MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 4 सारणिक

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 4 सारणिक

सारणिक Important Questions

सारणिक वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो |adj A| का मान है
(a) |A|
(b) |A|²
(c) |A|³
(d) 3 |A|

प्रश्न 2.
यदि a, b, c समांतर श्रेढी में हो, तो सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
{x+2} & {x+3} & {x+2 a} \\
{x+3} & {x+4} & {x+2 b} \\
{x+4} & {x+5} & {x+2 c}
\end{array}\right|\) का मान होगा –
(a) 0
(b) 1
(c) x
(d) 2x

प्रश्न 3.
आव्यूह A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) हो, तो A^-1 होगा –
(a) A^-1 = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)
(b) A^-1 = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\)
(c) A^-1 = \(\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)
(d) A^-1 = \(\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 4.
यदि ω इकाई का घनमूल हो, तो \(\left|\begin{array}{ccc}
{\mathbf{1}} & {\omega} & {\omega^{2}} \\
{\omega} & {\omega^{2}} & {1} \\
{\omega^{2}} & {1} & {\omega}
\end{array}\right|\) =
(a) 1
(b) 0
(c) ω
(d) ω²

प्रश्न 5.
सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
{a+b} & {a+2 b} & {a+3 b} \\
{a+2 b} & {a+3 b} & {a+4 b} \\
{a+4 b} & {a+5 b} & {a+6 b}
\end{array}\right|\) =
(a) a² + b² + c² – 3abc
(b) 0
(c) a³ + b³ + c³
(d) इनमें से कोई नहीं।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि = \(\begin{bmatrix} 3 & m \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\) हो, तो m = …………………………
2. सारणिक \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\) में अवयव – 3 का सहखण्ड ……………………….. है।
3. यदि A = \(\left|\begin{array}{lll}
   {1} & {0} & {1} \\
   {0} & {1} & {2} \\
   {0} & {0} & {4}
   \end{array}\right|\) हो, तो |3A| का मान ………………………………….. है।
4. सारणिक \(\begin{bmatrix} 1 & log_{ b }a \\ log_{ a }b & 1 \end{bmatrix}\) का मान …………………………….. है।
5. सारणिक \(\begin{bmatrix} cos70^{ \circ } & sin20^{ \circ } \\ sin70^{ \circ } & cos20^{ \circ } \end{bmatrix}\) का मान है।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
   {0} & {a} & {-b} \\
   {-a} & {a} & {-c} \\
   {b} & {c} & {0}
   \end{array}\right|\) का मान abc है।
2. सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
   {1} & {1} & {1} \\
   {1} & {1+\sin \theta} & {1} \\
   {1} & {1} & {1+\cos \theta}
   \end{array}\right|\) का उच्चिष्ठ मान \(\frac{1}{2}\) है।
3. यदि A एक 3 × 3 कोटि का आव्यूह हो, तो |kA| का मान k² |A| होगा।
4. यदि \(\begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix}\) = \(\begin{vmatrix} 16 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix}\) तो x का मान ±3 है।
5. सारणिक \(\begin{vmatrix} 1 & \omega \\ \omega & -\omega \end{vmatrix}\) का मान 1 है।

उत्तर:

1. सत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. k के कितने मानों के लिए रैखिक समीकरणों 4x + ky + 2x = 0, kx +4y + 2 = 0, 2x +2y + z = 0 का एक शून्येत्तर हल होगा।
2. यदि समीकरण 2x² + 3x + 5 = 0 के मूल α, β हों, तो \(\left|\begin{array}{lll}
   {0} & {\beta} & {\beta} \\
   {\alpha} & {0} & {\alpha} \\
   {\beta} & {\alpha} & {0}
   \end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
3. यदि शीर्षों (2, – 6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग एकांक हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
4. यदि A = \(\begin{vmatrix} x+2 & -2 \\ -3x & 2x \end{vmatrix}\) = 8 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
5. सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
   {1^{2}} & {2^{2}} & {3^{2}} \\
   {2^{2}} & {3^{2}} & {4^{2}} \\
   {3^{2}} & {4^{2}} & {5^{2}}
   \end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 2
2. –\(\frac{15}{4}\)
3. 12, -2
4. 2
5. -8.

सारणिक अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
\(\begin{vmatrix} 2 & 20 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
-8

प्रश्न 2.
\(\begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 3 & y \end{vmatrix}\) = 24 तो y का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
-5

प्रश्न 3.
\(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ x & 0 \end{vmatrix}\) तो का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
4

प्रश्न 4.
यदि \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\) तो \(\begin{vmatrix} 3a & 3b \\ 3c & 3d \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
45

प्रश्न 5.
यदि \(\begin{vmatrix} a & \omega \\ \omega & -\omega \end{vmatrix}\) हो, तो छ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
1

प्रश्न 6.
यदि \(\begin{vmatrix} 3 & m \\ 4 & 5 \end{vmatrix}\) = 3 हो, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
3

प्रश्न 7.
यदि \(\begin{vmatrix} 2 & x \\ 4 & 9 \end{vmatrix}\) = 30 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
-3

प्रश्न 8.
यदि \(\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ m & m \end{vmatrix}\) = 21 तो m का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
3

प्रश्न 9.
यदि \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & x \end{vmatrix}\) हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
9

प्रश्न 10.
यदि \(\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -m & m \end{vmatrix}\) = 21 हो, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
21

प्रश्न 11.
यदि \(\begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 3 & m \end{vmatrix}\) = 12 हो, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
-3

प्रश्न 12.
यदि \(\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ -2 & x \end{vmatrix}\) = 20 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
8

प्रश्न 13.
यदि ω, ω² इकाई के सम्मिश्र घनमूल हों, तो \(\begin{vmatrix} 1 & \omega \\ \omega & -\omega \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
1

प्रश्न 14.
\(\left|\begin{array}{ccc}
{224} & {777} & {32} \\
{735} & {888} & {105} \\
{812} & {999} & {116}
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
0

प्रश्न 15.
यदि सारणिक \(\begin{vmatrix} x & 4 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}\) = 0 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
4

प्रश्न 16.
\(\begin{vmatrix} 2+3i & 4 \\ 1 & 2-3i \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
9

प्रश्न 17.
सारणिक \(\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\) में अवयव – 3 का सहखण्ड क्या है?
उत्तर:
1

प्रश्न 18.
यदि \(\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -4 & x \end{vmatrix}\) = 16 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
8

प्रश्न 19.
\(\begin{vmatrix} 1 & log_{ b }a \\ log_{ a }b & 1 \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
0

प्रश्न 20.
सारणिक \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}\) में अवयव 2 का उपसारणिक क्या होगा?
उत्तर:
3

प्रश्न 21.
\(\begin{vmatrix} 2+5i & 5 \\ 4 & 2-5i \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
9

प्रश्न 22.
\(\begin{vmatrix} cotx & cosecx \\ cosecx & cotx \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
-1

प्रश्न 23.
\(\begin{bmatrix} cos70^{ \circ } & sin20^{ \circ } \\ sin70^{ \circ } & cos20^{ \circ } \end{bmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
0

सारणिक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{a+b+2 c} & {a} & {b} \\
{c} & {b+c+2 a} & {b} \\
{c} & {a} & {c+a+2 b}
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)³?
हल:
माना

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि \(\left|\begin{array}{ccc}
{a^{2}+1} & {a b} & {a c} \\
{a b} & {b^{2}+1} & {b c} \\
{a c} & {b c} & {c^{2}+1}
\end{array}\right|\) = 1 + a² + b² + c²? (NCERT; CBSE 2014)
हल:
माना

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि \(\left|\begin{array}{ccc}
{a^{2}} & {b c} & {a c+c^{2}} \\
{a^{2}+a b} & {b^{2}} & {a c} \\
{a b} & {b^{2}+b c} & {c^{2}}
\end{array}\right|\) = 4a² b² c²? (NCERT; CBSE 2015)
हल:
माना

= 2abc² [-a(a – b) + a (a + b)]
= 2a²bc² [-a + b + a + b]
= 2a²bc². 2b = 4a² b² c²

प्रश्न 4.
निम्न सारणिक को हल कीजिए
\(\left|\begin{array}{ccc}
{x+1} & {3} & {5} \\
{2} & {x+2} & {5} \\
{2} & {3} & {x+4}
\end{array}\right|\) = 0?
हल:

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि
\(\left|\begin{array}{ccc}
{\alpha} & {\beta} & {\lambda} \\
{\alpha^{2}} & {\beta^{2}} & {\lambda^{2}} \\
{\beta+\lambda} & {\lambda+\alpha} & {\alpha+\beta}
\end{array}\right|\) = (α – β) (β – λ) (λ – a) (α + β + λ)?
नोट -α = a,
β = b,
λ = c भी रखा जा सकता है।
हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि
\(\left|\begin{array}{ccc}
{1+a} & {1} & {1} \\
{1} & {1+b} & {1} \\
{1} & {1} & {1+c}
\end{array}\right|\) = (abc + ab + bc + ca) = (abc) (1 + \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) )? (NCERT; CBSE 2012, 14)
हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{-a^{2}} & {a b} & {a c} \\
{a b} & {-b^{2}} & {b c} \\
{a c} & {b c} & {-c^{2}}
\end{array}\right|\) = 4a²b²c²?
हल:

प्रश्न 8.
समीकरण हल कीजिए –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{3 x-8} & {3} & {3} \\
{3} & {3 x-8} & {3} \\
{3} & {3} & {3 x-8}
\end{array}\right|\) = 0?
हल:

प्रश्न 9.
समीकरण \(\left|\begin{array}{lll}
{a+x} & {a-x} & {a-x} \\
{a-x} & {a+x} & {a-x} \\
{a-x} & {a-x} & {a+x}
\end{array}\right|\) = 0 को हल कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{a} & {a+b} & {a+b+c} \\
{2 a} & {3 a+2 b} & {4 a+3 b+2 c} \\
{3 a} & {6 a+3 b} & {10 a+6 b+3 c}
\end{array}\right|\) = a³? (NCERT)
हल:

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{x} & {x+y} & {x+2 y} \\
{x+2 y} & {x} & {x+y} \\
{x+y} & {x+2 y} & {x}
\end{array}\right|\) = -2(x³ + y³)? (NCERT)
हल:

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{x+4} & {2 x} & {2 x} \\
{2 x} & {x+4} & {2 x} \\
{2 x} & {2 x} & {x+4}
\end{array}\right|\) = (5x + 4) (4 – x)²? (NCERT)
हल:
माना

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{x} & {y} & {x+y} \\
{y} & {x+y} & {x} \\
{x+y} & {x} & {y}
\end{array}\right|\) = -2(x³ + y³)? (NCERT)
हल:

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{a^{2}+2 a} & {2 a+1} & {1} \\
{2 a+1} & {a+2} & {1} \\
{3} & {3} & {1}
\end{array}\right|\) = (a – 1)³? (CBSE 2017)
हल:

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि –
\(\left|\begin{array}{ccc}
{1} & {1} & {1+3 x} \\
{1+3 y} & {1} & {1} \\
{1} & {1+3 z} & {1}
\end{array}\right|\) = 9(3xyz + xy + yz + zx)? (CBSE 2018)
हल:
माना

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