MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
उत्तर:
(i) 0.36 – सांत
(ii) 0.090909 …… = \(0.\overline { 09 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(iii) 4.125 – सांत
(iv) 0.230769230769…. = \(0.\overline { 230769 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(v) 0.181818 ….. = \(0.\overline { 18 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(vi) 0.8225 – सांत
प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि \(\frac { 1 }{ 7 }\) = \(0.\overline { 142857 }\) है। वास्तव में, लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता
सकते हैं कि के \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\) दशमलव प्रसार क्या हैं ? यदि हाँ तो कैसे ?
हल:
हाँ, हम बता सकते हैं
प्रश्न 3.
निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है:
(i) \(0.\overline { 6 }\)
(ii) \(0.4\overline { 7 }\)
(ii) \(0.\overline { 001 }\).
हल:
(i) \(0.\overline { 6 }\) = 0.6666….. = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 6.6666…. . = 6 + 0.6666 ….. = 6 + x
⇒ 10x – x = 6 ⇒ 9x = 6 = x = \(\frac { 6 }{ 9 }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
अतः \(0.\overline { 6 }\) का अभीष्ट \(\frac { p }{ q }\) रूप = \(\frac { 2 }{ 3 }\).
(ii) \(0.4\overline { 7 }\) = 0.4777….. = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 4.7777….. = 4.3 + 0.4777 = 4.3 +x
⇒ \(10 x-x=4 \cdot 3 \Rightarrow 9 x=4 \cdot 3 \Rightarrow x=\frac{4 \cdot 3}{9}=\frac{43}{90}\)
अतः \(0.4\overline { 7 }\) का अभीष्ट p/q रूप = \(\frac { 43 }{ 90 }\).
(iii) \(0.\overline { 001 }\) = 0.001 001 001 ….. = x (मान लीजिए)
⇒ 1000x = 1.001 001 001 …. = 1 + 0.001001001 …. = 1 + x
⇒ 1000x – x = 1 ⇒ 999x = 1 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 999 }\)
अतः \(0.\overline { 001 }\) का अभीष्ट p/q रूप= \(\frac { 1 }{ 999 }\).
प्रश्न 4.
0.99999 ….. को plq के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से चकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
0.99999 …… = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 9.99999….. = 9 + 0.99999….. = 9 + x
⇒ 10x – x = 9 ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1
अतः 0.99999….. का अभीष्ट p/q रूप = 1.
प्रश्न 5.
\(\frac { 1 }{ 17 }\) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावर्ती खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।
उत्तर:
सोलह (16) अर्थात् \(0.\overline { 0588235294117647 }\)
[निर्देश: विभाजन क्रिया छात्र स्वयं करें।]
प्रश्न 6.
p/q(q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए; जहाँ p और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं हैं और जिसका सात दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए ?
उत्तर:
अभीष्ट उदाहरण है:
\(\frac { 3 }{ 5 }\) = 1.5, \(\frac { 5 }{ 4 }\) = 1.25, \(\frac { 4 }{ 5 }\) = 0.8, \(\frac { 3 }{ 25 }\) = 0.12, \(\frac { 7 }{ 10 }\) = 0.7, \(\frac { 11 }{ 110 }\) = 0.11 …..
हाँ, q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 की घात या 5 की घात अथवा दोनों की धातें होती हैं।
प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रकार अनवसानी अनावर्ती हों।
उत्तर:
0.01001000100001….., 0.202002000200002….., 0.003000300003….
प्रश्न 8.
परिमेय संख्याओं \(\frac { 5 }{ 9 }\) और \(\frac { 9 }{ 11 }\) के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि \(\frac { 5 }{ 9 }\) = \(0.\overline { 714285 }\) एवं \(\frac { 9 }{ 11 }\) = \(0.\overline { 81 }\)
इनके मध्य अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए अनवसानी अनावर्ती संख्याओं में से कोई तीन संख्याओं का चयन करना है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ हैं
0.75075007500075….; 0.767076700767000767…. एवं 0.8080080008….
प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं :
(i) \(\sqrt { 23 }\)
(ii) \(\sqrt { 225 }\)
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478….
(v) 1.101001000100001….
उत्तर:
(i), (iv) एवं (v) अपरिमेय संख्याएँ हैं तथा (ii) एवं (iii) परिमेय संख्याएँ हैं।