Bhagya

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 Square and Square Roots Ex 6.4

Question 1.
Find the square root of each of the following numbers by Division method.
(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(ix) 576
(x) 1024
(xi) 3136
(xii) 900.
Solution:

Question 2.
Find the number of digits in the square root of each of the following numbers (without any calculation).
(i) 64
(ii) 144
(iii) 4489
(iv) 27225
(v) 390625
Solution:
(i) Since number of digits in 64 is 2 (= n), which is even.
Then its square root will have \(\frac{n}{2}\) digits.
Number of digits = \(\frac{2}{2}\) = 1.

(ii) Since the number of digits in 144 is 3 (= n), which is odd.
Then its square root will have \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) digits.
Number of digits \(=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2\).

(iii) Since number of digits in 4489 is 4(= n), which is even.
Then its square root will have \(\frac{n}{2}\) digits.
Number of digits = \(\frac{4}{2}\) = 2

(iv) Since the number of digits in 27225 is 5( = n), which is odd.
Then its square root will have digits \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\)
Number of digits \(=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\)

(v) Since number of digits in 390625 is 6 (= n), which is even.
Then its square root will have \(\left(\frac{n}{2}\right)\) digits.
Number of digits = \(\frac{6}{2}\) = 3

Question 3.
Find the square root of the following decimal numbers.
(i) 2.56
(ii) 7.29
(iii) 51.84
(iv) 42.25
(v) 31.36
Solution:

Question 4.
Find the least number which must be subtracted from each of the following numbers so as to get a perfect square. Also find the square root of the perfect square so obtained.
(i) 402
(ii) 1989
(iii) 3250
(iv) 825
(v) 4000.
Solution:
(i) 402

Thus, if we subtract 2 from 402, we get a perfect square number whose square root is 20.

(ii) 1989

Thus, if we subtract 53 from 1989, we get a perfect square number whose square root is 44.

(iii) 3250

Thus, if we subtract 1 from 3250, we get a perfect square number whose square root is 57.

(iv) 825

Thus, if we subtract 41 from 825, we get a perfect square number whose square root is 28.

(v) 4000

Thus, if we subtract 31 from 4000, we get a perfect square number whose square root is 63.

Question 5.
Find the least number which must be added to each of the following numbers so as to get a perfect square. Also find the square root of the perfect square so obtained.
(i) 525
(ii) 1750
(iii) 252
(iv) 1825
(v) 6412
Solution:
(i) 525

Hence, the number to be added is 529 – 525 = 4 and square root of 529 is 23.

(ii) 1750

Clearly, 41² = 1681 < 1750
42² = 1764 > 1750.
Hence, the number to be added is 1764 – 1750 = 14 and square root of 1764 is 42.

(iii) 252

Clearly, 15² = 225 < 252
16² = 256 > 252
∴ The number to be added is 256 – 252 = 4 and square root of 256 is 16.

(iv) 1825

Clearly, 42² = 1764 < 1825
43² = 1849 >1825
∴ The number should be added is 1849 – 1825 = 24 and square root of 1849 is 43.

(v) 6412

Clearly, 80² = 6400 < 6412
81² = 6561 > 6412
∴ The number should be added is 6561 – 6412 = 149 and square root of 6561 is 81.

Question 6.
Find the length of the side of a square whose area is 441 m².
Solution:
Let the length of the side of a square is x m. Area of the square = x² ⇒ 441 = x²
⇒ x = \(\sqrt{441}\)
⇒ x = 21
Thus, the required length of side of the square is 21 m.

Question 7.
In a right triangle ABC, ∠B = 90°.
(a) If AB = 6 cm, BC = 8 cm, find AC.
(b) If AC = 13 cm, BC = 5 cm, find AB.
Solution:
(a) AB = 6 cm, BC = 8 cm

By using Pythagoras theorem,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (6)² + (8)²
⇒ AC² = 36 + 64
⇒ AC² = 100
⇒ AC = \(\sqrt{100}\)
⇒ AC = 10 cm.

(b) AC = 13 cm, BC = 5 cm
By using Pythagoras theorem,

AC² = AB² + BC²
⇒ (13)² = AB² + (5)²
⇒ 169 = AB² + 25
⇒ 169 – 25 = AB²
⇒ 144 = AB²
⇒ AB = \(\sqrt{144}\)
⇒ AB = 12 cm.

Question 8.
A gardener has 1000 plants. He wants to plant these in such a way that the number of rows and the number of columns remain same. Find the minimum number of plants he needs more for this.
Solution:
Total number of plants = 1000.

Since, the plants are planted in a garden in such a way that the number of rows and the number of columns remain same.
Clearly, 31² = 961 < 1000
32² = 1024 >1000
∴ 1024 – 1000 = 24.
Thus, gardener needs 24 more plants.

Question 9.
There are 500 children in a school. For a P.T. drill they have to stand in such a manner that the number of rows is equal to number of columns. How many children would be left out in this arrangement.
Solution:
Total number of children = 500.
Since the number of rows is equal to the number of colums, in which children have to stand.

Clearly, 16 children would be left out in this arrangement.

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए :
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, 0, u}, B = {a, b, c}
(iii) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है?
(iv) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = ϕ
हल:
(i) X ∪ Y = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}
(ii) A ∪ B = {a, e, i, 0, u}, {a, b, c}
= {a, b, c, e, i, o, u}
(iii) A ∪ B = {3, 6, 9….} ∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}.
(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} अर्थात् {x : 1 < x < 10, x ϵ N}
(v) A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ ϕ = {1, 2, 3}

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि A = {a, b}, B = {a, b, c}. क्या A ⊂ B? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {a, b}, B = {a, b, c}
समुच्चय A के अवयव a, b समुच्चय B में भी है
∴ A ⊂ B = A ∪ B = B
और A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

प्रश्न 3.
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
हल:
A ⊂ B ⇒ समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं।
A ∪ B = B.

प्रश्न 4.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
हल:
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(ii) A ∪ C= {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}.
(iii) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(iv) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(v) A ∪ B ∪ C = ({1, 2, 3, 4, 10} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(vi) A ∪ B ∪ D = ({1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(vii) B ∪ C ∪ D = ({3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 5.
प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए :
हल:
(i) X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3} = {1, 3}.
(ii) A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c} = {a}.
(iii) A ∩ B = {3, 6, 9 …..} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {3}.
(iv) A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 9} = ϕ.
(v) A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ ϕ = ϕ

प्रश्न 6.
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ C
(iii) A ∩ C ∩ D
(iv) A ∩ C
(v) B ∩ D
(vi) A∩ (B ∩ C)
(vii) A ∩ D
(viii) A ∩ (B ∪ D)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
हल:
(i) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13} = {7, 9, 11}.
(ii) B ∩ C = {7, 9, 11, 13} ∩ {11, 13, 15} = {11, 13}.
(iii) A ∩ C ∩ D = ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15}) ∩ {15, 17} .
= {11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(iv) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} = {11}.
(v) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17} = ϕ.
(vi) A ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ! {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}.
(vii) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(viii) A ∩ (B ∪ D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}.
(ix) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}.
(A ∩ B) (B ∪ C) = {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13. 15}
= {7, 9, 11}.
(x) A ∪ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∪ {15, 17}
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}.

प्रश्न 7.
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(vi) C ∩ D
हल:
A = {x : x एक प्राकृत संख्या है} = {1, 2, 3, 4……}
B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} = {2, 4, 6, 8…}
C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है? = {1, 3, 5, 7….}
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है} = {2, 3, 5, 7, 11….}
(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4….} ∩ {2, 4, 6, 8….}
= {2, 4, 6, 8….} = B
(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4……} ∩ {1, 3, 5, 7….}
= {1, 3, 5, 7….} = C
(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4…} ∩ {2, 3, 5, 7…..}
= {2, 3, 5, 7……} = D
(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, 8…} ∩ {1, 3, 5, 7……} = ϕ
(v) B ∩ D = {2, 4, 6, 8…..} ∩ {2, 3, 5, 7…..} = {ϕ}
(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7…..} ∩ {2, 3, 5, 7, 11…….}
= {3, 5, 7, 11, 13….}
= {x : x एक विषम अभाज्य संख्या}.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है, और {x : x एक विषम पूर्णांक है}
हल:
(i) मान लीजिए E = {1, 2, 3, 4}
F = {x : x एक प्राकृत संख्या और 4 ≤ x ≤ 6}
= {4, 5, 6}
अवयव 4, E और F दोनों समुच्चयों में है।
अतः दोनों युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) दिये हुए समुच्चयों में अवयव e उभयनिष्ठ है।
अतः यह असंयुक्त समुच्चय नहीं है।
(ii) मान लीजिए A = {x : x एक सम पूर्णांक हैं} = {….- 4, – 2, 0, 2, 4….}
B = {x : x एक विषम पूर्णांक है} = {….-5, – 3, – 1, 1, 3, 5…..}
A और B समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

प्रश्न 9.
यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A – B
(ii)A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
(xi) C – D
(xii) D – C
हल:
(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
{3, 6, 9, 15, 18, 21}.
(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18. 21}.
(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}.
(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}.
(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}.
(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.
= {5, 10, 20}.
(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}.
(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}.
(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}.
(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}.
(xi) C -D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}.
(xii) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {55 15 20}.

प्रश्न 10.
यदि x = {a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) X – Y
(ii) Y – X
(iii) X ∩ Y
हल:
(i) X – Y= {a, b, c, d} – {f, b, d, g}
= {a, c}.
(ii) Y – X= {f, b, d, g} – {a, b, c, d}
= {f, g}.
(iii) X ∩ Y= {a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g}
= {b, d}.

प्रश्न 11.
यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R – Q क्या होगा?
हल:
R= {x : x एक वास्तविक संख्या है?
Q= {x : x एक परिमेय संख्या है?
R – Q = {x : x एक अपरिमेय संख्या है}
अत: यह अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 12.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल:
(i) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {2, 3, 4, 5} और {3, 6} में अवयव 3 उभयनिष्ठ है।
(ii) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {a, e, i, o, u} और {a, b, c, d} में अवयव a उभयनिष्ठ है।
(iii) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10, 14} और {3, 7, 11, 15} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
(iv) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10} और {3, 7, 11} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

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MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Solutions Chapter 9 बिरसा मुण्डा

MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Chapter 9 पाठ का अभ्यास

बोध प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए
उत्तर
जीवन-वृत्त =जीवनी या जीवन परिचय; जागृति = चेतना; उद्धारक = उद्धार करने वाला, तारने वाला; चौपट : होना = बरबाद हो जाना; कारागार = कैदखाना, जेल; पथ = मार्ग, रास्ता; मुग्ध = मोहित हो जाना; प्रारम्भिक = शुरू की; बियावान = निर्जन; धूमिल = धूल में लिपट जाना, धूलधूसरित हो जाना; पीड़ादायी = कष्ट देने वाली; उपासना = पूजा; तत्कालीन = उस समय की; शोषण = काम करने पर मजदूरी न दिया जाना; उपचार = इलाज; दासता = गुलामी; नाद = स्वर; सामान्य = साधारण; सदी = शताब्दी; कथन = कहावत, कहना; बर्बरता = निर्दयता, क्रूरता।

प्रश्न 2.
दिए गये विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए
(क) बिरसा मुण्डा का सम्बन्ध निम्नलिखित में से वर्तमान के किस राज्य से था ?
(1) झारखण्ड
(2) बिहार
(3) छत्तीसगढ़।
उत्तर
(1) झारखण्ड

(ख) मुण्डा समाज के आराध्य देव ‘सिंग’ का अर्थ है
(1) सिंह
(2) सींग
(3) सूर्य।
उत्तर
(3) सूर्य।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर संक्षेप में लिखिए
(क) बिरसा मुण्डा को लूथरन मिशन स्कूल क्यों छोड़ना पड़ा?
उत्तर
बिरसा मुण्डा को लूथरन मिशन स्कूल इसलिए छोड़ना पड़ा क्योंकि वहाँ उन्हें दासता का अनुभव हो रहा था। उन्होंने ऐसे दृश्य देखे जिनमें मुण्डा लोगों का शोषण किया जा रहा था। इससे उन्हें बहुत कष्ट हुआ और बिरसा ने अंग्रेजों के कारनामों पर टीका-टिप्पणी करना शुरू कर दिया।

(ख) बिरसा रोगियों का उपचार कैसे करते थे ?
उत्तर
बिरसा रोगियों का उपचार जड़ी-बूटियों से करते

(ग) मुण्डा जनजाति के लोग बिरसा को क्यों मानते थे?
उत्तर
बिरसा ने गाँववासियों और आसपास के लोग जो उनके पास आये, उनका जड़ी-बूटियों से इलाज किया। उन्हें स्वस्थ रहने के उपाय बताए। इस तरह वे उपदेशक भी बन गये। उन्हें लोग अवतारी पुरुष मानने लगे और उनका आदर भाव बढ़ता गया।

(घ) अंग्रेजों ने बिरसा का दाह-संस्कार सार्वजनिक रूप से क्यों नहीं किया ?
उत्तर
स्वतन्त्रता संग्राम के सेनानी के रूप में बिरसा को अंग्रेजों ने पकड़ लिया। वे स्वतन्त्रता की ज्योति लोगों में जगा चुके थे। बन्दी बनाये जाने से पूर्व बिरसा बीमार चल रहे थे। अदालत में पेश करने पर उनकी दशा बिगड़ गयी। उन्हें खून की उल्टियाँ होने लगी। बिरसा जो मुण्डा समाज का उद्धारक था, सदा के लिए सो गया। इसलिए उपद्रव के भय से अंग्रेजों ने बिरसा का दाह-संस्कार सार्वजनिक रूप से नहीं किया।

(ङ) बिरसा मुण्डा ने किस उद्देश्य से अपना आन्दोलन प्रारम्भ किया?
उत्तर
बिरसा मुण्डा ने मुण्डाओं को अंग्रेजों के अत्याचारों से तथा शोषण से मुक्ति दिलाने और भारत को आजाद कराने के उद्देश्य से अपना आन्दोलन प्रारम्भ किया।

प्रश्न 4.
खाली स्थान भरिए
(क) …………….. के कारण ओझा लोगों का काम चौपट हो रहा था।
(ख) मुण्डा लोगों के प्रमुख अस्त्र-शस्त्र ………… और
(ग) पुरस्कार के ………… में कुछ लोगों ने बिरसा को पकड़वा दिया।
उत्तर
(क) बिरसा मुण्डा
(ख) भाले, तीर-कमान
(ग) लालच।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर विस्तार से लिखिए
(क) प्रस्तुत पाठ से हमें आज से सौ वर्ष पूर्व के आदिवासियों के जीवन की क्या जानकारी मिलती है?
उत्तर
आज से सौ वर्ष पूर्व के आदिवासियों ने भी भारत की आजादी के लिए अंग्रेजी शासन के विरुद्ध अपनी आवाज उठाई और इनमें आजादी की भावनाओं को स्वर देने का काम बिरसा मुण्डा ने किया। मुण्डा भारत की प्रमुख जनजाति है जो राँची और उसके आस-पास के क्षेत्रों में बड़ी संख्या में निवास करती है। मुण्डा जाति बहुत ही सरल जीवन बिताने वाली जाति है। वह अपने जीवनयापन के लिए पूर्णतः प्रकृति पर निर्भर करती है।

मुण्डा समाज ‘सिंग’ और ‘बोंगा’ की उपासना करते हैं। ‘सिंग’ का अर्थ सूर्य होता है तथा ‘बोंगा’ मुण्डा समाज की देवी है। अन्य जनजातियों की भाँति मुण्डा समाज में भी काफी जागृति आ गई है। विदेशी दासता की जंजीरों से मुक्त होने के लिए तत्कालीन उरांव, मुण्डा और खड़िया जनजातियों ने बिरसा मुण्डा के नेतृत्व में अंग्रेजों के विरुद्ध हथियार उठा लिए थे।

मुण्डा जाति के लोग निर्धन और अशिक्षित थे। उनकी शिक्षा के लिए कुछ मिशनरी विद्यालय थे। जहाँ उन्हें ईसाई धर्म में दीक्षित करने की कोशिश होती थी। वे ओझाओं के झाड़-फूंक में विश्वास करते थे। उन्हें अपनी जमीन से बेदखल कर दिया गया था। पंच-पंचायतें समाप्त कर दी गई थीं। इस तरह वे भूख और दमन के कारण असहाय थे।

(ख) बिरसा मुण्डा के आन्दोलन के क्या कारण थे ?
उत्तर
बिरसा मुण्डा के आन्दोलन के निम्नलिखित कारण

1. मुण्डा जाति को उनकी जमीन से बेदखल कर दिया गया था।
2. उनके पंच-पंचायत समाप्त कर दिये गये।
3. उनकी जमीन पर जींदार और दलाल थोप दिये गये।
4. मुण्डा जाति के लोगों के जंगलों पर अंग्रेजी शासन ने अपने दलालों और लोगों को मालिक बना दिया। वे मालिक से नौकर हो गये।
5. उन्हें बेगार में घसीटा जाता। उनका शोषण होता था।
6. आर्थिक तंगी का मामला बिरसा मुण्डा के आन्दोलन का सबसे बड़ा कारण था। उनकी आर्थिक स्थिति बहुत ही दयनीय थी।

(ग) “भारतीय इतिहास का एक सत्य यह भी है कि भारत जब भी विदेशियों से पराजित हुआ, तो देशद्रोहियों के कारण,” प्रस्तुत पाठ के सन्दर्भ में इस कथन की पुष्टि कीजिए।
उत्तर
बिरसा मुण्डा ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध तीव्र आन्दोलन शुरू कर दिया। उनका यह आन्दोलन अन्याय और शोषण के विरुद्ध था। यह आन्दोलन मानवता की रक्षा के लिए था। उन दिनों प्रथम स्वतन्त्रता संग्राम के महान सेनानियों में झाँसी की रानी लक्ष्मीबाई, तात्या टोपे, नाना साहब, कुंवर सिंह आदि की वीरता की कहानियाँ लोगों के मुँह पर थीं।

जनमत अंग्रेज शासकों के विरुद्ध था। सामाजिक आन्दोलन ने राजनैतिक रूप धारण कर लिया था। बिरसा मुण्डा ने इस आन्दोलन को आगे बढ़ाया। मुण्डा और दूसरी जनजातियाँ भाले और तीर कमान लेकर चारकाड़ गाँव में एकत्र हो गये। बिरसा की क्रान्तिकारी गतिविधियों से डिप्टी कमिश्नर और जिला पुलिस अधीक्षक बहुत परेशान हो गये। बिरसा को ब्रिटिश शासन के विरुद्ध दंगा भड़काने के आरोप में गिरफ्तार कर लिया। राँची जेल में डाल दिया गया। सजा पूरी होने के बाद सामाजिक जागरण को स्वतन्त्रता-संग्राम का नाम दे दिया गया। बिरसा ने बैठकें शुरू की जिसकी सूचना शासन को लग गई और इनके विरुद्ध वारंट कट गया। इन्हें पकड़ने के लिए इनाम घोषित हुए। इनाम के लालच में किसी ने सोते हुए बिरसा को पकड़वा दिया। इन सभी घटनाओं से सिद्ध होता है कि भारत की पराजय का मुख्य कारण यहाँ के देशद्रोही ही रहे हैं।

(घ) बिरसा मुण्डा ने किस उद्देश्य से अपना आन्दोलन प्रारम्भ किया ?
उत्तर
बिरसा मुण्डा ने देखा कि मुण्डा और जनजातियों की आर्थिक दशा बहुत ही दयनीय हो चुकी है। इसका मुख्य कारण था कि अंग्रेजों ने उन्हें उनके खेतों से बेदखल कर दिया। वे इन खेतों के मालिक थे। वे फसलें उगाते थे। उनकी ग्राम व्यवस्था थी। पंच-पंचायतें थीं। उनका रहन-सहन परम्परागत था। अंग्रेजों ने उन सबको नष्ट करके जींदार, जागीरदार, जंगल के ठेकेदार और दलाल उन पर लाद दिए। वनवासी अपनी ही जमीन पर मालिक से नौकर हो गये। वे भूख और दमन से स्वयं को असहाय समझने लगे। ऐसी स्थिति में बिरसा मुण्डा ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध तीव्र आन्दोलन प्रारम्भ कर दिया। यह आन्दोलन अन्याय और शोषण के विरुद्ध था, मानवता की रक्षा के लिए था। मुण्डा समाज की दबी भावनाएँ उभरकर आ गई। सामाजिक आन्दोलन ने राजनैतिक रूप धारण कर लिया था। बिरसा मुण्डा इन गतिविधियों का केन्द्र बिन्दु थे। उन्होंने ब्रिटिश शासन को उखाड़ फेंकने का संकल्प ले लिया। उन्होंने कहा कि अंग्रेजों ने हमें बहुत लूटा है, अब हम इन्हें सहन नहीं करेंगे।

(ङ) प्रस्तुत पाठ के आधार पर बिरसा मुण्डा के चरित्र की विशेषताएँ बताइए।
उत्तर
(1) स्वतन्त्रता की भावना – बिरसा अपने बचपन से ही एक होनहार देशभक्त बालक था। उसमें अपने समाज के उत्थान के लिए सब कुछ कर गुजरने की तीव्र इच्छा थी। वह अपने विद्यार्थी जीवन से ही स्वतन्त्र प्रकृति का व्यक्ति था। वह ब्रिटिश शासन के विरुद्ध था। उसने लोगों को स्वतन्त्रता और अपने जीवन मूल्यों को समझने की बात बतायी। जड़ी-बूटियों के द्वारा बीमारियों का इलाज करना सीखा, इससे उनमें स्वदेशी की भावनाओं की तीव्रता का पता चलता है।

(2) संगठनकर्ता – उन्होंने अपने समाज के लोगों को एकत्र किया, उनको संगठित करके अपनी भावना बतायी। उन लोगों में अपने सम्मान, देश के सम्मान की रक्षा करने की भावना जाग्रत कर दी।

(3) मातृभूमि की आजादी-देश की आजादी के लिए उन्होंने जीवन भर संघर्ष किया। अंग्रेज सरकार के जुल्मों को सहा। देश की आजादी का सपना पूरा तो नहीं हो सका, परन्तु समाज में आजादी की चेतना जागृत कर दी। स्वतन्त्रता संग्राम में उनका नाम अमर रहेगा।

भाषा-अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के मानक हिन्दी शब्द लिखिए
हुक्म, जवान, सजा, इनाम, पेश, तबीयत।
उत्तर

1. आदेश
2. युवक
3. दण्ड
4. पुरस्कार
5. प्रस्तुत
6. स्वास्थ्य।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित शब्दों का समास विग्रह करके समास का नाम लिखिए।
जीवनवृत्त, शैशवकाल, शंखनाद, टीका-टिप्पणी, जड़ी-बूटी, बहला-फुसला, गाँववासी।
उत्तर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित शब्दों का सन्धि-विच्छेद करके सन्धि का नाम बतलाइए
तत्कालीन, उद्धारक, तन्मय, सत्याग्रह, युवावस्था।
उत्तर

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(अ) तन्मयता’ शब्द में ……… प्रत्यय है। (यता, ता, मयता)
(आ) ‘बेबस’ शब्द में ……. उपसर्ग है। (बेव, बे, स)
(इ) ‘दयनीय’ शब्द में ……..प्रत्यय है। (इय, नीय, य)
(ई) ‘राजनैतिक’ शब्द में …… प्रत्यय है। (तिक, इक, क)
उत्तर
(अ) ता, (आ) बे, (इ) नीय, (ई) इक। .

प्रश्न 5.
निम्नलिखित पर्यायवाची शब्दों में से जो शब्द सही पर्यायवाची नहीं है, उन्हें अलग करके लिखिए।
उत्तर

बिरसा मुण्डा परीक्षोपयोगी गद्यांशों की व्याख्या

(1) इस समय वे युवावस्था में प्रवेश कर रहे थे। निष्कासन ने उनके जीवन की दिशा बदल दी। बिरसा मुण्डा पीडित लोगों की सेवा में जुट गए हैं। वे बीमार व्यक्तियों का उपचार जड़ी-बूटी की सहायता से करने लगे। बीमार लोगों की भीड़ उनके यहाँ एकत्र होने लगी। उपचार के लिए वे दूसरे गाँवों में भी जाते थे। लोगों का विश्वास था कि बिरसा को कोई सिद्धि प्राप्त है। बिरसा के कारण ओझा लोगों का काम चौपट हो रहा था।

शब्दार्थ-युवावस्था = जवानी; निष्कासन = निकालने से, अलग कर देने से, हटा देने से पीड़ित = दुःखी; जुट गए = लग गए; उपचार = इलाज; एकत्र = इकट्ठे, विश्वास = भरोसा; सिद्धि – सफलता; चौपट हो रहा था = नष्ट हो रहा था, समाप्त हो रहा था।

सन्दर्भ-प्रस्तुत पंक्तियाँ हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘भाषा-भारती’के पाठ ‘बिरसा मुण्डा से अवतरित हैं।

प्रसंग-बिरसा मुण्डा की समाज और देश-सेवा का वर्णन किया गया है।

व्याख्या-बिरसा को चाईबासा के लूथरन मिशन स्कूल में पढ़ने के लिए भेजा गया। वहाँ पर वे अंग्रेजों के कष्टदायक कारनामों पर टीका-टिप्पणी करते थे। इसके लिए विद्यालय के प्रबन्धकों ने बिरसा पर दबाव डाला कि वे अंग्रेजों के विषय में कुछ भी न कहें लेकिन उन्होंने वैसा करने से इन्कार कर दिया।
उन्हें विद्यालय से निकाल दिया गया। पढ़ाई छूट गई। यह उनकी युवावस्था में प्रवेश का समय था। विद्यालय से निकाल दिये जाने से, उनके जीवन की दिशा में बदलाव आ गया। बिरसा ने दुःखी लोगों की (बीमारियों से पीड़ित लोगों की सेवा करना शुरू कर दिया। इन रोगियों का इलाज उन्होंने जड़ी-बूटियों की मदद से शुरू कर दिया। उनके द्वारा इस इलाज में जड़ी-बूटियों की सहायता ली जाती थी। अब बीमार लोगों की भीड़ उनके निवास पर लगना शुरू हो गई। लोगों के रोगों के इलाज के लिए, वे दूसरे गाँवों को भी जाया करते थे। अब लोगों में बिरसा मुण्डा के प्रति विश्वास पैदा हो गया था। वे कहने लगे कि बिरसा ने कोई सिद्धि प्राप्त कर ली है। इस प्रकार, झाड़-फूंक करने वाले ओझाओं का काम ठप्प हो गया। उनकी रोजी-रोटी में बाधा पड़ गयी।

(2) बिरसा के प्रति लोगों का आदर भाव उत्तरोत्तर बढ़ता जा रहा था। बिरसा के पास दूर-दूर के गांवों से लोग आने लगे। उन दिनों जनजातियों की आर्थिक स्थिति बहुत ही दयनीय थी। इसके पूर्व वे अपनी जमीन के मालिक थे। वे फसलें उगाते थे। उनकी अपनी ग्राम-व्यवस्था थी। पंच-पंचायतें थीं और रहन-सहन का अपना परम्परागत ढंग था। पर अंग्रेजों ने उन सबको नष्ट करके जमींदार, जागीरदार, जंगल के ठेकेदार और दलाल उन पर लाद दिए। वनवासी अपनी ही जमीन पर मालिक से नौकर हो गए। विवशतावश, भूख और दमन के कारण वे अपने आपको और असहाय समझने लगे।

शब्दार्थ-उत्तरोत्तर =अधिक से अधिक आर्थिक स्थिति = धन सम्बन्धी दशा; दयनीय = सोचनीय, दीन; मालिक = स्वामी; व्यवस्था = इन्तजाम, प्रबन्ध; परम्परागत – पहले से चला आने वाला; ढंग = तरीका; नष्ट करके = समाप्त करके लाद दिए = थोप दिए गए; वनवासी = जंगलों में रहने वाले; विवशतावश – विवश होकर, लाचारी के कारण दमन के कारण = कुचले जाने से; असहाय = किसी भी प्रकार की सहायता से रहित।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-बिरसा मुण्डा के प्रति लोगों का सम्मान बढ़ता जा रहा था। दूसरी ओर उन्हें मालिक से मजदूर बना दिया गया, इन अंग्रेजों की नीति से इस बात का वर्णन किया जा रहा है।

व्याख्या-बिरसा ने लोगों के रोगों का इलाज जड़ी-बूटियों की सहायता से करना शुरू रखा। इससे लोगों में बिरसा का आदर-सम्मान अधिक से अधिक बढ़ता चला गया। अपने इलाज के लिए दूर-दूर गाँवों से लोग बिरसा के पास आने लगे। ये जनजातियाँ जंगलों में रहती थीं। इनकी आर्थिक दशा बहुत ही सोचनीय थी। वे लोग बहुत ही गरीब थे। इस स्थिति से पहले वे लोग अपनी-अपनी जमीन-जायदाद के स्वयं मालिक थे, वे अपने खेतों में स्वयं खेती करते थे। उनमें फसल उगाते थे। वे अपने ही तरीके से गाँव का इन्तजाम करते थे। वहाँ के पंच फैसला करते थे। इनकी पंचायतें होती थीं। इन जनजातियों के लोग अपने ही ढंग से-तौर-तरीके से रहते थे। उनके रहन-सहन की व्यवस्था

पुरानी रीतियों के आधार पर चली आ रही थी, परन्तु अंग्रेजों ने यहाँ आकर उन परम्पराओं, रीति-रिवाजों, पंच-पंचायतों को नष्ट कर दिया। उन लोगों के ऊपर जमींदार बैठा दिए। जंगलों को ठेके । पर ठेकेदार को दे दिया गया। बीच में अनेक तरह के दलाल उन – लोगों के ऊपर नियुक्त कर दिए। इस प्रकार वनवासी लोग, जो : अपनी जमीन के मालिक थे, अब नौकर हो गये। उनकी लाचारी थी। वे भूख से पीड़ित थे। उनके ऊपर दमन चक्र चलाया जा रहा था। इस तरह वे अपने आपको असहाय दीन समझने लगे।

(3) ऐसी स्थिति में बिरसा मुण्डा ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध तीव्र आन्दोलन प्रारम्भ किया। यह आन्दोलन अन्याय और शोषण के विरुद्ध था। यह आन्दोलन मानवता की रक्षा के लिए था। उन दिनों प्रथम स्वतन्त्रता संग्राम के महान् सेनानियों में झाँसी की रानी लक्ष्मीबाई, तात्या टोपे, नाना साहब, कुंवर सिंह आदि की वीरता की कहानियाँ लोगों के मुंह पर थीं। जनमत अंग्रेज शासकों के विरुद्ध था। मुण्डा समाज में दबी भावनाएँ अब व्यापक सामाजिक आन्दोलन और राजनैतिक रूप में उभरने ली। गाँव इन गतिविधियों का केन्द्र था और बिरसा इन गतिविधियों के केन्द्र-बिन्दु थे। विदेशी राज का जुआ अपने कंधों से उतारने के लिए वे कृतसंकल्प थे। वे गाँव-गाँव में जाकर सभाएं करते थे।

शब्दार्थ-स्थिति = दशा में; विरुद्ध = खिलाफ; तीव्र = तेज; प्रारम्भ = शुरू; शोषण- मजदूरी करने के बाद मजदूरी न देना; मानवता = मनुष्यता; स्वतन्त्रता-संग्राम = आजादी की लड़ाई के लिए; सेनानियों में लड़ाकाओं में। जनमत = लोगों की राय; भावनाएँ = इच्छाएँ; व्यापक-बड़े क्षेत्र में फैला हुआ; उभरने लगी प्रकट रूप में दीखने लगी; गतिविधियों का क्रियाकलापों का; केन्द्र-बिन्दु = मुख्य केन्द्र; विदेशी राज का जुआ = दूसरे देश का नियम कानून; कंधों से उतारने के लिए का पालन न करने के लिए; कृत संकल्प = पक्की प्रतिज्ञा किए हुए।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-बिरसा मुण्डा ने विदेशी शासन के विरुद्ध खड़े होकर आजादी प्राप्त करने का बिगुल बजा दिया।

व्याख्या-जनजातियों की दशा खराब होने लगी। वे पराधीनता के कारण भूख और दमन के कुचक्र में फंस गये।ऐसी दशा देखकर बिरसा मुण्डा अंग्रेजी शासन के खिलाफ हो गये, उन्होंने उन अंग्रेज शासकों के शासन के खिलाफ आन्दोलन बहुत तेज कर दिया। उनका यह आन्दोलन शासकों के द्वारा किये गये अन्याय और शोषण के विरोध में था।

उन्होंने इस आन्दोलन को मनुष्यता की रक्षा करने के उद्देश्य से चलाया। उस समय की इस स्वतन्त्रता की लड़ाई के महान् लड़ाकों में शामिल थे-झाँसी की महारानी लक्ष्मीबाई, तात्या टोपे, नाना साहब तथा कुँवर सिंह। लोगों को इन वीर सेनानियों की वीरता के गीत और कहानियाँ कंठान थीं। अधिक संख्या में लोग इन अंग्रेज शासकों के खिलाफ थे। सम्पूर्ण मुण्डा समाज की इच्छाएँ जो दबी हुई थी, वे विस्तृत रूप में समाज के अन्दर आन्दोलन का रूप लेने लगी। उनका राजनैतिक रूप सामने स्पष्ट दीखने लगा। विरसा का गाँव इन सभी क्रियाकलापों का केन्द्र बन चुका था। सभी ग्रामीण लोग अंग्रेजों के शासन के नियम कानून को हटा देने के लिए पक्की प्रतिज्ञा किये हुए थे। इस उद्देश्य के लिए बिरसा सभी गाँवों में घूमते थे। लोगों के बीच सभा करके अपने उद्देश्य को बताते थे।

(4) उन्होंने कहा, “मेरे न रहने पर भी, मेरे द्वारा दिखाया गया रास्ता बन्द नहीं होगा।” उन्हें ले जाकर राँची जेल में डाल दिया गया। न्यायालय ने ब्रिटिश शासन के विरुद्ध दंगा भड़काने का आरोप लगाकर बिरसा और उनके कुछ साथियों को दो वर्ष की कठोर सजा सुनाई। सजा पूरी हो जाने पर सरकार ने उन्हें मुक्त कर दिया। साथ ही चेतावनी दी कि वे पूर्णत: शान्ति से जीवनयापन करेंगे। कुछ दिनों के बाद, उन्होंने फिर ब्रिटिश साम्राज्यवाद के विरुद्ध शंखनाद कर दिया जिसमें पूरा समाज उनके साथ था।

शब्दार्थ-आरोप = दोष; मुक्त = छोड़ दिया; जीवनयापन = जीवन व्यतीत करें; साम्राज्यवाद = अपने राज्य स्थापित करने की नीति । शंखनाद = ऊँची आवाज में विरोध किया।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-अंग्रेज शासकों ने बिरसा को कठोर सजा देकर लोगों का रोष अपने विरुद्ध उत्पन्न करा लिया।

व्याख्या-बिरसा मुण्डा को जब अंग्रेजों ने गिरफ्तार कर लिया तो उन्होंने कहा कि वे लोगों के बीच रहें या न रहें लेकिन उन्होंने लोगों को आजादी प्राप्त करने का रास्ता बता दिया है। लोग आजोदी प्राप्त करने के लिए आगे ही आगे बढ़ते जायें। उनका रास्ता कोई रोक नहीं पायेगा। बिरसा को राँची की जेल – में डाल दिया गया। उनके ऊपर दोष लगाया गया कि उन्होंने : अंग्रेज सरकार के विरोध में दंगा भड़काया है। इसलिए उन्हें और : उनके कुछ साथियों को दो वर्ष की कठोर सजा सुनाई गई। सजा का समय पूरी हो जाने पर सरकार ने उन्हें मुक्त कर दिया और चेतावनी दी कि वे शान्तिपूर्वक अपना जीवन बिताएँ, परन्तु थोड़ा समय बीता होगा कि फिर उन्होंने ब्रिटिश सरकार के खिलाफ आन्दोलन का बिगुल बजा दिया। इस आन्दोलन में पूरा समाज अब उनके साथ था। वे अकेले नहीं थे।

MP Board Class 8th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 Square and Square Roots Ex 6.3

Question 1.
What could be the possible ‘ones’ digits of the square root of each of the following numbers?
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
Solution:
(i) We know that the ‘ones’ place of the square of 1 and 9 is 1.
∴ The possible ‘ones’ digits of the square root of 9801 are 1 and 9.
(ii) We know that the ‘ones’ place of the square of 4 and 6 is 6.
∴ The possible ‘ones’ digits of the square root of 99856 are 4 and 6.
(iii) We know that the ‘ones’ place of the square of 1 and 9 is 1.
∴ The possible ‘ones’ digits of the square root of 998001 are 1 and 9.
(iv) We know that ‘ones’ place of the square of 5 is 5.
∴ The possible ‘ones’ digit of the square root of 657666025 is 5.

Question 2.
Without doing any calculation, find the numbers which are surely not perfect squares,
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
Solution:
We know that the numbers ending with 2, 3, 7 or 8 are not perfect squares. So, (i), (ii) and (iii) are surly not perfect squares.
(iv) Since, the number 441 ends with 1. Thus, 441 may or may not be a perfect square.

Question 3.
Find the square root of 100 and 169 by the method of repeated subtraction.
Solution:
First consider 100.
(1) 100 – 1 = 99
(2) 99 – 3 = 96
(3) 96 – 5 = 91
(4) 91 – 7 = 84
(5) 84-9 = 75
(6) 75 – 11 = 64
(7) 64 – 13 = 51
(8) 51 – 15 = 36
(9) 36 – 17 = 19
(10) 19 – 19 = 0.
∴ \(\sqrt{100}\) = 10.
Now, consider 169
(1) 169 – 1 = 168
(2) 168 – 3 = 165
(3) 165 – 5 = 160
(4) 160 – 7 = 153
(5) 153 – 9 = 144
(6) 144 – 11 = 133
(7) 133 – 13 = 120
(8) 120 – 15 = 105
(9) 105-17 = 88
(10) 88 – 19 = 69
(11) 69 – 21 = 48
(12) 48 – 23 = 25
(13) 25 – 25 = 0.
∴ \(\sqrt{169}\) = 13.

Question 4.
Find the square roots of the following numbers by the Prime Factorisation Method.
(i) 729
(ii) 400
(iii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
Solution:

Question 5.
For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be multiplied so as to get a perfect square number. Also find the square root of the square number so obtained.
(i) 252
(ii) 180
(iii) 1008
(iv) 2028
(v) 1458
(vi) 768
Solution:
(i) We have, 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
The smallest whole number is 7 by which 252 should be multiplied so as to get a perfect square.
252 × 7 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
Now each prime factor is in a pair. Therefore, 252 × 7 = 1764 is a perfect square.

(ii) We have, 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

The smallest whole number is 5, by which 180 should be multiplied so as to get a perfect square.
180 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
So, \(\sqrt{900}\) = 2 × 3 × 5 = 30.

(iii)
We have,

1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
The smallest whole number is 7, by which 1008 should be multiplied so as to get a perfect square.
1008 × 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
Now each prime factor is in pair. Therefore,
1008 × 7 = 7056 is a perfect square.
So, \(\sqrt{7056}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.

(iv) We have, 2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
The smallest whole number is 3 by which 2028 should be multiplied so as to get a perfect square.

2028 × 3 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
Now each prime factor is in pair. Therefore, 2028 × 3 = 6084 is a perfect square.
So, \(\sqrt{6084}\) = 2 × 3 × 13 = 78.

(v) We have, 1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
The smallest whole number is 2, by which 1458 should be multiplied so as to get a perfect square.
1458 × 2 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Now each prime factor is in pair.
Therefore, 1458 × 2 = 2916 is a perfect square.
So, \(\sqrt{2916}\) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

(vi) We have, 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

The smallest whole number is 3, by which 768 should be multiplied so as to get a perfect square.
768 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Now each prime factor is in pair.
Therefore, 768 × 3 = 2304 is a perfect square.
So, \(\sqrt{2304}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.

Question 6.
For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be divided so as to get a perfect square. Also find the square root of the square number so obtained,
(i) 252
(ii) 2925
(iii) 396
(iv) 2645
(v) 2800
(vi) 1620
Solution:
(i) We have 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7

We find that 252 should be divided by 7, to get a perfect square.
252 ÷ 7 = 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Therefore, the required smallest number is 7.

(ii) We find that 2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
We find that 2925 should be divided by 13, to get a perfect square.
2925 ÷ 13 = 225 = 3 × 3 × 5 × 5

Therefore, the required smallest number is 13.
Also, \(\sqrt{225}\) = 3 × 5 = 15.

(iii) We have, 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
We find that 396 should be divided by 11, to get a perfect square.

396 ÷ 11 = 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Therefore, the required smallest number is 11.
Also, \(\sqrt{36}\) = 2 × 3 = 6.

(iv) We have, 2645 = 5 × 23 × 23

We find that 2645 should be divided by 5, to get a perfect square.
2645 ÷ 5 = 529 = 23 × 23
Therefore, the required smallest number is 5.
Also, \(\sqrt{529}\) = 23.

(v) We have, 2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
We find that 2800 should be divided by 7, to get a perfect square

2800 ÷ 7 = 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
Therefore, the required smallest number is 7.
Also, \(\sqrt{400}\) = 2 × 2 × 5 = 20.

(vi) We have,
1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

Question 7.
The students of Class VIII of a school donated ₹ 2401 in all, for the Prime Minister’s National Relief Fund. Each student donated as many rupees as the number of students in the class. Find the number of students in the class.
Solution:
We have, 2401 = 7 × 7 × 7 × 7

We find that the number of students in the class is 49.

Question 8.
2025 plants are to be planted in a garden in such a way that each row contains as many plants as the number of rows. Find the number of rows and the number of plants in each row.
Solution:
Total number of plants = 2025
The plants are planted in a garden in such a way that each row contains as many plants as the number of rows.

2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
∴ Number of plants in each row = \(\sqrt{2025}\) = 3 × 3 × 5 = 45
So, number of rows = number of plants.
Thus, the number of rows = 45
and number of plants in each row = 45.

Question 9.
Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 4,9 and 10.
Solution:
The smallest number divisible by each 4, 9 and 10 is their LCM.
The LCM of 4, 9 and 10 is 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180.
Now, prime factorisation of 180 is
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

In order to get a perfect square, each factor of 180 must be paired.
So, we need to make pair of 5.
∴ 180 should be multiplied by 5.
Hence, the required number is 180 × 5 = 900.

Question 10.
Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 8, 15 and 20.
Solution:
The smallest number divisible by each 8, 15 and 20, is their LCM.
The LCM of 8, 15 and 20 is 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Now prime factorisation of 120 is
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ….. (i)
In order to get a perfect square, each factor of 120 must be paired.
Thus we multiply (i) by 2 × 3 × 5 = 30, we get 120 × 30 = 3600.

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.3

प्रश्न 1.
रिक्त स्थानों में प्रतीक ⊂ या ⊄ को भर कर सही कथन बनाइए :
(i) {2, 3, 4}…. {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c}….. {b, c, d}
(iii) {x : x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है }…. {x : x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है।
(iv) {x : x किसी समतल में स्थित एक वृत है}….. {x : x एक समान समतल में एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है}
(v) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}….. {x : x किसी समतल में स्थित एक आयत है!
(vi) {x: x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है } …..{x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज
(vii) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है}…..{x : x एक पूर्णांक है}
हल:
(i) अवयव 2, 3, 4 ϵ {1, 2, 3, 4, 5}
अतः {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c} का अवयव a ∉ {b, c, d}
अतः {a, b, c} ⊄ {b, c, d}
(iii) जो विद्यार्थी विद्यालय की कक्षा XI में हैं वे विद्यालय में भी हैं।
अतः {x : x विद्यालय की कक्षा XI का विद्यार्थी} ⊂ {x : x आपके विद्यालय का विद्यार्थी
(iv) समुच्चय {x : x समतल में एक वृत्त} के एक अवयव वृत्त की त्रिज्या 1 से भिन्न हो सकती है।
अतः x : x समतल में वृत्त} ⊄ {x : x वृत्त की त्रिज्या 1 इकाई है}
(v) त्रिभुजों का समुच्चय आयतों के समुच्चय से बिल्कुल भिन्न है।
अत: {x : x समतल में एक त्रिभुज} ⊄ {x : x समतल में एक आयत}
(vi) प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है।
अतः {x : x समतल में एक समबाहु त्रिभुज} ⊂ {x : x समतल में एक त्रिभुज}
(vii) प्रत्येक सम प्राकृत संख्या एक पूर्णाक है।
अत: {x : x एक सम प्राकृत संख्या} ⊂ {x : x एक पूर्णाक}

प्रश्न 2.
जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं :
(i) {a, b} ⊄ {b, c, a}
(ii) {a, e} ⊂ {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।}
(iii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}
(iv) {a} ⊂ {a, b, c}
(v) {a} ϵ {a, b, c}
(vi) {x : x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है| ⊂ {x : x एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है।
हल:
(i) समुच्चय {a, b} के अवयव a, b दोनों समुच्चय {b, c, a} में है।
∴ {a, b} ⊄ {b, c, a}
अतः उपरोक्त कथन असत्य है।
(ii) a, e दोनों ही स्वर हैं।
∴ {a, e} ⊂ {x : x, अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है:
अतः यह कथन सत्य है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3} और {1, 3, 5} में अवयव 2 समुच्चय {1, 3, 5} नहीं है।
∴ {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5} कथन असत्य है।
(iv) a ϵ {a, b, c}
∴ {a} ϵ {a, b, c}, यह कथन सत्य है।
(v) {a} समुच्चय है, अवयव नही है।
∴ {a} ϵ {a, b, c} कथन असत्य है।
(vi) सम प्राकृत संख्या 2, 4 संख्या 6 से कम है तथा 36 को विभाजित करती है।
∴ {x : x एक सम प्राकृत संख्या है जो 6 से कम है} ⊂ {x : x एक सम प्राकृत संख्या 36 को विभाजित करती है।
अतः यह कथन सत्य है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि A = {1, 2, {3, 4}, 5}, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3, 4} ⊂ A
(ii) {3, 4} ϵ A
(iii) {{3, 4}} ⊂ A
(iv) 1 ϵ A
(v) 1 ⊂ A
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A
(vii) {1, 2, 5} ϵ A
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A
(ix) ϕ ϵ A
(x) ϕ ⊂ A
(xi) {ϕ} ⊂ A
हल:
(i) सही नहीं है। समुच्चय {3, 4} एक अवयव है।
(ii) सही है। क्योंकि {3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है।
(iii) सही है। ∵ A के अवयव {3, 4} का एक उपसमुच्चय है।
(iv) 1 ϵ A, सही है।
(v) 1 ⊂ A सही नहीं है क्योंकि 1 एक समुच्चय नहीं है।
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A सही है। समुच्चय {1, 2, 5} के अवयव 1, 2, 5 समुच्चय A में है।
(vii) {1, 2, 5} ϵ सही नहीं है। {1, 2, 5} अवयव नहीं है। यह एक समुच्चय है।
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A सही नहीं है। अवयव 3 समुच्चय में नही है।
(ix) ϕ ϵ A, सही नहीं है। ϕ एक समुच्चय है, अवयव नहीं है।
(x) {ϕ} ⊂ A सही है। ϕ सभी समुच्चयों का उपसमुच्चय है।
(xi) {ϕ} ⊂ A सही नहीं है। {ϕ} समुच्चय का समुच्चय है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए।
(i) {a}
(ii) {a, b}
(iii) {1, 2, 3}
(iv) ϕ
हल:
(i) ϕ , {a}
(ii) ϕ , {a}, {b}, {a, b}
(iii) ϕ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3},
(iv) ϕ

प्रश्न 5.
P (A) के कितने अवयव हैं, यदि A= ϕ
हल:
A = ϕ, P(A) = ϕ इस प्रकार P (4) का 2° = 1 अवयव है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए :
(i) { x : x ϵ R, -4 < x ≤ 6}
(ii) {x : x ϵ R, – 12 < x < -10}
(iii) {x : x ϵ R, 0 ≤ x < 7}
(iv) {x : x ϵ R, 3 ≤ x ≤ 4}
हल:
वांछित अंतराल इस प्रकार हैं।
(i) (-4, 6)
(ii) (- 12, – 10)
(iii) (0, 7)
(iv) [3, 4]

प्रश्न 7.
निम्नलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए :
(i) (-3, 0)
(ii) [6, 12]
(iii) (6, 12)
(iv) [-23, 5]
हल:
(i) (-3, 0) = {x : x ϵ R, -3 < x < 0}
(ii) [6, 12] = {x : x ϵ R, 6 ≤ x ≤ 12}
(iii) (6, 12] = {x : x ϵ R, 6 < x ≤ 12}
(iv) [- 23, 5] = {x : x ϵ R, -23 ≤ x ≤ 5}

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
हल:
दोनों समुच्चयों के लिए सार्वत्रिक समुच्चय :
{x : x समतल में स्थित एक त्रिभुज}

प्रश्न 9.
समुच्चय A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} और C = {0, 2, 4, 6, 8} प्रदत्त हैं। इन तीनों समुच्चयों A, B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) ϕ
(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
हल:
समुच्चय (iii),
तीनों समुच्चय A, B, C के लिए {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} सार्वत्रिक समुच्चय हैं।

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन से रिक्त समुच्चय के उदाहरण है?
(i) 2 से भाज्य विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
(ii) सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(iii) {x : x एक प्राकृत संख्या है, x < 5 और साथ ही साथ x > 7}
(iv) {y : y किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं का उभयनिष्ठ बिन्दु है}
हल:
(i) 2 से भाज्य कोई भी विषम प्राकृत संख्याएँ नहीं हैं। अत: यह एक रिक्त समुच्चय है।
(ii) सम अभाज्य संख्या का समुच्चय {2} है। यह एक रिक्त समुच्चय नहीं है।
(iii) x < 5 और x > 7 कोई प्राकृत संख्या नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।
(iv) समांतर रेखाएँ कहीं भी नहीं मिलती हैं। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समुच्च्यों में से कौन परिमित और कौन अपरिमित हैं?
(i) वर्ष के महीनों का समुच्चय।
(ii) {1, 2, 3, …..}
(iii) {1, 2, 3, ….. 99, 100}
(iv) 100 से बड़े धन पूर्णांकों का समुच्चय
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय
हल:
(i) ∵ वर्ष में 12 महीने होते हैं। अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
(ii) समुच्चय {1, 2, 3, ……} में अनंत अवयव हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3, …… 99, 100} में कुल 100 अवयव हैं।
अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
(iv) 100 से बड़े पूर्णाकों का समुच्चय {101, 102, 103, …..} है जिसमें अनंत अवयव हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय {2, 3, 5, 7, …… 97} है जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित है।
अतः यह एक परिमित समुच्चय है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है?
(i) x-अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय।
(iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय
(v) मूल बिन्दु (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्तों का समुच्चय।
हल:
(i) x-अक्ष के समांतर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला में कुल 26 अक्षर होते हैं।
इन अक्षरों से बनने वाला समुच्चय परिमित होगा।
(iii) 5 से विभाजित होने वाली संख्याओं का समुच्चय {5, 10, 15, 20, ….} है, जिसमें अनंत अवयव हैं।
अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय परिमित होगा।
(v) मूल बिन्दु को केन्द्र मानकर अनन्त वृत्त दींचे जा सकते हैं।
अतः यह अपरिमित होगा।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में बताइए कि A = B है अथवा नहीं है:
(i) A = {a, b, c, d}, B = {d, c, b, a}
(ii) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x : x सम धन पूर्णांक है और x ≤ 10}
(iv) A = {x : x संख्या 10 का एक गुणज है}, B = {10, 15, 20, 25, 30, …}
हल:
(i) A और B दोनों समुच्चयों के अवयव a, b, c, d हैं ∴ A = B.
(ii) A में अवयव 12 है परन्तु B में नहीं है अत: A ≠ B.
(iii) A और B दोनों समुच्चयों में अवयव 2, 4, 6, 8 और 10 हैं। अत: A = B.
(iv) A = {10, 20, 30, 40, …..}, B = {10, 15, 25, 30, ….}
∵ 10 के गुणजों में 5, 15, 25 नहीं आता है। अतः A ≠ B.

प्रश्न 5.
क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं ? कारण सहित बताइए।
(i) A = {2, 3}
B = {x : x समीकरण x² + 5x + 6 = 0 का एक हल है!
(ii) A = {x : x शब्द ‘FOLLOW’ का एक अक्षर है।
B = {y : y शब्द ‘WOLF’ का एक अक्षर है}
हल:
(i) A = {2, 3,}, B = x : x समीकरण x² + 5x + 6 = 0} = {-2, -3} स्पष्ट है कि समुच्चय A और B के अवयव भिन्न हैं।
अत: A≠ B.
(ii) A = {F, O, L, W}, B = {W, O, L, F}
समुच्च्य A और B के अवयव समान हैं। अत: A = B.

प्रश्न 6.
नीचे दिए गए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए :
A = {2, 4, 8, 12}
B = {1, 2, 3, 4},
C = {4, 8, 12, 14}
D = {3, 1, 4, 2}
E = {- 1, 1,}
F = {0, a}
G = {1, -1}
H = {0, 1}
हल:
यहाँ समुच्चय B और D के अवयव 1, 2, 3, 4, हैं।
∴ B = D
तथा समुच्चय E और G में – 1, 1 अवयव समान हैं।
∵ E = G

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(i) j अक्षर से प्रारम्भ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
(iii) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लबाजों का संग्रह।
(iv) आप की कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।।
(v) 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
(vi) लेखक प्रेमचन्द द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
(vii) सभी सम पूर्णाकों का संग्रह।
(viii) इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
(ix) विश्व में सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
हल:
(i) j से शुरु होने वाले महीनों के नाम : जनवरी, जून व जुलाई।
अतः यह एक समुच्चय है।
(ii) प्रतिभाशाली लेखक को परिभाषित नहीं किया जा सकता।
इसीलिए यह एक समुच्चय नहीं है।
(iii) सर्वश्रेष्ठ बल्लेबाज को परिभाषित नहीं कर सकते।
अतः यह एक समुच्चय नहीं है।
(iv) कक्षा के सभी विद्यार्थियों की संख्या निश्चित होती है।
अत: यह एक समुच्चय है।
(v) 100 से कम प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, ……. 99 हैं।
अतः यह एक समुच्चय है।
(vi) लेखक प्रेमचन्द्र द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह गबन, गोदान आदि द्वारा परिभाषित हैं।
अतः यह एक समुच्चय है।
(vii) समपूर्णांक {…. . – 6. – 4. 2, 4, 6, ….} हैं।
इसलिए यह एक समुच्चय है।
(viii) इस अध्याय के प्रश्न परिभाषित हैं।
अतः यह एक समुच्चय है।
(ix) संसार के सबसे अधिक खतरनाक पशुओं के संग्रह को परिभाषित नही किया जा सकता।
इसलिए यह एक समुच्चय नहीं है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक ϵ अथवा ∉ भरिए।
(i) 5…… A
(ii) 8 …….. A
(iii) 0 ……… A
(iv) 4……. A
(v) 2 …….. A
(vi) 10 ……. A
हल:
(i) 5 ϵ A
(ii) 8 ∉ A
(iii) 0 ∉ A
(iv) 4 ϵ A
(v) 2 ϵ A
(vi) 10 ∉ A

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए :
(i) A = {x : x एक पूर्णांक है और -3 < x < 7}
(ii) B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है?
(iii) C = {x: x दो अंको की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है।
(iv) D = {x : x एक अभाज्य संख्या है जो 60 की भाजक है?
(v) E = TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
(vi) F = BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्च्य
हल:
(i) A = {-2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B = {1, 2, 3, 4, 5}
(iii) C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}
(iv) D = {2, 3, 5}
(v) E = {T, R, I, G, O, N, M, E, Y}
(vi) F = {B, E, T, R}

प्रश्न 4.
निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) {3, 6, 9, 12}
(ii) {2, 4, 8, 16, 32}
(ii) {5, 25, 125, 625}
(iv) {2, 4, 6, ….}
(v) {1, 4, 9, …… 100}
हल:
(i) {x : x = 3n और 1 ≤ n ≤ 4}
(ii) {x : x = 2ⁿ और 1 ≤ n ≤ 5}
(iii) {x : x = 5ⁿ और 1 ≤ n ≤ 4}
(iv) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है?
(v) {x : x = n², 1 ≤ n ≤ 10}

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समुच्चयों के सभी अवयवों (सदस्यों) को सूचीबद्ध कीजिए।
(i) A = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है?
(ii) B = {x : x एक पूर्णांक है, \(-\frac{1}{2}\) < x < \(\frac{9}{2}\)}
(iii) C = {x : x एक पूर्णांक है, x² ≤ 4}
(iv) D = {x : x, LOYAL शब्द का एक अक्षर है?
(v) F = {x : x वर्ष का एक ऐसा महीना है, जिसमें 31 दिन नहीं होते हैं।
(vi) F = {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो k से पहले आता है।
हल:
(i) A = {1, 3, 5, 7, ………..}
(ii) B = { 0, 1, 2, 3, 4}
(iii) C = {-2, – 1, 0, 1, 2}
(iv) D = {L, O, Y, A}
(v) E = {फरवरी, अप्रैल, जून, सितम्बर, नवम्बर}
(vi) F = {b, c, d, f, g, h, j}

प्रश्न 6.
बाई ओर रोस्टर रूप में लिखित और दाईं ओर समुच्चय निर्माण रूप में वर्णित समुच्चयों का सही मिलान कीजिए:
(i) {1, 2, 3, 6} – (a) {x : x एक अभाज्य संख्या है और 6 की भाजक है}
(ii) {2, 3} – (b) {x : x संख्या 10 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है?
(iii) {M, A, T, H, E, I, C, S} – (c) {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 की भाजक है}
(iv) {1, 3, 5, 7, 9} – (d) {x : x MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है।
हल:
(i) ↔ (c)
(ii) ↔ (a)
(iii) ↔ (d)
(iv) ↔ (b)

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 Square and Square Roots Ex 6.2

Question 1.
Find the square of the following numbers.
(i) 32
(ii) 35
(iii) 86
(iv) 93
(v) 71
(vi) 46
Solution:
(i) 32² = (30 + 2)² = (30 + 2) (30 + 2)
= 30 (30 + 2) + 2 (30 + 2)
= 900 + 60 + 60 + 4 = 1024.
(ii) 35² = (30 + 5)² = (30 + 5) (30 + 5)
= 30(30 + 5) + 5 (30 + 5)
= 900 + 150 + 150 + 25 = 1225.
(iii) 86² = (80 + 6)² = (80 + 6) (80 + 6)
= 80(80 + 6) + 6(80 + 6)
= 6400 + 480 + 480 + 36 = 7396.
(iv) 93² = (90 + 3)² = (90 + 3) (90 + 3)
= 90(90 + 3) + 3(90 + 3)
= 8100 + 270 + 270 + 9 = 8649.
(v) 71² = (70+ 1)² = (70 + 1) (70 + 1)
= 70(70 + 1) + 1 (70 + 1)
= 4900 + 70 + 70 + 1 = 5041.
(vi) 46² = (40 + 6)² = (40 + 6) (40 + 6)
= 40(40 + 6) + 6(40 + 6)
= 1600 + 240 + 240 + 36 = 2116.

Question 2.
Write a Pythagorean triplet whose one member is
(i) 6
(ii) 14
(iii) 16
(iv) 18
Solution:
We can get Pythagorean triplet by using general form 2m, m² – 1, m² + 1.
(i) Let us take 2m = 6 ⇒ m = 3
Thus, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8 and m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
∴ The required triplet is 6, 8, 10

(ii) Let us take 2m = 14 ⇒ m = 7
Thus, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
and m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
∴ The required triplet is 14, 48, 50.

(iii) Let us take 2m = 16 ⇒ m = 8
Thus, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
and m² + 1 = 8² + 1 = 64 + 1 = 65.
∴ The required triplet is 16, 63, 65.

(iv) Let us take 2m = 18 ⇒ m = 9
Thus, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
and m² + 1 = 9² + 1 = 81 + 1 = 82
∴ The required triplet is 18, 80, 82.

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 Square and Square Roots Ex 6.1

Question 1.
What will be the unit digit of the squares of the following numbers?
Solution:
(i) The unit digit of (81)² is 1. Because when we multiply digit 1 by itself, we get 1.
(ii) The unit digit of (272)² is 4. Because when we multiply digit 2 by itself, we get 4.
(iii) The unit digit of (799)² is 1. Because when we multiply digit 9 by itself, we get 81.
(iv) The unit digit of (3853)² is 9. Because when we multiply digit 3 by itself, we get 9.
(v) The unit digit of (1234)² is 6. Because when we multiply digit 4 by itself, we get 16.
(vi) The unit digit of (26387)² is 9. Because when we multiply digit 7 by itself, we get 49.
(vii) The unit digit of (52698)² is 4. Because when we multiply digit 8 by itself, we get 64.
(viii) The unit digit of (99880)² is 0. Because when we multiply digit 0 by itself, we get 0.
(ix) The unit digit of (12796)² is 6. Because when we multiply the unit digit 6 by itself, we get 36.
(x) The unit digit of (55555)² is 5. Because when we multiply the unit digit 5 by itself, we get 25.

Question 2.
The following numbers are obviously not perfect squares. Give reason.
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 64000
(vi) 89722
(vii) 222000
(viii) 505050.
Solution:
We know that number ending in 2, 3, 7 or 8 are not perfect squares.
∴ (i) 1057,
(ii) 23453,
(iii) 7928,
(iv) 222222
and
(vi) 89722 are not perfect squares.
Since, for perfect squares, there should be even number of zeroes at the end.
∴ (v) 64000,
(vii) 222000 and
(viii) 505050. Are not perfect squares.

Question 3.
The square of which of the following would be odd numbers ?
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 7779
(iv) 82004
Solution:
(i) When we multiply the unit digit 1 by itself, we get 1 at the end, which shows that the square of 431 is an odd number.
(ii) When we multiply the unit digit 6 by itself we get 36, i.e., we get 6 at the end, which shows that the square of 2826 is an even number.
(iii) When we multiply the unit digit 9 by itself we get 81, i.e., we get 1 at the end, which shows that the square of 7779 is an odd number.
(iv) When we multiply the unit digit 4 by itself we get 16, i.e., we get 6 at the end, which shows that the square of 82004 is an even number.

Question 4.
Observe the following pattern and find the missing digits.
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 1 …… 2 …… 1 …….
10000001² = ……….
Solution:
100001² = 10000200001
10000001² = 100000020000001.

Question 5.
Observe the following pattern and supply the missing numbers.
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ……
…….² = 10203040504030201
Solution:
1010101² = 1020304030201
101010101² = 10203040504030201.

Question 6.
Using the given pattern, find the missing numbers.
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² +4² + 12² = 13²
4² + 5² + _² = 21²
5² + _² + 30² = 31²
6² + 7² + _² = _²
Solution:
In the pattern,
Third number = first number × second number and fourth number = third number + 1
4² + 5² + 20² = 21²
5² + 6² + 30² = 31²
6² + 7² + 42² = 43².

Question 7.
Without adding, find the sum.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 +23.
Solution:
We have to find the sum of first 5 odd numbers,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5² = 25.
(ii) We have to find the sum of the first 10 odd numbers,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100.
(iii) We have to find the sum of first 12 odd numbers,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 12² = 144.

Question 8.
(i) Express 49 as the sum of 7 odd numbers,
(ii) Express 121 as the sum of 11 odd numbers.
Solution:
(i) 49 = 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
(ii) 121 = 11² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21.

Question 9.
How many numbers lie between squares of the following numbers?
(i) 12 and 13
(ii) 25 and 26
(iii) 99 and 100.
Solution:
(i) We can find the number of terms between the squares of 12 and 13, by doubling the first term from 12 and 13. i.e., 2 × 12 = 24:
∴ Total number of terms = 24.
(ii) We can find the number of terms between the squares of 25 and 26, by doubling the first term from 25 and 26. i.e., 2 × 25 = 50.
∴ Total number of terms = 50.
(iii) We can find the number of terms between the squares of 99 and 100, by doubling the first term from 99 and 100. i.e., 2 × 99 = 198.
∴ Total number of terms = 198.

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 4 Practical Geometry Ex 4.5

Question 1.
Draw the following.
(i) The square READ with RE = 5.1 cm.
(ii) A rhombus whose diagonals are 5.2 cm and 6.4 cm long.
(iii) A rectangle with adjacent sides of lengths 5 cm and 4 cm.
(iv) A parallelogram OKAY where OK = 5.5 cm and KA = 4.2 cm.
Solution:
(i) Since, all 4 sides of a square are equal and each of 4 angles is equal to 90°.
Steps of Construction:
Step-1: Draw RE = 5.1 cm.
Step-2 : Draw ∠REX = 90°.
Step-3 : Cut off EA = 5.1 cm on \(\overrightarrow{E X}\)
Step-4: With R as centre and radius equal to 5.1 cm, draw an arc.
Step-5 : With A as centre and radius equal to 5.1 cm, cut off another arc on the arc drawn in step-4 at point D.
Step-6 : Join DA and DR.
Hence, READ is the required square.

(ii) We know that diagonals of a rhombus bisect each other at right angles. Let AC = 5.2 cm and BD = 6.4 cm.
Steps of Construction:
Step-1: Draw AC = 5.2 cm.
Step-2 : Draw perpendicular bisector XY of AC which cut AC at point O.
Step-3 : Cut off OD = 3.2 cm on OX and OB = 3.2 cm on \(\overrightarrow{O Y}\).
Step-4 : Join AD, CD, AB and CB.
Hence, ABCD is the required rhombus.

(iii) In a rectangle, opposite sides are equal and each of 4 angles is equal to 90°.
Let AB = 5 cm and BC = 4 cm
∴ AB = DC = 5 cm and BC = AD = 4 cm.
Also, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Steps of Construction:
Step-1: Draw AB = 5 cm.
Step-2 : Draw ∠ABX = 90°.
Step-3 : Cut off BC = 4 cm on BX .
Step-4: With A as centre and radius equal to 4 cm, cut off an arc.
Step-5 : With C as centre and radius equal to 5 cm cut off another arc on the arc drawn in step-4 at point D.
Step-6 : Join AD and CD.
Hence, ABCD is the required rectangle.

(iv) Here, data given is incomplete. Since we know that to draw a quadrilateral at least five parts are necessary. In the present case, OK = 5.5 cm & KA = 4.2 cm is given.
We know that opposite sides of a parallelogram are equal.
∴ OK = YA = 5.5 cm and KA = OY = 4.2 cm
Here, only four parts are given. This means that one more part is necessary.
So, either one angle or diagonal of a parallelogram is required to construct it.
Hence, parallelogram OKAY cannot be drawn.

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