MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.6
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 313
प्रश्न 1.
75° माप वाले कोण ∠POQ की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) किरण OP’ खींचते हैं।
(2) ∠BOQ = 90° बनाते हैं जबकि ∠LOQ = 60° और ∠BOL = 30°
(3) ∠BOL का समद्विभाजक \(\overline { OP } \) खींचते हैं।
इस प्रकार ∠LOP = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠BOL
या ∠LOP = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (30°) = 15°
(4) ∵ 60° + 15 = 75°
अतः ∠QOL + ∠LOP = ∠POQ
∴∠POQ = 75°
प्रश्न 2.
147° माप वाले एक कोण की रचना कीजिए और उसका समद्विभाजक खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) किरण \(\overrightarrow{O A}\) खीचते हैं।
(2) चाँदे की सहायता से ∠AOB = 147° बनाते हैं।
(3) O को केन्द्र मानकर और सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं जो भुजा \(\overrightarrow{O A}\) और \(\overrightarrow{O B}\) को क्रमशः Q तथा पर काटता है।
(4) P को केन्द्र मानकर और PQ के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं।
(5) पुनः Q को केन्द्र मानकर और इसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाते हैं, जो पहले चाप को R पर काटता है।
(6) O और R को मिलाते हुए आगे बढ़ाते हैं।
इस प्रकार OR, ∠AOB का अभीष्ट समद्विभाजक है।
प्रश्न 3.
एक समकोण खींचिए और उसके समद्विभाजक की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम एक रेखा l खीचते हैं और इस पर कोई बिन्दु O लेते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो l को A और B पर काटता है।
(3) अब A और B को केन्द्र मानकर और AB के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाते हैं, जो परस्पर C पर काटते हैं।
(4) O और C को मिलाते हैं।
इस प्रकार ∠AOC = 90° प्राप्त होता है।
(5) A और D को केन्द्र मानकर और AD के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाते हैं, जो परस्पर E पर काटते
(6) O और E को मिलाते हुए इसे आगे बढ़ाते हैं।
इस प्रकार \(\overrightarrow{O E}\) , ∠AOC का अभीष्ट समद्विभाजक है, अर्थात् \(\overrightarrow{O E}\) समकोण का समद्विभाजक है।
प्रश्न 4.
153° का एक कोण खींचिए और इसके चार बराबर भाग कीजिए।
हल :
रचना के पद:
(1) किरण \(\overrightarrow{ AB }\) खींची।
(2) A पर चाँदे की सहायता से ∠BAC = 153° बनाया।
(3) ∠BAC का समद्विभाजक \(\overrightarrow{ AD }\) खींचा।
(4) पुनः ∠DAC का समद्विभाजक \(\overrightarrow{ AE }\) खींचा।
(5) ∠BAD का समद्विभाजक \(\overrightarrow{ AF }\) खींचा।
इस प्रकार \(\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A D}\) और \(\overrightarrow{ AF }\) दिए हुए कोण ∠BAC को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
प्रश्न 5.
रूलर और परकार की सहायता से निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(a) 60°
(b) 300
(c) 90°
(d) 120°
(e) 45°
(f) 135°
हल :
(a) रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम किरण \(\overrightarrow{ OA }\) खींचते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर तथा उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर तथा उसी त्रिज्या से चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।
(4) O को R से मिलाया और B तक आगे बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOB = 60°
(b) (1) सर्वप्रथम किरण \(\overrightarrow{ OA }\) खीचते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप PS लगाया जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से चाप लगाया जो पहले चाप को Q पर काटता है।
(4) O को Q से मिलाते हुए आगे B तक बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOB = 60°
(5) अब ∠AOB का समद्विभाजक \(\overrightarrow{ OC }\) ज्ञात किया।
इस प्रकार ∠AOC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠AOB
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60° = 30°
अतः अभीष्ट ∠AOC = 30°
(c) (1) सर्वप्रथम किरण \(\overrightarrow{ OA }\) खींचते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर और उसी त्रिज्या से एक चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।
(4) अब R को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाया जो पहले चाप को S पर काटता है।
(5) अब R और S को केन्द्र मानकर दो चाप लगाए जो परस्पर Q पर काटते हैं।
(6) O को Q से मिलाते हुए आगे बढ़ाया।
इस प्रकार अभीष्ट कोण ∠AOQ = 90°
(d) (1) सर्वप्रथम किरण OA खींचते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से एक चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।
(4) R को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को S पर काटता है।
(5) O को S से मिलाते हुए आगे B तक बढ़ाया।
इस प्रकार अभीष्ट ∠AOB = 120°
(e) (1) सर्वप्रथम ∠AOQ = 90° बनाते हैं।
(2) ∠AOQ का समद्विभाजक OR ज्ञात करते हैं।
इस प्रकार ∠AOR = 45°
(f) चूँकि 135° = 90° + 45°
अर्थात् 90° + \(\frac { 1 }{ 2 }\) (90°) = 135°
आकृति में, ∠BOD = 90°
∠BOD का समद्विभाजक OC ज्ञात करते हैं।
इस प्रकार ∠BOC = 45°
अतः ∠AOC = 135°
प्रश्न 6.
45° का कोण खींचिए और उसके समद्विभाजक कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम किरण \(\overrightarrow{ OA }\) खींचते हैं।
(2) ∠AOQ = 45° बनाते हैं।
(3) C को केन्द्र मानकर और CD के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं।
(4) D को केन्द्र मानकर और उसी त्रिज्या से लेकर एक दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को B पर काटता है।
(5) O को B से मिलाया और आगे बढ़ाया।
इस प्रकार \(\overrightarrow{ OB }\) , ∠AOQ को दो समान भागों में विभाजित करता है।
∠AOB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (45°) = 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°
प्रश्न 7.
135° का कोण खींचिए और उसे समद्विभाजित कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम रेखा AB खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु O लेते हैं।
(2) बिन्दु O पर ∠AOC = 135° बनाते हैं।
(3) ∠AOC का समद्विभाजक \(\overrightarrow{ OD }\) खींचते हैं।
इस प्रकार ∠AOD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (135°) = 67\(\frac { 1 }{ 2 }\)°
प्रश्न 8.
70° का कोण खींचिए। इस कोण के बराबर रूलर और परकार की सहायता से एक कोण बनाइए।
हल:
रचना के पद-
(1) रेखाखण्ड \(\overrightarrow{ OA }\) खींचा।
(2) बिन्दु O पर चाँद की सहायता से ∠AOB = 70° बनाया।
(3) अब किरण \(\overrightarrow{ PQ }\) खींचते हैं।
(4) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो \(\overrightarrow{ OA }\) और \(\overrightarrow{ OB }\) को क्रमशः E और F पर काटता है।
(5) P को केन्द्र मानकर और उसी त्रिज्या से एक दूसरा चाप लगाया जो \(\overrightarrow{ PQ }\) को R पर काटता है।
(6) R को केन्द्र मानकर और EF के बराबर त्रिज्या लेकर पहले चाप को S पर काटते हुए एक चाप लगाते हैं।
(7) P को 5 से मिलाते हुए आगे बढ़ाते हैं।
इस प्रकार ∠QPS = ∠AOB = 70°
प्रश्न 9.
40° का एक कोण खींचिए। इसके सम्पूरक के बराबर एक कोण बनाइए।
हल:
रचना के पद :
(1) चाँद की सहायता से ∠AOB = 40° बनाते हैं। इसका सम्पूरक कोण ∠COB है।
(2) एक किरण OL खींचते हैं।
(3) O को केन्द्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं जो \(\overrightarrow{ OC }\) और \(\overrightarrow{ OB }\) को क्रमश: E और F पर काटता है।
(4) P को केन्द्र मानकर और उसी त्रिज्या को लेकर एक चाप लगाते हैं जो \(\overrightarrow{ OP }\) को N पर काटता है।
(5) अब N को केन्द्र मानकर और EF त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो पहले चाप को M पर काटता है।
(6) P को M से मिलाया और आगे बढ़ाया।
इस प्रकार ∠OPM = सम्पूरक ∠COB