MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
बताइए निम्नलिखित में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x +1 है :
(i) x + x2 + x + 1
(ii) x4 + x3 + x2 + x +1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 – x2 – (2 + √2)x + √2 .
हल:
(i) p(x) = x3 + x2 + x + 1 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर,
शेषफल p(-1)= (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0 हो जाता है।
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर,
शेषफल p(-1) = (-1)4 + (- 1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 1 +1 – 1 + 1 = 3 – 2 = 1 ≠ 0
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर,
शेषफल p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।
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(iv) p(x) = x3 – x2 – (2 + √2 )x + √2 में x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 रखने पर, शेषफल
p (- 1) = (-1)3 – (-1)2 – (2 + √2) (-1) + √2
= – 1 – 1 + 2 + √2 +√2 = 2√2 ≠ 0
अतः (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3.
हल:
(i) ∵ p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 एवं g(x) = x + 1 का शून्यक – 1 है
⇒ p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1)- 1
= – 2 + 1 + 2 – 1
= 3 – 3 = 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के आधार पर g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।

(ii) ∵ p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 एवं g(x) = x + 2 का शून्यक – 2 है
⇒ p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1
= 13 – 14
= -1 ≠ 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय के आधार पर g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) ∵ p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, एवं g(x) = x – 3 का शून्यक 3 है
⇒ p(3) = (3)3 – 4 (3)2 + (3) + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36 = 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय के आधार पर g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखण्ड हो :
(i) p(x) = x2 + x + k (2019)
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k.
हल:
(i) ∵ p(x) = x2 + x + k का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है
⇒ p(1) = (1)2 + (1) + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
⇒ k = -2
अत:k का अभीष्ट मान = – 2.

(ii) ∵ p(x) = 2x2 + kx + √2 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है।
⇒ p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2 = 0
⇒ 2 + k + 2 = 0
⇒ k = – (2+ √2)
अतः k का अभीष्ट मान = – (2 + √2).

(iii) ∵p(x) = kx2 – √2 x + 1 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है
⇒ p(1) = k(1)2 – √2 (1) + 1 = 0
⇒ k = √2 + 1 = 0
⇒ k = ( √2 – 1)
अत: k का अभीष्ट मान = (√2 – 1).

(iv) ∵ p(x) = kx2 – 3x + k का एक गुणनखण्ड (x – 1) है जिसका शून्यक = 1 है
⇒ p(1) = k(1)2 – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k = 3
⇒ k = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
अत: k का अभीष्ट मान = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
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प्रश्न 4.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x2 – 7x + 1 (2019)
(ii) 2x2 + 7x + 3 (2019)
(ii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4.
हल:
(i) 12x2 – 7x + 1 = 12x2 – (4 + 3)x + 1
= 12x2 – 4x – 3x + 1
= 4x (3x – 1) – 1 (3x – 1)
= (3x – 1) (4x – 1)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x – 1) (4x – 1).

(ii) 2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (6 + 1)x +3
= 2x2 + 6x + x +3
= 2x (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (2x + 1)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x+ 3) (2x + 1).

(iii) 6x2 + 5x – 6 = 6x2 + (9 – 4)x – 6
= 6x2 + 9x – 4x – 6
= 3x (2x + 3) – 2 (2x + 3)
= (2x + 3) (3x – 2)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2x + 3) (3x – 2)

(iv) 3x2 – x – 4 = 3x2 – (4 – 3)x – 4
= 3x2 – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4)+ 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x – 4) (x + 1).
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प्रश्न 5.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1.
हल:
(i) x3 – 2x2 – x + 2 = x2 (x – 2)- 1 (x – 2)
= (x – 2) (x2 – 1)
= (x – 2) (x – 1) (x + 1) [∵(a – b2) = (a – b) (a + b)]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x – 2) (x – 1) (x + 1).

(ii) मान लीजिए p(x) = x3 – 3x2 – 9x – 5
एवं -5 के सम्भावित गुणनखण्ड ∓ 1 एवं ± 5 हैं।
हम जानते हैं कि p(-1) = (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अतः (x + 1), p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब, p(x) = x3 + x2 – 4x2 – 4x – 5x – 5
= x2 (x + 1) – 4x (x + 1) – 5 (x + 1)
= (x + 1) [(x2 – 4x – 5)]
= (x + 1) [x2 – (5 – 1)x – 5]
= (x + 1) [x2 – 5x + x – 5]
= (x + 1) [x (x – 5) + 1 (x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
= (x + 1) – (x – 5)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x + 1)2 (x – 5).

(iii) मान लीजिए p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
एवं 20 के सम्भावित गुणनखण्ड ± 1, ± 2, ± 4, ± 5 एवं ± 10 हैं।
हम जानते हैं कि p(- 1) = (-1)3 + 13(-1)2 + 32 (-1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
अतः (x + 1), p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब p(x) = x3 + x2 + 12x2 + 12x + 20x + 20
= x2 (x + 1)+ 12x (x + 1)+ 20 (x + 1)
= (x + 1) (x2 + 12x + 20)
= (x + 1) [x2 + (2 + 10) x + 20]
= (x + 1) [x2 + 2x + 10x + 20]
= (x + 1) [x(x + 2) + 10 (x + 2)]
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (x + 1) (x + 2) (x + 10).

(iv) p(x) = 2y3 + y2 – 2y – 1
= y2 – (2y + 1) – 1 (2y + 1)
= (2y + 1) (y2 – 1)
= (2y + 1) (y + 1) (y – 1) [∵ (a2 – b2) = (a + b)(a – b)]
अतः अभीष्ट गुणखण्ड = (y – 1) (y + 1) (2y + 1).

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