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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2, 1, 1) मिलाने वाली रेखा, बिन्दुओं (3, 5, -1 ) और (4, 3, – 1)से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दु A(2, 1, 1) और मूल बिन्दु B (0, 0, 0) से जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात 2 – 0, 1 – 0 या 2, 1, 1
बिन्दु C (3, 5, – 1) और D (4, 3, – 1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात 4 – 3, 3 – 5, – 1 + 1 या 1, – 2, 0 हैं।
AB और CD लम्ब हैं यदि
a1a2 + b1b2+ c1c2 = 0
अब a1a2 + b1b2+ c1c2
= 2 x 1 + 1 x (- 2) + 1 x 0
= 2 – 2 + 0 = 0
अतः AB और CD परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक्-कोसाइन l1, m1, n1, और l2, m2, n2 हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर
लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m1n2 – m2n1 – n1l2 – n2l1, l1m2 – l2m1 हैं।
हल:
माना दो रेखाएँ AB और CD जिसकी दिक्-कोसाइन क्रमश: l1, m1, n1 और l2, m2, n2 हैं
जो परस्पर लम्ब हैं।
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
l1, m1, n1 और l2, m2, n2 दिक्-कोसाइन है तो
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प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं।
हल:
माना रेखाओं के मध्य का कोण θ है तब
cos θ = \(\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \cdot \sqrt{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}}\)
cos θ = 0
⇒ θ =90°

प्रश्न 4.
x- अक्ष के समांतर तथा मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
x- अक्ष के दिक् कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
∴ x अक्ष के समांतर रेखा के दिक् कोसाइन भी 1, 0, 0 होंगे
अतः रेखा का समी० जो मूल बिन्दु से जाती है जिसमें दिक कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
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प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7) (- 4, 3, – 6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात 4 – 1, 5 – 2, 7 – 3
या 3, 3, 4
इसी प्रकार CD के दिक् अनुपात 2 + 4, 9 – 3, 2 + 6
या 6, 6, 8 हैं।
यह दिक् अनुपात समानुपाती हैं इस प्रकार \(\frac{3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}\)
इसलिए रेखाओं AB और CD के बीच का कोण 0° हैं।
अतः रेखाएँ समांतर हैं।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\) परस्पर लंब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात – 3, 2k, 2 और 3k, 1, – 5 हैं।
∵ रेखाएँ परस्पर लंब है तब a1a2 + b1b2+ c1c2 = 0
∴ – 3.3k + 2k.1+ 2.(- 5) = 0
⇒ 9k + 2k – 10 = 0
– 7k = 10
k = \(\frac{-10}{7}\)

प्रश्न 7.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल \(\vec{r}=(\vec{i}+2 \vec{j}-5 \vec{k})\) + 9 = 0 पर लंबवत् रेखा का सदिश समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल का समी०
\(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+9\) = 0
∴ समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात 1, 2, – 5 होंगे।
∴ बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण होगा।
\(\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+l(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})\)

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 2 के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये तल के समांतर तल का समी०
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प्रश्न 9.
रेखाओं \(\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})\) और \(\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि दो बिन्दु , a2 रेखा पर और b1 और 22 उनकी direction तब उनके बीच न्यूनतम दूरी
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प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
हल:
बिन्दु (x1, y1, z1 ) और (x1, y1, z1) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण
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प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX- तल को काटती है।
हल:
यहाँ बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा
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प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, – 4, – 5) और (2, – 3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
दो बिन्दु (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ।
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प्रश्न 13.
बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y+ c = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण :
a (x + 1) + b(y – 3) + c (z – 2) …(1)
यह समतल x + 2y + 37 = 5 पर लम्ब है।
a + 2b +3c =0 …2
समी० (1) 3x + 3y + x = 0 के अनुलम्ब है।
3a + 3b + c = 0 …(3)
समी० (2) और (3) से,
\(\frac{a}{2-9}=\frac{b}{9-1}=\frac{c}{3-6}\)
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प्रश्न 14.
यदि बिन्दु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल 7.(3i +4j -12k) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
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20 – 12p = ± 8
धनात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = 8
12p = 20 – 8 = 12
∴ p=1
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = – 8
12p = 20 +8 = 28
p = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
अतः p=1, \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 15.
समतलों \(\vec{r}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 1 और \(\vec{r}(2 \hat{i}+3 \hat{j}\)\(-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो समतल [Latex]\overrightarrow{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}})[/latex] – 1 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले 3
समतल का समीकरण
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अतः यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
यदि मूल बिन्दु 0 तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2, – 3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत्तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ बिन्दु O(0, 0, 0) और P(1, 2, –3) से होकर जाने वाली रेखा का दिक्-अनुपात OP, 1-0, 2-0, -3 -0 या
1, 2, -3 हैं।
⇒ अभीष्ट समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 2, – 3)
और समतल P(1, 2, – 3) से होकर जाता है।
a (x – x1) + b (y – y1) + c (z – z1) = 0
1.(x – 1) + 2 (y – 2) – 3(z + 3) = 0
⇒ x – 1 + 2y – 4 – 3z -9 = 0
∴ x + 2y – 37 – 14 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 17.
समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})\) – 4 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\) + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल 7 (5i +3j-6k) +8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समतल
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प्रश्न 18.
बिन्दु (- 1,- 5, – 10) से रेखा \(\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})\) और समतल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) = 5 के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ रेखा
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प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})\) = 5 और \(\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
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समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् हैं।
∴ b1 – b2 + 2b3 = 0
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प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अभीष्ट रेखा
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प्रश्न 21.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a,b,c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि
\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}\)
हल:
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प्रश्न 22 और 23 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 22.
दो समतलों 2x + 3y + 4z =4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है-
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D)\(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई।
हल:
समतलों का समीकरण
2x + 3y + 4z = 4 …(1)
4x + 6y + 8z = 12 …(2)
समी० (2) में 2 से भाग करने पर,
2x + 3y + 4z = 6 …(3)
समतलों के बीच की दूरी
ax + by + cz = d1, और ax + by + cz = d2
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अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 23.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं-
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं
(D) बिन्दु \(\left(0,0, \frac{5}{4}\right)\) से गुजरते हैं।
हल:
समतलों के समीकरण
2x – y + 4z = 5 …(1)
5x – 2.5y + 10z = 6 …(2)
x, y, z के गुणांकों की तुलना करने पर
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(1) व (2) समान्तर हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।

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