MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : शंकु के आधार का व्यास d = 10.5 cm ⇒ त्रिज्या r = 5.25 cm तथा तिर्यक ऊँचाई l = 10 cm है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 5.25 x 10 = \(\frac { 1155 }{ 7 }\) = 165 cm²
अत: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 165 cm².

प्रश्न 2.
एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21.0 m है और आधार का व्यास 24 m है।
हल :
दिया है : एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 21 m, आधार का व्यास d = 24 m ⇒ त्रिज्या r = 12 m
अब शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr (r + l)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 12 x (12 + 21)
= \(\frac{22 \times 12 \times 33}{7}\)
= 1244.57 m²
अतः शंकु का अभीष्ट कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1244.57 m².

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प्रश्न 3.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल :
दिया है : शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = 308 cm² एवं तिर्यक ऊँचाई l = 14 cm ; मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r cm
(i) चूँकि शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = πrl
\(\frac { 22 }{ 7 }\) x r x 14 = 308
⇒ 44r = 308
⇒ r = \(\frac { 308 }{ 44 }\) = 7 cm
अतः शंकु के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 7 cm.

(ii) चूँकि शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल Sw = πr (r + 1)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 (7 + 14) = 22 x 21 = 462 cm²
अतः शंकु का अभीष्ट कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 cm².

प्रश्न 4.
शंकु के आकार का एक तम्बू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है तो ज्ञात कीजिए:
(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई (2019)
(ii) तम्बू में लगे कैनवास की लागत यदि 1 m² केनवास की लागत Rs 70 है।
हल :
दिया है : शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई h = 10 m एवं उसके आधार की त्रिज्या r = 24 m तथा
कैनवास की लागत दर = Rs 70 प्रति m²
(i) तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(24)^{2}+(10)^{2}}\) (पाइथागोरस प्रमेय)
\(=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}\)
= 26 m
अतः शंकु के आकार के लम्बू की अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 26 m.

(ii) कैनवास का क्षेत्रफल = शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= \(\pi r l=\frac{22}{7} \times 24 \times 26=\frac{13728}{7} \mathrm{m}^{2}\)
कैनवास की कुल लागत = लागत दर – पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= \(70 \times \frac{13728}{7}\)
= Rs 137280
अतः तम्बू बनाने में कुल अभीष्ट लागत = Rs 137280.

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प्रश्न 5.
8 मीटर ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मानकर चलिए कि इसकी सिलाई और
कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग करें।)
हल :
दिया है : शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई h = 8 m, त्रिज्या r = 6 m एवं तिरपाल की चौड़ाई = 3 m
तथा तिरपाल की अतिरिक्त लम्बाई = 20 cm = 0.2 m
शंक्वाकार तम्बू की तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}\)
\(l=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \mathrm{m}\)
तम्बू का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 3.14 x 6 x 10.
= 188.4 m²
MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 image 1
तिरपाल की कुल लम्बाई = 62.8 m + 0.2 m
= 63 m
अतः तिरपाल की अभीष्ट लम्बाई = 63 m.

प्रश्न 6.
शंकु के आकार की एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 25 m और 14 m है। इसकी वक्र पृष्ठ पर Rs 210 प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात
कीजिए।
हल :
दिया है : शंक्वाकार गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई l = 25 m और व्यास d = 14 m ⇒ त्रिज्या \(r=\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 m एवं सफेदी कराने का व्यय = Rs 210 प्रति 100 m²
शंक्वाकार गुम्बज का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 25 = 550 m²
सफेदी कराने का कुल व्यय = दर x क्षेत्रफल = \(\frac { 210 }{ 100 }\) x 550 = Rs 1,155
अतः शंक्वाकार गुम्बज पर सफेदी कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 1,155.

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प्रश्न 7.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हल :
दिया है : शंक्वाकार टोपी के आधार की त्रिज्या = 7 cm तथा ऊँचाई h = 24 cm एवं टोपियों की संख्या = 10
चूँकि टोपी की तिर्यक ऊँचाई, \(l=\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}}\) (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ \(l=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25 \mathrm{cm}\)
चूँकि टोपी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = πrl (सूत्र से)
⇒ Sc = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 25 = 550 cm²
⇒ 10 टोपियों का कुल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 10 x 550 = 5500 cm²
अतः आवश्यक गत्ते का अभीष्ट क्षेत्रफल = 5500 cm².

प्रश्न 8.
किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर Rs 12 प्रति m² है तो इसका पेंट करवाने में कितनी लागत आयेगी? (π = 3.14 और √1.04 = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
दिया है : 50 खोखले शंकु जिनके आधार का व्यास d = 40 cm = 0.4 m ⇒ r = 0.2 m,
ऊँचाई h = 1 m और पेंट कराने की दर = Rs 12 प्रति m²
खोखले शंकु की तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ \(l=\sqrt{(0.2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{0 \cdot 04+1}=\sqrt{1 \cdot 04}=1 \cdot 02 \mathrm{m}\)
चूँकि खोखले शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
⇒ Sc = 3.14 x 0.2 x 1.02 = 0.64056 m²
⇒ 50 खोखले शंकुओं का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 50 x 0.64056 m²
S = 32.028 m²
पेंट कराने में व्यय = दर x क्षेत्रफल
= Rs 12 x 32.028
= Rs 384.34
अतः खोखले शंकुओं पर पेंट कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 384.34.

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