Bhagya

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 5 Data Handling Ex 5.2

Question 1.
A survey was made to find the type of music that a certain group of young people liked in a city. Adjoining pie chart shows the finding of this survey.

From this pie chart answer the following :
(i) If 20 people liked classical music, how many young people were surveyed?
(ii) Which type of music is liked by the maximum number of people?
(iii) If a cassette company were to make 1000 CD’s, how many of each type would they make?
Solution:
(i) Let total number of young people were surveyed be x.
According to question, \(x \times \frac{10}{100}\) = 20

Thus, 200 young people were surveyed.
(ii) Pie chart shows that the maximum number of people like light music.
(iii) Cassette company has to make 1000 CD’s.
∴ Number of CD’s of semi classical music

Number of CD’s of classical music

Number of CD’s of folk music

Number of CD’s of light music 40

Question 2.
A group of 360 people were asked to vote for their favourite season from the three seasons

(i) Which season got the most votes?
(ii) Find the central angle of each sector.
(iii) Draw a pie chart to show this information.
Solution:
(i) Winter season got the most votes,
(ii) Total number of votes = 90 + 120 + 150
= 360
Total angle at the centre of a circle = 360°

(iii) Now, we have to draw a pie chart to show the given information :

Question 3.
Draw a pie chart showing the following information. The table shows the colours preferred by a group of people.

Find the proportion of each sector. For example,
Blue is \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\) ; Green is \(\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\) and so on. Use this to find the corresponding angles.
Solution:

We have to draw a pie chart showing a given information :

Question 4.
The given pie chart gives the marks scored in an examination by a student in Hindi, English, Mathematics, Social Science and Science. If the total marks obtained by the students were 540, answer the following questions.

(i) In which subject did the student score 105 marks?
(Hint: For 540 marks, the central angle = 360°. So, for 105 marks, what is the central angle?)
(ii) How many more marks were obtained by the student in Mathematics than in Hindi?
(iii) Examine whether the sum of the marks obtained in Social Science and Mathematics is more than that in Science and Hindi. (Hint: Just study the central angles)
Solution:
(i) Total marks scored by students = 540
Central Angle

Since central angle is 70°, thus we found that in Hindi, the student scored 105 marks.
(ii) Marks scored in Mathematics

Thus, marks obtained by the student in Mathematics more than in Hindi = 135 – 105 = 30
(iii) Marks obtained in Social Science

So, marks obtained in Social Science and Mathematics = 97.5 + 135
= 232.5 …(i)
And marks obtained in Science and Hindi = 120+ 105 = 225 …(ii)
Thus, (i) and (ii) shows that marks obtained in Mathematics and Social Science is more than that in Science and Hindi.

Question 5.
The number of students in a hostel, speaking different languages is given below. Display the data in a pie chart.

Solution:

The pie chart is shown below :

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.5

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8, और C = {3, 4, 5, 6} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A’
(ii) B’
(ii) (A ∪ C)
(iv) (A ∪ B)’
(v) (A’)’
(vi) (B – C)’
हल:
(i) A’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9}.
(ii) B’ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8}
= {1, 3, 5, 7, 9}.
(iii) A ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(A ∪ C) = U – (A ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9}.
(vi) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {1, 2, 3, 4, 6, 8}.
(A ∪ B) = U – (A ∪ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 6, 8}
= {5, 7, 9}.
(v) (A)’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9}
(A’) = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {5, 6, 7, 8, 9}
= {1, 2, 3, 4}.
(vi) B – C = {2, 4, 6, 8} – {3, 4, 5, 6} = {2, 8}
(B – C) = U – (B – C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 8}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

प्रश्न 2.
यदि U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए:
(i) A = {a, b, c}
(ii) B = {d, e, f, g}
(iii) C = {a, c, e, g}
(iv) D = {f, g, h, a}
हल:
(i) A’ = U – A
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b, c}
= {d, e, f, g, h}.
(ii) B’ = U – B = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {d, e, f, g}
= {a, b, c, h}
(iii) C = U – C
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, c, e, g} = {b, d, f, h}
(iv) D’ =U – D
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {f, g, h, a} = {b, c, d, e}

प्रश्न 3.
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए :
(i) {x : x एक प्राकृत सम संख्या है।
(ii) {x : x एक प्राकृत विषम संख्या है?
(iii) {x : x संख्या 3 का एक धन गुणज है
(iv) {x : x एक अभाज्य संख्या है?
(v) {x : x, 3 और 5 से विभाजित होने वाली एक संख्या है?
(vi) {x : x एक पूर्ण वर्ग संख्या है?
(vii) {x : x एक पूर्ण घन संख्या है?
(viii){x : x + 5 = 8}
(ix) {x : 2x + 5 = 9}
(x) {x : x ≥ 7}
(vi) {x : x ϵ N और 2x + 1 > 10}
हल:
(i) {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}
(ii) {x : x एक सम संख्या है?
(iii) {x : x ϵ N और x संख्या 3 का धन गुणज नहीं है।
(iv) {x : x = 1 और x एक धन भाज्य संख्या है?
(v) {x : x ϵ N और x, संख्या 3 व 5 किसी से भी विभाजित नहीं होती}
(vi) {x : x ϵ N तथा x एक पूण वर्ग संख्या नहीं है}
(vii) {x : x ϵ N तथा x एक पूर्ण वर्ग घन संख्या नहीं है}
(viii) {x : x ϵ N तथा x ≠ 3}
(ix) {x : x ϵ N तथा x ≠ 2}
(x) {x : x ϵ N तथा x < 7}
(xi) {x : x ϵ N तथा x < \(\frac{9}{2}\)}

प्रश्न 4.
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} और B = {2, 3, 5, 7}, तो सत्यापित कीजिए कि:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(i) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
हल:
(i) A ∪ B = {2, 4, 6, 8} ∪ {2, 3, 5, 7}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
बायाँ पक्ष = (A ∪ B)’ = U – (A ∪ B)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
= {1, 9}
A’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8}
= {1, 3, 5, 7, 9}.
B’ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 5, 7}
= {1, 4, 6, 8, 9}
दायाँ पक्ष = A’ ∩ B’
= {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 6, 8, 9} = {1, 9}
अतः (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’.
(ii) बायाँ पक्ष = (A ∩ B)’
(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8} ∩ {2, 3, 5, 7} = {2}
(A ∩B)’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
दायाँ .पक्ष : A’ ∪ B’ = {1, 3, 5, 7,9} ∪ {1, 4, 6, 8, 9} [(i) और (ii)]
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
अतः (A ∩ B)’ = A’ ∪ B.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपयुक्त वेन आरेख खींचिए :
(i) (A ∪ B)’
(ii) A’ ∩ B’
(iii) (A ∩ B)’
(iv) (A’ ∪ B’)
हल:
छायांकित क्षेत्र को निम्नलिखित समुच्चयों द्वारा दर्शाते हैं :

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है। यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक कोण 60° से भिन्न है, तो A’ क्या है?
हल:
U = {x : x समतल में एक त्रिभुज है}
A = {x : x एक त्रिभुज जिसका कम से कम एक कोण 60° का न हो}
A’ = {सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थान भरिए :
(i) A ∪ A’ = ……………
(ii) ϕ’ ∩ A = ……………..
(iii) A ∩ A’ = ………….
(iv) U’ ∩ A = …………
हल:
(i) A ∪ A’ = U
(ii) ϕ’ ∩ A = U ∩ A = A
(iii) A ∩ A’ = ϕ
(iv) U’ ∩ A = ϕ ∩ A = ϕ

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 5 Data Handling Ex 5.1

Question 1.
For which of these would you use a histogram to show the data?
(a) The number of letters for different area in a postman’s bag.
(b) The height of competitors in an athletics meet.
(c) The number of cassettes produced by 5 companies.
(d) The number of passengers boarding trains from 7:00 a.m. to 7:00 p.m. at a station. Give reasons for each.
Solution:
(a) We use pictograph for the given statement. Since, letters can be represented through appropriate picture or symbols, we will not use histogram.
(b) We use histogram for the given statement. Since, the height of competitors in an athletics meet can be divided into class intervals.
(c) We will not use histogram. We use pictograph for the given statement since the cassettes can be represented through appropriate picture or symbols.
(d) We use histogram for the given statement since the time of boarding trains from 7:00 a.m. to 7:00 p.m. can be divided into class intervals.

Question 2.
The shoppers who come to a departmental store are marked as : man (M), woman (W), boy (B) or girl (G). The following list gives the shoppers who came during the first hour in the morning:

WWWGBWWMGGMMWWWWGBMWB
GGMWWMMWWWMWBWGMWWWW
GWMMWWMWGWMGWMMBGGW
Make a frequency distribution table using tally marks. Draw a bar graph to illustrate it.
Solution:
Firstly by using a given information, we make a frequency distribution table using tally marks.
Shopper Tally marks Frequency

Question 3.
The weekly wages (in ₹) of 30 workers in a factory are:
830, 835, 890, 810, 835, 836, 869, 845, 898, 890,820,860,832,833,855,845,804,808,812, 840,885,835,835,836,878,840,868,890,806, 840.
Using tally marks make a frequency table with intervals as 800 – 810, 810 – 820 and so on.
Solution:
By using a given information, we have to make a frequency table :

Question 4.
Draw a histogram for the frequency table made for the data in Question 3, and answer the following questions.
(i) Which group has the maximum number of workers?
(ii) How many workers earn ? 850 and more?
(iii) How many workers earn less than ? 850?
Solution:
We have to draw a histogram :

(i) 830 – 840 is a group which has the maximum number of workers.
(ii) 10 workers earn ₹ 850 and more.
(iii) 20 workers earn less than ₹ 850.

Question 5.
The number of hours for which students of a particular class watched television during holidays is shown through the given graph. Answer the following:
(i) For how many hours did the maximum number of students watch TV?
(ii) How many students watched TV for less than 4 hours?
(iii) How many students spent more than 5 hours in watching TV?
Solution:

(i) The above given graph shows that in between 4-5 hours, maximum number of students used to watch TV.
(ii) Number of students watched TV for less than 4 hours = 4 + 8 + 22 = 34
(iii) Number of students spent more than 5 hours in watching TV = 8 + 6 = 14

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MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Solutions Chapter 10 प्राण जाएँ पर वृक्ष न जाए

MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Chapter 10 पाठ का अभ्यास

बोध प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए
उत्तर
रक्षक = रक्षा करने वाले ताम्रपत्र = ताँबे का पत्तर, स्मृति पत्र; श्रद्धांजलि = मरने के बाद श्रद्धा प्रकट करने हेतु व्यक्त शब्द; संवर्द्धन = वृद्धि, विकास; शहीद = बलिदान; प्रशस्ति = प्रशंसा; उत्कृष्ट = उच्च कोटि का।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों के संक्षेप में उत्तर लिखिए

(क) सैनिकों की कुल्हड़ी का सबसे पहले विरोध किसने किया?
उत्तर
सैनिकों की कुल्हाड़ी का सबसे पहले विरोध एक महिला अमृता देवी विश्नोई ने किया। कुल्हाड़ी चलाना आरम्भ किए जाने पर अमृतादेवी विश्नोई पेड़ों से लिपट गई।

(ख) अमृता देवी का नारा क्या था?
उत्तर
पेड़ों से लिपटकर वह कहती रही “सिर साँटे पर  रूख रहे तो भी सस्तो जाण”। यही अमृतादेवी का नारा था।’

(ग) विश्नोई समाज की स्थापना किसने की थी ?
उत्तर
विश्नोई समाज की स्थापना आज से लगभग पाँच सौ वर्ष पहले सन् 1485 ई. में भगवान जम्भेश्वर ने की थी।

(घ) हिरणों की रक्षा में कौन शहीद हुआ था ?
उत्तर
सन् 1996 ई. में अक्टूबर माह में राजस्थान के चुरु जिले में हिरणों की रक्षा करते हुए श्री निहालचन्द विश्नोई शहीद हुए थे।

(ङ) राजा ने पेड़ काटने की क्या सजा घोषित की ?
उत्तर
राजा अभयसिंह ने सैनिकों के दुष्कृत्य के लिए क्षमा माँगी और ताम्रपत्र पर राजा की आज्ञा को जारी किया गया कि विश्नोई गाँवों में कोई भी पेड़ नहीं काटेगा। यदि काटेगा तो राजदण्ड का भागी होगा।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर विस्तार से लिखिए

(क) जोधपुर के राजा अभयसिंह को लकड़ी की आवश्यकता क्यों पड़ी? इसके लिए उन्होंने क्या किया ?
उत्तर
जोधपुर के राजा अभयसिंह ने अपना महल बनवाया। यह भादों का महीना था एवं शुक्ल पक्ष की दशमी का दिन था। इसके निर्माण के लिए राजा अभयसिंह को लकड़ी की आवश्यकता पड़ी। इसके लिए राजा अभयसिंह ने अपनी सेना के कुछ सैनिकों को लकड़ी काटकर लाने का आदेश दिया। इस तरह राजा के सैनिक जोधपुर के पास खेजड़ली गाँव पहुँचे। वहाँ वे पेड़ काटना चाहते थे। यह गाँव विश्नोइयों का था। विश्नोइयों ने कहा, “हम परम्परा से वनों के रक्षक हैं। हमारे रहते पेड़ नहीं कट सकते।” सैनिकों ने उनके विरोध की अनदेखी की। सैनिकों ने कुल्हाड़ी चला दी। अमृता देवी विश्नोई नामक महिला पेड़ों से लिपट गई और कहती रही, “सिर साँटे पर रूख रहे तो भी सस्तो जाण।” राजा की आज्ञा का पालन करना है, इस भाव से सैनिकों ने अमृता देवी को काट डाला।

(ख) अमृता देवी वृक्षों की रक्षा और किस प्रकार से कर सकती थीं ? सोचकर लिखिए।
उत्तर
राजा के आदेश से उनके सैनिक पेड़ काटने के लिए खेजड़ली गाँव पहुँचे। राजा की आज्ञा का पालन करना उन सैनिकों का धर्म हो गया था। अमृता देवी वृक्षों की रक्षा के लिए उन्हें काटने से रोकने के लिए, सैनिकों से निवेदन कर सकती थीं तथा अपनी बात को राजा के पास जाकर विरोध के रूप में कह सकती थीं और पेड़ों के न काटने के लिए अपनी परम्परा को स्पष्ट रूप से बता सकती थीं।

(ग) अमृतादेवी का नारा इस पाठ में किस तरह सार्थक हुआ?
उत्तर
अमृता देवी का नारा, “सिर साँटे पर रूख रहे तो भी सस्तो जाण” सार्थक हो गया। पेड़ों की आवश्यकता हम लोगों को है, पेड़ों को हमारी आवश्यकता नहीं है। दिन-प्रतिदिन बढ़ते प्रदूषण से अपनी रक्षा के लिए हमें पेड़ लगाने होंगे और उनकी रक्षा करनी होगी। अमृता देवी और तीन सौ बासठ शहीदों के बलिदान की स्मृति में भारत सरकार प्रति वर्ष राष्ट्रीय पर्यावरण पुरस्कार देती है। मध्य प्रदेश का वन विभाग प्रति वर्ष वन-संवर्द्धन एवं वन रक्षा के क्षेत्र में उल्लेखनीय कार्य करने वाली ग्राम पंचायत अथवा संस्था को शहीद अमृता देवी विश्नोई पुरस्कार और एक लाख रुपया नकद प्रदान करता है। मध्य प्रदेश सरकार शहीद अमृता देवी विश्नोई के नाम पर दो व्यक्तिगत पुरस्कार भी देती है। पचास हजार रुपया नगद और प्रशस्ति पत्र के पुरस्कार के रूप में वन सम्बर्द्धन और वन्य प्राणियों की रक्षा में उत्कृष्ट कार्य करने वाले व्यक्ति को प्रतिवर्ष दिए जाते हैं।

(घ) राजा अभयसिंह ने पश्चाताप किस प्रकार किया ?
उत्तर
जब जोधपुर के राजा अभयसिंह को विश्नोई समाज द्वारा किए गये बलिदान सम्बन्धी भीषण घटना का समाचार मिला तो उन्हें बड़ा दुःख हुआ। वे स्वयं खेजड़ली गाँव आए। अपनी सेना के द्वारा किए गये दुष्कृत्य के लिए क्षमा माँगी। उन्होंने ताम्रपत्र जारी किया। उसमें राजाज्ञा जारी की गई कि विश्नोई – गाँवों में कोई पेड़ नहीं काटेगा। यदि काटेगा तो राजदण्ड का भागी होगा। इस प्रकार राजा के द्वारा निर्णय लिया गया और पश्चाताप किया गया।

(ङ) अमृता देवी व अन्य शहीदों से आपको क्या प्रेरणा मिलती है?
उत्तर
अमृता देवी व अन्य शहीदों से यह प्रेरणा मिलती है कि हमें पर्यावरण की सुरक्षा के लिए वृक्षों और वनों को पूर्ण सुरक्षा देनी चाहिए। उनके सम्वर्द्धन और विकास में रुचि लेनी चाहिए। वन्य जीवों की सुरक्षा और उनकी प्रजातियों का विकास करना चाहिए। प्रत्येक राज्य सरकार को वृक्षारोपण और वन सम्पदा के विकास और सुरक्षा के लिए अपनी ओर से प्रोत्साहन पुरस्कार घोषित किये जाने चाहिए। ग्राम पंचायतों को भी वृक्षों का आरोपण करने के अभियान चलाने चाहिए।

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए
(क) विश्नोई समाज के नियम मुख्यतः आधारित थे
(अ) प्रकृति के पोषण पर
(आ) समाज की परम्परा पर
(इ) धर्म की मान्यता पर
(ई) जीव-जन्तुओं के प्रति करुणा पर,
(उ) इन सबके सम्मिलित प्रभाव वाली प्रथा पर।
उत्तर
उ) इन सबके सम्मिलित प्रभावशाली प्रथा पर

(ख) म. प्र. सरकार किसके नाम पर दो व्यक्तिगत पुरस्कार देती है?
(अ) विश्नोई समाज
(आ) अमृता देवी विश्नोई
(इ) निहालचन्द विश्नोई
(ई) शहीदों।
उत्तर
(आ) अमृता देवी विश्नोई

(ग) वृक्ष का पर्यायवाची शब्द है
(अ) काननं
(आ) तरु
(इ) गिरि
(ई) चक्षु
उत्तर
(आ) तरु

(घ) अमृता देवी के साथ शहीद विश्नोइयों की संख्या थी
(अ) 362
(आ) 365
(इ) 363
(ई) 364
(ङ) श्री निहाल चन्द विश्नोई को भारत सरकार ने
उत्तर
(अ) 362

(ङ) सम्मानित किया
(अ) पद्मश्री से
(आ) शौर्य चक्र से
(इ) परमवीर चक्र से
(ई) वीर चक्र से।
उत्तर
(आ) शौर्य चक्र से

भाषा-अध्ययन

प्रश्न 1.
नीचे लिखे शब्दों के विलोम शब्द उनके नीचे बनी वर्ग पहेली (पाठ्यपुस्तक में) में दिए गए हैं। आप उन्हें खोजकर लिखिए
वाचाल, राजा, अपमानित, भक्षक, हर्ष, क्षम्य, हिंसा, हित, दुःखी, विरोध।
उत्तर

1. मूक
2. रंक
3. सम्मानित
4. रक्षक
5. शोक
6. अक्षम्य
7. अहिंसा
8. अहित
9. सुखी
10. समर्थन

प्रश्न 2.
निम्नलिखित शब्दों के शुद्ध उच्चारण कीजिए और उन्हें वाक्यों में प्रयोग कीजिए।
श्रद्धांजलि, संकल्प, शौर्यचक्र, प्रासंगिक, जम्भेश्वर।
उत्तर
विद्यार्थी उपर्युक्त शब्दों को ठीक-ठीक पढ़कर उनका शुद्ध उच्चारण करने का अभ्यास करें।
वाक्यों में प्रयोग-

1. महापुरुषों के नियमों का पालन करना ही उनके प्रति सच्ची श्रद्धांजलि होती है।
2. हम देश की सेवा करने का संकल्प लेते हैं।
3. निहाल चन्द को मरणोपरान्त शौर्य चक्र से सम्मानित किया।
4. अमृता देवी का वृक्ष संरक्षण कार्यक्रम आज बहुत ही प्रासंगिक है।
5. जम्भेश्वर भगवान ने प्रकृति के नियमों के पालन का आदेश दिया।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित शब्दों की सन्धि विच्छेद कीजिए और सन्धि का प्रकार लिखिए
वृक्षारोपण, एकमेव, राजाज्ञा, मरणोपरान्त, वातावरण।
उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित शब्दों का समास विग्रह कीजिए
ताम्रपत्र, राजदण्ड, प्रतिवर्ष, ग्राम पंचायत, शौर्य चक्र।
उत्तर

प्रश्न 5.
निम्नलिखित शब्दों में उपसर्ग पहचानकर लिखिए
गैर सैनिक, पर्यावरण, सम्मान, प्रशस्ति, प्रदूषण, संवर्द्धन।
उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित वाक्यों में उद्देश्य और विधेय छाँटकर लिखिए
(क) भगवान जम्भेश्वर द्वारा हरे-भरे वृक्षों को बनाए रखने की प्रेरणा दी गई थी।
(ख) विश्नोई समाज ने वनों की रक्षा के लिए महत्वपूर्ण योगदान दिया है।
(ग) भारत शासन प्रतिवर्ष राष्ट्रीय पुरस्कार देता है।
उत्तर

प्राण जाएँ पर वृक्ष न जाए परीक्षोपयोगी गद्यांशों की व्याख्या 

(1) इन दिनों वृक्षों की घटती संख्या और बिगड़ते पर्यावरण को देखकर समूचे विश्व में पर्यावरण की रक्षा की चिन्ता की जा रही है। वृक्षों की अंधाधुन्ध कटाई पर रोक लगाई जा रही है। वृक्षारोपण पर जोर दिया जा रहा है। आज से सैकड़ों वर्ष पूर्व जब चारों ओर वन-ही-वन थे, भगवान जम्भेश्वर द्वारा हरे-भरे वृक्षों की रक्षा करने की प्रेरणा देना सचमुच अद्भुत था। इन दिनों बिगड़ते प्रदूषण को देखते हुए यह प्रेरणा बहुत प्रासंगिक है।

शब्दार्थ-घटती संख्या कम होती संख्या; पर्यावरण = चारों ओर का वातावरण; अंधाधुन्ध = बिना सोचे-विचारे; वृक्षारोपण = पेड़-पौधे लगाना; प्रेरणा = उत्साहपूर्ण तीव्र इच्छा; अद्भुत = अनोखी; बिगड़ते = खराब होते; प्रदूषण = बहुत तीव्रता से फैलते हुए दोष; प्रासंगिक = उचित।

सन्दर्भ-प्रस्तुत गद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘भाषा-भारती’ के पाठ ‘प्राण जाएँ पर वृक्ष न जाए’ से अवतरित हैं।

प्रसंग-इसमें वृक्षों की अन्धाधुन्ध कटाई के दोष और पर्यावरण पर पड़ने वाले बुरे प्रभाव को बताया है।

व्याख्या-आजकल लोगों द्वारा वृक्षों को काटा जा रहा है। इससे वृक्षों की संख्या में बहुत कमी आ गई है। इसका सीधा प्रभाव यह हुआ है कि हमारे चारों ओर का वातावरण खराब होता जा रहा है। इसके दोषपूर्ण प्रभाव को देखते हुए विद्वानों को इस बात की चिन्ता लग गई है कि इस बिगड़ते वातावरण को किस तरह बचाया जाए। अत: विभिन्न देशों की सरकारों में वृक्षों की बिना सोचे-विचारे की जा रही कटाई पर रोक लगाने के लिए विचार किया जा रहा है। इसके अलावा नए वृक्ष लगाए जाने के “लिए लोगों को प्रेरित किया जा रहा है। आज से सैकड़ों वर्ष पहले हमारे चारों ओर घने जंगल बड़ी तादाद में थे। भगवान जम्भेश्वर का आज से लगभग पाँच सौ वर्ष पहले जन्म हुआ था। उन्होंने लोगों को प्रेरित किया कि वे हरे-भरे वृक्षों की रक्षा करें और नये पेड़-पौधे लगाएँ। इस तरह लोगों में उत्साह जागृत करना सभी के लिए एक अनोखी बात थी। आज के पर्यावरण को चारों ओर से प्रदूषित किए जाने के प्रसंग में उनके द्वारा दी गई प्रेरणा व उत्साह बहुत ही महत्वपूर्ण है।

(2) आज्ञा पालन विवेक के साथ करना है, इस बात का सैनिकों ने ध्यान नहीं रखा। इस बलिदान को देखकर सैकड़ों विश्नोई नर नारी आगे आकर पेड़ों की रक्षा करने के लिए पेड़ों से लिपट गए। पेड़ों को काटने से बचाने के लिए सभी अपना सिर कटवाने को तैयार थे। पेड़ों की रक्षा के लिए आत्म-बलिदान के लिए तत्पर विश्नोई नर-नारी “सिर साँटे पर रूख रहे” का नारा लगा रहे थे। सेना कुल्हाड़ी चलाती रही। एक-एक करके 362 विश्नोई नर-नारी स्वयं कट गए, परन्तु उन्होंने एक भी पेड़ नहीं कटने दिया।

शब्दार्थ-विवेक = अच्छी तरह विचार करके; आज्ञा पालन = आदेश का मानना; बलिदान = त्याग; नर-नारीपुरुष और स्त्री; रक्षा = बचाव; आत्मबलिदान = अपने जीवन का त्याग; तत्पर = तैयार; साँटे = कट जाए; रूख = वृक्ष।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-पेड़ों की रक्षा में विश्नाई समाज ने अपना बलिदान दिया; इस महान त्याग के विषय में बताया जा रहा है।

व्याख्या-जोधपुर के राजा अभयसिंह ने अपने सैनिकों को अपने महल के निर्माण के लिए खेजड़ली गाँव में जाकर पेड़ों को काटने के लिए आदेश दिया। उस गाँव के विश्नोई समाज के लोगों ने उन सैनिकों को पेड़ काटने से रोक दिया। सैनिक राजा की आज्ञा पालन करना ही उचित समझते रहे। उनके द्वारा राजा की आज्ञा का पालन सोच-विचार करके ही करना चाहिए था, लेकिन सैनिकों ने इस बात का ध्यान नहीं रखा। विश्नोई समाज के सैकड़ों लोग पेड़ों को कटने से बचाने के लिए आये और पेड़ों से लिपट गये। वे सभी अपने सिर कटवाने को तैयार थे परन्तु पेड़ नहीं कटने चाहिए। वे पेड़ों को काटे जाने से रोकने के लिए अपना बलिदान देने को तैयार थे। उन्होंने कहा था कि चाहे हमारे सिर कट जाएँ, पर वृक्षों को काटने से रोका जाए। उनकी रक्षा की जानी चाहिए। उनका यही नारा था। सेना अपनी कुल्हाड़ी चला रही थी। उधर एक-एक करके तीन सौ बासठ विश्नोई समाज के स्त्री-पुरुष अपने आप कट गए। उन्होंने इस तरह एक भी वृक्ष नहीं कटने दिया।

(3) स्मरण रहे, हमें पेड़ों की जरूरत है, पेड़ों को हमारी जरूरत नहीं है। वातावरण में दिन-प्रतिदिन बढ़ते प्रदूषण से बचने के लिए हमें पेड़ों की रक्षा करनी ही होगी तथा और पेड़ लगाने होंगे। वृक्ष रक्षा तथा जीवन रक्षा का संकल्प एवं नया वृक्षारोपण कार्य ही वृक्षों की रक्षा में शहीद हुए विश्नोइयों को हमारी सच्ची श्रद्धांजलि होगी।

शब्दार्थ-स्मरण रहे = याद रखना होगा; जरूरत = आवश्यकता; दिन-प्रतिदिन = रोजाना; प्रदूषण = बड़ी मात्रा में दोष; बचाने के लिए = रक्षा के लिए; और दूसरे लगाने होंगे रोपने होंगे; संकल्प = प्रतिज्ञा, प्रण; वृक्षारोपण कार्य = वृक्ष लागने का काम; शहीद हुए = अपनी बलि देने वाले।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-बलिदान करने वाले विश्नोइयों को श्रद्धांजलि देने के लिए हमें वृक्ष लगाने होंगे तथा वन के जीवों की रक्षा करनी -होगी।

व्याख्या-हमें यह याद रखना होगा कि हमारी आवश्यकता है कि पेड़ रहें। पेड़ों को हमारी कोई आवश्यकता नहीं है। हमारे चारों ओर के वातावरण में रोजाना प्रदूषण बढ़ रहा है। हमें अपनी रक्षा करनी है, तो हमें पेड़ों की रक्षा करनी होगी। क्योंकि प्रदूषण से हम अनेक तरह के रोगों से ग्रस्त हो जायेंगे। इसके लिए हमें पेड़ लगाने होंगे। वन के जीवों की रक्षा करने से और नये पेड़-पौधे लगाने से ही हम बलिदानी विश्नोइयों को सच्ची श्रद्धांजलि दे सकते हैं।

MP Board Class 8th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 Square and Square Roots Ex 6.4

Question 1.
Find the square root of each of the following numbers by Division method.
(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(ix) 576
(x) 1024
(xi) 3136
(xii) 900.
Solution:

Question 2.
Find the number of digits in the square root of each of the following numbers (without any calculation).
(i) 64
(ii) 144
(iii) 4489
(iv) 27225
(v) 390625
Solution:
(i) Since number of digits in 64 is 2 (= n), which is even.
Then its square root will have \(\frac{n}{2}\) digits.
Number of digits = \(\frac{2}{2}\) = 1.

(ii) Since the number of digits in 144 is 3 (= n), which is odd.
Then its square root will have \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) digits.
Number of digits \(=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2\).

(iii) Since number of digits in 4489 is 4(= n), which is even.
Then its square root will have \(\frac{n}{2}\) digits.
Number of digits = \(\frac{4}{2}\) = 2

(iv) Since the number of digits in 27225 is 5( = n), which is odd.
Then its square root will have digits \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\)
Number of digits \(=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\)

(v) Since number of digits in 390625 is 6 (= n), which is even.
Then its square root will have \(\left(\frac{n}{2}\right)\) digits.
Number of digits = \(\frac{6}{2}\) = 3

Question 3.
Find the square root of the following decimal numbers.
(i) 2.56
(ii) 7.29
(iii) 51.84
(iv) 42.25
(v) 31.36
Solution:

Question 4.
Find the least number which must be subtracted from each of the following numbers so as to get a perfect square. Also find the square root of the perfect square so obtained.
(i) 402
(ii) 1989
(iii) 3250
(iv) 825
(v) 4000.
Solution:
(i) 402

Thus, if we subtract 2 from 402, we get a perfect square number whose square root is 20.

(ii) 1989

Thus, if we subtract 53 from 1989, we get a perfect square number whose square root is 44.

(iii) 3250

Thus, if we subtract 1 from 3250, we get a perfect square number whose square root is 57.

(iv) 825

Thus, if we subtract 41 from 825, we get a perfect square number whose square root is 28.

(v) 4000

Thus, if we subtract 31 from 4000, we get a perfect square number whose square root is 63.

Question 5.
Find the least number which must be added to each of the following numbers so as to get a perfect square. Also find the square root of the perfect square so obtained.
(i) 525
(ii) 1750
(iii) 252
(iv) 1825
(v) 6412
Solution:
(i) 525

Hence, the number to be added is 529 – 525 = 4 and square root of 529 is 23.

(ii) 1750

Clearly, 41² = 1681 < 1750
42² = 1764 > 1750.
Hence, the number to be added is 1764 – 1750 = 14 and square root of 1764 is 42.

(iii) 252

Clearly, 15² = 225 < 252
16² = 256 > 252
∴ The number to be added is 256 – 252 = 4 and square root of 256 is 16.

(iv) 1825

Clearly, 42² = 1764 < 1825
43² = 1849 >1825
∴ The number should be added is 1849 – 1825 = 24 and square root of 1849 is 43.

(v) 6412

Clearly, 80² = 6400 < 6412
81² = 6561 > 6412
∴ The number should be added is 6561 – 6412 = 149 and square root of 6561 is 81.

Question 6.
Find the length of the side of a square whose area is 441 m².
Solution:
Let the length of the side of a square is x m. Area of the square = x² ⇒ 441 = x²
⇒ x = \(\sqrt{441}\)
⇒ x = 21
Thus, the required length of side of the square is 21 m.

Question 7.
In a right triangle ABC, ∠B = 90°.
(a) If AB = 6 cm, BC = 8 cm, find AC.
(b) If AC = 13 cm, BC = 5 cm, find AB.
Solution:
(a) AB = 6 cm, BC = 8 cm

By using Pythagoras theorem,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (6)² + (8)²
⇒ AC² = 36 + 64
⇒ AC² = 100
⇒ AC = \(\sqrt{100}\)
⇒ AC = 10 cm.

(b) AC = 13 cm, BC = 5 cm
By using Pythagoras theorem,

AC² = AB² + BC²
⇒ (13)² = AB² + (5)²
⇒ 169 = AB² + 25
⇒ 169 – 25 = AB²
⇒ 144 = AB²
⇒ AB = \(\sqrt{144}\)
⇒ AB = 12 cm.

Question 8.
A gardener has 1000 plants. He wants to plant these in such a way that the number of rows and the number of columns remain same. Find the minimum number of plants he needs more for this.
Solution:
Total number of plants = 1000.

Since, the plants are planted in a garden in such a way that the number of rows and the number of columns remain same.
Clearly, 31² = 961 < 1000
32² = 1024 >1000
∴ 1024 – 1000 = 24.
Thus, gardener needs 24 more plants.

Question 9.
There are 500 children in a school. For a P.T. drill they have to stand in such a manner that the number of rows is equal to number of columns. How many children would be left out in this arrangement.
Solution:
Total number of children = 500.
Since the number of rows is equal to the number of colums, in which children have to stand.

Clearly, 16 children would be left out in this arrangement.

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए :
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, 0, u}, B = {a, b, c}
(iii) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है?
(iv) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = ϕ
हल:
(i) X ∪ Y = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}
(ii) A ∪ B = {a, e, i, 0, u}, {a, b, c}
= {a, b, c, e, i, o, u}
(iii) A ∪ B = {3, 6, 9….} ∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}.
(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} अर्थात् {x : 1 < x < 10, x ϵ N}
(v) A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ ϕ = {1, 2, 3}

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि A = {a, b}, B = {a, b, c}. क्या A ⊂ B? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {a, b}, B = {a, b, c}
समुच्चय A के अवयव a, b समुच्चय B में भी है
∴ A ⊂ B = A ∪ B = B
और A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

प्रश्न 3.
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
हल:
A ⊂ B ⇒ समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं।
A ∪ B = B.

प्रश्न 4.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
हल:
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(ii) A ∪ C= {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}.
(iii) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(iv) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(v) A ∪ B ∪ C = ({1, 2, 3, 4, 10} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(vi) A ∪ B ∪ D = ({1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(vii) B ∪ C ∪ D = ({3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 5.
प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए :
हल:
(i) X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3} = {1, 3}.
(ii) A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c} = {a}.
(iii) A ∩ B = {3, 6, 9 …..} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {3}.
(iv) A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 9} = ϕ.
(v) A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ ϕ = ϕ

प्रश्न 6.
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ C
(iii) A ∩ C ∩ D
(iv) A ∩ C
(v) B ∩ D
(vi) A∩ (B ∩ C)
(vii) A ∩ D
(viii) A ∩ (B ∪ D)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
हल:
(i) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13} = {7, 9, 11}.
(ii) B ∩ C = {7, 9, 11, 13} ∩ {11, 13, 15} = {11, 13}.
(iii) A ∩ C ∩ D = ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15}) ∩ {15, 17} .
= {11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(iv) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} = {11}.
(v) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17} = ϕ.
(vi) A ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ! {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}.
(vii) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(viii) A ∩ (B ∪ D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}.
(ix) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}.
(A ∩ B) (B ∪ C) = {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13. 15}
= {7, 9, 11}.
(x) A ∪ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∪ {15, 17}
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}.

प्रश्न 7.
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(vi) C ∩ D
हल:
A = {x : x एक प्राकृत संख्या है} = {1, 2, 3, 4……}
B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} = {2, 4, 6, 8…}
C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है? = {1, 3, 5, 7….}
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है} = {2, 3, 5, 7, 11….}
(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4….} ∩ {2, 4, 6, 8….}
= {2, 4, 6, 8….} = B
(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4……} ∩ {1, 3, 5, 7….}
= {1, 3, 5, 7….} = C
(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4…} ∩ {2, 3, 5, 7…..}
= {2, 3, 5, 7……} = D
(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, 8…} ∩ {1, 3, 5, 7……} = ϕ
(v) B ∩ D = {2, 4, 6, 8…..} ∩ {2, 3, 5, 7…..} = {ϕ}
(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7…..} ∩ {2, 3, 5, 7, 11…….}
= {3, 5, 7, 11, 13….}
= {x : x एक विषम अभाज्य संख्या}.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है, और {x : x एक विषम पूर्णांक है}
हल:
(i) मान लीजिए E = {1, 2, 3, 4}
F = {x : x एक प्राकृत संख्या और 4 ≤ x ≤ 6}
= {4, 5, 6}
अवयव 4, E और F दोनों समुच्चयों में है।
अतः दोनों युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) दिये हुए समुच्चयों में अवयव e उभयनिष्ठ है।
अतः यह असंयुक्त समुच्चय नहीं है।
(ii) मान लीजिए A = {x : x एक सम पूर्णांक हैं} = {….- 4, – 2, 0, 2, 4….}
B = {x : x एक विषम पूर्णांक है} = {….-5, – 3, – 1, 1, 3, 5…..}
A और B समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

प्रश्न 9.
यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A – B
(ii)A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
(xi) C – D
(xii) D – C
हल:
(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
{3, 6, 9, 15, 18, 21}.
(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18. 21}.
(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}.
(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}.
(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}.
(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.
= {5, 10, 20}.
(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}.
(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}.
(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}.
(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}.
(xi) C -D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}.
(xii) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {55 15 20}.

प्रश्न 10.
यदि x = {a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) X – Y
(ii) Y – X
(iii) X ∩ Y
हल:
(i) X – Y= {a, b, c, d} – {f, b, d, g}
= {a, c}.
(ii) Y – X= {f, b, d, g} – {a, b, c, d}
= {f, g}.
(iii) X ∩ Y= {a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g}
= {b, d}.

प्रश्न 11.
यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R – Q क्या होगा?
हल:
R= {x : x एक वास्तविक संख्या है?
Q= {x : x एक परिमेय संख्या है?
R – Q = {x : x एक अपरिमेय संख्या है}
अत: यह अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 12.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल:
(i) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {2, 3, 4, 5} और {3, 6} में अवयव 3 उभयनिष्ठ है।
(ii) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {a, e, i, o, u} और {a, b, c, d} में अवयव a उभयनिष्ठ है।
(iii) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10, 14} और {3, 7, 11, 15} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
(iv) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10} और {3, 7, 11} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Solutions Chapter 9 बिरसा मुण्डा

MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Chapter 9 पाठ का अभ्यास

बोध प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए
उत्तर
जीवन-वृत्त =जीवनी या जीवन परिचय; जागृति = चेतना; उद्धारक = उद्धार करने वाला, तारने वाला; चौपट : होना = बरबाद हो जाना; कारागार = कैदखाना, जेल; पथ = मार्ग, रास्ता; मुग्ध = मोहित हो जाना; प्रारम्भिक = शुरू की; बियावान = निर्जन; धूमिल = धूल में लिपट जाना, धूलधूसरित हो जाना; पीड़ादायी = कष्ट देने वाली; उपासना = पूजा; तत्कालीन = उस समय की; शोषण = काम करने पर मजदूरी न दिया जाना; उपचार = इलाज; दासता = गुलामी; नाद = स्वर; सामान्य = साधारण; सदी = शताब्दी; कथन = कहावत, कहना; बर्बरता = निर्दयता, क्रूरता।

प्रश्न 2.
दिए गये विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए
(क) बिरसा मुण्डा का सम्बन्ध निम्नलिखित में से वर्तमान के किस राज्य से था ?
(1) झारखण्ड
(2) बिहार
(3) छत्तीसगढ़।
उत्तर
(1) झारखण्ड

(ख) मुण्डा समाज के आराध्य देव ‘सिंग’ का अर्थ है
(1) सिंह
(2) सींग
(3) सूर्य।
उत्तर
(3) सूर्य।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर संक्षेप में लिखिए
(क) बिरसा मुण्डा को लूथरन मिशन स्कूल क्यों छोड़ना पड़ा?
उत्तर
बिरसा मुण्डा को लूथरन मिशन स्कूल इसलिए छोड़ना पड़ा क्योंकि वहाँ उन्हें दासता का अनुभव हो रहा था। उन्होंने ऐसे दृश्य देखे जिनमें मुण्डा लोगों का शोषण किया जा रहा था। इससे उन्हें बहुत कष्ट हुआ और बिरसा ने अंग्रेजों के कारनामों पर टीका-टिप्पणी करना शुरू कर दिया।

(ख) बिरसा रोगियों का उपचार कैसे करते थे ?
उत्तर
बिरसा रोगियों का उपचार जड़ी-बूटियों से करते

(ग) मुण्डा जनजाति के लोग बिरसा को क्यों मानते थे?
उत्तर
बिरसा ने गाँववासियों और आसपास के लोग जो उनके पास आये, उनका जड़ी-बूटियों से इलाज किया। उन्हें स्वस्थ रहने के उपाय बताए। इस तरह वे उपदेशक भी बन गये। उन्हें लोग अवतारी पुरुष मानने लगे और उनका आदर भाव बढ़ता गया।

(घ) अंग्रेजों ने बिरसा का दाह-संस्कार सार्वजनिक रूप से क्यों नहीं किया ?
उत्तर
स्वतन्त्रता संग्राम के सेनानी के रूप में बिरसा को अंग्रेजों ने पकड़ लिया। वे स्वतन्त्रता की ज्योति लोगों में जगा चुके थे। बन्दी बनाये जाने से पूर्व बिरसा बीमार चल रहे थे। अदालत में पेश करने पर उनकी दशा बिगड़ गयी। उन्हें खून की उल्टियाँ होने लगी। बिरसा जो मुण्डा समाज का उद्धारक था, सदा के लिए सो गया। इसलिए उपद्रव के भय से अंग्रेजों ने बिरसा का दाह-संस्कार सार्वजनिक रूप से नहीं किया।

(ङ) बिरसा मुण्डा ने किस उद्देश्य से अपना आन्दोलन प्रारम्भ किया?
उत्तर
बिरसा मुण्डा ने मुण्डाओं को अंग्रेजों के अत्याचारों से तथा शोषण से मुक्ति दिलाने और भारत को आजाद कराने के उद्देश्य से अपना आन्दोलन प्रारम्भ किया।

प्रश्न 4.
खाली स्थान भरिए
(क) …………….. के कारण ओझा लोगों का काम चौपट हो रहा था।
(ख) मुण्डा लोगों के प्रमुख अस्त्र-शस्त्र ………… और
(ग) पुरस्कार के ………… में कुछ लोगों ने बिरसा को पकड़वा दिया।
उत्तर
(क) बिरसा मुण्डा
(ख) भाले, तीर-कमान
(ग) लालच।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर विस्तार से लिखिए
(क) प्रस्तुत पाठ से हमें आज से सौ वर्ष पूर्व के आदिवासियों के जीवन की क्या जानकारी मिलती है?
उत्तर
आज से सौ वर्ष पूर्व के आदिवासियों ने भी भारत की आजादी के लिए अंग्रेजी शासन के विरुद्ध अपनी आवाज उठाई और इनमें आजादी की भावनाओं को स्वर देने का काम बिरसा मुण्डा ने किया। मुण्डा भारत की प्रमुख जनजाति है जो राँची और उसके आस-पास के क्षेत्रों में बड़ी संख्या में निवास करती है। मुण्डा जाति बहुत ही सरल जीवन बिताने वाली जाति है। वह अपने जीवनयापन के लिए पूर्णतः प्रकृति पर निर्भर करती है।

मुण्डा समाज ‘सिंग’ और ‘बोंगा’ की उपासना करते हैं। ‘सिंग’ का अर्थ सूर्य होता है तथा ‘बोंगा’ मुण्डा समाज की देवी है। अन्य जनजातियों की भाँति मुण्डा समाज में भी काफी जागृति आ गई है। विदेशी दासता की जंजीरों से मुक्त होने के लिए तत्कालीन उरांव, मुण्डा और खड़िया जनजातियों ने बिरसा मुण्डा के नेतृत्व में अंग्रेजों के विरुद्ध हथियार उठा लिए थे।

मुण्डा जाति के लोग निर्धन और अशिक्षित थे। उनकी शिक्षा के लिए कुछ मिशनरी विद्यालय थे। जहाँ उन्हें ईसाई धर्म में दीक्षित करने की कोशिश होती थी। वे ओझाओं के झाड़-फूंक में विश्वास करते थे। उन्हें अपनी जमीन से बेदखल कर दिया गया था। पंच-पंचायतें समाप्त कर दी गई थीं। इस तरह वे भूख और दमन के कारण असहाय थे।

(ख) बिरसा मुण्डा के आन्दोलन के क्या कारण थे ?
उत्तर
बिरसा मुण्डा के आन्दोलन के निम्नलिखित कारण

1. मुण्डा जाति को उनकी जमीन से बेदखल कर दिया गया था।
2. उनके पंच-पंचायत समाप्त कर दिये गये।
3. उनकी जमीन पर जींदार और दलाल थोप दिये गये।
4. मुण्डा जाति के लोगों के जंगलों पर अंग्रेजी शासन ने अपने दलालों और लोगों को मालिक बना दिया। वे मालिक से नौकर हो गये।
5. उन्हें बेगार में घसीटा जाता। उनका शोषण होता था।
6. आर्थिक तंगी का मामला बिरसा मुण्डा के आन्दोलन का सबसे बड़ा कारण था। उनकी आर्थिक स्थिति बहुत ही दयनीय थी।

(ग) “भारतीय इतिहास का एक सत्य यह भी है कि भारत जब भी विदेशियों से पराजित हुआ, तो देशद्रोहियों के कारण,” प्रस्तुत पाठ के सन्दर्भ में इस कथन की पुष्टि कीजिए।
उत्तर
बिरसा मुण्डा ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध तीव्र आन्दोलन शुरू कर दिया। उनका यह आन्दोलन अन्याय और शोषण के विरुद्ध था। यह आन्दोलन मानवता की रक्षा के लिए था। उन दिनों प्रथम स्वतन्त्रता संग्राम के महान सेनानियों में झाँसी की रानी लक्ष्मीबाई, तात्या टोपे, नाना साहब, कुंवर सिंह आदि की वीरता की कहानियाँ लोगों के मुँह पर थीं।

जनमत अंग्रेज शासकों के विरुद्ध था। सामाजिक आन्दोलन ने राजनैतिक रूप धारण कर लिया था। बिरसा मुण्डा ने इस आन्दोलन को आगे बढ़ाया। मुण्डा और दूसरी जनजातियाँ भाले और तीर कमान लेकर चारकाड़ गाँव में एकत्र हो गये। बिरसा की क्रान्तिकारी गतिविधियों से डिप्टी कमिश्नर और जिला पुलिस अधीक्षक बहुत परेशान हो गये। बिरसा को ब्रिटिश शासन के विरुद्ध दंगा भड़काने के आरोप में गिरफ्तार कर लिया। राँची जेल में डाल दिया गया। सजा पूरी होने के बाद सामाजिक जागरण को स्वतन्त्रता-संग्राम का नाम दे दिया गया। बिरसा ने बैठकें शुरू की जिसकी सूचना शासन को लग गई और इनके विरुद्ध वारंट कट गया। इन्हें पकड़ने के लिए इनाम घोषित हुए। इनाम के लालच में किसी ने सोते हुए बिरसा को पकड़वा दिया। इन सभी घटनाओं से सिद्ध होता है कि भारत की पराजय का मुख्य कारण यहाँ के देशद्रोही ही रहे हैं।

(घ) बिरसा मुण्डा ने किस उद्देश्य से अपना आन्दोलन प्रारम्भ किया ?
उत्तर
बिरसा मुण्डा ने देखा कि मुण्डा और जनजातियों की आर्थिक दशा बहुत ही दयनीय हो चुकी है। इसका मुख्य कारण था कि अंग्रेजों ने उन्हें उनके खेतों से बेदखल कर दिया। वे इन खेतों के मालिक थे। वे फसलें उगाते थे। उनकी ग्राम व्यवस्था थी। पंच-पंचायतें थीं। उनका रहन-सहन परम्परागत था। अंग्रेजों ने उन सबको नष्ट करके जींदार, जागीरदार, जंगल के ठेकेदार और दलाल उन पर लाद दिए। वनवासी अपनी ही जमीन पर मालिक से नौकर हो गये। वे भूख और दमन से स्वयं को असहाय समझने लगे। ऐसी स्थिति में बिरसा मुण्डा ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध तीव्र आन्दोलन प्रारम्भ कर दिया। यह आन्दोलन अन्याय और शोषण के विरुद्ध था, मानवता की रक्षा के लिए था। मुण्डा समाज की दबी भावनाएँ उभरकर आ गई। सामाजिक आन्दोलन ने राजनैतिक रूप धारण कर लिया था। बिरसा मुण्डा इन गतिविधियों का केन्द्र बिन्दु थे। उन्होंने ब्रिटिश शासन को उखाड़ फेंकने का संकल्प ले लिया। उन्होंने कहा कि अंग्रेजों ने हमें बहुत लूटा है, अब हम इन्हें सहन नहीं करेंगे।

(ङ) प्रस्तुत पाठ के आधार पर बिरसा मुण्डा के चरित्र की विशेषताएँ बताइए।
उत्तर
(1) स्वतन्त्रता की भावना – बिरसा अपने बचपन से ही एक होनहार देशभक्त बालक था। उसमें अपने समाज के उत्थान के लिए सब कुछ कर गुजरने की तीव्र इच्छा थी। वह अपने विद्यार्थी जीवन से ही स्वतन्त्र प्रकृति का व्यक्ति था। वह ब्रिटिश शासन के विरुद्ध था। उसने लोगों को स्वतन्त्रता और अपने जीवन मूल्यों को समझने की बात बतायी। जड़ी-बूटियों के द्वारा बीमारियों का इलाज करना सीखा, इससे उनमें स्वदेशी की भावनाओं की तीव्रता का पता चलता है।

(2) संगठनकर्ता – उन्होंने अपने समाज के लोगों को एकत्र किया, उनको संगठित करके अपनी भावना बतायी। उन लोगों में अपने सम्मान, देश के सम्मान की रक्षा करने की भावना जाग्रत कर दी।

(3) मातृभूमि की आजादी-देश की आजादी के लिए उन्होंने जीवन भर संघर्ष किया। अंग्रेज सरकार के जुल्मों को सहा। देश की आजादी का सपना पूरा तो नहीं हो सका, परन्तु समाज में आजादी की चेतना जागृत कर दी। स्वतन्त्रता संग्राम में उनका नाम अमर रहेगा।

भाषा-अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के मानक हिन्दी शब्द लिखिए
हुक्म, जवान, सजा, इनाम, पेश, तबीयत।
उत्तर

1. आदेश
2. युवक
3. दण्ड
4. पुरस्कार
5. प्रस्तुत
6. स्वास्थ्य।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित शब्दों का समास विग्रह करके समास का नाम लिखिए।
जीवनवृत्त, शैशवकाल, शंखनाद, टीका-टिप्पणी, जड़ी-बूटी, बहला-फुसला, गाँववासी।
उत्तर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित शब्दों का सन्धि-विच्छेद करके सन्धि का नाम बतलाइए
तत्कालीन, उद्धारक, तन्मय, सत्याग्रह, युवावस्था।
उत्तर

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(अ) तन्मयता’ शब्द में ……… प्रत्यय है। (यता, ता, मयता)
(आ) ‘बेबस’ शब्द में ……. उपसर्ग है। (बेव, बे, स)
(इ) ‘दयनीय’ शब्द में ……..प्रत्यय है। (इय, नीय, य)
(ई) ‘राजनैतिक’ शब्द में …… प्रत्यय है। (तिक, इक, क)
उत्तर
(अ) ता, (आ) बे, (इ) नीय, (ई) इक। .

प्रश्न 5.
निम्नलिखित पर्यायवाची शब्दों में से जो शब्द सही पर्यायवाची नहीं है, उन्हें अलग करके लिखिए।
उत्तर

बिरसा मुण्डा परीक्षोपयोगी गद्यांशों की व्याख्या

(1) इस समय वे युवावस्था में प्रवेश कर रहे थे। निष्कासन ने उनके जीवन की दिशा बदल दी। बिरसा मुण्डा पीडित लोगों की सेवा में जुट गए हैं। वे बीमार व्यक्तियों का उपचार जड़ी-बूटी की सहायता से करने लगे। बीमार लोगों की भीड़ उनके यहाँ एकत्र होने लगी। उपचार के लिए वे दूसरे गाँवों में भी जाते थे। लोगों का विश्वास था कि बिरसा को कोई सिद्धि प्राप्त है। बिरसा के कारण ओझा लोगों का काम चौपट हो रहा था।

शब्दार्थ-युवावस्था = जवानी; निष्कासन = निकालने से, अलग कर देने से, हटा देने से पीड़ित = दुःखी; जुट गए = लग गए; उपचार = इलाज; एकत्र = इकट्ठे, विश्वास = भरोसा; सिद्धि – सफलता; चौपट हो रहा था = नष्ट हो रहा था, समाप्त हो रहा था।

सन्दर्भ-प्रस्तुत पंक्तियाँ हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘भाषा-भारती’के पाठ ‘बिरसा मुण्डा से अवतरित हैं।

प्रसंग-बिरसा मुण्डा की समाज और देश-सेवा का वर्णन किया गया है।

व्याख्या-बिरसा को चाईबासा के लूथरन मिशन स्कूल में पढ़ने के लिए भेजा गया। वहाँ पर वे अंग्रेजों के कष्टदायक कारनामों पर टीका-टिप्पणी करते थे। इसके लिए विद्यालय के प्रबन्धकों ने बिरसा पर दबाव डाला कि वे अंग्रेजों के विषय में कुछ भी न कहें लेकिन उन्होंने वैसा करने से इन्कार कर दिया।
उन्हें विद्यालय से निकाल दिया गया। पढ़ाई छूट गई। यह उनकी युवावस्था में प्रवेश का समय था। विद्यालय से निकाल दिये जाने से, उनके जीवन की दिशा में बदलाव आ गया। बिरसा ने दुःखी लोगों की (बीमारियों से पीड़ित लोगों की सेवा करना शुरू कर दिया। इन रोगियों का इलाज उन्होंने जड़ी-बूटियों की मदद से शुरू कर दिया। उनके द्वारा इस इलाज में जड़ी-बूटियों की सहायता ली जाती थी। अब बीमार लोगों की भीड़ उनके निवास पर लगना शुरू हो गई। लोगों के रोगों के इलाज के लिए, वे दूसरे गाँवों को भी जाया करते थे। अब लोगों में बिरसा मुण्डा के प्रति विश्वास पैदा हो गया था। वे कहने लगे कि बिरसा ने कोई सिद्धि प्राप्त कर ली है। इस प्रकार, झाड़-फूंक करने वाले ओझाओं का काम ठप्प हो गया। उनकी रोजी-रोटी में बाधा पड़ गयी।

(2) बिरसा के प्रति लोगों का आदर भाव उत्तरोत्तर बढ़ता जा रहा था। बिरसा के पास दूर-दूर के गांवों से लोग आने लगे। उन दिनों जनजातियों की आर्थिक स्थिति बहुत ही दयनीय थी। इसके पूर्व वे अपनी जमीन के मालिक थे। वे फसलें उगाते थे। उनकी अपनी ग्राम-व्यवस्था थी। पंच-पंचायतें थीं और रहन-सहन का अपना परम्परागत ढंग था। पर अंग्रेजों ने उन सबको नष्ट करके जमींदार, जागीरदार, जंगल के ठेकेदार और दलाल उन पर लाद दिए। वनवासी अपनी ही जमीन पर मालिक से नौकर हो गए। विवशतावश, भूख और दमन के कारण वे अपने आपको और असहाय समझने लगे।

शब्दार्थ-उत्तरोत्तर =अधिक से अधिक आर्थिक स्थिति = धन सम्बन्धी दशा; दयनीय = सोचनीय, दीन; मालिक = स्वामी; व्यवस्था = इन्तजाम, प्रबन्ध; परम्परागत – पहले से चला आने वाला; ढंग = तरीका; नष्ट करके = समाप्त करके लाद दिए = थोप दिए गए; वनवासी = जंगलों में रहने वाले; विवशतावश – विवश होकर, लाचारी के कारण दमन के कारण = कुचले जाने से; असहाय = किसी भी प्रकार की सहायता से रहित।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-बिरसा मुण्डा के प्रति लोगों का सम्मान बढ़ता जा रहा था। दूसरी ओर उन्हें मालिक से मजदूर बना दिया गया, इन अंग्रेजों की नीति से इस बात का वर्णन किया जा रहा है।

व्याख्या-बिरसा ने लोगों के रोगों का इलाज जड़ी-बूटियों की सहायता से करना शुरू रखा। इससे लोगों में बिरसा का आदर-सम्मान अधिक से अधिक बढ़ता चला गया। अपने इलाज के लिए दूर-दूर गाँवों से लोग बिरसा के पास आने लगे। ये जनजातियाँ जंगलों में रहती थीं। इनकी आर्थिक दशा बहुत ही सोचनीय थी। वे लोग बहुत ही गरीब थे। इस स्थिति से पहले वे लोग अपनी-अपनी जमीन-जायदाद के स्वयं मालिक थे, वे अपने खेतों में स्वयं खेती करते थे। उनमें फसल उगाते थे। वे अपने ही तरीके से गाँव का इन्तजाम करते थे। वहाँ के पंच फैसला करते थे। इनकी पंचायतें होती थीं। इन जनजातियों के लोग अपने ही ढंग से-तौर-तरीके से रहते थे। उनके रहन-सहन की व्यवस्था

पुरानी रीतियों के आधार पर चली आ रही थी, परन्तु अंग्रेजों ने यहाँ आकर उन परम्पराओं, रीति-रिवाजों, पंच-पंचायतों को नष्ट कर दिया। उन लोगों के ऊपर जमींदार बैठा दिए। जंगलों को ठेके । पर ठेकेदार को दे दिया गया। बीच में अनेक तरह के दलाल उन – लोगों के ऊपर नियुक्त कर दिए। इस प्रकार वनवासी लोग, जो : अपनी जमीन के मालिक थे, अब नौकर हो गये। उनकी लाचारी थी। वे भूख से पीड़ित थे। उनके ऊपर दमन चक्र चलाया जा रहा था। इस तरह वे अपने आपको असहाय दीन समझने लगे।

(3) ऐसी स्थिति में बिरसा मुण्डा ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध तीव्र आन्दोलन प्रारम्भ किया। यह आन्दोलन अन्याय और शोषण के विरुद्ध था। यह आन्दोलन मानवता की रक्षा के लिए था। उन दिनों प्रथम स्वतन्त्रता संग्राम के महान् सेनानियों में झाँसी की रानी लक्ष्मीबाई, तात्या टोपे, नाना साहब, कुंवर सिंह आदि की वीरता की कहानियाँ लोगों के मुंह पर थीं। जनमत अंग्रेज शासकों के विरुद्ध था। मुण्डा समाज में दबी भावनाएँ अब व्यापक सामाजिक आन्दोलन और राजनैतिक रूप में उभरने ली। गाँव इन गतिविधियों का केन्द्र था और बिरसा इन गतिविधियों के केन्द्र-बिन्दु थे। विदेशी राज का जुआ अपने कंधों से उतारने के लिए वे कृतसंकल्प थे। वे गाँव-गाँव में जाकर सभाएं करते थे।

शब्दार्थ-स्थिति = दशा में; विरुद्ध = खिलाफ; तीव्र = तेज; प्रारम्भ = शुरू; शोषण- मजदूरी करने के बाद मजदूरी न देना; मानवता = मनुष्यता; स्वतन्त्रता-संग्राम = आजादी की लड़ाई के लिए; सेनानियों में लड़ाकाओं में। जनमत = लोगों की राय; भावनाएँ = इच्छाएँ; व्यापक-बड़े क्षेत्र में फैला हुआ; उभरने लगी प्रकट रूप में दीखने लगी; गतिविधियों का क्रियाकलापों का; केन्द्र-बिन्दु = मुख्य केन्द्र; विदेशी राज का जुआ = दूसरे देश का नियम कानून; कंधों से उतारने के लिए का पालन न करने के लिए; कृत संकल्प = पक्की प्रतिज्ञा किए हुए।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-बिरसा मुण्डा ने विदेशी शासन के विरुद्ध खड़े होकर आजादी प्राप्त करने का बिगुल बजा दिया।

व्याख्या-जनजातियों की दशा खराब होने लगी। वे पराधीनता के कारण भूख और दमन के कुचक्र में फंस गये।ऐसी दशा देखकर बिरसा मुण्डा अंग्रेजी शासन के खिलाफ हो गये, उन्होंने उन अंग्रेज शासकों के शासन के खिलाफ आन्दोलन बहुत तेज कर दिया। उनका यह आन्दोलन शासकों के द्वारा किये गये अन्याय और शोषण के विरोध में था।

उन्होंने इस आन्दोलन को मनुष्यता की रक्षा करने के उद्देश्य से चलाया। उस समय की इस स्वतन्त्रता की लड़ाई के महान् लड़ाकों में शामिल थे-झाँसी की महारानी लक्ष्मीबाई, तात्या टोपे, नाना साहब तथा कुँवर सिंह। लोगों को इन वीर सेनानियों की वीरता के गीत और कहानियाँ कंठान थीं। अधिक संख्या में लोग इन अंग्रेज शासकों के खिलाफ थे। सम्पूर्ण मुण्डा समाज की इच्छाएँ जो दबी हुई थी, वे विस्तृत रूप में समाज के अन्दर आन्दोलन का रूप लेने लगी। उनका राजनैतिक रूप सामने स्पष्ट दीखने लगा। विरसा का गाँव इन सभी क्रियाकलापों का केन्द्र बन चुका था। सभी ग्रामीण लोग अंग्रेजों के शासन के नियम कानून को हटा देने के लिए पक्की प्रतिज्ञा किये हुए थे। इस उद्देश्य के लिए बिरसा सभी गाँवों में घूमते थे। लोगों के बीच सभा करके अपने उद्देश्य को बताते थे।

(4) उन्होंने कहा, “मेरे न रहने पर भी, मेरे द्वारा दिखाया गया रास्ता बन्द नहीं होगा।” उन्हें ले जाकर राँची जेल में डाल दिया गया। न्यायालय ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध दंगा भड़काने का आरोप लगाकर बिरसा और उनके कुछ साथियों को दो वर्ष की कठोर सजा सुनाई। सजा पूरी हो जाने पर सरकार ने उन्हें मुक्त कर दिया। साथ ही चेतावनी दी कि वे पूर्णत: शान्ति से जीवनयापन करेंगे। कुछ दिनों के बाद, उन्होंने फिर ब्रिटिश साम्राज्यवाद के विरुद्ध शंखनाद कर दिया जिसमें पूरा समाज उनके साथ था।

शब्दार्थ-आरोप = दोष; मुक्त = छोड़ दिया; जीवनयापन = जीवन व्यतीत करें; साम्राज्यवाद = अपने राज्य स्थापित करने की नीति । शंखनाद = ऊँची आवाज में विरोध किया।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-अंग्रेज शासकों ने बिरसा को कठोर सजा देकर लोगों का रोष अपने विरुद्ध उत्पन्न करा लिया।

व्याख्या-बिरसा मुण्डा को जब अंग्रेजों ने गिरफ्तार कर लिया तो उन्होंने कहा कि वे लोगों के बीच रहें या न रहें लेकिन उन्होंने लोगों को आजादी प्राप्त करने का रास्ता बता दिया है। लोग आजोदी प्राप्त करने के लिए आगे ही आगे बढ़ते जायें। उनका रास्ता कोई रोक नहीं पायेगा। बिरसा को राँची की जेल – में डाल दिया गया। उनके ऊपर दोष लगाया गया कि उन्होंने : अंग्रेज सरकार के विरोध में दंगा भड़काया है। इसलिए उन्हें और : उनके कुछ साथियों को दो वर्ष की कठोर सजा सुनाई गई। सजा का समय पूरी हो जाने पर सरकार ने उन्हें मुक्त कर दिया और चेतावनी दी कि वे शान्तिपूर्वक अपना जीवन बिताएँ, परन्तु थोड़ा समय बीता होगा कि फिर उन्होंने ब्रिटिश सरकार के खिलाफ आन्दोलन का बिगुल बजा दिया। इस आन्दोलन में पूरा समाज अब उनके साथ था। वे अकेले नहीं थे।

MP Board Class 8th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 Square and Square Roots Ex 6.3

Question 1.
What could be the possible ‘ones’ digits of the square root of each of the following numbers?
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
Solution:
(i) We know that the ‘ones’ place of the square of 1 and 9 is 1.
∴ The possible ‘ones’ digits of the square root of 9801 are 1 and 9.
(ii) We know that the ‘ones’ place of the square of 4 and 6 is 6.
∴ The possible ‘ones’ digits of the square root of 99856 are 4 and 6.
(iii) We know that the ‘ones’ place of the square of 1 and 9 is 1.
∴ The possible ‘ones’ digits of the square root of 998001 are 1 and 9.
(iv) We know that ‘ones’ place of the square of 5 is 5.
∴ The possible ‘ones’ digit of the square root of 657666025 is 5.

Question 2.
Without doing any calculation, find the numbers which are surely not perfect squares,
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
Solution:
We know that the numbers ending with 2, 3, 7 or 8 are not perfect squares. So, (i), (ii) and (iii) are surly not perfect squares.
(iv) Since, the number 441 ends with 1. Thus, 441 may or may not be a perfect square.

Question 3.
Find the square root of 100 and 169 by the method of repeated subtraction.
Solution:
First consider 100.
(1) 100 – 1 = 99
(2) 99 – 3 = 96
(3) 96 – 5 = 91
(4) 91 – 7 = 84
(5) 84-9 = 75
(6) 75 – 11 = 64
(7) 64 – 13 = 51
(8) 51 – 15 = 36
(9) 36 – 17 = 19
(10) 19 – 19 = 0.
∴ \(\sqrt{100}\) = 10.
Now, consider 169
(1) 169 – 1 = 168
(2) 168 – 3 = 165
(3) 165 – 5 = 160
(4) 160 – 7 = 153
(5) 153 – 9 = 144
(6) 144 – 11 = 133
(7) 133 – 13 = 120
(8) 120 – 15 = 105
(9) 105-17 = 88
(10) 88 – 19 = 69
(11) 69 – 21 = 48
(12) 48 – 23 = 25
(13) 25 – 25 = 0.
∴ \(\sqrt{169}\) = 13.

Question 4.
Find the square roots of the following numbers by the Prime Factorisation Method.
(i) 729
(ii) 400
(iii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
Solution:

Question 5.
For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be multiplied so as to get a perfect square number. Also find the square root of the square number so obtained.
(i) 252
(ii) 180
(iii) 1008
(iv) 2028
(v) 1458
(vi) 768
Solution:
(i) We have, 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
The smallest whole number is 7 by which 252 should be multiplied so as to get a perfect square.
252 × 7 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
Now each prime factor is in a pair. Therefore, 252 × 7 = 1764 is a perfect square.

(ii) We have, 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

The smallest whole number is 5, by which 180 should be multiplied so as to get a perfect square.
180 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
So, \(\sqrt{900}\) = 2 × 3 × 5 = 30.

(iii)
We have,

1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
The smallest whole number is 7, by which 1008 should be multiplied so as to get a perfect square.
1008 × 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
Now each prime factor is in pair. Therefore,
1008 × 7 = 7056 is a perfect square.
So, \(\sqrt{7056}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.

(iv) We have, 2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
The smallest whole number is 3 by which 2028 should be multiplied so as to get a perfect square.

2028 × 3 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
Now each prime factor is in pair. Therefore, 2028 × 3 = 6084 is a perfect square.
So, \(\sqrt{6084}\) = 2 × 3 × 13 = 78.

(v) We have, 1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
The smallest whole number is 2, by which 1458 should be multiplied so as to get a perfect square.
1458 × 2 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Now each prime factor is in pair.
Therefore, 1458 × 2 = 2916 is a perfect square.
So, \(\sqrt{2916}\) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

(vi) We have, 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

The smallest whole number is 3, by which 768 should be multiplied so as to get a perfect square.
768 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Now each prime factor is in pair.
Therefore, 768 × 3 = 2304 is a perfect square.
So, \(\sqrt{2304}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.

Question 6.
For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be divided so as to get a perfect square. Also find the square root of the square number so obtained,
(i) 252
(ii) 2925
(iii) 396
(iv) 2645
(v) 2800
(vi) 1620
Solution:
(i) We have 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7

We find that 252 should be divided by 7, to get a perfect square.
252 ÷ 7 = 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Therefore, the required smallest number is 7.

(ii) We find that 2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
We find that 2925 should be divided by 13, to get a perfect square.
2925 ÷ 13 = 225 = 3 × 3 × 5 × 5

Therefore, the required smallest number is 13.
Also, \(\sqrt{225}\) = 3 × 5 = 15.

(iii) We have, 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
We find that 396 should be divided by 11, to get a perfect square.

396 ÷ 11 = 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Therefore, the required smallest number is 11.
Also, \(\sqrt{36}\) = 2 × 3 = 6.

(iv) We have, 2645 = 5 × 23 × 23

We find that 2645 should be divided by 5, to get a perfect square.
2645 ÷ 5 = 529 = 23 × 23
Therefore, the required smallest number is 5.
Also, \(\sqrt{529}\) = 23.

(v) We have, 2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
We find that 2800 should be divided by 7, to get a perfect square

2800 ÷ 7 = 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
Therefore, the required smallest number is 7.
Also, \(\sqrt{400}\) = 2 × 2 × 5 = 20.

(vi) We have,
1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

Question 7.
The students of Class VIII of a school donated ₹ 2401 in all, for the Prime Minister’s National Relief Fund. Each student donated as many rupees as the number of students in the class. Find the number of students in the class.
Solution:
We have, 2401 = 7 × 7 × 7 × 7

We find that the number of students in the class is 49.

Question 8.
2025 plants are to be planted in a garden in such a way that each row contains as many plants as the number of rows. Find the number of rows and the number of plants in each row.
Solution:
Total number of plants = 2025
The plants are planted in a garden in such a way that each row contains as many plants as the number of rows.

2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
∴ Number of plants in each row = \(\sqrt{2025}\) = 3 × 3 × 5 = 45
So, number of rows = number of plants.
Thus, the number of rows = 45
and number of plants in each row = 45.

Question 9.
Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 4,9 and 10.
Solution:
The smallest number divisible by each 4, 9 and 10 is their LCM.
The LCM of 4, 9 and 10 is 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180.
Now, prime factorisation of 180 is
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

In order to get a perfect square, each factor of 180 must be paired.
So, we need to make pair of 5.
∴ 180 should be multiplied by 5.
Hence, the required number is 180 × 5 = 900.

Question 10.
Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 8, 15 and 20.
Solution:
The smallest number divisible by each 8, 15 and 20, is their LCM.
The LCM of 8, 15 and 20 is 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Now prime factorisation of 120 is
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ….. (i)
In order to get a perfect square, each factor of 120 must be paired.
Thus we multiply (i) by 2 × 3 × 5 = 30, we get 120 × 30 = 3600.

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.3

प्रश्न 1.
रिक्त स्थानों में प्रतीक ⊂ या ⊄ को भर कर सही कथन बनाइए :
(i) {2, 3, 4}…. {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c}….. {b, c, d}
(iii) {x : x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है }…. {x : x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है।
(iv) {x : x किसी समतल में स्थित एक वृत है}….. {x : x एक समान समतल में एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है}
(v) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}….. {x : x किसी समतल में स्थित एक आयत है!
(vi) {x: x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है } …..{x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज
(vii) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है}…..{x : x एक पूर्णांक है}
हल:
(i) अवयव 2, 3, 4 ϵ {1, 2, 3, 4, 5}
अतः {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c} का अवयव a ∉ {b, c, d}
अतः {a, b, c} ⊄ {b, c, d}
(iii) जो विद्यार्थी विद्यालय की कक्षा XI में हैं वे विद्यालय में भी हैं।
अतः {x : x विद्यालय की कक्षा XI का विद्यार्थी} ⊂ {x : x आपके विद्यालय का विद्यार्थी
(iv) समुच्चय {x : x समतल में एक वृत्त} के एक अवयव वृत्त की त्रिज्या 1 से भिन्न हो सकती है।
अतः x : x समतल में वृत्त} ⊄ {x : x वृत्त की त्रिज्या 1 इकाई है}
(v) त्रिभुजों का समुच्चय आयतों के समुच्चय से बिल्कुल भिन्न है।
अत: {x : x समतल में एक त्रिभुज} ⊄ {x : x समतल में एक आयत}
(vi) प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है।
अतः {x : x समतल में एक समबाहु त्रिभुज} ⊂ {x : x समतल में एक त्रिभुज}
(vii) प्रत्येक सम प्राकृत संख्या एक पूर्णाक है।
अत: {x : x एक सम प्राकृत संख्या} ⊂ {x : x एक पूर्णाक}

प्रश्न 2.
जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं :
(i) {a, b} ⊄ {b, c, a}
(ii) {a, e} ⊂ {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।}
(iii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}
(iv) {a} ⊂ {a, b, c}
(v) {a} ϵ {a, b, c}
(vi) {x : x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है| ⊂ {x : x एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है।
हल:
(i) समुच्चय {a, b} के अवयव a, b दोनों समुच्चय {b, c, a} में है।
∴ {a, b} ⊄ {b, c, a}
अतः उपरोक्त कथन असत्य है।
(ii) a, e दोनों ही स्वर हैं।
∴ {a, e} ⊂ {x : x, अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है:
अतः यह कथन सत्य है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3} और {1, 3, 5} में अवयव 2 समुच्चय {1, 3, 5} नहीं है।
∴ {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5} कथन असत्य है।
(iv) a ϵ {a, b, c}
∴ {a} ϵ {a, b, c}, यह कथन सत्य है।
(v) {a} समुच्चय है, अवयव नही है।
∴ {a} ϵ {a, b, c} कथन असत्य है।
(vi) सम प्राकृत संख्या 2, 4 संख्या 6 से कम है तथा 36 को विभाजित करती है।
∴ {x : x एक सम प्राकृत संख्या है जो 6 से कम है} ⊂ {x : x एक सम प्राकृत संख्या 36 को विभाजित करती है।
अतः यह कथन सत्य है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि A = {1, 2, {3, 4}, 5}, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3, 4} ⊂ A
(ii) {3, 4} ϵ A
(iii) {{3, 4}} ⊂ A
(iv) 1 ϵ A
(v) 1 ⊂ A
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A
(vii) {1, 2, 5} ϵ A
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A
(ix) ϕ ϵ A
(x) ϕ ⊂ A
(xi) {ϕ} ⊂ A
हल:
(i) सही नहीं है। समुच्चय {3, 4} एक अवयव है।
(ii) सही है। क्योंकि {3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है।
(iii) सही है। ∵ A के अवयव {3, 4} का एक उपसमुच्चय है।
(iv) 1 ϵ A, सही है।
(v) 1 ⊂ A सही नहीं है क्योंकि 1 एक समुच्चय नहीं है।
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A सही है। समुच्चय {1, 2, 5} के अवयव 1, 2, 5 समुच्चय A में है।
(vii) {1, 2, 5} ϵ सही नहीं है। {1, 2, 5} अवयव नहीं है। यह एक समुच्चय है।
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A सही नहीं है। अवयव 3 समुच्चय में नही है।
(ix) ϕ ϵ A, सही नहीं है। ϕ एक समुच्चय है, अवयव नहीं है।
(x) {ϕ} ⊂ A सही है। ϕ सभी समुच्चयों का उपसमुच्चय है।
(xi) {ϕ} ⊂ A सही नहीं है। {ϕ} समुच्चय का समुच्चय है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए।
(i) {a}
(ii) {a, b}
(iii) {1, 2, 3}
(iv) ϕ
हल:
(i) ϕ , {a}
(ii) ϕ , {a}, {b}, {a, b}
(iii) ϕ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3},
(iv) ϕ

प्रश्न 5.
P (A) के कितने अवयव हैं, यदि A= ϕ
हल:
A = ϕ, P(A) = ϕ इस प्रकार P (4) का 2° = 1 अवयव है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए :
(i) { x : x ϵ R, -4 < x ≤ 6}
(ii) {x : x ϵ R, – 12 < x < -10}
(iii) {x : x ϵ R, 0 ≤ x < 7}
(iv) {x : x ϵ R, 3 ≤ x ≤ 4}
हल:
वांछित अंतराल इस प्रकार हैं।
(i) (-4, 6)
(ii) (- 12, – 10)
(iii) (0, 7)
(iv) [3, 4]

प्रश्न 7.
निम्नलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए :
(i) (-3, 0)
(ii) [6, 12]
(iii) (6, 12)
(iv) [-23, 5]
हल:
(i) (-3, 0) = {x : x ϵ R, -3 < x < 0}
(ii) [6, 12] = {x : x ϵ R, 6 ≤ x ≤ 12}
(iii) (6, 12] = {x : x ϵ R, 6 < x ≤ 12}
(iv) [- 23, 5] = {x : x ϵ R, -23 ≤ x ≤ 5}

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
हल:
दोनों समुच्चयों के लिए सार्वत्रिक समुच्चय :
{x : x समतल में स्थित एक त्रिभुज}

प्रश्न 9.
समुच्चय A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} और C = {0, 2, 4, 6, 8} प्रदत्त हैं। इन तीनों समुच्चयों A, B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) ϕ
(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
हल:
समुच्चय (iii),
तीनों समुच्चय A, B, C के लिए {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} सार्वत्रिक समुच्चय हैं।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन से रिक्त समुच्चय के उदाहरण है?
(i) 2 से भाज्य विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
(ii) सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(iii) {x : x एक प्राकृत संख्या है, x < 5 और साथ ही साथ x > 7}
(iv) {y : y किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं का उभयनिष्ठ बिन्दु है}
हल:
(i) 2 से भाज्य कोई भी विषम प्राकृत संख्याएँ नहीं हैं। अत: यह एक रिक्त समुच्चय है।
(ii) सम अभाज्य संख्या का समुच्चय {2} है। यह एक रिक्त समुच्चय नहीं है।
(iii) x < 5 और x > 7 कोई प्राकृत संख्या नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।
(iv) समांतर रेखाएँ कहीं भी नहीं मिलती हैं। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समुच्च्यों में से कौन परिमित और कौन अपरिमित हैं?
(i) वर्ष के महीनों का समुच्चय।
(ii) {1, 2, 3, …..}
(iii) {1, 2, 3, ….. 99, 100}
(iv) 100 से बड़े धन पूर्णांकों का समुच्चय
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय
हल:
(i) ∵ वर्ष में 12 महीने होते हैं। अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
(ii) समुच्चय {1, 2, 3, ……} में अनंत अवयव हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3, …… 99, 100} में कुल 100 अवयव हैं।
अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
(iv) 100 से बड़े पूर्णाकों का समुच्चय {101, 102, 103, …..} है जिसमें अनंत अवयव हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय {2, 3, 5, 7, …… 97} है जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित है।
अतः यह एक परिमित समुच्चय है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है?
(i) x-अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय।
(iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय
(v) मूल बिन्दु (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्तों का समुच्चय।
हल:
(i) x-अक्ष के समांतर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला में कुल 26 अक्षर होते हैं।
इन अक्षरों से बनने वाला समुच्चय परिमित होगा।
(iii) 5 से विभाजित होने वाली संख्याओं का समुच्चय {5, 10, 15, 20, ….} है, जिसमें अनंत अवयव हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय परिमित होगा।
(v) मूल बिन्दु को केन्द्र मानकर अनन्त वृत्त दींचे जा सकते हैं।
अतः यह अपरिमित होगा।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में बताइए कि A = B है अथवा नहीं है:
(i) A = {a, b, c, d}, B = {d, c, b, a}
(ii) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x : x सम धन पूर्णांक है और x ≤ 10}
(iv) A = {x : x संख्या 10 का एक गुणज है}, B = {10, 15, 20, 25, 30, …}
हल:
(i) A और B दोनों समुच्चयों के अवयव a, b, c, d हैं ∴ A = B.
(ii) A में अवयव 12 है परन्तु B में नहीं है अत: A ≠ B.
(iii) A और B दोनों समुच्चयों में अवयव 2, 4, 6, 8 और 10 हैं। अत: A = B.
(iv) A = {10, 20, 30, 40, …..}, B = {10, 15, 25, 30, ….}
∵ 10 के गुणजों में 5, 15, 25 नहीं आता है। अतः A ≠ B.

प्रश्न 5.
क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं ? कारण सहित बताइए।
(i) A = {2, 3}
B = {x : x समीकरण x² + 5x + 6 = 0 का एक हल है!
(ii) A = {x : x शब्द ‘FOLLOW’ का एक अक्षर है।
B = {y : y शब्द ‘WOLF’ का एक अक्षर है}
हल:
(i) A = {2, 3,}, B = x : x समीकरण x² + 5x + 6 = 0} = {-2, -3} स्पष्ट है कि समुच्चय A और B के अवयव भिन्न हैं।
अत: A≠ B.
(ii) A = {F, O, L, W}, B = {W, O, L, F}
समुच्च्य A और B के अवयव समान हैं। अत: A = B.

प्रश्न 6.
नीचे दिए गए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए :
A = {2, 4, 8, 12}
B = {1, 2, 3, 4},
C = {4, 8, 12, 14}
D = {3, 1, 4, 2}
E = {- 1, 1,}
F = {0, a}
G = {1, -1}
H = {0, 1}
हल:
यहाँ समुच्चय B और D के अवयव 1, 2, 3, 4, हैं।
∴ B = D
तथा समुच्चय E और G में – 1, 1 अवयव समान हैं।
∵ E = G

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