Bhagya

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.1

प्रश्न 1.
यदि \(\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) तो तथा ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : \(\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\)
दोनों पक्षों के क्रमित अवयवों की तुलना से,

प्रश्न 2.
यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो A × B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
समुच्चय A में 3 अवयव है और समुच्चय B में भी 3 अवयव हैं।
∴ A × B में अवयवों की संख्या = 3 × 3= 9.

प्रश्न 3.
यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G × H तथा H × G ज्ञात कीजिए।
हल:
G = {7, 8}, H = {5, 4, 2}
G × H = {7, 8} × {5, 4, 2}
= {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
तथा H × G = {5, 4, 2} × {7, 8}
= {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m} तो P × Q = {(m, n), (n, m)}.
(ii) यदि A और Bअरिक्त समुच्चय हैं, तो Ax B क्रमित युग्मों (x,y) का एक अरिक्त समुच्यय है इस प्रकार कि x E A तथा y E B.
(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × (B ∩ ϕ) = ϕ.
हल:
(i) दिया है :
P = {m, n} और Q = {n, m }
∴ P × Q = {m, n} × {n, m}
∴ = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
अतः दिया गया P × Q = {(m, n), (n, m),} कथन असत्य है।
(ii) सत्य है क्योंकि A × B क्रमित युग्म (x, y) का अरिक्त समुच्चय है जिसमें
X ϵ A और Y ϵ B
(iii) सत्य है क्योंकि B ϵ ϕ = ϕ, ∴ A × (B ⊂ ϕ) = A × ϕ = ϕ.

प्रश्न 5.
यदि A = {-1, 1}, तो A × A × A ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A = {(-1, 1)}
∴ A × A = {- 1, 1} × {- 1, 1}
= {(- 1, – 1), (- 1, 1), (1, – 1), (1, 1)}
A × A × A = {- 1, 1} × {(-1, – 1), (- 1, 1), (1, – 1), (1, 1)}
= {(-1, – 1, – 1), (-1, – 1, 1), (- 1, 1, – 1), (-1, 1, 1), (1, – 1, – 1), (1, – 1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}.

प्रश्न 6.
यदि A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
हल:
A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}
= {a, b} × {x, y}
अतः A = {a, b}, B = {x, y}.

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8} सत्यापित कीजिए कि
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।
हल:
दिया है : A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}
(i) बायाँ पक्ष = A × (B ∩ C)
= {1, 2} × ({1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6})
= {1, 2} × ϕ = ϕ
दायाँ पक्ष = (A × B) (A × C)
= [{1, 2} × {1, 2, 3, 4}] ∩ [{1, 2} × {5, 6}]
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
= ϕ
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
A × C = {1, 2} × {5, 6} = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B × D = {1, 2, 3, 4} × {5, 6, 7, 8}
= {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
हम पाते हैं कि A × C के सभी अवयव समुच्चय B × D में स्थित हैं।
अतः A × C ⊂ B × D.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}. A × B लिखिए। A × B के कितने उपसमुच्चय होंगें ? उनकी सूची बनाइए।
हल:
A × B = {1, 2} × {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A × B के उपसमुच्चयों की संख्या = 24 = 16
A × B के उपसमुच्चयों के अवयव = h, {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1, 4)}, {(1, 3), (2, 3)},{(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1,4), (2,4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2,4)}.

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n (A) = 3 और n (B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A × B में हैं, तो A और B को ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
हल:
अवयव x, y, z ϵ A अर्थात् A = {x, y, z}
1, 2 ϵ B अर्थात् B = {1, 2}.

प्रश्न 10.
कार्तीय गुणन A × A में 9 अवयव हैं जिनमें (-1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A × A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
हल:
(-1, 0) ϵ A × A ⇒ -1 ϵ A और 0 ϵ A
⇒ -1, 0 ϵ A
और (0, 1) ϵ A ⇒ 0 ϵ A तथा 1 ϵ A
⇒ 0, 1 ϵ A
⇒ – 1, 0, 1 ϵ A
∴ A = {- 1, 0, 1}
∴ A × A = {- 1, 0, 1} × {- 1, 0, 1}
= {(-1, – 1), (-1, 0), (-1, 1), (0, – 1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)}
जिसमें (- 1, 0), (0, 1) सम्मिलित है।
अतः A × A के शेष अवयव = (-1, – 1), (- 1, 1), (0, – 1), (0, 0), (1, – 1), (1, 0), (1, 1).

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 Introduction to Graphs Ex 15.2

Question 1.
Plot the following points on a graph sheet. Verify if they lie on a line
(a) A(4, 0), B(4, 2), C(4, 6), D(4, 2.5)
(b) P(1, 1), Q(2, 2), R(3, 3), S(4, 4)
(c) K(2, 3), L(5, 3), M(5, 5), N(2, 5).
Solution:
(a) A(4, 0), B(4, 2), C(4, 6), D(4, 2.5)

Yes, above all points lie on the same line,

(b) P(1, 1), Q(2, 2), R(3, 3), S(4, 4).

Yes, above all points lie on the same line.

(c) K(2, 3), L(5, 3), M(5, 5), N(2, 5).

No, above all points do not lie on the same line.

Question 2.
Draw the line passing through (2, 3) and (3, 2). Find the coordinates of the points at which this line meets the x-axis and y-axis.
Solution:
After drawing a graph the line passing through (2, 3) and (3, 2), then the co-ordinates of the points which meets the x-axis and y-axis are at (5, 0) and (0, 5) respectively.

Question 3.
Write the coordinates of the vertices of each of these adjoining figures.

Solution:
After observing a graph we find that O(0, 0), A(2, 0), B(2, 3), C(0, 3), P(4, 3), Q(6,1), R(6, 5), S(4, 7), L(7, 7), M(10, 8), K(10, 5).

Question 4.
State whether True or False. Correct that are false.
(i) A point whose x-coordinate is zero and y-coordinate is non-zero will lie on the y-axis.
(ii) A point whose y-coordinate is zero and x-coordinate is 5 will lie on y-axis.
(iii) The coordinates of the origin are (0, 0).
Solution:
(i) True
(ii) False, because it will lie on x-axis.
(iii) True.

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 7 Cube and Cube Roots Ex 7.2

Question 1.
Find the cube root of each of the following numbers by prime factorisation method.
(i) 64
(ii) 512
(iii) 10648
(v) 15625
(vi) 13824
(vii) 110592
(viii) 46656
(ix) 175616
(x) 91125
Solution:

Question 2.
State true or false.
(i) Cube of any odd number is even.
(ii) A perfect cube does not end with two zeros.
(iii) If square of a number ends with 5, then its cube ends with 25.
(iv) There is no perfect cube which ends with 8.
(v) The cube of a two digit number may be a three digit number.
(vi) The cube of a two digit number may have seven or more digits.
(vii) The cube of a single digit number may be a single digit number.
Solution:
(i) False
Because the cube of any odd number is odd.

(ii) True
Because to make a perfect cube, we need each and every factor to occur three times in a group.
So, we need 3, 6, 9, …. zeros to make a perfect cube.

(iii) False
15² = 225, which ends with 5.
and 15³ = 3375, which ends with 75.

(iv) False
∵ 12³ = 1728, which ends with 8.

(v) False
∵ 10³ = 1000, where 10 is the smallest two digit number, and its cube contains 4 digits.

(vi) False
∵ 99³ = 970299, where 99 is the largest two digit number and its cube contains 6 digits.

(vii) True
∵ 1³ = 1, Which is a single digit number.

Question 3.
You are told that 1,331 is a perfect cube. Can you guess without factorisation what is its cube root? Similarly, guess the cube roots of 4913, 12167, 32768.
Solution:
The given number is 1331.
Step-1: Start making groups of three digits starting from the right most digit of the, number we get 331 and 1 as two groups of three and one digits.
Step-2: First group, i.e., 331 will give the one’s digit (unit’s) of the required cube root. The number 331 ends with 1. We know that 1 comes at the unit’s place of a number only
when its cube root ends in 1.
So, we get 1 at the unit’s place of the cube root.
Step-3: Now take another group, i.e., 1
We know that 1³ = 1 and 2³ = 8. Also 1 ≤ 1 ≤ 8. We take the smaller number 1 as the ten’s place of the required cube root. So, we get
\(\sqrt[3]{1331}=11\)
Cube root of 4913
Step-1: Forming groups of three digits starting ’ from the right most digit of 4913 we get two groups 913 and 4.
Step-2: One’s place digit of first group is 3.
∴ We take one’s place digit of required cube root is 7(∵ 7³ = 343)
Step-3: Now the second group is 4.
1³ = 1, 2³ = 8
1 < 4 < 8, hence 1 is the ten’s place digit of required cube root.
So, we get \(\sqrt[3]{4913}\) = 17.
Cube root of 12167.
Step-1 : Forming groups of three digits starting from the right most digit of 12167 we get two groups 167 and 12.
Step-2 : First group is 167.
∴ unit’s place digit of required cube root is 3. (∵ 3³ = 27)
Step-3: Second group is 12
2³ = 8 and 3³ = 27, 8 < 12 < 27
⇒ 23 < 12 < 33
∴ 2 is the ten’s place digit of required cube root. So, we get \(\sqrt[3]{12167}\) = 23.
Cube root of 32768
Step-1: Forming groups of three digits starting from the right most digit of 32768 we get two groups 768 and 32.
Step-2: First group is 768.
∴ unit’s place digit of required cube root is 2
(∵ 2³ = 8).
Step-3: Second group is 32
3³ = 27 and 4³ = 64, 27 < 32 < 64
⇒ 33 < 32 < 43
∴ 3 is the ten’s place digit of required cube root. So, we get \(\sqrt[3]{32768}\) = 32.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए :
A = {x : x ϵ R तथा x² – 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करने वाली सभी वास्तविक संख्याएं x}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8….}, D = {6}.
हल:
A = {x : x ϵ R, x समीकरण x² – 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करता है}
अर्थात् A = {2, 6}
B = {2, 4, 6}
C = {2, 4, 6, 8….}
D = {6}
(i) समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय B में भी हैं।
⇒ A ⊂ B.
(ii) इस प्रकार समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय C में भी है
⇒ A ⊂ C.
(iii) समुच्चय B के अवयव 2, 4, 6 समुच्चय C में हैं।
⇒ B ⊂ C.
(iv) समुच्चय D का अवयव 6, समुच्चय A, B और C तीनों में हैं,
⇒ D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C.

प्रश्न 2.
ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
(i) यदिx ϵ A तथा A ϵ B, तो x ϵ B
(ii) यदि A ⊂ B तथा B ϵ C, तो A ϵ C
(iii) यदि A ⊂ B तथा B ⊂ C, तो A ⊂ C
(iv) यदि A ⊄ B तथा B ⊄ C, तो A ⊄ C
(v) यदि x ϵ A तथा A ⊄ B, तो x ϵ B
(vi) यदि A ⊂ B तथा x ∉ B, तो x ∉ A
हल:
(i) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {{1}, 2}
स्पष्ट है कि 1 ϵ A, A ϵ B परंतु 1 ∉ समुच्चय B क्योंकि 1 B में नहीं है। इस प्रकार दिया हुआ कथन सत्य नहीं
(ii) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {1, 2} और C = {{1, 2}, 3}
समुच्चय A का अवयव समुच्चय B में हैं ∴ A ϵ B
अवयव {1, 2} समुच्चय C में हैं ” B ϵ C
पंरतु A = {1} समुच्चय C में नहीं है।
∴ कथन A ϵ C सत्य नहीं है।
(iii) सत्य : A ⊂ B ⇒ यदि x ϵ A तथा x ϵ B
परंतु B ⊂ C ⇒ यदि x ϵ B तब x ϵ C
∴ यदि x ϵ A तब x ϵ A तब x ϵ C ⇒ A ⊂ C
(iv) असत्य : मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 5}
समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं हैं।
∴ A ⊄ D
समुच्चय B के सभी अवयव 2, 3 समुच्चय C में नहीं हैं।
∴ A ⊂ C
पंरतु समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय C में हैं।
∴ A ⊂ C
इस प्रकार दिया कथन सत्य नहीं है।
(v) समुच्चय A = {1, 2}, B = {2, 3, 4, 5}
समुच्चय A का अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं है
∴ A ⊄ B
समुच्चय A का अवयव 1 समुच्चय B में नहीं हैं
∴ x ⊄ B
इस प्रकार दिया गया कथन सत्य नहीं है।
(vi) सत्य : A ⊂ B = यदि x ϵ A तब x ϵ B यदि x ∉ B तथा x ∉ A
इस प्रकार कथन A ⊂ B, x ∉ B तब x ∉A सत्य हैं।

प्रश्न 3.
मान लीजिए A, B और C ऐसे समुच्चय हैं कि A ∪ B = A ∪ C तथा A ∩ B = A ∩ C, तो दर्शाइए कि B = C.
हल:
दिया है : A ∪ B = A ∪ C
⇒ (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ C
= C
⇒ [(A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = C
⇒ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = C (i) [A ∩ C= A ∩ B = दिया है]
और A ∪ B = A ∪ C
(A ∪ B) ∩ B = (A ∪ C) ∩ B
B = (A ∪ C) ∩ B
= (A ∩ B) (C ∩ B)
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B ….(ii)
(i) और (ii) से B = C प्राप्त होता है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबन्ध तुल्य हैं :
(i) A ⊂ B
(ii) A – B = ϕ
(iii) A ∪ B = B
(iv) A ∩ B = A
हल:
(i) A ⊂ B अर्थात् समुच्चय A के सभी अवयव B में हैं
⇒ A – B = ϕ अर्थात (i) ⇔ (ii)
(ii) A – B = ϕ ⇔ समुच्चय A के सभी अवयव B में हैं
⇔ A ∪ B = B
अर्थात (ii) ⇔ (iii)
(iii) A ∪ B = B ⇔ समुच्चय A के सभी अवयव B में है
समुच्चय A और B मे समुच्चय A के अवयव उभयनिष्ठ है
∴ A ∩ B = A
इससे स्पष्ट है सभी कथन समान हैं।

प्रश्न 5.
दिखाइए कि यदि A ⊂ B तो C – B ⊂ C – A.
हल:
मान लीजिए x ϵ C – B = x ϵ C पंरतु x ∉ B
दिया है : A ⊂ B ⇒ यदि x ∉ B ⇒ x ∉ A
अर्थात x ϵ C और x ∉ A ⇒ x ϵ C – A
यहाँ हम पाते हैं कि
यदि x ϵ C – B तब x ϵ C – A
⇒ C – B ⊂ C – A.

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B.
हल:
मान लीजिए x, समुच्चय A का कोई अवयव है। तब एक उपसमुच्चय X (मान लो) ऐसा होगा जिसमे x ϵ A जिसके अनुसार
∴ X ⊂ A X ϵ P(A)
⇒ X ϵ P(B) [∴ P(A) = P(B)]
∴ X ⊂ B या x ϵ B
अर्थात यदि x ϵ A तब x ϵ B D A ⊂ B
∵ y समुच्चय B का कोई अवयव हो, तब
समुच्चय B का कोई उपसमुच्चय Y (मान लो) होगा जिससे y ϵ Y
तब Y ⊂ B = Y ϵ P(B)
⇒ Y ϵ P(A) [∵ P(A) = P(B)]
⇒ Y ⊂ A
⇒ यदि y ϵ B तब Y ϵ A
⇒ B ⊂ A …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं

प्रश्न 7.
किन्हीं भी समुच्चयों A तथा B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
मान लीजिए
A = {a}, B = {b}, और A ∪ B = {a, b}
P(A) = {ϕ, {a}}, P(B) = {ϕ, {b}}
P(A) ∪ P(B) = {ϕ, {a}, {b}} …(i)
अब A ∪ B = {a, b}
∴ P(A ∪ B) = {ϕ, {a}, {b}, {a, b}} …(ii)
समी (i) और (ii) से हम देखते हैं कि
अतः P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B).

प्रश्न 8.
किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि
A = (A ∩ B) ∪ (A – B) और A ∪ (B – A) = A ∪ B.
हल:
(i) दायाँ पक्ष = (A ∩ B) ∪ (A – B)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) [∴ A – B = A ∩ B’]
= (A ∩ (B ∪ B’) (वितरण गुण से)
= A ∩ U (यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय)
= A .
अतः (A ∩ B) (A – B) = A.
बायाँ पक्ष = A ∪ (B – A)
= A ∪ (B ∩ A’) [∴ B – A = B ∩ A’]
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A) (वितरण गुण से)
= (A ∪ B) ∩ U [यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय]
= A ∪ B
अतः A ∪ (B – A) = A ∪ B.

प्रश्न 9.
समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि
(i) A ∪ (A ∩ B) = A
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A.
हल:
(i) बायाँ पक्ष = A ∪ (A ∩ B)
= (A ∪ A) (A ∪ B) (वितरण गुण से)
= A ∩ (A ∪ B) (∴ A ∪ A = A)
= A [∴ A ⊂ A ∪ B]
∴ A ∪ (A ∩ B) = A.

(ii) बायाँ पक्ष = A ∩ (A ∪ B)
= (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) [वितरण गुण से]
= A ∪ (A ∩ B) [∴ A ∩ A = A]
= A [∴ A ∩ B ⊂ A]
अतः A ∩ (A ∪ B) = A.

प्रश्न 10.
दिखलाइए कि A ∩ B = A ∩ C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता।
हल:
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {1, 7} तथा C = {1, 4} हो, तब
A ∩ B = {1, 2} ∩ {1, 7} = {1}
A ∩ C = {1, 2} ∩ {1, 4} = {1}
⇒ A ∩ B = A ∩ C
परंतु B ≠ C
⇒ यदि A ∩ B = A ∩ C तो आवश्यक नहीं है कि B = C.

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय x के लिए A ∪ X = B ∪ X = ϕ तथा A ∪ X = B ∪ X तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
हल:
दिया है A ∪ X = B ∪ X, जब कि X कोई समुच्चय है।
⇒ A ∩ (A ∪ X) = A ∩ (B ∪ X) [A ⊂ A ∪ X, ∴ A ∩ (A ∪ X) = A]
⇒ A = A ∩ (B ⊂ X)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ A) [वितरण गुण से]
= (A∩ B) U ϕ (∴ दिया है, A ∩ x = ϕ)
= A ∩ B
⇒ A ⊂ B …(i)
पुनः A ∪ X = B ∪ X
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B ∩ (B ∪ X)
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B [∴ B ⊂ B ∪ X]
⇒ (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) = B [वितरण गुण से]
⇒ (B ∩ A) ∪ ϕ = B [दिया है: B ∩ X = ϕ]
⇒ (B ∩ A) = B
⇒ B ⊂ A …..(ii)
समी. (i) और (ii) से, हम पाते हैं कि A = B.

प्रश्न 12.
ऐसे समुच्चय A, B और C ज्ञात कीजिए ताकि A ∩ B, B ∩ C तथा A ∩ C आरिक्त समुच्चय हों और A ∩ B ∩ C = ϕ.
हल:
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}
A ∩ B = {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}
B ∩ C = {2, 3} ∩ {1, 3} = {3}
C ∩ A = {1, 3} ∩ {1, 2} = {1}
अतः A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A रिक्त समुच्चय नहीं हैं।
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C
= {2} ∩ {1, 3} = ϕ.

प्रश्न 13.
किसी विद्यालय के 600 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 150 विद्यार्थी चाय, 225 विद्यार्थी कॉफी तथा 100 विद्यार्थी चाय और कॉफी दोनों पीते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न कॉफी पीते हैं।
हल:
मान लीजिए T और C चाय तथा कॉफी पीने वाले विद्यार्थियों के समुच्चय हों, तब
n(T) = 150, n(C) = 225, n(T ∩ C) = 100
n(T ∪ C) = n(T) + n(C) – n(T ∩ C)
= 150 + 225 – 100
= 275
= उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी पीते हैं या चाय और कॉफी दोनों पीते हैं।
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 600
∴ उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी कुछ भी नहीं पीते
= 600 – 275 = 325.

प्रश्न 14.
विद्यार्थियों के समूह में, 100 विद्यार्थी हिन्दी, 50 विद्यार्थी अंग्रेजी तथा 25 विद्यार्थी दोनों भाषाओं को जानते हैं। विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिन्दी या अंग्रेजी जानता है। समूह में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
हल:
पाना H तथा E क्रमशः हिन्दी और अंग्रेजी जानने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 100, n(E) = 50, n(H ∩ E) = 25
∴ n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
= 100 + 50 – 25
=125
उन विद्यार्थियों की संख्या जो हिन्दी या अंग्रेजी जानते हैं = 125.

प्रश्न 15.
60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H, 26 लोग समाचार पत्र T, 26 लोग समाचार पत्र I, 9 लोग H तथा I दोनों, 11 लोग H तथा T दोनों, 8 लोग T तथा । दोनों और 3 लोग तीनों ही समाचार पत्र पढ़ते हैं, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
(ii) ठीक ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
हल:
कुल लोगों की संख्या जिनका सर्वेक्षण किया गया = 60
H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H) = 25
T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T) = 26
समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (I) = 26

H और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ I) = 9
H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T) = 11
T और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T ∩ I) = 8
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T ∩ I) = 3
H और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा T समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 9 – 3 = 6
H और T समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा I समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 11 – 3 = 8
T और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा H समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 8 – 3 = 5
केवल H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 25 – 8 – 6 – 3 = 8
केवल T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 26 – 8 – 3 – 5 = 10
केवल I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 26 – 6 – 3 – 5 = 12
कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
= केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + केवल दो समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
= (8 + 10 + 12) + (8 + 6 + 5) + 3 = 30 + 19 + 3
= 52
वैकल्पिक विधि :
n(H ∪ T ∪ I) = n(H) + n(T) + n(I) – n(H ∩ T) = n(T ∩ I)- n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)
= 25 + 26 + 26 – 11 – 8 – 9 + 3
= 77 – 28 + 3 = 80 – 28 = 52
(ii) केवल H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 11 – 3 = 8
केवल T औरI समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 8 – 3 = 5
केवल I और H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 9 – 3 = 6
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 3
केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 52 – (8 + 5 + 6 + 3)
= 52 – 22 = 30.

प्रश्न 16.
एक सर्वेक्षण में पाया गया कि 21 लोग उत्पाद A,26 लोग उत्पाद B, 29 लोग उत्पाद पसंद करते हैं। यदि 14 लोग उत्पाद A तथा B, 12 लोग उत्पाद C तथा A, 14 लोग उत्पाद B तथा C और 8 लोग तीनों ही उत्पादों को पसंद करते हैं ज्ञात कीजिए कि कितने लोग केवल उत्पाद C को पसंद करते हैं?
हल:
दिया है n(A) = 21, n(B) = 26
और n(C) = 29
n(A ∩ B) = 14, n(A ∩ C) = 12
n(B ∩ C) = 14, n(A ∩ B ∩ C) = 8
अब n(A ∪ C) = 12, n(A ∩ B ∩ C) = 8

∴ n(केवल A और C) = 12 – 8 = 4
∴ n(केवल B और C) = 14 – 8 = 6
∴ (केवल C) = n(C) – n (केवल A और C) – n (केवल B और C) – n(A ∩ B ∩ C)
= 29 – 4 – 6 – 8 = 29 – 18 = 11.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 Introduction to Graphs Ex 15.1

Question 1.
The following graph shows the temperature of a patient in a hospital, recorded every hour.

(a) What was the patient’s temperature at 1 p.m.?
(b) When was the patient’s temperature 38.5° C?
(c) The patient’s temperature was the same two times during the period given. What were these two times ?
(d) What was the temperature at 1.30 p.m. ? How did you arrive at your answer?
(e) During which periods did the patient’s temperature showed an upward trend?
Solution:
(a) At 1 p.m. patient’s temperature was 36.5°C.
(b) At 12 noon the patient’s temperature was 38.5°C.
(c) The patient’s temperature was 36.5°C at 1 p.m. and 2 p.m.
(d) The patient’s temperature was 36.5°C at 1.30 p.m. (because the temperature of the patient was constant from 1 p.m. to 2 p.m.). The point between 1 p.m. and 2 p.m. on the x-axis and equidistant from them will represent 1 : 30 p.m. Similarly, the point on the y-axis, between 36°C and 37°C and equidistant from them will represent 36.5° C.
(e) 9 a.m. to 10 a.m., 10 a.m. to 11 a.m. and 2 p.m. to 3 p.m.

Question 2.
The following line graph shows the yearly sales figures for a manufacturing company.
(a) What were the sales in
(i) 2002
(ii) 2006?
(b) What were the sales in
(i) 2003
(ii) 2005?
(c) Compute the difference between the sales in 2002 and 2006.
(d) In which year was there the greatest difference between the sales as compared to its previous year?

Solution:
(a) (i) In 2002 company’s sales were ₹ 4 crores.
(ii) In 2006 company’s sales were ₹ 8 crores.

(b) (i) The sales of a manufacturing company in 2003 were ₹ 7 crores.
(ii) The sales of a manufacturing company in 2005 were ₹ 10 crores.

(c) The difference between the sales in 2002 and 2006.
= Sales in 2006 – Sales in 2002
= ₹ 8 crores – ₹ 4 crores = ₹ 4 crores.

(d) In year 2005, the difference between the sales was greatest as compared to its previous year.

Question 3.
For an experiment in Botany, two different plants, plant A and plant B were grown under similar laboratory conditions. Their heights were measured at the end of each week for 3 weeks. The results are shown by the following graph.

(a) How high was Plant A after
(i) 2 weeks,
(ii) 3 weeks?
(b) How high was Plant B after
(i) 2 weeks,
(ii) 3 weeks?
(c) How much did Plant A grow during the 3rd week?
(d) How much did Plant B grow from the end of the 2nd week to the end of the 3rd week?
(e) During which week did Plant A grow most?
(f) During which week did Plant B grow least?
(g) Were the two plants of the same height during any week shown here? Specify.
Solution:
(a) (i) After 2 weeks the height of plant A was 7 cm.
(ii) After 3 weeks the height of plant A was 9 cm.

(b) (i) After 2 weeks the height of plant B was 7 cm.
(ii) After 3 weeks the height of plant B was 10 cm.
(c) During the 3rd week plant A grew (9 – 7) cm = 2 cm.
(d) The plant B grew from the end of 2nd week to the end of 3rd week
= 10 cm – 7 cm = 3 cm
(e) The plant A grew most during second week.
(f) The plant B grew least during first week.
(g) Yes, at the end of second week.

Question 4.
The following graph shows the temperature forecast and the actual temperature for each day of a week.
(a) On which days was the forecast temperature the same as the actual temperature?
(b) What was the maximum forecast temperature during the week?
(c) What was the minimum actual temperature during the week?
(d) On which day did the actual temperature differ the most from the forecast temperature?

Solution:
(a) The forecast temperature is the same as actual temperature on : Tuesday, Friday and Sunday.
(b) The maximum forecast temperature during the week was 35°C.
(c) The minimum actual temperature during the week was 15°C.
(d) On Thursday, the actual temperature differed the most from the forecast temperature.

Question 5.
Use the tables below to draw linear graphs.
(a) The number of days a hill side city received snow in different years

(b) Population (in thousands) of men and women in a village in different years.

Solution:
(a) By using a given information we draw a line graph, where the horizontal line i.e. x-axis shows the year and the vertical line i.e. y-axis shows the number of days.

(b) The horizontal line i.e. x-axis shows the year and the vertical line i.e. y-axis shows the number of men and number of women.

Question 6.
A courier-person cycles from a town to a neighbouring suburban area to deliver a parcel to a merchant. His distance from the town at different times is shown by the following graph.
(a) What is the scale taken for the time axis?
(b) How much time did the person take for the travel?
(c) How far is the place of the merchant from the town?
(d) Did the person stop on his way? Explain.
(e) During which period did he ride fastest?

Solution:
(a) 4 units = 1 hour is the scale taken for the time axis.
(b) Time taken by a person for the travel = (1 +1 + 1+ \(\frac{1}{2}\)) hours = 3\(\frac{1}{2}\) hours.
(c) The place of the merchant from the town is at a distance of 22 km.
(d) Yes, this is indicated by the horizontal part of the graph from 10 a.m. -10.30 a.m. where the stability of a distance has been shown.
(e) Between 8.00 a.m. – 9.00 a.m. he rode the fastest.

Question 7.
Can there be a time-temperature graph as follows? Justify your answer.


Solution:
Figure (i) shows temperature is increasing over time.
Figure (ii) shows temperature is decreasing over time.
Figure (iii) is not a possible time – temperature graph. because, at the same time, temperature can’t be different.
Figure (iv) shows temperature is constant over time

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Solutions Chapter 14 नव संवत्सर

नव संवत्सर बोध प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए
उत्तर
नव संवत्सर = एक वर्ष की अवधि का समय; मत्स्य = मछली; उत्सव = पर्व, त्यौहार; कार्तिकादि = कार्तिक माह से प्रारम्भ होने वाला; अमान्त = अमावस्या को समाप्त होने वाला पक्ष; शृंगार = सजावट, सजना, सजाना; जयन्ती = जन्मदिन पीर=संत, महात्मा; सृष्टि रचना, जन्म देना, बनाना; वध = मार देना, नष्ट कर देना; चैत्रादि चैत्र माह से शुरू होने वाला; पूर्णिमान्त = पूर्णमासी को समाप्त होने वाला पक्ष; ऋतु  = मौसम; सम्वर्द्धन = विकास, वृद्धि, बढ़ोतरी; आततायी = कष्ट पहुँचाने वाला, अत्याचारी।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर संक्षेप में लिखिए

(क) नव संवत्सर से क्या तात्पर्य है ?
उत्तर
नव संवत्सर से तात्पर्य है-नये वर्ष का प्रारम्भ। यह नव संवत्सर चैत्र मास की शुक्ल पक्ष की प्रतिपदा से शुरू होता है।

(ख) गुड़ी पड़वा नाम का क्या अर्थ है ?
उत्तर
गुड़ी’ का अर्थ है ध्वज या झण्डी। पड़वा का अर्थ है प्रतिपदा। लोक में एक परम्परा व्याप्त है। उसके अनुसार यह माना जाता है कि इसी दिन श्री रामचन्द्रजी ने किष्किधा के राजा बाली का वध किया और उसके स्वेच्छाचारी राज्य का अन्त कर दिया। बाली वध के बाद वहाँ की प्रजा ने पताकाएँ फहराई और उत्सव मनाया। इन पताकाओं को महाराष्ट्र में गुड़ी कहते हैं। आज भी वहाँ इस दिन आँगन में बाँस के सहारे गुड़ी खड़ी की जाती है। इसलिए चैत्र शुक्ल प्रतिपदा को गुड़ी पड़वा कहा जाता है।

(ग) विक्रम संवत् किसने प्रारम्भ किया?
उत्तर
उज्जयिनी के महान् सम्राट् विक्रमादित्य ने विदेशी आक्रमणकारी शकों पर विजय प्राप्त की। इस विजय की खुशी में उन्होंने विक्रम संवत् आरम्भ किया। यह विक्रम संवत् ईसा के ईसवीय सन् से 57 वर्ष पूर्व प्रारम्भ किया गया।

(घ) बसन्त ऋतु का आगमन किस भारतीय माह में होता है ?
उत्तर
बसन्त ऋतु का आगमन चैत्र माह में होता है।

(ङ) दक्षिण भारत में विक्रम संवत् का प्रारम्भ किस भारतीय मास से होता है ?
उत्तर
दक्षिण भारत में विक्रम संवत् का प्रारम्भ कार्तिक मास से होता है।

प्रश्न 3.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(क) चैती चाँद पर्व भगवान ……….. की जयन्ती के रूप में मनाते हैं।
(ख) प्रत्येक चार वर्ष बाद अतिरिक्त माह को ……………… माह तथा उसके वर्ष को …………… वर्ष कहते हैं।
(ग) नवरात्रि बासंतीय..”माह में तथा नवरात्रिशारदीय ………… माह में आती है।
उत्तर
(क) झूलेलाल
(ख) अधिक, चन्द्रमास,
(ग) चैत्र, कार्तिक।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर विस्तार से लिखिए
(क) संवत्सरों का नामकरण किस प्रकार किया जाता है ?
उत्तर
संवत्सर का उपयोग समय की गणना के लिए एक वर्ष की अवधि के अर्थ में किया जाता है। ऋग्वेद और अथर्ववेद आदि प्राचीन ग्रन्थों में भी संवत्सर का एक काल चक्र के रूप में उल्लेख है। इस प्रकार समय की गणना करने की विधि अति प्राचीन है। जिस तरह हमारे यहाँ दिनों और महीनों के नाम दिए गए हैं; उसी तरह संवत्सरों का भी नामकरण किया गया है। ये साठ वर्ष बाद पनः एक चक्र के रूप में आते रहते हैं। विक्रम संवत 2063 का नाम विकारी नामक संवत्सर है। इसके पहले के दो संवत्सरों के नाम ‘हेमलम्ब नाम’ और ‘विलम्ब नाम संवत्सर थे।

(ख) भगवान झूलेलाल की पूजा क्यों की जाती है ?
उत्तर
भगवान झूलेलाल की पूजा इसलिए की जाती है कि वे साम्प्रदायिक सद्भाव और एकता के प्रतीक हैं। उन्होंने सम्पूर्ण मानव जाति के कल्याण के लिए समानता के आधार पर स्थापित धर्म की सराहना की। उन्होंने धर्म के सच्चे स्वरूप का विवेचन कर लोगों को सही आचरण करने की सलाह दी। उन्होंने तत्कालीन मुस्लिम शासकों को कट्टरपंथी रुख न अपनाने के लिए विनती की। उन्होंने साम्प्रदायिक सद्भाव और एकता कायम रखने के लिए लोगों को बताया कि सत्य एक है, ईश्वर एक है, अल्लाह एक है। उसके नाम व रूप अनेक हैं। भगवान झूलेलाल ने सभी लोगों को विनम्रता और अपने कर्त्तव्य धर्म का पालन करने का उपदेश दिया। उन्होंने लोगों में सद्बुद्धि बनी रहे, इसके लिए समय-समय पर सभाएँ की। इनका जन्म संवत् 1007 वि. में नसरपुर में सूर्यवंशी क्षत्रियकुल में हुआ। इनके पिता का नाम रतन राय और माता का नाम देवकी था। कहते हैं कि इनके जन्म के समय से ही प्रत्येक हिन्दू घर में कलश पूजन (वरुण की पूजा) होने लगी। भगवान झूलेलाल की पूजा-अर्चना करने से मन की अभिलाषाएँ पूर्ण हो जाती हैं। ऐसा माना जाता है।

(ग) सौरवर्ष और चन्द्रवर्ष में क्या अन्तर है?
उत्तर
यह पृथ्वी सूर्य की परिक्रमा लगभग 365 दिन में करती है। यह अवधि एक नक्षत्र सौरवर्ष कहलाती है जबकि चन्द्रवर्ष लगभग 354 दिन का होता है। इसे 360 तिथियों में बाँटते हैं। सौरवर्ष और चन्द्रवर्ष में सामंजस्य बनाने के लिए प्रत्येक 32 या 33 चन्द्रमासों के बाद एक अतिरिक्त चन्द्रमास जोड़ दिया जाता है। इस अतिरिक्त मास को अधिक मास या मलमास या लौंद का महीना कहते हैं। जिस वर्ष लौद का महीना होता है, उस वर्ष चन्द्र वर्ष 13 महीने का होता है।

(घ) सौरवर्ष और चन्द्रवर्ष के सामंजस्य के लिए क्या विधि अपनाते हैं?
उत्तर
चन्द्रवर्ष में लगभग 354 दिन होते हैं। इसे 360 तिथियों में बाँटते हैं। सौरवर्ष और चन्द्रवर्ष में सामंजस्य बनाने के लिए प्रत्येक 32 या 33 चन्द्रमासों के बाद एक अतिरिक्त चन्द्रमास जोड़ दिया जाता है। सौरवर्ष में 365 दिन होते हैं। इस सौर वर्ष के ही कारण ऋतुओं में परिवर्तन होता है। सौरवर्ष में बारह महीने होते हैं जबकि चन्द्रवर्ष में तेरह महीने होते है।

(ङ) विक्रम संवत् के अनुसार वर्ष के महीनों के नाम लिखिए।
उत्तर
विक्रम संवत् के अनुसार वर्ष के महीनों के नाम निम्न प्रकार हैं

1. चैत्र
2. बैसाख
3. ज्येष्ठ
4. आषाढ़
5. श्रावण
6. भाद्रपद
7. आश्विन (क्वार)
8. कार्तिक
9. मार्गशीर्ष
10. पौष
11. माघ
12. फाल्गुन।

(च) विक्रम संवत् की प्रथम तिथि में कौन-कौन से प्रसंग जुड़े हैं ? लिखिए।
उत्तर
विक्रम संवत् को प्रथम तिथि को गुड़ी पड़वा कहते हैं। इस दिन से भारतीय नववर्ष या संवत्सर का प्रारम्भ होता है। इसे चैत्र शुक्ल प्रतिपदा भी कहते हैं। प्रजापति ब्रह्मा ने इसी तिथि को सृष्टि का सृजन किया। भगवान विष्णु ने भी इसी तिथि को मत्स्यावतार के रूप में अवतार लिया था। साथ ही यह भी कहा जाता है कि सतयुग का भी प्रारम्भ इसी तिथि को हुआ था। इसी प्रतिपदा के (पड़वा के) दिन भगवान श्री रामचन्द्रजी ने किष्किन्धा के राजा बाली का वध किया और उसके स्वेच्छाचारी राज्य का अन्त किया था। बाली वध के बाद प्रजा ने पताकाएँ बनाई, उन्हें फहराया गया और उत्सव मनाया गया, झण्डियों को गुड़ी कहते हैं। इसलिए इस तिथि को गुड़ी पड़वा कहते हैं। इस तरह इस तिथि से अनेक प्रसंग जुड़े हुए हैं।

नव संवत्सर भाषा-अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों का उच्चारण कीजिए और अपने वाक्यों में प्रयोग कीजिए-
चैत्र, पौराणिक, किष्किंधा, ऋग्वेद, अथर्ववेद, पूर्णिमा, विक्रमादित्य, स्वेच्छाचारी।
उत्तर
विद्यार्थी उपर्युक्त शब्दों को ठीक-ठीक पढ़कर उनका शुद्ध उच्चारण करने का अभ्यास करें।
वाक्य प्रयोग-

1. चैत्र-चैत्र मास में बसन्ती हवाएँ चलती हैं।
2. पौराणिक-भारतवर्ष में अनेक पौराणिक कथाएँ प्रचलित हैं।
3. किष्किधा-किष्किधा में बाली का शासन था।
4. ऋग्वेद-ऋग्वेद सबसे प्राचीन ग्रन्थ है।
5. अथर्ववेद-अथर्ववेद पर अभी तक अधिक शोध नहीं
6. पूर्णिमा-पूर्णिमा के दिन हम सभी उपवास करते हैं।
7. विक्रमादित्य-विक्रमादित्य ने विक्रमी संवत् चलाया।
8. स्वेच्छाचारी-किष्किंधा राज्य का शासक स्वेच्छाचारी

प्रश्न 2.
निम्नलिखित शब्दों में ‘इक’ प्रत्यय का प्रयोग करके नए शब्द बनाइए
प्रसंग, समाज, परिवार, नीति, साहित्य, मूल।
उत्तर

1. प्रसंग + इक = प्रासंगिक
2. समाज + इक = सामाजिक
3. परिवार + इक = पारिवारिक
4. नीति + इक = नैतिक
5. साहित्य + इक = साहित्यिक
6. मूल + इक = मौलिक।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित शब्दों की संधि विच्छेद कीजिए
स्वेच्छाचारी, विक्रमादित्य, सूर्योदय, पुस्तकालय, नरेन्द्र नीरोग, निष्कपट, प्रात:काल।
उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए और अपने वाक्य में प्रयोग कीजिए
पर्व, गणना, मलमास, उपलक्ष्य, प्रस्थान, सम्वर्द्धन।
उत्तर

प्रश्न 5.
निम्नलिखित शब्दों को वर्णक्रम के अनुसार लिखिए
शेखर, नव, पता, अखिल, चैत्र, उपयोग, ग्रंथों, ऋग्वेद, संवत्, विक्रम, बाद, रोचक, दक्षिण, और, तेरह, माह, कहा, आगमन।
उत्तर
अखिल, आगमन, उपयोग, और, ऋग्वेद, कहा, ग्रन्थों, चैत्र, तेरह, दक्षिण, नव, पता, बाद, माह, रोचक, विक्रम, शेखर, संवत्।

प्रश्न 6.
नीचे लिखे वाक्यों में विशेषण और विशेष्य छाँटकर तालिका में लिखिए
(क) नववर्ष बीते तो कितने दिन हो गए।
(ख) प्राचीन ग्रन्थों में भी संवत्सर का एक काल चक्र के रूप में उल्लेख है।
(ग) प्रत्येक माह के दो पक्ष होते हैं।
(घ) यह तो तुमने बड़ी रोचक बात बताई।
उत्तर

नव संवत्सर परीक्षोपयोगी गद्यांशों की व्याख्या 

(1) पौराणिक कथाओं के अनुसार प्रजापति ब्रह्मा ने इसी तिथि को सृष्टि का सृजन किया था, भगवान विष्णु भी मत्स्यावतार के रूप में इसी तिथि को प्रकट हुए थे और सतयुग के प्रारम्भ होने की भी यही तिथि है।’

शब्दार्थ-पौराणिक = पुराण सम्बन्धी; सृष्टि = सभी प्राणियों का; सृजन = निर्माण; मत्स्यावतार = मछली के अवतार; प्रकट = अवतरित; प्रारम्भ होने की = शुरू होने की।

सन्दर्भ-प्रस्तुत गद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक भाषा-भारती के पाठ ‘ नव संवत्सर’ से अवतरित है।

प्रसंग-इसमें लेखकगण नव संवत्सर के शुरू होने और उसके महत्त्व को बताते हैं।

व्याख्या-पुराण की अनेक कथाओं में बताया गया है कि विश्व के सभी प्राणियों के स्वामी ब्रह्मा ने इसी तिथि को उनकी रचना की थी। भगवान विष्णु ने भी इसी तिथि (दिनांक) को मत्स्यावतार (मछली के रूप में जन्म लेना) के रूप में अवतरित हुए थे। साथ ही, इसी तिथि को सतयुग का प्रारम्भ हुआ था। यह तिथि चैत्र शुक्ल प्रतिपदा ही है जिस दिन से संवत्सर का प्रारम्भ होता है।

(2) गुडी का अर्थ है ‘ध्वज या झण्डी’ और पड़वा कहते हैं प्रतिपदा को। लोक परम्परा के अनुसार माना जाता है कि इसी दिन श्री रामचन्द्रजी ने किष्किंधा के राजा बाली का वध कर उसके स्वेच्छाचारो राज का अन्त किया था। बाली वध के पश्चात् वहाँ की प्रजा ने पताकाएँ, जिन्हें महाराष्ट्र में गुड़ी कहते हैं, फहराकर उत्सव मनाया था। आज वहाँ आँगन में बांस के सहारे गुड़ी खड़ी की जाती है। इसलिए चैत्र शुक्ल प्रतिपदा को गुड़ी प्रतिपदा कहते

शब्दार्थ-गुड़ी = झण्डी; परम्परा = रीति; वधकर = बाण से मारकर; स्वेच्छाचारी = अपनी इच्छा के अनुसार अन्त किया समाप्त किया; पताकाएँ = झण्डियाँ; उत्सव = त्योहार; पड़वा = प्रतिपदा

सन्दर्भ-पूर्व की तरह। प्रसंग-इसमें चैत्र प्रतिपदा से जुड़ी बातें बताई गई हैं।

व्याख्या-गुड़ी का अर्थ झण्डी अथवा ध्वज होता है। प्रतिपदा को पड़वा कहते हैं। लोक में प्रचलित एक परम्परा के अनुसार यह बात मानी जाती है कि किष्किन्धा का राजा बाली था। बाली का वध श्री रामचन्द्रजी ने इसी दिन (चैत्र शुक्ल प्रतिपदा को) किया था और इस प्रकार उसके राज्य का अन्त कर दिया था। वह अपने राज्य का संचालन अपनी इच्छा से करता था। जैसे ही राजा बाली का वध कर दिया गया, वैसे ही वहाँ की प्रजा ने खुशी मनाई और घर-घर पताकाएँ फहराई गई। इसी पड़वा या प्रतिपदा के दिन वहाँ उत्सव मनाया गया। महाराष्ट्र में पताकाओं को गुड़ी कहते हैं। वहीं इस प्रतिपदा के दिन आँगन में एक बाँस गाड़ दिया जाता है। उसके सहारे गुड़ी खड़ी की जाती है। इस कारण चैत्र शुक्ल प्रतिपदा को गुड़ी पड़वा कहते हैं।

(3) विक्रम संवत् का प्रचलन उज्जयिनी के महान् सम्राट विक्रमादित्य ने विदेशी आक्रमणकारी शक राजाओं पर अपनी विजय के उपलक्ष्य में ईसा पूर्व सन् 57 में किया

शब्दार्थ-प्रचलन = प्रारम्भ; उज्जयिनी = उज्जैन; आक्रमणकारी = आक्रमण करने वाले या आक्रान्ता; शक = शक जाति जो विदेशों के आक्रमण करने वाले थे; उपलक्ष्य में = सन्दर्भ में, विषय में; विजय = जीत।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-इन पंक्तियों में विक्रम संवत् के प्रारम्भ होने के विषय में बताया जा रहा है।

व्याख्या-उज्जयिनी के एक महान् सम्राट थे। उनका नाम विक्रमादित्य था। शक राजाओं ने विक्रमादित्य के राज्य पर आक्रमण कर दिया था। इन विदेशी आक्रमण करने वाले शक राजाओं को विक्रमादित्य ने परास्त कर दिया। उन पर जीत प्राप्त की। अपनी जीत के सन्दर्भ की खुशी में यह संवत् चलाया। यह संवत् ईसा सन् से सत्तावन बर्ष पूर्व प्रारम्भ किया गया। इस संवत् का नाम उनके नाम के आधार पर विक्रम संवत् किया गया।

(4) उत्तर भारत में विक्रम संवत् का प्रारम्भ चैत्र प्रतिपदा से होता है, इसे चैत्रादि कहते हैं जबकि दक्षिण भारत में संवत्सर का आरम्भ कार्तिक शुक्ल पक्ष की प्रतिपदा से माना जाता है, इसे कार्तिकादि कहते हैं। व्यापारी लोग भी कार्तिकादि नववर्ष मनाते हैं, इसलिए वे दीवाली पर नया बहीखाता प्रारम्भ करते हैं।

शब्दार्थ-प्रारम्भ = प्रचलन, शुरुआत; प्रतिपदा = पड़वा; चैत्रादि- चैत्र (चैत महीने) का प्रारम्भ; कार्तिकादि = कार्तिक महीने का प्रारम्भ; नववर्ष = नया साल; प्रारम्भ = शुरू।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-नव संवत्सर के प्रचलन के दो रूप बताये गये हैं।

व्याख्या-उत्तरी भारत में नव संवत्सर का प्रारम्भ चैत्र के शुक्ल पक्ष की प्रतिपदा (पड़वा) से माना जाता है। इसे | चैत्रादि कहते हैं। जबकि दक्षिण भारत में नव संवत्सर का प्रचलन कार्तिक महीने की शुक्ल पक्ष की प्रतिपदा से शुरू होना माना गया है। इसको कार्तिकादि कहते हैं। व्यापारी वर्ग कार्तिकादि नववर्ष का उत्सव मनाते हैं। यही कारण है कि वे दीपावली पर नया बहीखाता बनाते हैं और उसे प्रारम्भ करते हैं।

(5) चैत्र माह में बसन्त ऋतु का आगमन होता है। बसन्त . ऋतु में प्रकृति भी अपना नव श्रृंगार करती है। पेड़ अपने पुराने पत्ते गिराकर नए पत्ते धारण करते हैं। ऋतु परिवर्तन के अवसर पर हमारे यहाँ नवरात्रि पर्व मनाने की परम्परा है। चैत्र शुक्ल प्रतिपदा से प्रारम्भ होने वाली नवरात्रि वासन्तीय नवरात्रि एवं पितृमोक्ष अमावस्था के पश्चात् प्रारम्भ होने वाली नवरात्रि शारदीय कहलाती हैं। ‘वासन्तीय नवरात्रि’ का समापन रामनवमी और ‘शारदीय नवरात्रि’ का समापन दशहरा पर्व पर होता है।

शब्दार्थ-आगमन = आना या शुरू होना; नव श्रृंगार = नई सजावट, सजधज; धारण करते हैं = निकल आते हैं; परिवर्तन = बदलाव; परम्परा = रीति या रिवाज, प्रथा, प्रारम्भ = शुरू होना; वासन्तीय = वसन्त ऋतु की; समापन = समाप्ति, अन्त; शारदीय = शरद ऋतु की; पर्व = त्यौहार।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-शारदीय नवरात्रि और वासन्तीय नवरात्रि के प्रारम्भ होने की तिथि तथा उनके समापन की तिथि के विषय में बताया जा रहा है।

व्याख्या-चैत्र महीने में बसन्त ऋतु प्रारम्भ हो जाती है। बसन्त ऋतु के आने के साथ ही प्रकृति अपना नया शृंगार करती है। अपनी सजावट करती है। प्रकृति अपने स्वरूप को सजाती है। पेड़ों के पुराने पत्ते झड़ जाते हैं। उन पर नये पत्ते निकल आते हैं। प्रकृति में ऋतु सम्बन्धी परिवर्तन आ जाता है। ऋतु परिवर्तन के साथ ही हमारे यहाँ नवरात्रि का त्यौहार मनाये जाने की यह रीति है, परम्परा है। चैत्र मास की शुक्ल पक्षीय प्रतिपदा के दिन आरम्भ होने वाली नवरात्रि को वासन्तीय नवरात्रि कहा जाता है तथा पितृ पक्ष की समाप्ति पर अमावस्या के अगले – दिन से आरम्भ होने वाली नवरात्रि को शारदीय नवरात्रि कहते हैं। वासन्तीय नवरात्रि की समाप्ति रामनवमी को होती है तथा शारदीय नवरात्रि का समापन दशहरा के त्यौहार पर होता है।

MP Board Class 8th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 16 Playing with Numbers Ex 16.2

Question 1.
If 21y5 is a multiple of 9, where y is a digit, what is the value of y?
Solution:
The given number is 21y5
For this number to be multiple of 9, the sum of its digits should be a multiple of 9.
∴ 2 + 1 + y + 5 is a multiple of 9.
or 8 + y is a multiple of 9.
For y to be a single digit number,
8 + y = 9 ⇒ y = 1

Question 2.
If 31z5 is a multiple of 9, where z is a digit, what is the value of z? You will find that there are two answers for the last problem. Why is this so?
Solution:
The given number is 31z5.
For this number to be multiple of 9, the sum of its digits should be a multiple of 9.
∴ 3 + 1 + z + 5 is a multiple of 9.
or z + 9 is a multiple of 9.
∴ For z to be a single digit number,
z + 9 = 9 or z + 9 = 18
⇒ z = 0 or z = 9
Hence, z = 0, 9
We get two answers, because 9 and 18, both are multiples of 9.

Question 3.
If 24x is a multiple of 3, where x is a digit, what is the value of x? (Since 24x is a multiple of 3, its sum of digits 6 + x is a multiple of 3; so 6 + x is one of these numbers :0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, But since x is a digit, it can only be that 6 + x = 6 or 9 o r12 or 15. Therefore, x = 0 or 3 or 6 or 9. Thus, x can have any of four different values).
Solution:
The given number 24x is a multiple of 3.
⇒ Sum of the digits of this number are also a multiple of 3.
∴ 2 + 4 + x = x + 6 is a multiple of 3.
For x to be a single digit number,
x + 6 = 6, 9, 12, 15 or x = 0, 3, 6, 9.

Question 4.
If 31z5 is a multiple of 3, where z is a digit, what might be the values of z?
Solution:
As the given number 31z5 is a multiple of 3, the sum of its digits should also be a multiple of 3.
∴ 3 + 1 + z + 5 is a multiple of 3.
or z + 9 is a multiple of 3.
Now, for z to be a single digit number,
z + 9 = 9, 12, 15, 18 or z = 0, 3, 6, 9

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 7 Cube and Cube Roots Ex 7.1

Question 1.
Which of the following numbers are not perfect cubes?
(i) 216
(ii) 128
(iii) 1000
(iv) 100
(v) 46656
Solution:
(i) 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Since, all the prime factors of 216 appear in a group of three.
∴ 216 is a perfect cube.
(ii) 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Since, all the prime factors of 128 doesn’t appear in a group of three.
∴ 128 is not a perfect cube.
(iii) 1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
Since, all the prime factors of 1000 appear in a group of three.
∴ 1000 is a perfect cube.
(iv) 100 = 2 × 2 × 5 × 5.
Since, all the prime factors of 100 doesn’t appear in group of three.
∴ 100 is not a perfect cube.
(v) 46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Since, all the prime factors of 46656 appear in a group of three.
∴ 46656 is a perfect cube.

Question 2.
Find the smallest number by which each of the following numbers must be multiplied to obtain a perfect cube.
(i) 243
(ii) 256
(iii) 72
(iv) 675
(v) 100
Solution:
(i) 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Clearly, the prime factor 3 doesn’t appear in a group of three.

∴ 243 is not a perfect cube.
So, to make 243 a perfect cube, we multiply it by 3.
In that case
243 × 3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729, which is a perfect cube.

(ii) 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Clearly, the prime factor 2 doesn’t appear in a group of three.
256 is not a perfect cube.

So, to make 256 a perfect cube, we multiply it by 2.
In that case
256 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 512, which is a perfect cube.

(iii) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

Clearly, the prime factor 3 doesn’t appear in a group of three.
∴ 72 is not a perfect cube.
So, to make 72 a perfect cube, we multiply it by 3.
In that case
72 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 216, which is a perfect cube.

(iv) 675 = 3 × 3× 3 × 5 × 5
Clearly, the prime factor 5 doesn’t appear in a group of three.

∴ 675 is not a perfect cube.
So, to make 675 a perfect cube, we multiply it by 5.
In that case
675 × 5 = 3 × 3× 3 × 5 × 5 × 5
= 3375, which is a perfect cube.

(v) 100 = 2 × 2 × 5 × 5

Clearly, both the prime factors 2 and 5 doesn’t appear in a group of three.
∴ 100 is not a perfect cube.
So, to make 100 a perfect cube, we multiply it by 2 × 5 = 10.
In that case
100 × 2 × 5 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 1000, which is a perfect cube.

Question 3.
Find the smallest number by which each of the following numbers must be divided to obtain a perfect cube.
(i) 81
(ii) 128
(iii) 135
(iv) 192
(v) 704.
Solution:
(i) 81 = 3 × 3 × 3 × 3
Clearly, the prime factor 3 doesn’t appear in a group of three.
∴ 81 is not a perfect cube.
So, to make it a perfect cube, we must divide it by 3.


which is a perfect cube.

(ii) 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Clearly, the prime factor 2 doesn’t appear in a group of three.
∴ 128 is not a perfect cube.
So, to make it a perfect cube, we must divide it by 2.


= 64,
which is a perfect cube.

(iii) 135 = 3 × 3 × 3 × 5
Clearly, the prime factor 5 doesn’t appear in a group of three.

∴ 135 is not a perfect cube.
So, to make it a perfect cube, we must divide it by 5.

Thus the smallest number is 5 by which 135 must be divided.

(iv) 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Clearly, the prime factor 3 doesn’t appear in a group of three.

∴ 192 is not a perfect cube.
So, to make it a perfect cube, we must divide it by 3.

which is a perfect cube.

(v) 704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11
Clearly, the prime factor 11 doesn’t appear in a group of three.

∴ 704 is not a perfect cube.
So, to make it a perfect cube, we must divide it by 11.

which is a perfect cube.

Question 4.
Parikshit makes a cuboid of plasticine of sides 5 cm, 2 cm, 5 cm. How many such cuboids will he need to form a cube?
Solution:
We have cuboid of dimensions 2 × 5 × 5
Clearly, in above, the prime factors 2 and 5 both doesn’t appear in a group of three,
∴ To make it a perfect cube, we need to multiply it by 2 × 2 × 5.
2 × 5 × 5 × 2 × 2 × 5 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 1000, which is a perfect cube.
Thus, Prikshit need 20 cuboids to form a cube.

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 5 Data Handling Ex 5.3

Question 1.
List the outcomes you can see in these experiments.
(a) Spinning a wheel

(b) Tossing two coins together.
Solution:
(a) After spinning a wheel, we obtained total outcomes: A, B, C and D.
(b) After tossing two coins together, we get the following outcomes:
(i) HT i.e., Head on first coin and Tail on the second coin.
(ii) HH i.e., Head on both the coins.
(iii) TH i.e., Tail on first coin and Head on second coin.
(iv) TT i.e., Tail on both the coins.

Question 2.
When a die is thrown, list the outcomes of an event of getting
(i) (a) a prime number.
(b) not a prime number.
(ii) (a) a number greater than 5
(b) a number not greater than 5.
Solution:
Since, numbers on a die are 1, 2, 3, 4, 5 and 6. After throwing a die, we get
(i) (a) 2, 3, 5 are prime numbers.
(b) 1, 4, 6 are not prime numbers.
(ii) (a) 6 is a number greater than 5.
(b) 1, 2, 3, 4, 5 are not greater than 5.

Question 3.
Find the
(a) Probability of the pointer stopping on D in (Question 1-(a))?
(b) Probability of getting an ace from a well shuffled deck of 52 playing cards?
(c) Probability of getting a red apple. (See figure below).

Solution:
(a) Since total outcomes are A, A, B, C, D i.e., total 5 outcomes.
D occurs only once in a spinning wheel. Then, probability of the pointer stopping on D

(b) Number of aces = 4 Total number of cards = 52
∴ Probability of getting an ace from a well shuffled deck of 52 playing cards

(c) Number of red apples = 4
Total number of apples = 7
∴ Probability of getting a red apple

Question 4.
Numbers 1 to 10 are written on ten separate slips (one number on one slip), kept in a box and mixed well. One slip is chosen from the box without looking into it. What is the probability of
(i) getting a number 6?
(ii) getting a number less than 6?
(iii) getting a number greater than 6?
(iv) getting a 1-digit number?
Solution:
Total number of outcomes = 10
(i) Favourable outcomes of getting a number 6 = 10
∴ Probability of getting a number 6
Favourable outcomes of

(ii) Favourable outcomes of getting a number less than 6 = 5, i.e., 1, 2, 3, 4, 5
∴ Probability of getting a number less than 6
Favourable outcomes of

(iii) Favourable outcomes of getting a number greater than 6 = 4, i.e., 7, 8, 9, 10
∴ Probability of getting a number greater than 6
Favourable outcomes of

(iv) Favourable outcomes of getting a 1-digit number = 9, i.e, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ∴ Probability of getting a 1-digit number
Favourable outcomes of

Question 5.
If you have a spinning wheel with 3 green sectors, 1 blue sector and 1 red sector, what is the probability of getting a green sector? What is the probability of getting a non blue sector?
Solution:
Total number of outcomes = 5
Favourable number of outcomes of getting a green sector = 3
Favourable number of outcomes of getting a non-blue sector = 4
Thus, probability of getting a green sector
Favourable outcomes of

Probability of getting a non-blue sector
Favourable outcomes of getting

Question 6.
Find the probabilities of the events given in Question 2.
Solution:
If Total number of outcomes = 6
(i) (a) Probability of getting a prime number
Favourable outcomes of

(b) Probability of not getting a prime number
Favourable outcomes of

(ii) (a) Probability of getting a number greater than 5
Favourable outcomes of getting

(b) Probability of getting a number not greater than 5
Favourable outcomes of getting

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6

प्रश्न 1.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n(X) = 17, n(Y) = 23 तथा n(X ∪ Y) = 38, तो n(X ∩ Y) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: (A) = 17, n (Y) = 23
और n (X ∪ Y) = 38
∴ n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y)
38 = 17 + 23 – n(X ∩ Y)
= 40 – n (X ∩ Y)
n(X ∩ Y) = 40 – 38 = 2.

प्रश्न 2.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X ∪ Yमें 18, X में 8 और Y में 15 अवयव हों तो X ∩ Y में कितने अवयव होंगे?
हल:
n(X) = 8, n(Y) = 15 और n(X ∪ Y) = 18
हम जानते हैं कि,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
18 = 8 + 15 – n(X ∩ Y)
= 23 – n(X ∩ Y )
या n(X ∩ Y) = 23 – 18 = 5.

प्रश्न 3.
400 व्यक्तियों के समूह में, 250 हिन्दी तथा 200 अंग्रेजी बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए कि H और E क्रमशः हिन्दी व अंग्रेजी बोलने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 250, n(E) = 200
और n(H ∪ E) = 400
अब n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
∴ 400 = 250 + 200 – n(H ∩ E)
= 450 – n(H ∩ E)
∴ n (H ∩ E) = 450 – 400 = 50.

प्रश्न 4.
यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि 5 में 21, T में 32 और S ∩ T में 11 अवयव हों तो S ∪ T में कितने अवयव होंगे?
हल:
यहाँ n(S) = 21, n (T) = 32, n(S ∩ T) = 11
n(S ∪ T) = n(S) + n(T) – n(S ∩ T)
= 21 + 32 – 11 = 53 – 11
= 42.

प्रश्न 5.
यदि और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि x में 40, X ∩ Y में 60 और X ∪ Y में 10 अवयव हों, तो Y में कितने अवयव होंगें?
हल:
n(X) = 40, n(X ∪ Y) = 60, n(X ∩ Y) = 10, n(Y) = ?
अब n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
60 = 40 + n (Y) – 10
n(Y) = 60 – 40 + 10 = 30.

प्रश्न 6.
70 व्यक्तियों के समूह में 37 कॉफी, 52 चाय पसंद करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों मे से कम से कम एक पेय पसंद करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं ?
हल:
मान लिया C, कॉफी पीने वाले लोगों के समुच्चय को और T, चाय पीने वाले लोगों के समुच्चय हों, तब
n(C ∪ T) = 70, n(C) = 37, n(T) = 52
n(C ∩ T) = n (C) + n(T) – n(C ∩ T)
70 = 37 + 52 – n(C ∩ T)
∴ n(C ∩ T) = 37 + 52 – 70
= 89 – 70 = 19.

प्रश्न 7.
65 व्यक्तियों के समूह में, 40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पंसद करते हैं, तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पंसद करते हैं किंतु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पंसद करते हैं?,
हल:
मान लीजिए C, क्रिकेट पंसद करने वाले लोगों का समुच्चय है और T टेनिस पंसद करने वालों का समुच्चय हो, तब
n(C ∪ T) = 65, n(C) = 40, n(C ∩ T) = 10
हम जानते हैं कि n(C ∪ T) = n(C) + n(T) – n(C ∩ T)
65 = 40 + n(T) – 10
= 30 + n(T)
n(T) = 65 – 30 = 35
केवल टेनिस पंसद करने वालो की संख्या = n(T) – n(C ∩ T)
= 35 – 10 = 25.
इस प्रकार टेनिस पंसद करने वालों की संख्या जो क्रिकेट पंसद नहीं करते = 25
अतः टेनिस पंसद करने वाले लोगों की संख्या = 35.

प्रश्न 8.
एक कमेटी में, 50 व्यक्ति फ्रैंच 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रैंच दोनों ही . भाषाओं को बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए फ्रांसीसी बोलने वाले लोगों के समुच्चय को F से तथा स्पैनिश बोलने वाले लोगों के समुच्चय का S से निरुपित किया हो, तब
n(F) = 50, n(S) = 20, n(F ∩ S) = 10
अब n(F ∪ S) = n(F) + n (S) – n (F ∩ S)
= 50 + 20 – 10 = 60
कम से कम एक भाषा बोलने वाले लोगों की संख्या = 60

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