MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7A समाकलन

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

समाकलन Important Questions

समाकलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –
1. ∫ \(\frac { sec^{ 2 }x }{ 1+tanx } \) का मान है –
(a) log_e (1 + tan x) + c
(b) tan x + c
(c) – cot x + c
(d) log_e x + c.
उत्तर:
(a) log_e (1 + tan x) + c

प्रश्न 2.
∫ \(\frac { x }{ 4+x^{ 4 } } \) dx का मान है –
(a) \(\frac{1}{4}\) tan^-1 x² + c
(b) \(\frac{1}{4}\) tan^-1 ( \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) )
(b) \(\frac{1}{2}\) tan^-1 ( \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{4}\) tan^-1 x² + c

प्रश्न 3.
यदि ∫ \(\frac { 2^{ 1/x } }{ x^{ 2 } } \) dx = k(2)^1/x + c हो, तो k का मान है –
(a) \(\frac { -1 }{ log_{ e }2 } \)
(b) – log_e2
(c) – 1
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(a) \(\frac { -1 }{ log_{ e }2 } \)

प्रश्न 4.
∫ \(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx का मान है –
(a) 2log_e cos(xe^x) + c
(b) sec(xe^x) + c
(c) tan(xe^x) + c
(d) tan(x + e^x) + c
उत्तर:
(c) tan(xe^x) + c

प्रश्न 5.
यदि ∫ x sin x dx = – x cos x + α हो, तो α का मान होगा –
(a) sin x + c
(b) cos x + c
(c) c
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) sin x + c

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –


उत्तर:

1. \(\frac{1}{a}\) tan^-1 ( \(\frac{x}{a}\) ) + c
2. log [x + \(\sqrt { x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) ] + c
3. log [x + \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) ] + c
4. \(\frac{x}{2}\) \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) + \(\frac { a^{ 2 } }{ 2 } \) sin^-1( \(\frac{x}{a}\) ) + c
5. log(sec x + tan x) + c
6. sin^-1 x + \(\sqrt { 1-x } \) + c
7. tan x + sec x

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

उत्तर:

1. सत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –

उत्तर:

1. (a)
2. (d)
3. (e)
4. (b)
5. (c)
6. (f).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. ∫ e^x(sin x + cos x) dx का मान क्या है?
2. ∫ \(\frac { cotx }{ log(sinx) } \) dx का मान क्या है?
3. ∫ \(\frac { dx }{ sin^{ 2 }x+4cos^{ 2 }x } \) का मान क्या है?
4. ∫ cosec x dx का मान क्या है?
5. ∫ log x dx का मान क्या है?
6. ∫ \(\frac { dx }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } } } \)

उत्तर:

1. e^x sin x
2. log log sin x
3. \(\frac{1}{2}\) tan^-1 ( \(\frac { tanx }{ 2 } \) )
4. log tan \(\frac{x}{2}\)
5. x(log x + 1)
6. sin^-1 \(\frac{x}{2}\)

समाकलन अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
∫ \(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
e^tan-1x + c

प्रश्न 2.
∫e^log(sinx) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
– cos x + c

प्रश्न 3.
∫2 sin x cos x dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
sin² x + c

प्रश्न 4.
∫\(\frac { dx }{ a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{2a}\) log \(\frac{a+x}{a-x}\)

प्रश्न 5.
∫\(\frac { dx }{ x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{2a}\) log \(\frac{x-a}{x+a}\)

प्रश्न 6.
∫e^x ( \(\frac{1}{x}\) – \(\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { e^{ x } }{ x } \) + c

प्रश्न 7.
∫\(\frac { 1 }{ log_{ x }e } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
x log \(\frac{x}{e}\) + c

प्रश्न 8.
यदि ∫\(\frac { dx }{ (1+x)\sqrt { x } } \) = f (x) + c, जहाँ c एक स्वेच्छ अचर है, तब फलन f (x) क्या है?
उत्तर:
2 tan^-1 x

प्रश्न 9.
∫\(\frac { 1+logx }{ x } \) dx का मान ज्ञात करने में कौन-सा प्रतिस्थापन उचित रहेगा?
उत्तर:
1 + log x = t

प्रश्न 10.
यदि ∫\(\frac { 1 }{ 1+xsinx } \) dx = tan ( \(\frac{x}{2}\) + a) + b है, तब a और b क्या होंगे?
उत्तर:
a = – \(\frac { \pi }{ 4 } \), b = 3

प्रश्न 11.
∫\(\frac { sin\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx का मान ज्ञात करने के लिये उचित प्रतिस्थापन क्या होगा?
उत्तर:
x = t²

प्रश्न 12.
∫sin(ax + b) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
– \(\frac{1}{a}\) cos(ax + b)

प्रश्न 13.
∫\(\frac{1}{ax+b}\) का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{a}\) log(ax + b)

प्रश्न 14.
∫tan² x dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
tan x – x + c

प्रश्न 15.
\(\frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
sin^-1 ( \(\frac{x}{a}\) ) + c

प्रश्न 16.
∫e^log_ex2 dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \) + c

प्रश्न 17.
∫e^logx dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

प्रश्न 18.
∫e^x [f (x) + f'(x)] dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
e^{x f (x) + c}

प्रश्न 19.
∫(1 + x + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2! } \) + ………………..) dx का मान कितना है?
उत्तर:
e^x

प्रश्न 20.
∫e^x (log x + \(\frac{1}{x}\) ) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
e^{x log x + c}

समाकलन लघु उत्तरीय प्रश्न

पश्न 1.
मूल्यांकन कीजिये –
∫\(\frac { cos2x+2sin^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \) dx (CBSE 2018)
हल:
∫\(\frac { cos2x+2sin^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \) dx

प्रश्न 2.
∫\(\frac { 1-sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫\(\frac { 1-sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx

प्रश्न 3.
∫\(\frac { 2-3sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫\(\frac { 2-3sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx

प्रश्न 4.
∫sin^-1(cos x) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫sin^-1(cos x) dx

प्रश्न 5.
∫\(\frac { dx }{ 1+cos2x } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { dx }{ 1+cos2x } \)

प्रश्न 6.
∫tan^-1 xdx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫tan^-1 x. 1 dx

प्रश्न 7.
∫sin²x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 8.
∫\(\frac { cosx }{ cos(x-a) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { cosx }{ cos(x-a) } \) dx
x – α = t ⇒ x = t + α
dx = dt

= cos α ∫dt – sin α ∫ tan t dt = cos α.t – sin α. log sec t + c
= cos α. (x – a) – sin α log sec (x – a) + c

प्रश्न 9.
(A) ∫\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+cosx } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+cosx } } \) dx

(B)∫\(\sqrt { 1+sin2x } \) dx का मान  ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\sqrt { 1+sin2x } \) dx

(C) ∫\(\sqrt { 1+cos2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 9 (B) की भाँति हल करें।

(D) ∫\(\sqrt { 1-sin2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रश्न क्र. 9 (B) की भाँति हल करें।

प्रश्न 10.
(A) ∫\(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx
माना xe^x = t ⇒ e^x (1 + x) dx = dt
∴ I = ∫\(\frac { dt }{ cos^{ 2 }t } \) = ∫sec² t dt = tan t = tan(xe^x)

(B)
∫\(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
= ∫e^x dt, [माना tan^-1 x = t, \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) dx = dt]
= e^t = e^tan-1x.

प्रश्न 11.
∫\(\frac { dx }{ 1-sinx } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 12.
∫\(\frac{logx}{x}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac{logx}{x}\) dx
माना log x = t ⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫t dt = \(\frac { t^{ 2 } }{ 2 } \) + c = \(\frac { (logx)^{ 2 } }{ 2 } \) + c

प्रश्न 13.
(A) ∫\(\frac{dx}{1-cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

(B) ∫\(\frac{dx}{1+cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 14.
∫\(\frac { dx }{ 1+sinx } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 15.
∫\(\frac { cos\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
∫\(\frac { cos\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx
माना \(\sqrt{x}\) = t ⇒ \(\frac { dx }{ 2\sqrt { x } } \) = dt ⇒ \(\frac { dx }{ \sqrt { x } } \) = 2dt
∴ I = ∫cos t(2dt)
= 2∫cos t dt = 2 sin t + c = 2 sin \(\sqrt{x}\) + c

प्रश्न 16.
∫\(\frac { 1-cos2x }{ 1+cos2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

= tan x – x + c

प्रश्न 17.
\(\frac { x^{ 4 } }{ x^{ 2 }+1 } \) का समाकलन x के सापेक्ष कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 18.
∫\(\frac { sec^{ 2 }(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { sec^{ 2 }(logx) }{ x } \) dx
log x = t रखने पर,
⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫sec² tdt
⇒ I = tan t + c
⇒ I = tan(log x) + c

प्रश्न 19.
∫\(\frac { sin(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
log x = t रखने पर,
⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫sin t dt = – cos t + c
⇒ I = – cos(log x) + c

प्रश्न 20.
∫\(\frac { cos(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति हल करें।

प्रश्न 21.
(A) मान ज्ञात कीजिए – ∫tan² x dx?
हल:
I = ∫tan² x dx = ∫(sec² x – 1) dx
= ∫sec² x dx – ∫1dx = tan x – x

(B)
मान ज्ञात कीजिए – ∫cot² x dx?
हलः
I = ∫cot² x dx = ∫(cosec² x – 1 dx
= ∫cosec² x dx – ∫1. dx = – cot x – x

प्रश्न 22.
∫\(\frac { sinx }{ 1+cosx } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
I = ∫\(\frac { sinx }{ 1+cosx } \) dx
= ∫\(\frac{1}{t}\) dt, (1 + cos x = t रखने पर sin x dx = dt)
= log t
= log (1 + cos x)

प्रश्न 23.
∫\(\frac { sin^{ =1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
I = \(\frac { sin^{ =1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx
= ∫t dt (sin^-1 x = t रखने पर ⇒ \(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx = dt)
= \(\frac { t^{ 2 } }{ 2 } \)
= \(\frac{1}{2}\) (sin^-1 x)²

समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
∫\(\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } \)
पुनः माना x = a cos θ ⇒ dx = – a sinθ dθ

प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए –
∫[ \(\frac { 1 }{ (logx)^{ 2 } } \) – \(\frac { 2 }{ (logx)^{ 3 } } \) ] dx?
हल:
माना
I = ∫[ \(\frac { 1 }{ (logx)^{ 2 } } \) – \(\frac { 2 }{ (logx)^{ 3 } } \) ] dx
पुनः माना log x = t ⇒ x = e^t ⇒ dx = e^t dt

प्रश्न 3.
∫sin^-1 x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

पुनः माना 1 – x² = t ⇒ -2x dx = dt

प्रश्न 4.
∫cos^-1 x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
I = ∫cos^-1 x dx

प्रश्न 5.
(A)
∫\(\frac { x^{ 2 } }{ 1+x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

(B) ∫\(\frac { x }{ 1+x^{ 4 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 6.
∫\(\frac { 1 }{ sinx-cosx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 7.
∫\(\frac { dx }{ e^{ x }+1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 8.
∫sec³ xdx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫sec³ xdx = ∫secx. sec² xdx
= sec x ∫sec² xdx – ∫ [ \(\frac{d}{dx}\) sec x ∫sec² xdx] dx, [खण्डशः समाकलन द्वारा]
= sec x tan x – ∫sec x tan x tan x dx
= sec x tan x – ∫sec x tan² x dx
= sec x tan x – ∫sec x(sec² x – 1)dx
= sec x tan x – ∫sec³ x dx + ∫sec x dx
⇒ I = sec x tan x – I + log(sec x + tan x)
⇒ 2I = sec x tan x + log(sec x + tan x)
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) [sec x tan x + log(sec x + tan x)]

प्रश्न 9.
∫\(\frac { dx }{ x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 10.
∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) = \(\frac { A }{ x-2 } \) + \(\frac { B }{ x+1 } \) ……………….. (1)
⇒ \(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) = \(\frac { A(x+1)+B(x-2) }{ (x-2)(x+1) } \)
⇒ 3x = A(x + 1) + B(x – 2)
⇒ 3x = (A + B)x + (A – 2B) …………………. (2)
समी. (2) के दोनों पक्षों में x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
3 = A + B
0 = A – 2B
3 = 3B
⇒ B = 1
तथा A = 2B = 2
∴ ∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) dx = ∫\(\frac { 2 }{ x-2 } \) dx + ∫\(\frac { dx }{ x+1 } \)
= 2 log(x – 2) + log(x + 1) + c

प्रश्न 11.
∫\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 4 }-x^{ 2 }+1 } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 12.
∫\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर: \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) tan^-1 ( \(\frac { x^{ 2 }-1 }{ \sqrt { 3.x } } \) ) + c

प्रश्न 13.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac { dx }{ \sqrt { x^{ 2 }+2x+3 } } \)?
हल:
माना

प्रश्न 14.
फलन \(\frac { 1 }{ 1+sin^{ 2 } } \) का x सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 1 }{ 1+sin^{ 2 } } \) dx

प्रश्न 15.
∫\(\frac { cos2x }{ (cosx+sinx)^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { cos2x }{ (cosx+sinx)^{ 2 } } \) dx


cos x + sin x = रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) (cos x + sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (-sin x + cos x) dx = dt
∴ t = ∫\(\frac{dt}{t}\)
⇒ I = log t + c
अतः I = log(cos x + sin x) + c

प्रश्न 16.
∫\(\frac { 1+tanx }{ x+logsecx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { 1+tanx }{ x+logsecx } \) dx
x + log sec x = t रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) [x + log(sec x)] = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ \(\frac{d}{dx}\) x + \(\frac{d}{dx}\) log(sec x) = \(\frac{dt}{dx}\)
sec x = u रकने पर
1 + \(\frac{d}{dx}\) log u = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{d}{du}\) log u \(\frac{du}{dx}\) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{1}{u}\)\(\frac{d}{dx}\) sec x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{1}{secx}\) × sec x tan x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (1 + tan x)dx = dt
∴ I = ∫\(\frac{dt}{t}\)
⇒ I = log t + c
अतः I = log(x + log sec x) + c

प्रश्न 17.
∫\(\frac { cotx }{ log(sinx) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
log(sin x) = t रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) log (sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
sin x = u रकने पर

प्रश्न 18.
∫\(\frac { 2cosx-3sinx }{ 6cosx+4sinx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 2cosx-3sinx }{ 6cosx+4sinx } \) dx
6 cos x + 4 sin x = t रखने पर,
\(\frac{d}{dx}\) (6 cos x + 4 sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ – 6 sin x + cos x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 2(2 cos x – 3 sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (2 cos x – 3 sin x)dx = \(\frac{1}{2}\) dt
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) ∫dt
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) log t + c
अतः I = \(\frac{1}{2}\) log(6 cos x + 4 sin x) + c

प्रश्न 19.
∫e^3logx (x⁴ + 1)^-1 dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

x⁴ + 1 = t रखने पर,

प्रश्न 20.
∫\(\frac { dx }{ x-\sqrt { x } } \) का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना

\(\sqrt{x}\) – 1 = t रखने पर,

प्रश्न 21.
∫\(\frac { dx }{ 1+3sin^{ 2 }x } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { dx }{ 1+3sin^{ 2 }x } \)

समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
∫sin^-1 ( \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) ) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫sin^-1 ( \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) ) dx
पुनः माना x = tan θ ⇒ dx = sec²θ dθ

प्रश्न 2.
फलन \(\frac { e^{ mtan-1x } }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
माना tan^-1 x = t ⇒ x = tan t
∴ dx = sec² t dt

प्रश्न 3.
∫\(\frac { x^{ 2 }tan^{ -1 }x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { x^{ 2 }tan^{ -1 }x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
माना x = tan θ ⇒ θ = tan^-1 x
⇒ dx = sec² θ dθ

प्रश्न 4.
मान ज्ञात कीजिए – ∫tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx?
हल:
माना
I = ∫tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
माना x = tan θ ⇒ dx = sec² θ dθ

प्रश्न 5.
∫\(\frac { xtan^{ -1 }x }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) dx मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { xtan^{ -1 }x }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) dx
पुनः माना x = tan θ ⇒ dx = sec² θ dθ

प्रश्न 6.
∫\(\frac{dx}{3+2cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac{dx}{3+2cosx}\)

प्रश्न 7.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac{dx}{4+5cosx}\)?
हल:
प्रश्न का. 6 की बीत हल करे।

प्रश्न 8.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac{dx}{5-3cosx}\)?
हल:
प्रश्न क्र. 6 की भाँति हल करें।

प्रश्न 9.
∫\(\frac{1}{4+5sinx}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

माना tan\(\frac{x}{2}\) = t ⇒ sec² \(\frac{x}{2}\).\(\frac{1}{2}\) dx = dt

प्रश्न 10.
∫\(\frac { e^{ x }(1+sinx) }{ (1+cosx) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ x }(1+sinx) }{ (1+cosx) } \) dx

प्रश्न 11.
∫\(\frac { xe^{ x } }{ (1+x)^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

प्रश्न 12.
∫\(\frac { 2cosx }{ (1-sinx)(1+sin^{ 2 }) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 2cosx }{ (1-sinx)(1+sin^{ 2 }) } \) dx
sin x = t रखने पर, cos x dx = dt

⇒ 2 = A(1 + t²) + (1 – t)(Bt + 1)
⇒ 2 = A + A² + Bt – Bt² + 1 – t
⇒ 2 = (A – B)t² + (B – 1)t + (A + 1)
गुणांकों की तुलना करने पर,
∴ A – B = 0
B – 1 = 0
तथा A + 1 = 2
B = 1, A = 1

प्रश्न 13.
∫\(\frac { dx }{ e^{ x }-1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
I = ∫\(\frac { dx }{ e^{ x }-1 } \) = \(\frac { e^{ x }dx }{ e^{ x }(e^{ x }-1) } \)
माना e^x = t, तब e^xdx = dt

प्रश्न 14.
∫\(\frac { dx }{ x(x^{ n }+1) } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

xⁿ = t रखने पर,

A और B के मान समी. (1) में रखने पर,

प्रश्न 15.
∫( \(\sqrt{tanx}\) + \(\sqrt{cotx}\) ) dx का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना

पुनः माना sin x – cosx = t
(cos x + sin x)dx = dt
चूंकि (sin x – cos x)² = t²
sin² x + cos² x – 2 sin x cos x = t²
⇒ 1 – sin 2x = t²
⇒ sin 2x = 1 – t²
I = \(\sqrt{2}\) ∫\(\frac { dt }{ \sqrt { 1-t^{ 2 } } } \)
= \(\sqrt{2}\) .sin^-1t
= \(\sqrt{2}\).sin^-1(sin x – cos x)

MP Board Class 12 Maths Important Questions