियाँ एवं 8 मादा मछलियाँ है, में से एक मछली यादृच्छिक उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गयी मछली नर मछली है।
हल :

कुल मछलियाँ की संख्या n(S) = 5 + 8 = 13.
n(E) = नर मछलियों की संख्या = 5
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{13}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 13 }\) हैं।

प्रश्न 12.
संयोग (Chance) के एक खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :

चूँकि सभी सम्भावित परिणाम S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 एवं 8 हैं
n(S) = 8 है।
(i) n(E₁) = 1 आठ का अंक
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)

(ii) विषम संख्याएँ हैं : E₂ = 1, 3, 5, 7
n(E₂) = 4
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) दो से बड़ी संख्याएँ हैं : E₃ = 3, 4, 5, 6, 7 और 8.
n(E₃) = 6
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : E₄ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8
n(E₄) = 8
\(P(E)_{4}=\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{8}{8}=1\)
अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (iv) 1 हैं।

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या।
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं E₁ = 2, 3, 5
n(E₁) = 3
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 और 6 के बीच संख्याएँ : E₂ = 3, 4, 5
n(E₂) = 3
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) विषम संख्याएँ हैं : E₃ = 1, 3, 5
n(E₃) = 3
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) लाल रंग का बादशाह।
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता।
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता।
(iv) पान का गुलाम।
(v) हुकुम का पत्ता।
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल :
∵ ‘सभी पत्तों की संख्या n(S) = 52
(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या, n(E₁) = 2.

(ii) तस्वीर वाले पत्तों (फेस कार्डों) की संख्या, n(E₂) = 12

(iii) लाल रंग की तस्वीर वाले पत्तों की संख्या, n(E₃) = 6

(iv) पान के गुलाम की संख्या, n(E₄) = 1

(v) हुकुम के पत्तों की संख्या, n(E₅) = 13

(vi) एक ईंट की बेगम n(E₆) = 1

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
(i) चूँकि

(ii) बेगम निकालकर रख दी जाती है तो n(S₂) = 4.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\), (ii) (a) \(\frac { 1 }{ 4 }\) (b) 0 हैं।

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिलाए गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल परिणामों की संख्या n(S) = 12 + 132 = 144
अच्छे पेनों की संख्या n(E) = 132

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 11 }{ 12 }\) है।

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायकिता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) n(S₁) = 20 एवं n(E₁) = 4
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n\left(S_{1}\right)}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

(ii) n(S₂) = 20 – 1 = 19 कुल बल्बों की संख्या
खराब बल्बों की संख्या = 4
जो बल्ब खराब नहीं हैं उनकी संख्या = 19 – 4 = 15 बल्ब
n(E₂) = 15
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n\left(S_{2}\right)}=\frac{15}{19}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 19 }\) हैं।

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 9 संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी,
(i) दो अंकों की संख्या,
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या,
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या?
हल :
कुल सम्भावित घटनाएँ = कुल संख्याएँ, n(S) = 90.
(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 इन 9 (नौ) संख्याओं को छोड़कर शेष सभी संख्याएँ 2 अंकों की होंगी।
n(E₁) = 90 – 9 = 81
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ये 9 (नौ) संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
n(E₂) = 9.
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं-5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 एवं 90.
अर्थात् ये 18 संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं-n(E₃) = 18
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 9 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 10 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 5 }\) हैं।

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है, जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल:
कुल सम्भावित घटनाएँ n(S) = 6
(i) A के अनुकूल घटनाएँ n(E₁) = 2 [∴ A दो बार आया है।]
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) ∵ \(n\left(E_{2}\right)=1 \Rightarrow P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{1}{6}\).
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल :

आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 x 2 = 6 m²
अर्थात् कुल सम्भावनाओं का क्षेत्रफल, n(S) = 6 m²

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\) हैं।

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे, जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप पेन खरीदेंगे?
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे?
हल:
कुल पेनों की संख्या n(S) = 144.
खरीदे जा सकने वाले अच्छे पेनों की संख्या, n(E) = 144 – 20 = 124.
खरीदे नहीं जा सकने वाले खराब पेनों की संख्या, \(n(\overline{E})\) = 20

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 31 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 5 }{ 36 }\)

प्रश्न 22.
उदाहरण 13 को देखिए
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 एवं 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 11 }\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) दी हुई अपूर्ण सारणी को पूर्ण करना :

(ii) हम सहमत नहीं हैं क्योंकि ये 11 परिणाम समसम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल जीत जायेगा, अन्यथा हार जायेगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकल्पित कीजिए।
हल :
कुल सम्भव परिणाम होंगे : (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT)
⇒ n(S) = 8.
यहाँ HTT का अर्थ पहले उछाल में चित, दूसरे में पट और तीसरे में पट घटने वाली घटनाएँ हैं-HHT, HTH, THH, TTH, THT एवं HTT ⇒ n(E) = 6.
अत: घटने की प्रायिकता \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) है।

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आयेगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा?
हल :
एक पासे को दो बार फेंकना अर्थात् दो पासों को एक साथ फेंकना समान प्रयोग है अतः कुल सम्भावनाएँ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4,4), (4, 5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6).
कुल सम्भावनाएँ = n(S) = 36.

(i) 5 एक भी बार न आने की घटना n(E₁) = 25
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{25}{36}\)

(ii) n(E₂) = n(S) – n(E₁) = 36-25 = 11
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{11}{36}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 25 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 11 }{ 36 }\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :
(i) यह कथन सत्य नहीं है, क्योंकि हम इस प्रकार वर्गीकृत तो कर सकते हैं लेकिन ये सम-सम्भावी नहीं हैं। क्योंकि तीसरे केस में पहले पर चित और दूसरे पर पट तथा पहले पर पट और दूसरे पर चित ये दो अलग घटनाएँ हैं। इस प्रकार चार सम्भावनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार परिणामों की प्रायिकता \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\) एवं \(\frac { 1 }{ 2 }\), होती है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-सम्भावी हैं।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (k + 1, 2k), B (3k, 2k + 3) तथा C (5k – 1, 5k) सरेख हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि A, B एवं C सरेख हैं
⇒ ar (ABC) = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [(k + 1) (2k + 3 – 5k)] + (3k) (5k – 2k) + (5k – 1) (2k – 2k – 3) = 0
⇒ (k + 1) (-3k + 3) + (3k) (3k) + (5k – 1) (-3) = 0
⇒ -3k² + 3k – 3k + 3 + 9k² – 15k + 3 = 0
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
⇒ 2k² – 4k – k + 2 = 0
⇒ 2k (k – 2) – 1 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (2k – 1) = 0
या तो k – 2 = 0 ⇒ k = 2
अथवा 2k – 1 = 0 ⇒ k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: k का अभीष्ट मान 2 या \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 2.
k के मान ज्ञात कीजिए, जिससे (1, -1), (-4, 2k) तथा (-k, -5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।
हल :
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 24 वर्ग इकाई (दिया है)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2k + 5) + (-4) (-5 + 1) + (-k)] (-1 – 2k)] = 24
⇒ [(2k + 5) + (-4) (-4) + (-k) (-2k – 1)] = 48
⇒ 2k + 5 + 16 + 2k² + k = 48
⇒ 2k² + 3k + 21 = 48
⇒ 2k² + 3k – 27 = 0
⇒ 2k² + 9k – 6k – 27 = 0
⇒ k(2k + 9) – 3(2k + 9) = 0
⇒ (2k + 9)(k – 3) = 0
या तो 2k + 9 = 0 ⇒ k = \(-\frac { 9 }{ 2 }\)
अथवा k – 3 = 0 ⇒ k = 3
अत: k के अभीष्ट मान = \(-\frac { 9 }{ 2 }\) अथवा 3 हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) तथा C(7, 2) हैं। एक रेखाखण्ड DE भुजाओं AB तथा AC को क्रमशः बिन्दुओं D तथा E पर इस प्रकार काटता हुआ खींचा गया \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) है
∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा उसकी ∆ABC के क्षेत्रफल से तुलना कीजिए।
हल :

चूँकि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) दिया है। अतः बिन्दु D एवं बिन्दु E रेखाखण्ड AB एवं AC को क्रमशः 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

अत: त्रिभुज ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 5 }{ 6 }\) वर्ग इकाई है।
अब ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (5 – 2) + 1 (2 – 6) + 7 (6 – 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (3) + 1 (-4) + 7 (1)]
⇒ ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 4 + 7]
= \(\frac { 15 }{ 2 }\) वर्ग इकाई …(2)
⇒ \(\frac { ar(ADE) }{ ar(ABC) } =\frac { \frac { 5 }{ 6 } }{ \frac { 15 }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9 } \)
अतः ∆ar (ADE) : ar (ABC) = 1:9 है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y), बिन्दुओं P (2, – 2), तथा Q (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? y का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y) रेखाखण्ड PQ को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो


⇒ 33m + 22 = 24m + 24
⇒ 33m – 24m = 24 – 22
⇒ 9m = 2
⇒ m = \(\frac { 2 }{ 9 }\)
अतः अभीष्ट अनुपात = 2:9
अब

अतः y का अभीष्ट मान = \(\frac { -4 }{ 11 }\)

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु P (x,y) बिन्दुओं A (a + b, b – a) तथा B (a – b, a + b) से समदूरस्थ है तो सिद्ध कीजिए bx = ay.
हल :

चूँकि PA = PB (दिया है)

⇒ (x – a – b)² + (y + a – b)² = (x – a + b)² + (y – a – b)² दोनों ओर वर्ग करने पर।
⇒ x² + a + b² – 2xa + 2ab – 2xb + y² + a² + b² + 2ya – 2ab – 2yb
= x² + a² + b² – 2xa – 2ab + 2xb + y² + a² + b² – 2ya + 2ab – 2yb
⇒ x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax – 2bx + 2ay – 2by
= x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax + 2bx – 2ay – 2by
⇒ 4ay = 4bx
⇒ bx = ay
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9,4) समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं, तथा E रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है, तो ∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9, 4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष दिए हैं तथा E बिन्दु, रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है।
ar (∆ADE) ज्ञात करना है।
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
ar (ABC) = ar (ACD) …(1) [विकर्ण समद्विभाजित करते हैं।
चूँकि AE, ∆ACD की माध्यिका है [E, DC का मध्य-बिन्दु है]
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ACD) ….(2)
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) [समीकरण (1) व (2) से]
ar (ADE) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) [6(2 – 4) + 8 (4 – 1) +9 (1 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [6 (-2) + 8 (3)] + 9 (-1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 24 – 9]

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 21]
= \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई
अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
बिन्दु A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) ∆ABC के शीर्ष हैं, तो
(i) यदि A से खींची गयी माध्यिका BC से बिन्दु D पर मिलती है तो बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AP : PD = 2 : 1.
(iii) माध्यिका BE एवं CF पर बिन्दु Q एवं R इस प्रकार स्थित हैं कि BQ : QE = 2 : 1 तो Q एवं R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(iv) त्रिभुज ABC के केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है ∆ABC की माध्यिकाएँ AD, BE एवं CF क्रमशः रेखाखण्ड BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दुओं क्रमश: D, E एवं F पर मिलती हैं। P, Q एवं R बिन्दु क्रमशः माध्यिकाओं AD, BE एवं CF को क्रमशः AP : PD = 2 : 1, BQ : QE = 2 : 1 एवं CR : RF = 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.23)।
A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) निर्देशांक दिए हैं।
(i) चूँकि बिन्दु D रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\)
अतः बिन्द D के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) हैं।

(ii) चूँकि बिन्दु P बिन्दु A (x₁, y₁) एवं D \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iii) बिन्दु E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है।
E के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु F रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।
F के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु , बिन्दु B (x₂, y₂) एवं E \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु Q के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।
चूँकि बिन्दु R बिन्दु C (x₃, y₃) एवं बिन्दु \(F\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।


अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iv) ∆ABC के शीर्ष A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) हैं
∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) (हम जानते हैं)
अत: ∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (x, y), B (-5, 7) तथा C (-4, 5) सरेखीय हों, तो x तथा y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं ⇒ ar (ABC) = 0
\(\frac { 1 }{ 2 }\) [x (7 – 5) + (-5) (5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
2x + y + 3 = 0
अतः x एवं y में अभीष्ट सम्बन्ध 2x + y + 3 = 0 है।

प्रश्न 2.
बिन्दु A (4, 7), B (p, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिसमें B समकोण है। p का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि त्रिभुज ABC बिन्दु B पर समकोण है।
⇒ AB² + BC² = AC² [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ (p – 4)² + (3 – 7)² + (p – 7)² + (3 – 3)² = (4 – 7)² + (7 – 3)²
⇒ p² – 8p + 16 + 16 + p² – 14p + 49 + 0 = 9 + 16
⇒ 2p² – 22p + 56 = 0
⇒ p² – 11p + 28 = 0
⇒ p² – 4p – 7p + 28 = 0
⇒ p (p – 4) – 7 (p – 4) = 0
⇒ (p – 4) (p – 7) = 0
या तो p – 4 = 0 ⇒ p = 4
अथवा p – 7 = 0 ⇒ p = 7
अतः p का अभीष्ट मान या तो 4 है अथवा 7 है।

प्रश्न 3.
एक रेखा y-अक्ष तथा x-अक्ष को क्रमश: P तथा Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि (2, -5) PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P तथा Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि P, y-अक्ष का तथा Q, x-अक्ष का बिन्दु है तो मान लीजिए P(0, Y) तथा Q(x, 0) हैं।
चूँकि (2,-5) PQ का मध्य-बिन्दु हो, तो
\(\frac { x+0 }{ 2 }\) = 2
⇒ x = 4
⇒ Q (4,0)
एवं
\(\frac { y+0 }{ 2 }\) = -5
⇒ y = -10
⇒ P (0, -10)
अत: P एवं ए के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः P (0, – 10) एवं Q (4, 0) हैं।

प्रश्न 4.
यदि P (x, y) की A (5, 1) तथा B (-1, 5) से दूरियाँ समान हों तो सिद्ध कीजिए कि 3x = 2y.
हल :
चूँकि PA = PB दिया है
(PA)² = (PB)²
(x – 5)² + (y – 1)² = (x + 1)² + (y – 5)²
x² – 10x + 25 + y² – 2y + 1 = x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25
-10x – 2x = – 10y + 2y
-12x = – 8y
3x = 2y.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (3, 0), (6, 4) एवं (-1, 3) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
हल :
मान लीजिए ∆PQR के शीर्ष P (3,0), Q (6, 4) एवं R (-1, 3) दिये हैं तो

PQ = RP = √25
एवं PQ² + RP² = 25 + 25 = 50 = (√50)² = QR²
∆PQR समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः दिया हुआ ∆ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
बिन्दु A (-5, 6), B (-4,- 2) और C (7,5) से बने त्रिभुज का प्रकार (प्रकृति) बतलाइए।
हल :

चैंकि AB ≠ BC ≠ CA
अतः दिया हुआ अभीष्ट ∆ABC विषमबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (7,-4) से 2√5 इकाई की दूरी पर हैं। इस प्रकार से कितने बिन्दु होंगे?
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिन्दु (x, 0) है (x-अक्ष पर y शून्य होता है) तो प्रश्नानुसार,
\(\sqrt{(x-7)^{2}+(0+4)^{2}}=2 \sqrt{5}\)
⇒ x² – 14x + 49 + 16 = 20 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 5x – 9x + 45 = 0
⇒ x (x – 5) – 9 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x – 9) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अतः अभीष्ट दो बिन्दु क्रमशः (5,0) एवं (9,0) होंगे।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दुओं A (-3, -14) एवं B (a, -5) के बीच की दूरी 9 इकाई है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ AB = 9 (दिया है)
⇒ \(\sqrt{(a+3)^{2}+(-5+14)^{2}}=9\)
⇒ a² + 6a + 9 + 81 = 81 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ a² + 6a + 9 = 0
⇒ (a + 3)² = 0
⇒ a + 3 = 0
⇒ a = -3
अतः a का अभीष्ट मान -3 है।

प्रश्न 9.
यदि बिन्दु (5, 1), (-2, -3) एवं (8, 2m) सरेखीय हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि दिए हुए बिन्दु सरेखीय हैं अतः उससे बने क्षेत्र का क्षेत्रफल = 0 शून्य होगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [5 (-3 – 2m) + (-2) (2m – 1) + 8 (1 + 3)] = 0
⇒ – 15 – 10m – 4m + 2 + 32 = 0
⇒ – 14m + 19 = 0
⇒ 14m = +19
⇒ m = \(\frac { 19 }{ 14 }\)
अतः m का अभीष्ट मान = \(\frac { 19 }{ 14 }\) इकाई है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु A (2, -4), बिन्दुओं P (3, 8) एवं Q (-10, v) से बराबर दूरी पर स्थित है, तो v का मान बताइए।
हल :
चूँकि AP = AQ दिया है
\(\sqrt{(2-3)^{2}+(-4-8)^{2}}=\sqrt{(2+10)^{2}+(-4-v)^{2}}\)
⇒ (-1)² + (- 12)² = (12)² + (-4 – v)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 1 + 144 = 144 + 16 + v² + 8v
⇒ v² + 8v + 15 = 0
⇒ v² + 3v + 5v + 15 = 0
⇒ v(v + 3) + 5 (v + 3) = 0
⇒ (v + 3) (v+ 5) = 0
या तो v + 3 = 0 ⇒ v = -3
v + 5 = 0 ⇒ v = -5
अतः v के अभीष्ट मान = -3 अथवा -5 हैं।

प्रश्न 11.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-8, 4), (-6, 6) एवं (-3, 9) हैं।
हल:
क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (6 – 9) + (-6) (9 – 4) + (-3) (4 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (-3) + (-6) (5) + (-3) (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 30 + 6]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [30 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 0
= 0
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 0 है।

प्रश्न 12.
x-अक्ष, बिन्दुओं (-4,-6) एवं (-1, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? उस छेदक बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित छेदक बिन्दु (x, 0) है तथा यह दी गयी रेखाखण्ड को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है तो
\(\frac{m(7)+1(-6)}{m+1}=0\)
7m – 6 = 0
m = \(\frac { 6 }{ 7 }\)
अत: x-अक्ष दिए रेखाखण्ड को 6 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।
अब

\(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: छेदक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक (\(\frac { -34 }{ 13 }\), 0) हैं।

प्रश्न 13.
यदि P (9a – 2,- b) बिन्दुओं A (3a + 1, -3) एवं B (8a, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

⇒ 36a – 8 = 27a + 1
⇒ 36a – 27a = 1 + 8
⇒ 9a = 9
⇒ a = \(\frac { 9 }{ 9 }\) = 1

⇒ b = -3
अतः a एवं b के अभीष्ट मान क्रमशः 1 एवं -3 हैं।

प्रश्न 14.
यदि (a, b), बिन्दुओं A (10, -6) एवं B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है तथा a – 2b = 18 तोk का मान तथा AB दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,

a – 2b = 18 (दिया है) …..(3)
a – 2 (-1) = 18
a = 16 ….(4) [समीकरण (2) एवं (3) से]
k + 10 = 2 x 16 = 32 [समीकरण (1) एवं (4) से]
k= 32 – 10 = 22
अतः k का अभीष्ट मान = 22 है।

अत: AB का अभीष्ट मान = 2√61 इकाई है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P (- 1, 3) एवं Q (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर इस प्रकार स्थित बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि PR = \(\frac { 3 }{ 5 }\) PQ.
हल :

माना R के निर्देशांक (x, y) हैं और यह PQ को इस प्रकार विभाजित करता है कि PR : PQ = \(\frac { 3 }{ 5 }\)
PR : PQ = 3 : 5
PR : RQ = 3 : 2

अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{4}{5}, \frac{21}{5}\right)\) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

[बताइए निम्न कथन सत्य हैं या असत्य अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
बिन्दु A (-1,0), B (3, 1), C (2, 2) एवं D (-2, 1) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) तथा BD का मध्य-बिन्दु भी (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) है जो समान हैं तथा समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दु (4, 5), (7, 6) एवं (6, 3) संरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बिन्दुओं से निर्मित त्रिभुजकार क्षेत्र का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (6 – 3) + 7 (3 – 5) + 6 (5 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (12 – 14 – 6)
= – 4 ≠ 0.

प्रश्न 3.
बिन्दु P (0, – 7), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 0) तथा B (7, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब अर्द्धक पर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि P (0, – 7) y-अक्ष पर है तथा

अर्थात् PA = PB जो AB के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रश्न 4.
शीर्ष A (-2, 0), B (2, 0) एवं C (0, 2) वाला त्रिभुज ABC एवं शीर्ष D (-4,0), E (4,0) एवं F (0, 4) वाला त्रिभुज DEF समरूप हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

प्रश्न 5.
बिन्दु P(-4, 2), बिन्दुओं A (-4, 6) एवं B (-4, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों बिन्दु x = – 4 रेखा पर स्थित हैं।

प्रश्न 6.
बिन्दु (0, 5), (0, – 9) एवं (3, 6) सरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्रथम दो बिन्दु }-अक्ष पर स्थित हैं जबकि तीसरा बिन्दु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 7.
बिन्दु P (0, 2), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 1) तथा B (3, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि \(P A=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) एवं \(P B=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) है अर्थात् PA ≠ PB.

प्रश्न 8.
बिन्दु A (3, 1), B (12, – 2) एवं C (0, 2) किसी त्रिभुज के शीर्ष नहीं हो सकते।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [3 (-2 – 2) + 12 (2 – 1) + 0 (1 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 12 + 0]
= 0.

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 3), B (6, 4), C (5,-6) एवं D (-3, 5) किसी समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)\) तथा BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\) है
अर्थात् विकर्ण परस्पर समद्विभाजित नहीं करते।

प्रश्न 10.
एक वृत्त का केन्द्र O मूलबिन्दु है। बिन्दु P (5, 0) इस पर स्थित है तथा बिन्दु Q(6, 8) वृत्त के बाहर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है,क्योंकि OP = √(5)² = 5 एवं \(O Q=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) है
अर्थात् OQ > r (OP).

प्रश्न 11.
बिन्दु A (2, 7), बिन्दुओं P (6, 5) एवं Q (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि \(A P=\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\) एवं \(A Q=\sqrt{(2)^{2}+(11)^{2}}\) \(=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5 \sqrt{5}\) अर्थात् AP ≠ AQ.

प्रश्न 12.
बिन्दु P (5, – 3), दो बिन्दुओं A (7, – 2) एवं B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले दो बिन्दुओं में से एक है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि \(\frac{1(1)+2(7)}{1+2}=\frac{15}{3}=5\) एवं \(\frac{1(-5)+2(-2)}{1+2}=\frac{-5-4}{3}=\frac{-9}{3}\)
= – 3 अर्थात् बिन्दु P, AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 13.
बिन्दु A (-6, 10), B (-4, 6) एवं C (3,-8) सरेखीय बिन्दु हैं इस प्रकार कि \(AB=\frac { 2 }{ 9 }AC\)
हल :
कथन सत्य है. क्योंकि

B, AC को 2 : 7 की अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात् AB = \(\frac { 2 }{ 9 }\) AC.

प्रश्न 14.
बिन्दु P(-2, 4), त्रिज्या 6 एवं केन्द्र (3, 5) वाले वृत्त पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि

प्रश्न 15.
बिन्दु A (-1,- 2), B (4, 3), C (2, 5) एवं D (-3, 0) क्रम में एक आयत का निर्माण करते हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) एवं BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) है।

अर्थात् विकर्ण AC = BD = √58 एवं विकर्ण परस्पर बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) पर समद्विभाजित करते हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष से बिन्दु P (2, 3) की दूरी है :
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 5.
उत्तर:
(b) 3

प्रश्न 2.
बिन्दु A (0, 6) एवं B (0, – 2) के बीच दूरी है :
(a) 6
(b) 8
(c) 4
(d) 2.
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 3.
मूल बिन्दु से बिन्दु P(-6, 8) की दूरी है :
(a) 8
(b) 2√7
(c) 10
(d) 6.
उत्तर:
(c) 10

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, 5) एवं (-5, 0) के बीच दूरी है :
(a) 5
(b) 5√2
(c) 2√5
(d) 10.
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 5.
AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष हैं A (0, 3), 0 (0, 0) एवं B (5,0); इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(a) 5
(b) 3
(c) √34
(d) 4.
उत्तर:
(c) √34

प्रश्न 6.
त्रिभुज की परिमाप जिसके शीर्ष (0, 4), (0, 0) एवं (3, 0) हैं, है :
(a) 5
(b) 12
(c) 11
(d) 7 + √5.
उत्तर:
(b) 12

प्रश्न 7.
शीर्ष A (3,0), B (7,0) एवं C (8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(a) 14
(b) 28
(c) 8
(d) 6.
उत्तर:
(c) 8

प्रश्न 8.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) एवं (0, 3) शीर्ष हैं :
(a) समकोण त्रिभुज के
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के
(c) समबाहु त्रिभुज के
(d) विषमबाहु त्रिभुज के।
उत्तर:
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के

प्रश्न 9.
बिन्दु A (-2, -5) एवं B (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित बिन्द
(a) (0,0)
(b) (0, 2)
(c) (2,0)
(d) (-2,0).
उत्तर:
(a) (0,0)

प्रश्न 10.
बिन्दुओं A (-2, 8) एवं B (-6,-4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है :
(a) (-4,-6)
(b) (2,6)
(c) (-4, 2)
(d) (4, 2).
उत्तर:
(c) (-4, 2)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी ………. कहलाती है।
2. किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी ……….. कहलाती है।
3. (0, y) एवं (x, 0) के मध्य दूरी ………… होती है।
4. (2a, 0) एवं (0, 2b) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ……….. हैं।
5. तीन सरेखीय बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ………… है।
उत्तर-
1.x-निर्देशांक या भुज,
2. y-निर्देशांक या कोटि
3. \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
4. (a, b),
5. शून्य (0)।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. (3, 0) एवं (0, 4) के बीच की दूरी 5 इकाई होती है।
2. (-4, 6) एवं (4,-6) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक (4, 6) हैं।
3. (4,0) एवं (0, 3) के बीच दूरी 5 इकाई है।
4. (0, 0), (3, 0), (0, 4) द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 इकाई है।
5. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) शीर्ष वाले त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. बिन्दु (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
2. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य दूरी क्या होगी?
3. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) को मिलाने वाली रेखा को m₁ : m₂ के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
4. बिन्दु (x₁, y₁), (x₂, y₂) एवं (x₃, y₃) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल लिखिए।
5. मूलबिन्दु से बिन्दु (x, y) के बीच दूरी क्या होगी?
उत्तर-