MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए :
प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) x + 3.
हल:
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प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow \pi}\) (x – \(\frac{22}{7}\))
हल:
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प्रश्न 3.
\(\lim _{r \rightarrow 1}\)(πr2).
हल:
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प्रश्न 4.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-4
हल:
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प्रश्न 5.
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हल:
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प्रश्न 6.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-8
हल:
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वैकल्पिक विधि : हम जानते हैं :
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प्रश्न 7.
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हल:
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प्रश्न 8.
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हल:
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प्रश्न 9.
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हल:
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प्रश्न 10.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-18
हल:
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प्रश्न 11.
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हल:
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प्रश्न 12.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-22
हल:
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प्रश्न 13.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-24
हल:
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प्रश्न 14.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-26
हल:
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प्रश्न 15.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-28
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-29

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प्रश्न 16.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-30
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-31

प्रश्न 17.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-32
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-33
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प्रश्न 18.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-35
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-36

प्रश्न 19.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-37
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-38

प्रश्न 20.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}\), a, b, a + b ≠ 0.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-39

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प्रश्न 21.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-40
हल:
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प्रश्न 22.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-42
हल:
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प्रश्न 23.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-44
हल:
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प्रश्न 24.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-48
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-49
समी (i) और (ii) से,
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\)
∴ अतः x = 1 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।

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प्रश्न 25.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-50
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-51

प्रश्न 26.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-52
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-53

प्रश्न 27.
\(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = |x|- 5.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-54
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-55

प्रश्न 28.
मान लीजिए f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}{a+b x,} & {x<1} \\ {4,} & {x=1} \\ {b-a x,} & {x>1}\end{array}\right.\)
और यदि \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = f(1), तो a और b के संभव मान क्या हैं?
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-56
समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2b = 8 या b = 4
समी (i) में b = 4 रखने पर,
4 + a = 4 या a = 0
अतः a = 0, b = 4.

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प्रश्न 29.
मान लीजिए a1,a2,…..an, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a1) (x – a2)…..(x – an) से परिभाषित है। \(\lim _{x \rightarrow a_{1}}\) f(x) क्या है? किसी a ≠ a1,a2,…..an के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का परिकलन कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-57

प्रश्न 30.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-58
हल:
दिया गया फलन:
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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-60
अतः सभी a, a ≠ 0 के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का अस्तित्व है।

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प्रश्न 31.
यदि फलन f(x), \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{f(x)-2}{x^{2}-1}\) = π को संतुष्ट करता है, तो \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-61
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प्रश्न 32.
किन पूर्णांकों m और n के लिए \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) और \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}{m x^{2}+n,} & {x<0} \\ {n x+m,} & {0 \leq x \leq 1} \\ {n x^{3}+m,} & {x>1}\end{array}\right.\)
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 img-63
अतः \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) के अस्तित्व हेतु m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए; m तथा n के किसी भी पूर्णांक मान के लिए \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का अस्तित्व है।

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