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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 12 घातांक और घात Ex 12.2

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए –

1. 0.0000000000085
2. 0.00000000000942
3. 6020000000000000
4. 0.00000000837
5. 31860000000

हल:
1. 0.0000000000085 = \(\frac{85}{ 10000000000000}\)
= \(\frac { 85 }{ 10^{ 13 } } \)
= \(\frac { 8.5×10 }{ 10^{ 13 } } \) = 8.5 x 10 x 10^-13
= 8.5 x 10^-12

2. 0.00000000000942 = \(\frac{942}{ 100000000000000 }\)
= \(\frac { 942 }{ 10^{ 14 } } \)
= \(\frac { 8.42×10 }{ 10^{ 14 } } \)
= 9.42 x 10² x 10^-14
= 9.42 x 10^-12

3. 6020000000000000 = 602 x 10¹³
= 6.02 x 100 x 10¹³
= 602 x 10² x 10¹³
= 6.02 x 10¹⁵

4. 0.00000000837 = \(\frac{837 }{ 100000000000 } = \frac { 837}{ 10^{ 11 } } \)
= \(\frac { 8:37×100 }{ 10^{ 11 } } \)
= 8.37 x 10² x 10^-11
= 8.37 x 10^-9

5. 31860000000 = 3186 x 10⁷
= 3.186 x 10³ x 10⁷
= 3.186 x 10¹⁰

प्रश्न 2.
निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए –

1. 3.02 x 10^-6
2. 4.5 x 10⁴
3. 3 x 10^-8
4. 1.0001 x 10⁹
5. 5.8 x 10¹²
6. 3.61492 x 10⁶

हल:
1. 3.02 x 10^-6 = \(\frac{302}{100}\) x \(\frac { 1 }{ 10^{ 6 } } \)
= \(\frac { 302 }{ 10^{ 8 } } \)
= \(\frac{302}{100000000}\)

2. 4.5 x 10⁴ = \(\frac{45}{10}\) x 10⁴
= 45 x 10³
= 45000

3. 3 x 10^-8 = \(\frac{3}{100000000}\)
= 0.00000003

4. 1.0001 x 10⁹ = \(\frac{10001}{10000}\) x 10⁹
= 10001 x 10⁹ x 10^-4
= 10001 x 10⁵
= 1000100000

5. 5.8 x 10¹² = \(\frac{58}{10}\) x 10¹²
= 58 x 10¹² x 10^-1
= 58 x 10¹¹
= 5800000000000

6. 3.61492 x 10⁶ = \(\frac{361492}{100000}\)
= 361492 x 10⁶ x 10^-5
= 361492 x 10
= 3614920

प्रश्न 3.
निम्नलिखित कथनों में जो संख्या प्रकट हो रही है उन्हें मानक रूप में व्यक्त कीजिए –

1. 1 माइक्रॉन \(\frac{1}{100000}\) m के बराबर होता है।
2. एक इलेक्ट्रॉन का आवेश 0.000,000,000,000,000,000,16 कूलॉम होता है।
3. जीवाणु की माप 0.0000005 m है।
4. पौधों की कोशिकाओं की माप 0.00001275 m
5. मोटे कागज की मोटाई 0.07 mm है।

हल:
1. 1 माइक्रॉन = \(\frac{1}{1000000}\)m
= 1 x 10^-6m

2. एक इलेक्ट्रॉन का आवेश = 0.000,000,000,000,000,00016
= \(\frac{16}{100000000000000000000}\)
= \(\frac { 16 }{ 10^{ 20 } } \) = \(\frac { 1.6×10 }{ 10^{ 20 } } \)
= 1.6 x 10 x 10^-20
= 1.6 x 10^-19 कूलॉम

3. एक जीवाणु की माप 0.0000005 m
= \(\frac{5}{10000000}\)
= 5 x 10^-7 m

4. पौधों की कोशिकाओं की माप 0.00001275 m
= \(\frac{1275}{100000000}\)
= \(\frac { 1.275×1000 }{ 10^{ 8 } } \)
= 1.275 x 10³ x 10^-8
= 1.275 x 10^-5 m

5. एक मोटे कागज की मोटाई 0.07 mm
= \(\frac{7}{100}\)
= 7 x 10^-2 mm

प्रश्न 4.
एक ढेर में पाँच किताबें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाई 20 mm तथा पाँच कागज की शीटें हैं जिनमें प्रत्येक की । मोटाई 0.016 mm है। इस ढेर की कुल मोटाई ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, 1 किताब की मोटाई = 20 mm
∴ 5 किताबों की मोटाई = 5 x 20 mm
= 100mm
∴ 1 कागज की शीट की मोटाई = 0.016 mm
∴ 5 कागज की शीटों की मोटाई = 5 x 0.016 mm
= 0.080 mm
∴ ढेर की कुल मोटाई = 5 किताबों की मोटाई + 5 कागज की शीटों की मोटाई
= 100 mm + 0.080 mm
= 10008 mm
\(\frac{1.0008×10000}{100}\)
= 1.0008 x 10⁴ x 10^-2
= 1.0008 x 10² mm

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 1 Rational Numbers Ex 1.2

Question 1.
Represent these numbers on the number line.
(i) \(\frac{7}{4}\)
(ii) \(\frac{-5}{6}\)
Solution:
(i) We have to represent \(\frac{7}{4}\) on the number line. \(\frac{7}{4}\) can be written as \(1 \frac{3}{4} \cdot 1 \frac{3}{4}\) lies between 1 and 2.
Step-1: Draw a number line and mark O on it to represents ‘0’ (zero)
Step-2 : Take a point A to represent
1 and B to represent 2.
Step-3 : Divide the distance of A and B in four equal parts A A₁, A₁A₂, A₂A₃, A₃B.
Step-4 : Count from 1 and reach to the third point A₃ and A₃ is the required point on number line.

(ii) \(\frac{-5}{6}\) is lies between 0 and -1.
Step-1: Draw a number line and mark O on it to represent ‘0’ (zero).
Step-2 : Take a point A to represent -1.
Step-3 : Divide the distance of A and O in six equal parts AO₅, O₅O₄, O₄O₃, O₃O₂, O₂O₁, O₁O.
Step-4 : Count from 0 and reach to the fifth point O₅.
O₅ is the required point.

Question 2.
Represent \(\frac{-2}{11}, \frac{-5}{11}, \frac{-9}{11}\) on the number line.
Solution:
We have to mark \(\frac{-2}{11}, \frac{-5}{11}, \frac{-9}{11}\) on the same number line.
Since \(\frac{-2}{11}, \frac{-5}{11}, \frac{-9}{11}\) all are less than 0 but greater than -1.
∴ All these lie between 0 and -1.

Thus, A, B and C are the required points.

Question 3.
Write five rational numbers which are smaller than 2.
Solution:
Five numbers less than 2 lies on the left of 2 on the number line.
∴ Five rational numbers are \(0, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\)

Question 4.
Find ten rational numbers between \(\frac{-2}{5}\) and \(\frac{1}{2}\).
Solution:
We have given, two rational numbers \(\frac{-2}{5}\) and \(\frac{1}{2}\).
First we make the same denominator of both rational numbers.

Now, we have to find 10 rational numbers between \(\frac{-4}{10}\) and \(\frac{5}{10}\). so we have to multiply the numerator and denominator by a number such that difference between numerators is atleast 10.

Question 5.
Find five rational numbers between

Solution:
First we make the same denominator of both rational numbers

Since, we have to find five rational numbers between \(\frac{10}{15}\) and \(\frac{12}{15}\) so we multiply the numerator and denominator by a number such that difference between the numerators is atleast 5.

∴ The five rational numbers between \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{2}{4}\) are \(\frac{41}{60}, \frac{42}{60}, \frac{43}{60}, \frac{44}{60}, \frac{45}{60}\)

(ii) First we make the same denominator of both rational numbers.

Since, we have to find five rational numbers between and \(-\frac{9}{6}\) and \(\frac{10}{6}\), so we do not need to multiply the numerator and denominator of \(-\frac{9}{6}\) and \(\frac{10}{6}\) by any number, because we can see that the difference between the numerators is 19 > 5.
∴ Five rational numbers between \(\frac{-3}{2}\) and \(\frac{5}{3}\) are \(\frac{-8}{6}, \frac{-7}{6}, \frac{0}{6}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}\)

(iii) First we make the same denominator of both rational numbers.

Since we have to find five rational numbers between \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{2}{4}\), so we multiply the numerator and denominator by a number such that difference between the numerators is atleast 5.

∴ Five rational numbers between \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{2}{4}\) are \(\frac{9}{32}, \frac{10}{32}, \frac{11}{32}, \frac{12}{32}, \frac{13}{32}\).

Question 6.
Write five rational numbers greater than -2.
Solution:
Five rational numbers greater than -2 lies on the right side of -2 on number line.
∴ Any five rationals on the right of -2 are \(\frac{-3}{2},-1, \frac{-1}{2}, 0, \frac{1}{2}\).

Question 7.
Find ten rational numbers between \(\frac{3}{5}\) and \(\frac{3}{4}\)
Solution:
Make the common denominator.

Since we have to find ten rational numbers between \(\frac{3}{5}\) and \(\frac{3}{4}\) so, we multiply the numerator and denominator by a number such that difference between the numerators is atleast 10.

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 12 घातांक और घात Ex 12.1

प्रश्न 1.
मान ज्ञात कीजिए –

(i) 3^-2
(ii) (-4)^-2
(iii) (\(\frac{1}{2}\))^-5

हल:

प्रश्न 2.
सरल कीजिए और उत्तर को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए –

(i) (-4)⁵ + (-4)⁸9
(ii) (\(\frac { 1 }{ 2^{ 3 } } \))²
(iii) (-3)⁴ x \(\frac{5}{3}\)⁴
(iv) (3^-7 ÷ 3^-10) x 3 ^-5
(v) 2^-3 x (-7)^-3

हल:

प्रश्न 3.
मान ज्ञात कीजिए –

(i) (3⁰ + 4^-1) x 2²
(ii) (2^-1 x 4^-1) ÷ 2²
(iii) (\(\frac{1}{2}\))^-2 + (\(\frac{1}{3}\))^-2 + (\(\frac{1}{4}\))^-2
(iv) (3 ^-1 + 4^-1 + 5^-1)⁰
(v) \(\left\{\left(\frac{-2}{3}\right)^{-2}\right\}^{2}\)

हल:

प्रश्न 4.
मान ज्ञात कीजिए –

(i) \(\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}\)
(ii) (5^-1 x 2^-1) x 6^-1

हल:

प्रश्न 5.
m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए 5^m ÷ 5^-3 = 5⁵.
हल:
5^m ÷ 5^-3 = 5⁵
या 5^m ÷ \(\frac { 1 }{ 5^{ 3 } } \) = 5⁵
या 5^m x 5³ = 5⁵
या 5^m+3 = 5⁵
या m + 3 = 5 (घातों की तुलना करने पर)
m = 5 – 3 = 2

प्रश्न 6.
मान ज्ञात कीजिए –

हल:

प्रश्न 7.
सरल कीजिए –

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 206

प्रश्न 1.
निम्न तथ्यों का अवलोकन कीजिए –

1. पृथ्वी से सूर्य की दूरी 149,600,000,000 m है।
2. प्रकाश का वेग 300,000,000 m/s है।
3. कक्षा VII की गणित की पुस्तक की मोटाई 20 mm है।
4. लाल रक्त कोशिकाओं का औसत व्यास 0.000007 mm.
5. मनुष्य के बाल की मोटाई की परास 0.005 cm से 0.01 cm होती है।
6. पृथ्वी से चन्द्रमा की दूरी लगभग 384,467,000 m है।
7. पौधों की कोशिकाओं का आकार 0.00001275 m है।
8. सूर्य की औसत त्रिज्या 695000 km है।
9. अन्तरिक्ष शटल में ठोस राकेट ब्रूस्टर को प्रेरित करने के लिए शटल का द्रव्यमान 503600 kg है।
10. एक कागज की मोटाई 0.0016 cm है।
11. कम्प्यूटर चिप के एक तार का व्यास 0.000003 m
12. माउण्ट एवरेस्ट की ऊँचाई 8,848 m है।

उपर्युक्त तथ्यों के आधार पर बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की पहचान कीजिए और संगत सारणी में लिखिए।
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 207

प्रयास कीजिए (क्रमांक 12.4)

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं को मानक रूप में लिखिए –

1. 0.000000564
2. 0.0000021
3. 21600000
4. 15240000

हल:
1. 0.000000564 = \(\frac{564}{1000000000}\)
= \(\frac { 5.64×100 }{ 10^{ 9 } } \) = 5.64 x 10^2-9
= 5.64 x 10^-7

2. 0.0000021 = \(\frac{21}{10000000}\) = \(\frac { 21 }{ 10^{ 7 } } \)
= \(\frac { 2.1×10 }{ 10^{ 7 } } \)
= 2.1 x 10^1-7
= 2.1 x 10^-6

3. 21600000 = 216 x 100000
= 2.16 x 100 x 100000
= 2.16 x 10⁷

4. 15240000 = 1524 x 10000
= 1.524 x 1000 x 10000
= 1.524 x 10⁷

प्रश्न 2.
दिए गए तथ्यों को मानक रूप में लिखिए।
हल:
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या 206 पर अंकित तथ्य हैं –
1. पृथ्वी से सूर्य की दूरी 149,600,000,000 m
= 1.49 x 102.1 x 10¹¹ m

2. प्रकाश का वेग 300,000,000 m/s
= 3 x 10⁸ m/s

3. कक्षा VII की गणित की पुस्तक की मोटाई 20 mm
= 2 x 10¹ mm

4. लाल रक्त कणिकाओं का औसत व्यास
0.000007 mm = 7 x 10^-6 mm

5. मनुष्य के बाल की मोटाई की परास 0.005 cm से
0.01 cm = 5 x 10^-3 cm से 1 x 10^-2 cm

6. पृथ्वी से चन्द्रमा की दूरी लगभग 384,467,000 m
= 3.84467 x 10⁸ m

7. पौधों की कोशिकाओं का आकार 0.00001275 m
= 1275 x 10^-5 m

8. सूर्य की औसत त्रिज्या 695000 km = 6.95 x 10⁵ km

9. अन्तरिक्ष शटल में ठोस राकेट बूस्टर को प्रेरित करने के लिए शटल का द्रव्यमान 5,03,600 kg =5-036 x 10⁵ kg

10. एक कागज की मोटाई 0-0016 cm = 1.6 x 10^-3 cm

11. कम्प्यूटर चिप के एक तार का व्यास 0.000003 m
= 3 x 10^-6 m

12. माउण्ट एवरेस्ट की ऊँचाई 8848 m = 8.848 x 10³ m

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 12 घातांक और घात Intext Questions

MP Board Class 8th Maths Chapter 12 पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 201

भूमिका

प्रश्न 1.
2^-2 किसके बराबर है?
हल:
2^-2 = \(\frac { 1 }{ 2^{ 2 } } \) = \(\frac{1}{4}\)

ऋणात्मक घातांकों की घात

प्रश्न 1.
10^-10 किसके बराबर है?
हल:
∴ a^-m = \(\frac { 1 }{ a^{ m } } \)
10^-10 = \(\frac { 1 }{ 10^{ 10 } } \)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 202

प्रयास कीजिए (क्रमांक 12.1)

प्रश्न 1.
गुणात्मक प्रतिलोम लिखिए –

1. 2^-4
2. 10^-5
3. 7^-2
4. 5^-3
5. 10^-100

हल:

1. 2^-4 का गुणात्मक प्रतिलोम = 2⁴
2. 10^-5 का गुणात्मक प्रतिलोम = 10⁵
3. 7^-2 का गुणात्मक प्रतिलोम = 7²
4. 5^-3 का गुणात्मक प्रतिलोम = 5³
5. 10^-100 का गुणात्मक प्रतिलोम = 10¹⁰⁰

प्रयास कीजिए (क्रमांक 12.2)

प्रश्न 1.
घातांकों का उपयोग करते हुए निम्न को विस्तारित रूप में लिखिए –

1. 1025.63
2. 1256.249

हल:
1. 1025.63 = 1 x 1000 + 2 x 10 + 5 x 1 + \(\frac{6}{10}\) + \(\frac{3}{100}\)
= 1 x 10³ + 2 x 10¹ + 5 x 10⁰ + 6 x 10^-1 + 3 x 10^-2

2. 1256.249 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1 + \(\frac{2}{10}\) + \(\frac{4}{100}\) + \(\frac{9}{1000}\)
= 1 x 10³ + 2 x 10² + 5 x 10¹ + 6 x 10⁰ + 2 x 10^-1 + 4 x 10^-2 + 9 x 10^-3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 203

प्रयास कीजिए (क्रमांक 12.3)

प्रश्न 1.
घातांक रूप से सरल कीजिए और लिखिए –

1. (-2)^-3 x (-2)^-4
2. p³ x p^-10
3. 3² x 3^-5 x 3⁶

हल:
1. (-2)^-3 x (-2)^-4 = (-2) ^{(-3) + (-4)} = (-2)^-7
(∵ a^m x aⁿ = a^{m + 1})

2. p³ x p^-10 = p^3-10 = p^-7 = \(\frac { 1 }{ p^{ 7 } } \)

3. 3² x 3^-5 x 3⁶ = 3^2-5+6 = 3³

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.4

प्रश्न 1.
आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है। निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयत –

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

उत्तर:

(a) आयतन
(b) पृष्ठीय क्षेत्रफल
(c) आयतन।

प्रश्न 2.
बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है? दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

हल:
बेलन B का आयतन अधिक है।
बेलन A के लिए, r = \(\frac{7}{2}\) सेमी तथा h = 14 सेमी
बेलन A का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) x \(\frac{7}{2}\) x \(\frac{7}{2}\) x 14 सेमी³
= 539 सेमी³
बेलन B के लिए, r = \(\frac{14}{2}\) सेमी = 7 सेमी तथा h= 7 सेमी
बलेन B का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) x 7 x 7 x 7 सेमी³
= 1078 सेमी³
बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x \(\frac{7}{2}\) (\(\frac{7}{2}\) + 14) सेमी²
= 22 (\(\frac{7+28}{2}\)) सेमी²
= 11 x 35 सेमी² = 385 सेमी²
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 7 (7 + 7) सेमी²
= 44 (14) सेमी²
= 616 सेमी
हाँ, अधिक आयतन वाले बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

प्रश्न 3.
एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm² और जिसका आयतन 900 cm³ है।
हल:
यहाँ, घनाभ का आयतन = 900 सेमी³ तथा आधार का क्षेत्रफल = 180 सेमी²
माना कि घनाभ की ऊँचाई = h सेमी है।
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
900 सेमी² = 180 सेमी² x h
h = \(\frac{900}{180}\) = 5 सेमी
अतः घनाभ की ऊँचाई = 5 सेमी

प्रश्न 4.
एक घनाभ की विमाएँ 60 cm x 54 cm x 30 cm हैं। इस घनाभ के अन्दर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घर रखे जा सकते हैं?
हल:
यहाँ, l = 60 सेमी
b = 54 सेमी तथा
h = 30 सेमी
घनाभ का आयतन = l x b x h
= 60 x 54 x 30 सेमी³
घन की भुजा = 6 सेमी
घन का आयतन = (भुजा)³ = (6)³ सेमी³
= 6 x 6 x 6 सेमी³
= 216 सेमी³

अतः घनाभ में 450 घन रखे जा सकते हैं।

प्रश्न 5.
एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ और जिसके आधार का व्यास 140 cm है।
हल:
यहाँ, बेलन का आयतन = 1.54 मीटर
त्रिज्या r = \(\frac{140}{2}\) सेमी = 70 सेमी
= \(\frac{70}{100}\) मीटर = 0.7 मी
माना कि ऊँचाई = h है।
अब, बेलन का आयतन = πr²h
1.54 = \(\frac{22}{7}\) x 0.7 × 0.7 x h
h = \(\frac{1.54×7}{22×0.7×0.7}\) मीटर
= 1 मीटर
अतः बेलन की ऊँचाई = 1 मीटर

प्रश्न 6.
एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m है और लम्बाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

हल:
टैंक की त्रिज्या = 1.5 m, टैंक की लम्बाई = 7 m
टैंक की धारिता = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) x 1.5 x 1.5 x 7 मीटर³
= 49.5 मी³
= 49.5 x 1000 लीटर
(∵ 1 मी³ = 1000 लीटर)
= 49500 लीटर
अत: टैंक में भरे जाने वाली दूध की मात्रा = 49500 लीटर

प्रश्न 7.
किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए तो –

1. इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?
2. इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

हल:
माना कि घन की भुजा = x इकाई है, तब
इसका आयतन = x³ तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x²
अब, जबकि घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तब

1. इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(2x)² = 6 x 4x²
= 24x² = 4 x 6x²
अतः नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में चार गुना वृद्धि होगी।

2. नये घन का आयतन = (2x)²
= 8x² = 8 × x³
अतः इसके आयतन में आठ गुना वृद्धि होगी।

प्रश्न 8.
एक कुंड के अन्दर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m’ है, _ तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

हल:
यहाँ, कुंड का आयतन
= 108 m³
= 108 x 1000 लीटर
= 108000 लीटर
कुंड में पानी गिरने की दर = 60 लीटर प्रति मिनट
= 60 x 60 लीटर प्रति घण्टा

= 30 घण्टे
अतः कुंड को भरने में 30 घण्टे लगेंगे।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.3

प्रश्न 1.
दो घनाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?

हल:
डिब्बे (a) के लिए –
l = 60 सेमी
b = 40 सेमी
h = 50 सेमी
डिब्बे (a) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (60 x 40 + 40 x 50 + 50 x 60) वर्ग सेमी
= 2 (2400 + 2000 + 3000) वर्ग सेमी
= 2 (7400) वर्ग सेमी
=14800 वर्ग सेमी

डिब्बे (b) के लिए –
l = 50 सेमी
b = 50 सेमी
h = 50 सेमी
(∴ = b = h = 50 सेमी)
डिब्बे (b) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
= 6 x (50)² वर्ग सेमी
=6 x 2500 वर्ग सेमी
= 15000 वर्ग सेमी
क्योंकि डिब्बे (a) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे (b) के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से कम है।
अतः (a) डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 2.
80 cm x 48 cm x 24 cm माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 96 cm चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?
हल:
सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (80 x 48 + 48 x 24 + 24 x 80) सेमी²
= 2 (3840 + 1152 + 1920) सेमी²
= 2 x 6912 सेमी²
= 13824 सेमी²
100 सूटकेसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल =100 x 13824 सेमी² = 100 x \(\frac{100×13824}{100×100}\) मीटर²
माना कि तिरपाल के कपड़े की आवश्यक लम्बाई = x मीटर तिरपाल के कपड़े का वांछित क्षेत्रफल = 100 सूटकेसों का क्षेत्रफल
x × \(\frac{96}{100}\) मी² = \(\frac{100×13824}{100×100}\) मी²
(∴ 96 cm = \(\frac{96}{100}\) m)
x = \(\frac{100x13824x100}{100x100x96}\) मी
= 144 मीटर
अतः 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 144 मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 3.
एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 cm² है।
हल:
माना कि घन की भुजा = l सेमी है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
अब, प्रश्नानुसार,
6l² = 600
l² = \(\frac{600}{6}\) = 100
या l = \(\sqrt{100}\) = 10 सेमी
अतः घन की भुजा = 10 सेमी

प्रश्न 4.
रुखसार ने 1 m x 2 m x 1.5 m माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

हल:
यहाँ, l = 2 मी
b = 1 मी तथा
h = 1.5 मी
पेंट किया हुआ क्षेत्रफल = lb + 2bh + 21h
= (2 x 1 + 2 x 1 x 1.5 + 2 x 2 x 1.5) मी²
= (2 + 3 + 6) मी²
= 11मी²
अतः रुखसार ने 11 मी² पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

प्रश्न 5.
डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15 m, 10 m एवं 7 m हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100 m² क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?
हल:
यहाँ, l = 15 मी
b = 10 मी
h = 7 मी
पेंट किया जाने वाला क्षेत्रफल = lb + 2bh + 2hl
= 15 x 10 + 2 x 10 x 7 + 2 x 7 x 15 मी²
= 150 + 140 + 210 मी²
= 500 मी²

अतः डैनियल को 5 पेंट की कैनों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 6.
वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एकसमान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न-भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृश्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

हल:
दोनों आकृतियाँ ऊँचाई में एकसमान हैं।
अन्तर:

1. एक आकृति बेलन है और दूसरी आकृति घन है।
2. बेलन के दो वृत्तीय फलक हैं, जबकि घन के छः वर्गाकार फलक हैं।

बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
यहाँ, l = 5 सेमी = 3.5 सेमी और
h = 7 सेमी
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 x \(\frac{22}{7}\) x 3.5 x 7 वर्ग सेमी
= 154 वर्ग सेमी
घन की भुजा = 7 सेमी, ऊँचाई = 7 सेमी
घन का पार्श्व पृश्ठीय क्षेत्रफल = आधार की परिमाप x ऊँचाई
= 4 x 7 x 7 वर्ग सेमी
= 196 वर्ग सेमी
अत: घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 7.
7 m त्रिज्या और 3 m ऊँचाई वाला एक बन्द बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, बेलनाकार टैंक की त्रिज्या r = 7 मी और
ऊँचाई h = 3 मी
बन्द बेलनाकार टैंक बनाने के लिए वांछित चादर = बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 7x (7 + 3) मी²
= 44 x 10 मी²
= 440 मी²
अत: टैंक बनाने के लिए वांछित धातु की चादर का क्षेत्रफल = 440 मी²

प्रश्न 8.
एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm² है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 32 cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4224 cm²
आयताकार चादर की चौड़ाई = 32 cm
खोखले बेलन को काटकर आयताकार चादर बनाई गई है।
∴ बेलन के आधार की परिमाप = आयताकार चादर की लम्बाई तथा बेलन की ऊँचाई = चादर की चौड़ाई
इसलिए, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = आयताकार चादर का क्षेत्रफल माना कि चादर की लम्बाई = l सेमी है।
∴ आयताकार चादर का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
l x 32 = x 4224
l = \(\frac{4224}{32}\) सेमी = 132 सेमी
अब, आयताकार चादर की परिमाप = 2 (l + b)
= 2 (132 + 32) सेमी
= 2 x 164 सेमी
= 328 सेमी
अत: आयताकार चादर का अभीष्ट परिमाप = 328 सेमी

प्रश्न 9.
किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 cm और लम्बाई 1 m है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
रोलर बेलनाकार है।
रोलर की त्रिज्या r = \(\frac{84}{2}\) सेमी = 42 सेमी = 0.42 मीटर
रोलर की लम्बाई h = 1 मीटर
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 x \(\frac{22}{7}\) = x 0.42 x 1 मी²
= 2.64 मी²
रोलर द्वारा 750 चक्कर में तय किया क्षेत्रफल = 750 x 2.64 मी² = 1980 मी²
अत: सड़क का क्षेत्रफल = 1980 मी²

प्रश्न 10.
एक कम्पनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14 cm और ऊँचाई 20 cm है। कम्पनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2 cm की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

हल:
यहाँ, बेलनाकार बर्तन का व्यास = 14 सेमी
∴ बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या l = 14 सेमी = 7 सेमी
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 20 सेमी
∴ कम्पनी ने बर्तन में लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2 सेमी की दूरी पर चिपकाया है। बर्तन पर चिपका हुआ लेबल एक बेलन निर्मित करता है, जिसकी त्रिज्या l = 7 सेमी तथा ऊँचाई = 20 – 4 = 16 सेमी
∴ लेबल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2πrh = 2 x \(\frac{22}{7}\) x 7 x 16 सेमी²
= 704 सेमी²
अतः लेबल का क्षेत्रफल = 704 सेमी²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 196

घनाभ

प्रश्न 1.
(i) निम्नलिखित सारणी पर विचार कीजिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
उत्तर:

प्रश्न 1.
(ii) आप क्या देखते करते हैं?
उत्तर:
हम यहाँ यह देखते हैं कि घनाभों को बनाने के लिए 36 घनों का उपयोग किया गया है। इसलिए प्रत्येक घनाभ का आयतन 36 घन इकाई है।
स्पष्ट है कि घनाभ का आयतन = लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
अर्थात् घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 197

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.10)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनाभों (आकृति 11.45) का आयतन ज्ञात कीजिए –

हल:
1. यहाँ, 1 = 8 सेमी, b = 3 सेमी तथा h = 2 सेमी
घनाभ का आयतन = l x b x h
= 8 x 3 x 2 = 48 सेमी³

2. यहाँ, आधार का क्षेत्रफल = l x b = 24 सेमी²
ऊँचाई h = 3 सेमी = 100 मी
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
= 24 मी² x \(\frac{3}{100}\)मी = \(\frac{72}{100}\)मी³
= 0.72 मी³

घनाभ

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.11)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए –

1. 4 cm भुजा वाला
2. 1.5 m भुजा वाला।

हल:
1. यहाँ, घन की भुजा l = 4 सेमी
∴ घन का आयतन = l³ = (4)³सेमी
= 4 x 4 x 4 सेमी
= 64 सेमी³

2. यहाँ, घन की भुजा l = 1.5 मी
∴ घन का आयतन = = (1.5)³मी
= 1.5 x 1.5 x 1.5 मी³ = 3.375 मी³

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.5)

प्रश्न 1.
समान आकार वाले 64 घनों को जितने रूपों में आप व्यवस्थित कर सकते हैं, उतने रूपों में व्यवस्थित करते हुए घनाभ बनाइए। प्रत्येक रूप का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है?
हल:
कुछ व्यवस्थित रूप इस प्रकार हो सकते हैं। घन इस प्रकार रख सकते हैं –

इनके पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः इस प्रकार हैं –
∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)

(i) ∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (64 x 1 + 1 x 1 + 1 x 64)
= 2 x (64 + 1 + 64)
= 2 x 129
= 258 वर्ग इकाई

(ii) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (32 x 2 + 2 x 1 + 1 x 32)
= 2 (64 + 2 + 32)
= 2 x 98
= 196 वर्ग इकाई

(iii) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (16 x 2 + 2 x 2 + 2 x 16)
= 2(32 + 4 + 32)
= 2 x 68
= 136 वर्ग इकाई

(iv) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (16 x 4 +4 x 1 + 1 x 16)
= 2 (64 + 16 + 16)
= 2 x 84
= 168 वर्ग इकाई

(v) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (8 x 4 + 4 x 2 + 2 x 8)
= 2 (32 + 8 + 16)
= 2 x 56
= 112 वर्ग इकाई

(vi) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4 x 4 + 4 x 4 + 4 x 4)
= 2 (16 + 16 + 16)
= 2 x 48
= 96 वर्ग इकाई
प्रत्येक स्थिति में आयतन = 64 घन इकाई
यहाँ, स्पष्ट है कि प्रत्येक घन का आयतन तो समान है परन्तु पृष्ठीय क्षेत्रफल भिन्न हैं।
अतः समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान नहीं होता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.6)

प्रश्न 1.
एक कम्पनी बिस्कुट बेचती है। बिस्कुटों को पैक करने के लिए घनाभाकार डिब्बों का उपयोग किया जा रहा है। डिब्बा A → 3 cm x 8 cm x 20 cm, डिब्बा B → 4 cm x 12 cm x 10 cm. डिब्बे का कौन सा आकार कम्पनी के लिए आर्थिक दृष्टि से लाभदायक रहेगा? क्यों? क्या आप ऐसे किसी और आकार (विमाएँ) के डिब्बे का सुझाव दे सकते हैं जिसका आयतन इनके समान हो परन्तु इनकी तुलना में आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक हो?
हल:
डिब्बा A:
l = 3 सेमी
b = 8 सेमी
h = 20 सेमी
आयतन = l x b x h = 3 x 8 x 20 सेमी³ = 480 सेमी³
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (3 x 8 + 8 x 20 + 20 x 3) सेमी²
= 2 (24 + 160 + 60) सेमी²
= 2 x 244 सेमी²
= 488 सेमी²

डिब्बा B:
l = 4 सेमी
b = 12 सेमी
h = 10 सेमी
आयतन = l x b x h = 4 x 12 x 10 सेमी³ = 480 सेमी³
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2(4 x 12 + 12 x 10 + 10 x 4) सेमी²
= 2 (48 + 120 + 40) सेमी²
= 2 x 208 सेमी²
= 416 सेमी²
यहाँ, डिब्बे A का आयतन = डिब्बे B का आयतन है।
परन्तु डिब्बे A का पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे B के पृष्ठीय क्षेत्रफल से अधिक है।
अतः डिब्बा B को बनाने में कम सामग्री की आवश्यकता होगी।
∴ डिब्बे A की अपेक्षा डिब्बा B का आकार कम्पनी के के लिए आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक रहेगा।

अन्य डिब्बा:
8 सेमी x 6 सेमी x 10 सेमी
इस डिब्बे का आयतन = 8 x 6 x 10 = 480 सेमी³
इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (8 x 6+ 6 x 10 + 10 x 8) सेमी²
= 2(48 + 60 + 80) सेमी²
= 2 x 188 सेमी²
= 376 सेमी²
स्पष्ट है कि इस डिब्बे का आयतन डिब्बे B के आयतन के बराबर है। परन्तु इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे B के पृष्ठीय क्षेत्रफल से कम है।
अतः दिए हुए डिब्बों की अपेक्षा यह डिब्बा आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 198

आयतन और धारिता

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.12)

प्रश्न 1.
संलग्न बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) यहाँ, बेलन की त्रिज्या r = 7 सेमी
ऊँचाई h = 10 सेमी
बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) x 7 x 7 x 10 सेमी³
= 1540 सेमी³

(ii) यहाँ आधार का क्षेत्रफल πr² = 250 मी तथा ऊँचाई = 2 मी
बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
= 250 मी² x 2 मी
= 500 मी³

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Sanskrit Model Question Paper (आदर्श प्रश्नपत्रम्)

प्रश्न 1.
(अ) समुचित चित्वां लिखत (उचित शब्द चुनकर लिखिए)
(क) कार्यक्षेत्रे (कार्य के क्षेत्र में-)
(अ) तरणीयम्
(ब) त्वरणीयम्
(स) वदनीयम्
(द) स्मरणीयम्।
उत्तर:
(ब) त्वरणीयम्। (शीघ्रता करनी चाहिए।)

(ख) गुरुत्वाकर्षणस्य सिद्धान्तः प्रतिपादितः (गुरुत्वाकर्षण के सिद्धान्त का प्रतिपादन किया-)
(अ) आदित्यदासेन
(ब) आर्यभट्टेन
(स) वराहमिहिरेण
(द) मोहनदासेन
उत्तर:
(स) वराहमिहिरेण। (वराहमिहिरेण)

(ग) वसन्तपञ्चमी पर्व भवति (वसन्त पंचमी का पर्व होता है-)
(अ) फाल्गुनमासे
(ब) माघमासे
(स) चैत्रमासे
(द) कार्तिकमासे।
उत्तर:
(ब) माघमासे। (माघ के महीने में।)

(घ) अहिल्याबाई इत्यस्याः पत्युः नाम आसीत् (अहिल्याबाई इनके पति का नाम था-)
(अ) दामोदररावः
(ब) खण्डेराव:
(स) कृष्णरावः
(द) श्यामरावः
उत्तर:
(ब) खण्डेरावः। (खण्डेराव।)

(ङ) सर्वः पश्यतु (सब देखें-)
(अ) दूरदर्शनम्
(ब) कार्याणि
(स) अभद्राणि
(द) भद्राणि।
उत्तर:
(द) भद्राणि। (सुखों को।)

(ब) प्रदत्तैः शब्दैः रिक्तस्थानानि पूरयत (दिये गये शब्दों से रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-)
(प्रकृतिहिताय, रामकृष्णपरमहंसः, मेकलसुता, शीलं, एकादशवर्षाणि)
(क) नर्मदायाः अपरं नाम ………… अस्ति।
(ख) ………… सर्वत्र वै धनम्।
(ग) प्रवर्ततां ……….. पार्थिवः।
(घ) चित्रकूटे रामचन्द्रः ………… यावत् निवासं कृतवान्।
(ङ) स्वामिविवेकानन्दस्य गुरुः ……….. आसीत्।
उत्तर:
(क) मेकलसुता
(ख) शीलं
(ग) प्रकृतिहिताय
(घ) एकादशवर्षाणि
(ङ) रामकृष्णपरमहंसः।

प्रश्न 2.
अधोलिखितगद्यांशं पठित्वा प्रश्नानाम् उत्तराणि संस्कृते लिखत (नीचे लिखे गद्यांश को पढ़कर प्रश्नों के उत्तर संस्कृत में लिखो-)

कस्मिश्चित् वने निम्बवृक्षे एकं चटकायुगलं प्रतिवसति स्म। समये चटकया अण्डानि दत्तानि, युगलम् अति प्रसन्नम् आसीत्। एकस्मिन् दिने आतपपीडितः एकः मदमत्तः गजः तत्र आगतः। मदेन सः तस्य वृक्षस्य तां शाखां नाशितवान् यस्यां शाखायां चटकायाः अण्डानि आसन्। अतः अण्डानि अपि नष्टानि।

(क) चटकायुगलं कस्मिन् वृक्षे प्रतिवसति स्म? (चिड़ियों का जोड़ा किस वृक्ष के नीचे रहता। था?)
उत्तर:
चटकायुगलं निम्बवृक्षे प्रतिवसति स्म। (चिड़ियों का जोड़ा नीम के वृक्ष के नीचे रहता था।)

(ख) अण्डानि कया दत्तानि? (अण्डे किसके द्वारा दिये गये?)
उत्तर:
अण्डानि चटकया दत्तानि। (अण्डे चिड़िया द्वारा दिये गये।)

(ग) एकस्मिन् दिने कः तत्र आगतः? (एक दिन कौन वहाँ आया?)
उत्तर:
एकस्मिन् दिने एकः मदमत्तः गजः तत्र आगतः। (एक दिन एक मतवाला हाथी वहाँ आया।)

(घ) मदेन गजः कां नाशितवान्? (मस्ती में हाथी ने क्या-क्या तोड़ दिया?)
उत्तर:
मदेन गजः वृक्षस्य तां शाखां नाशितवान् यस्यां शाखायां चटकायाः अण्डानि आसन्। (मस्ती में हाथी ने वृक्ष की उस डाल को तोड़ दिया जिस पर चिड़िया के अण्डे थे।)
अथवा

एकदा विक्रमादित्यः नगरभ्रमणसमये एक मरणासन्नं रूग्णं दृष्टवान। तस्य दर्शनेन मनसि वैराग्यम् उद्भूतम्। अतः मायामोहमयं संसारं ज्ञात्वा सः महामन्त्रिणि राज्यभारं समर्प्य :वनम् अगच्छत्।

(क) विक्रमादित्यः नगरभ्रमणसमे कं दृष्टवान्? (विक्रमादित्यः ने नगर में भ्रमण के समय किसको देखा?)
उत्तर:
विक्रमादित्य नगरभ्रमणसमये एकं मरणासन्नं रुग्णं दृष्टवान। (विक्रमादित्य ने नगर भ्रमण के समय एक मरणासन्न रोगी को देखा।)

(ख) विक्रमादित्यस्य मनसि किम् उद्भूतम्? (विक्रमादित्य के मन में क्या उत्पन्न हुआ?)
उत्तर:
विक्रमादित्य मनसि वैराग्यम् उद्भूतम्। (विक्रमादित्य के मन में वैराग उत्पन्न हुआ।)

(ग) सः महामन्त्रिणि किं समर्प्य वनम् अगच्छत्? (वह महामन्त्री को क्या सौंपकर वन चले गये?)
उत्तर:
सः महामन्त्रिणि राज्यभारं समर्प्य वनम् अगच्छत्। (वह महामन्त्री को राज्यभार सौंपकर वन चले गये।)

(घ) ‘अगच्छत्’ इत्यस्मिन् पदे कः धातुः? (‘अगच्छत्’ शब्द में कौन-सी धातु है?)
उत्तर:
‘अगच्छत्’ इत्यस्मिन् पदे ‘गमः’ धातुः। (‘अगच्छत्’ शब्द में ‘गम्’ (जाना) धातु हैं।)

प्रश्न 3.
अधोलिखितपद्यांश पठित्वा प्रश्नानाम् उत्तराणि संस्कृत लिखत (नीचे लिखे पद्यांश को पढ़कर प्रश्नों के उत्तर संस्कृत में लिखो)
उद्योगे नास्ति दारिद्रयं जपतो नास्ति पातकम्।
मौने च कलहो नास्ति नास्ति जागरिते भयम्।।

(क) उद्योगे किं नास्ति? (परिश्रम करने से क्या नहीं रहता है?)
उत्तर:
उद्योगे दारिद्रयं नास्ति। (परिश्रम करने से गरीबी नहीं रहती है।)

(ख) जपतो किं नास्ते? (भगवान का स्मरण करने से क्या नहीं रहता है?)
उत्तर:
जपतो पातकं नास्ति। (भगवान का स्मरण करने से पाप नहीं रहता है।)

(ग) भयं कदा नास्ति? (भय कब नहीं रहता है?)
उत्तर:
जागरिते भयं नास्ति। (जागने पर भय नहीं रहता है।)

(घ) ‘मौने’ इत्यस्मिन् पदे का विभक्तिः किं च वचनम्? (‘मौने’ शब्द में कौन-सी विभक्ति और कौन-सा वचन है?)
उत्तर:
‘मौने’ इत्यस्मिन् पदे सप्तमी विभक्ति एकं च वचनम्। (‘मौने’ शब्द में सप्तमी विभक्ति और एकवचन है।)
अथवा

माता गुरुतरा भूमैः खात्पितोच्चतरस्तथा।
मनः शीघ्रतरं वाताच्चिन्ता बहुतरी तृणात्॥

(क) भूमेः गुरुतरा का? (पृथ्वी से भारी कौन है?)
उत्तर:
भूमेः गुरुतरा माता। (पृथ्वी से भारी माता है।)

(ख) खात् उच्चतरः कः? (आकाश से ऊँचा कौन है?)
उत्तर:
खात् उच्चतरः पिता। (आकाश से ऊँचा पिता है।)

(ग) वातात् शीघ्रतरं किम्? (वायु से तेज चलने वाली कौन है?)
उत्तर:
वातात् शीघ्रतरं मनः। (वायु से तेज चलने वाला मन है।)

(घ) ‘तृणात्’ इत्यस्मिन् पदे विभक्ति वचनं च लिखत? (‘तृणात्’ शब्द में विभक्ति और वचन को लिखिए।)
उत्तर:
‘तृणात्’ इत्यस्मिन् पदे पञ्चमी विभक्ति एकं वचनं च अस्ति। (‘तृणात्’ शब्द में पंचमी विभक्ति एकवचन है।)

प्रश्न 4.
(अ) पाठ्यपुस्तकात् कण्ठस्थीकृतम् एक सुभाषितश्लोकं लिखत यः अस्मिन् प्रश्नपत्रे नास्ति। (पाठ्यपुस्तक से कण्ठस्थ किया हुआ एक सुभाषित श्लोक लिखो जो इस प्रश्न-पत्र में नहीं आया है।)
उत्तर:
अयं निजः परोयेति गणना लप्पुचेतसाम्। उर्दचरितानां तु वसुधैव कुटुम्बकम्।।

(ब) श्लोकपूर्तिं कुरुत (श्लोक पूर्ति करो-)
विना वेदं विना ………….. विना ………… कथाम्।
विना …………. भारतं न हि।।
उत्तर:
विना वेदं विना गीतां, विना रामायणी कथाम्।
विना कविं कालिदास, भारतं भारतं न हि।।

(स) पाठ्यपुस्तकात् कण्ठस्थीकृताम् एकां सूक्ति लिखत। (पाठ्यपुस्तक से कण्ठस्थ की हुई एक सूक्ति लिखो।)
उत्तर:
विद्वान् सर्वत्र पूज्यते।’

प्रश्न 5.
(अ) अधोलिखितेषु (5) पञ्चप्रश्नानाम् उत्तराणि एकपदेन संस्कृत लिखत (निम्नलिखित में से पाँच प्रश्नों के उत्तर एक शब्द में संस्कृत में लिखो-)
(क) कस्मिन् मासे गणतन्त्रदिवसः भवति? (किस महीने में गणतन्त्र दिवस होता है?)
उत्तर:
‘जनवरिमासे’। (जनवरी महीने में।)

(ख) विद्या कीदृशी भवेत? (विद्या कैसी होनी चाहिए?)
उत्तर:
अर्थकरी। (धन का संग्रह करने वाली।)

(ग) विषपानं कः कृतवान्? (विषपानं किसने किया?)
उत्तर:
वीरः हरदौलः। (वीर हरदौल ने।)

(घ) चन्द्रशेखरस्ये पितुः नाम किम्? (चन्द्रशेखर के पिता का नाम क्या था?)
उत्तर :
सीतारामतिवारी। (सीताराम तिवारी।)

(ङ) नर्मदा कस्मात् स्थानात् प्रादुर्भवति? (नर्मदा किस स्थान से निकलती है?)
उत्तर:
अमरकण्टकपर्वतात्। (अमरकण्टक पर्वत से।)

(च) अहिल्यायाः जन्मग्रामः कः? (अहिल्या का जन्म किस गाँव में हुआ?)
उत्तर:
चौण्डी। (चौण्डी)

(छ) मेघदूतस्य कविः कः? (मेघदूत के कवि कौन हैं?)
उत्तर:
कालिदासः। (कालिदास।)

(ब) अधोलिखितेषु (5) पञ्चप्रश्नानाम् उत्तराणि एकवाक्येन संस्कृते लिखत (निम्नलिखित में पाँच प्रश्नों के उत्तर एक वाक्य में संस्कृत में लिखो-)
(क) कुत्र चरणीयम्? (कहाँ चढ़ना चाहिए?)
उत्तर:
कष्टपर्वते चरणीयम्। (कष्टरूपी पर्वत पर चढ़ना चाहिए।)

(ख) गुणेषु कः करणीयः? (गुणों के उपार्जन हेतु क्या करना चाहिए?)
उत्तर:
गुणेषु यत्नः करणीयः। (गुणों के उपार्जन हेतु प्रयास करने चाहिए।)

(ग) यूनां प्रेरकः पथप्रदर्शकश्च कः? (युवाओं के प्रेरक और पथ प्रदर्शक कौन हैं?)
उत्तर:
यूनां प्रेरकः पथ-प्रदर्शकश्च स्वामी विवेकानन्द:। (युवाओं के प्रेरक और पथ प्रदर्शक स्वामी विवेकानन्द हैं।)

(घ) चित्रकूटे कः विश्वविद्यालयः अस्ति? (चित्रकूट में कौन-सा विश्वविद्यालय है?)
उत्तर:
चित्रकूटे महात्मागान्धि ग्रामोदय विश्वविद्यालयः अस्ति। (चित्रकूट में महात्मा गाँधी ग्रामोदय विश्वविद्यालय है।)

(ङ) विक्रमादित्यस्य ध्येयवाक्यं किम् आसीत्? (विक्रमादित्य का ध्येय वाक्य क्या था?)
उत्तर:
विक्रमादित्यस्य ध्येयवाक्यं ‘सत्कर्म एव धर्म’ इति आसीत्। (विक्रमादित्य का ध्येय वाक्य ‘सत्कर्म ही धर्म है’ था।)

(च) काशीतलवाहिनी का? (काशी सतह में बहने वाली कौन नदी है?)
उत्तर:
काशीतलवाहिनी गङ्गा। (काशी सतह में बहने वाली गंगा है।)

(छ) पञ्चशाकानां नामानि लिखत। (पाँच सब्जियों के नाम लिखो।)
उत्तर:
पञ्चशाकानां नामानि आलुकं, पलाण्डुः, कुण्माण्ड, शिम्बां, मूलिका च इति सन्ति। (पाँच सब्जियों के नाम आलू, प्याज, कद्दू, सेम और मूली हैं।)

प्रश्न 6.
(अ) अधोलिखितेषु (2) द्वयोः शब्दरूपाणि निर्देशानुसार त्रिषु वचनेषु लिखत। (निम्नलिखित में से दो के शब्द रूप निर्देशानुसार तीनों वचनों में लिखो-)
(क) बालक-प्रथमा
(खा) मातृ -द्वितीया
(ग) राजन्-षष्ठी।
उत्तर:
(क) बालकः बालकौ बालकाः।
(ख) मातरम् मातरौ मातृः।
(ग) राज्ञः राज्ञोः राज्ञाम्।

(ब) अधोलिखितेषु (2) द्वयोः धातुरूपाणि निर्देशानुसारं त्रिषु वचनेषु लिखत (निम्नलिखित में से दो के धातु रूप निर्देशानुसार तीनों वचनों में लिखो-)
(क) वद्-लट्लकारः (वर्तमानकाल:) प्रथमपुरुषः।
उत्तर:
वदति वदतः वदन्ति।

(ख) सेव्-लुट्लकारः (भविष्यकाल:) मध्यमपुरुषः।
उत्तर:
सेविष्यसेसेविष्येथेसेविष्यध्वे।

(ग) लिख्-लङ्लकारः (भूतकालः) उत्तमपुरुषः।
उत्तर:
अलिखम् अलिखाव अलिखाम।

(स) अधोलिखितेषु (4) चत्वारि अशुद्धवाक्यानि शुद्धं कुरुत (निम्नलिखित में से चार अशुद्ध वाक्यों को शुद्ध करो)
(क) श्रीगणेशं नमः।
(ख) सः पुस्तक पठसि।
(ग) कृष्णः यानात् गच्छति।
(घ) छात्रः फलं खादामि।
(ङ) लक्ष्मणः रामस्य सह क्रीडति।
(च) गीता बालकं भोजनं ददाति
उत्तर:
(क) श्री गणेशाय नमः।
(ख) सः पुस्तकं पठति।
(ग) कृष्णः यानेन गच्छति।
(घ) छात्रः फलं खादति।
(ङ) लक्ष्मणः रामेण सह क्रीडति।
(च) गीता बालकाय भोजनं ददाति।

प्रश्न 7.
(अ) अधोलिखितेषु (3) त्रयाणां धातुं प्रत्ययं च पृथक् कुरुत (निम्नलिखित में से तीन के धातु और प्रत्यय अलग-अलग करो-)
(क) पठितुम्
(ख) गत्वा
(ग) गतः
(घ) खादितवान।
उत्तर:
(क) पठ् धातुः, तुमुन प्रत्ययः।
(ख) गम् धातुः, क्त्वा प्रत्ययः।
(ग) गम् धातुः, क्त प्रत्ययः।
(घ) खाद् धातुः, क्तवतु प्रत्ययः।

(ब) अधोलिखितेषु (2) द्वौ उपसर्गौ योजयित्वा पदनिर्माणं कुरुत (निम्नलिखित में से दो उपसर्ग जोड़कर शब्द बनाओ-)
(क) प्र
(ख) अनु
(ग) सु।
उत्तर:
(क) प्रहारः
(ख) अनुभवः
(ग) सुविचारः।

(स) अधोलिखितेषु (2) द्वयो अव्ययोः प्रयोगं कृत्वा वाक्यनिर्माणं कुरुत (निम्नलिखित में से दो अव्ययों का प्रयोग करके वाक्य। बनाओ-)
(क) अद्य
(ख) न
(ग) प्रायः।
उत्तर:
(क) अद्य वयं विद्यालयं गच्छामः।
(ख) अहम् श्वः मन्दिरं न गमिष्यामि।
(ग) प्रायः सर्वेः जनाः धनमिच्छन्ति।

प्रश्न 8.
(अ) अधोलिखितेषु (3) त्रयाणां पदानां सन्धिविच्छेदं कृत्वा सन्धिनाप लिखत (निम्नलिखित में से तीन पदों का सन्धि विच्छेद करके सन्धि का नाम लिखो-)
(क) विद्यालयः
(ख) सज्जनः
(ग) नमस्ते
(घ) महोत्सवः।
उत्तर:
(क) विद्या + आलयः (स्वर सन्धिः)
(ख) सत् + जनः (व्यञ्जन सन्धिः),
(ग) नमः + ते (विसर्ग सन्धिः),
(घ) महा + उत्सवः (स्वर सन्धि।)

(ब) अधोलिखितेषु (3) त्रयाणां पदानां समासविग्रहं कृत्वा समासनाम लिखत (निम्नलिखित में तीन पदों का समास विग्रह करके समास का नाम लिखो-)
(क) राजपुत्रः
(ख) महापुरुषः
(ग) पितरौ
(घ) चन्द्रशेखरः
उत्तर:
(क) राज्ञः पुत्रः (षष्ठी तत्पुरुषः समासः)
(ख) महान् चासौ पुरुषः (कर्मधारय समासः)
(ग) माता च पिता च (द्वन्द्व समासः)
(घ) चन्द्रःशेखरे यस्य सः (शिवः) (बहुव्रीहि समासः)

(स) अधोलिखतेषु (3) तिस्रः सङख्याः संस्कृते लिखत् (निम्नलिखित में से तीन संख्याओं को संस्कृत में लिखो-)
(क) 28
(ख) 36
(ग) 41
(घ) 46
उत्तर:
(क) अष्टाविंशतिः
(ख) षट्त्रिंशत्
(ग) एकचत्वारिंशत्
(घ) षट्चत्वारिंशत्।

प्रश्न 9.
अधोलिखितपदैः पत्रं पूरयत(निम्नलिखित शब्दों में से पत्र को पूरा करो-) (पीडितः, अवकाशं, निवेदनम्, अद्य, आगन्तुं)
सेवायाम्
श्रीमान् प्रधानाध्यापकमहोदयः
शासकीयमाध्यमिकविद्यालयाः
जाबलिपुरम्
महोदय!
विनम्र ………. अस्ति यत् अहम् ………. शीतज्वरेण ………. अस्मि। अतएव विद्यालयम् ………. न शक्नोमि। अतः एकदिवसीयम् ………. स्वीकरोतु।

भवतः आज्ञाकारी शिष्याः
दिनाङ्क : 22 फरवरीमास: 2009 ई.
अजयः
अष्टमकक्षा

उत्तर:
निवेदनम्, अद्य, पीडितः, आगन्तुं, अवकाशं।

MP Board Class 8th Sanskrit Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.2

प्रश्न 1.
एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 m और 1.2 m हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8 m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ समान्तर भुजाएँ a = 1.2 मी
b = 1 मी
समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी h = 0.8 मी
मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल = समलम्ब का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी
= \(\frac{1}{2}\)(a + b) x h
= \(\frac{1}{2}\) (1.2 मी. + 1 मी.) x 0.8 मी
= \(\frac{1}{2}\) x 2.2 x 0.8 वर्ग मी.
= 0.88 वर्ग मीटर।
अत: मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल = 0.88 वर्ग मीटर।

प्रश्न 2.
एक समलम्ब का क्षेत्रफल 34 cm² है और इसकी ऊँचाई 4 सेमी है। समान्तर भुजाओं में से एक की 10 cm लम्बाई है। दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
समलम्ब का क्षेत्रफल = 34 सेमी²
ऊँचाई = 4 सेमी
समलम्ब की एक समान्तर भुजा = 10 सेमी
माना कि दूसरी समान्तर भुजा = a सेमी
समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x समान्तर भुजाओं का योग x ऊँचाई
34 सेमी² = \(\frac{1}{2}\) (10 + a) x 4
10 + a = \(\frac{34×2}{4}\) = 17
a = 17 – 10 = 7 सेमी
अतः समलम्ब की दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई = 7 सेमी।

प्रश्न 3.
एक समलम्ब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लम्बाई 120 m है। यदि BC = 48 m, CD = 17 m और AD = 40 m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समान्तर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है।

हल:
खेत ABCD की बाड़ की लम्बाई = 120 मी.
BC = 48 मी
CD = 17 मी और
AD = 40 मी
खेत की बाड़ की लम्बाई = AB + BC + CD + DA
120 मी = AB + 48 मी + 17 मी + 40 मी
120 मी = AB + 105 मी
AB = 120 मी – 105 मी = 15 मी
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी।
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x (48 + 40) x 15 वर्ग मीटर
= \(\frac{1}{2}\) x 88 x 15
= 660 वर्ग मीटर।
अतः खेत ABCD का क्षेत्रफल = 660 वर्ग मीटर।

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लम्ब 8 m एवं 13 m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ d= 24 मी
h₁ = 13 मी, h₂ = 8 मी

∴ खेत का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x d (h₁ + h₂)
∴ खेत का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x 24 x (13 + 8) मीटर²
\(\frac{1}{2}\) x 24 x 21 मीटर² = 252 मीटर²
अतः चतुर्भुज आकार के खेत का क्षेत्रफल = 252 मीटर

प्रश्न 5.
किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, समचतुर्भुज के विकर्ण = 7.5 सेमी और 12 सेमी हैं।
∴ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल= \(\frac{1}{2}\) x विकर्णों का गुणनफल
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x (7.5 x 12) वर्ग सेमी
= 45 वर्ग सेमी।
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 45 वर्ग सेमी।

प्रश्न 6.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्ष लम्ब 4 cm है। यदि एक विकर्ण की लम्बाई 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
समचतुर्भुज की भुजा = 6 सेमी
शीर्ष लम्ब = 4 सेमी
एक विकर्ण की लम्बाई =8 सेमी
दूसरे विकर्ण की लम्बाई =d सेमी
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार x शीर्ष लम्ब
= 6 x 4वर्ग सेमी = 24 वर्ग सेमी।
∴ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x विकर्णों का गुणनफल
∴ 24 वर्ग सेमी = \(\frac{1}{2}\) x 8 x d
∴ d = \(\frac{24×2}{2}\) = 6 सेमी
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग सेमी
दूसरे विकर्ण की लम्बाई = 6 सेमी।

प्रश्न 7.
किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45 cm और 30 cm लम्बाई के हैं। ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
टाइल के विकर्ण = 45 सेमी और 30 सेमी
टाइलों की संख्या = 3000
पॉलिश का व्यय = ₹ 4 प्रति वर्ग मीटर
∴ 1 टाइल का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x विकर्णों का गुणनफल
= \(\frac{1}{2}\) x 45 x 30 वर्ग सेमी।
= 675 वर्ग सेमी
∴ 3000 टाइलों का क्षेत्रफल = 3000 x 675 वर्ग सेमी
= 2025000 वर्ग सेमी
= \(\frac{2025000}{100×100}\) वर्ग मीटर
= 202.5 वर्ग मीटर।
∴ फर्श का क्षेत्रफल = 202.5 वर्ग मीटर।
फर्श पर पॉलिश करने का व्यय = ₹ 4 x 202.5
= ₹ 810
अतः फर्श पर पॉलिश करने का व्यय = ₹ 810

प्रश्न 8.
मोहन एक समलम्ब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समान्तर है और लम्बाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500 m हैं और दो समांतर भुजाओं के बीच की लम्बवत् दूरी 100 m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:
खेत का क्षेत्रफल = 10,500 m²
माना कि सड़क के साथ वाली भुजा की लम्बाई = x मीटर
नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 2x मीटर
दोनों भुजाओं के बीच की दूरी = 100 मीटर
खेत का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\) x समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी
10500 मी² = \(\frac{1}{2}\) x (x + 2x) x 100
3x = \(\frac{10500×2}{100}\)
x = \(\frac{10500×2}{3×100}\)
= 70 मीटर
अतः नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 2x = 2 x 70
=140 मीटर।

प्रश्न 9.
एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कजिए।

हल:
अष्टभुजी पृष्ठ ABCDEFGH का क्षेत्रफल = समलम्ब ABGH का क्षेत्रफल + आयत BCFG का क्षेत्रफल + समलम्ब CDEF का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x (5 + 11) x 4 + 11 x 5 + \(\frac{1}{2}\) x (11 + 5) x 4 वर्ग मीटर
= 32 + 55 + 32 वर्ग मीटर
= 119 वर्ग मीटर।
अतः अष्ठभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल = 119 वर्ग मीटर।

प्रश्न 10.
एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

हल:
ज्योति के आरेख द्वारापंचभुज आकार के बगीचे का क्षेत्रफल = 2 x समलम्ब ARCLका क्षेत्रफल
यहाँ, समलम्ब की समान्तर भुजाएँ = 30 मी और 15 मी
समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी = \(\frac{15}{2}\) मी = 7.5 मी
अतः बगीचे का क्षेत्रफल = 2 x समान्तर भुजाओं का योग x उनके बीच की दूरी
= 2 x \(\frac{1}{2}\) (30 + 15) x 7.5 वर्ग मी
= 45 x 7.5 वर्ग मी
= 337.5 वर्ग मीटर।
अत: ज्योति के आरेख द्वारा पंचभुज आकार के बगीचे का क्षेत्रफल = 337.5 वर्ग मीटर।

कविता के आरेख द्वारा:

पंचभुज आकार के बगीचे का क्षेत्रफल = ∆ का क्षेत्रफल + वर्ग का क्षेत्रफल
यहाँ, त्रिभुज का आधार = 15 मीटर
त्रिभुज की ऊँचाई = 15 मीटर
वर्ग की भुजा = 15 मीटर

अतः बगीचे का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x आधार x ऊँचाई + वर्ग की भुजा
= \(\frac{1}{2}\) x 15 x 15 + (15)² वर्ग मीटर
= \(\frac{225}{2}\) + 225 वर्ग मीटर
= 112.5 + 225 वर्ग मीटर
= 337.5 वर्ग मीटर।
अतः कविता के आरेख द्वारा बगीचे का क्षेत्रफल = 337.5 वर्ग मीटर।

अन्य विधि:

अभीष्ट क्षेत्रफल = आयत BDEG का क्षेत्रफल – 2 x ∆ABC का क्षेत्रफल
= 15 x 30 – 2 x \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{15}{2}\) x 15 वर्गमीटर
= 450 वर्ग मी – 112.5 वर्गमीटर
= 337.5 वर्ग मीटर
अतः बगीचे का अभीष्ट क्षेत्रफल = 337.5 वर्ग मीटर

प्रश्न 11.
संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः 24 cm x 28 cm एवं 16 cm x 20 cm हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक – खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

खण्ड ABQP का क्षेत्रफल = खण्ड CDSR का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) x (AB + PQ) x 4 सेमी
= \(\frac{1}{2}\) ( 28 + 20) x 4 सेमी²
= 48 x 2 वर्ग सेमी
= 96 वर्ग सेमी।
खण्ड BCRQ का क्षेत्रफल = खण्ड APSD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) (BC + QR) x 4 वर्ग सेमी
= \(\frac{1}{2}\) (24 + 16) x 4 वर्ग सेमी
= 40 x 2 = 80 वर्ग सेमी। उत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 187

ठोस आकार

प्रश्न 1.
ध्यान दीजिए कि कुछ आकारों में दो या दो से अधिक समरूप (सर्वांगसम) फलक हैं। उनको नाम दीजिए। कौन से ठीसों में सभी फलक सर्वांगसम हैं?

हल:
ठोस आकारों में घनाभ, बेलन, घन और पिरामिड में दो या दो से अधिक फलक समरूप सर्वांगसम हैं। घन में सभी फलक सर्वांगसम हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 188

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.2)

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में दर्शाए गए ठोस को बेलन कहना क्यों गलत है?

हल:
बेलन में दो वृत्ताकार सर्वांगसम फलक होते हैं। लेकिन इस आकृति के फलक सर्वांगसम नहीं है।
अतः दिए गए ठोस को बेलन कहना गलत है। उत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 189

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.7)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनाभों (आकृति 11.32) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए –

हल:
(i) लम्बाई l = 6 सेमी
चौड़ाई b = 4 सेमी
ऊँचाई R = 2 सेमी
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (6 x 4 + 4 x 2 + 2 x 6) वर्ग सेमी
= 2 (24 + 8 + 12) वर्ग सेमी
= 2 x 44 वर्ग सेमी
= 88 वर्ग सेमी।

(ii) लम्बाई l = 4 सेमी
चौड़ाई b = 4 सेमी
ऊँचाई h = 10 सेमी
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
∵ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4 x 4 + 4 x 10 + 10 x 4) वर्ग सेमी
= 2 (16 + 40 + 40) वर्ग सेमी
= 2 (96) वर्ग सेमी
= 192 वर्ग सेमी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 190

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.3)

प्रश्न 1.
1. एकघनाभाकार डस्टर (जिसे आपके अध्यापक कक्षा में उपयोग करते हैं। के पार्श्व पृष्ठ को भूरे रंग के कागज़ की पट्टी से इस प्रकार ढकिए कि यह डस्टर के पृश्ठ के चारों ओर बिल्कुल ठीक बैठे। कागज़ को हटाइए। कागज़ का क्षेत्रफल मापिए। क्या यह डस्टर का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है?
2. अपनी कक्षा के कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई मापिए और निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए

(a) खिड़कियों और दरवाजों के क्षेत्रफल को छोड़कर कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(b) इस कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(c) सफेदी किए जाने वाला, कमरे का कुल क्षेत्रफल।

हल:
1. हाँ, कागज का क्षेत्रफल डस्टर के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।

2. कक्षा के कमरे की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई मापने पर,
लम्बाई = 6 मी
चौड़ाई = 5 मी तथा
ऊँचाई = 4 मी

(a) कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(6 x 5 + 5 x 4 + 4 x 6) वर्ग मीटर।
= 2 (30 + 20 + 24) वर्ग मीटर
= 2 (74) वर्ग मीटर
= 148 वर्ग मीटर।

(b) कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l + b)h
= 2 (6 + 5) x 4 वर्ग मीटर
= 2 x 11 x 4 वर्ग मीटर
= 88 वर्ग मीटर।

(c) सफेदी किए जाने वाला कमरे का कुल क्षेत्रफल = कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 88 वर्ग मीटर + 6 x 5 वर्ग मीटर
= 88 + 30 वर्ग मीटर
= 118 वर्ग मीटर।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.3)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x आधार का क्षेत्रफल।
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x आधार का क्षेत्रफल
2 (l + b)h + 2 x lb = 2 (hl + bh + lb)
= 2 (1b + bh + hl)

प्रश्न 2.
यदि हम किसी घनाभ [ आकृति 11.33 (i)] की ऊँचाई और आधार की लम्बाई को परस्पर बदलकर एक दूसरा घनाभ [(आकृति 11.33 (ii)] प्राप्त करलें तो क्या = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा?

हल:
घनाभ (i) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (l + b)h ….(1)
तथा घनाभ (ii) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (h + b)l …(2)
स्पष्ट है कि दोनों पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल भिन्न हैं।
अतः ऊँचाई और आधार की लम्बाई को बदलने पर पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा।

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.4)

प्रश्न 1.
एक वर्गांकित कागज पर दर्शाए गए पैटर्न को खींचिए और उसे काटिए [ आकृति 11.34 (i)]। आप जानते हैं कि यह पैटर्न घन का जाल (नेट) है। इसे रेखाओं के अनुदिश मोडिए[आकृति 11.34 (ii)]और घन बनाने के लिए किनारों पर टेप लगाइए [ आकृति 11.34 (iii) ]।

(a) इस घन की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्या है? ध्यान दीजिए घन के सभी फलक वर्गाकार हैं। = इसलिए घन की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है (आकृति 11.35)।

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल लिखिए। क्या सभी फलकों के क्षेत्रफल समान हैं?
(c) इस घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।
(d) यदि घन की प्रत्येक भुजा है, तो प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल क्या होगा [ आकृति 11:35 (ii)]। क्या हम कह सकते हैं कि । भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 612 है?
हल:
(a) क्योंकि घन के सभी फलक वर्गाकार आकृति के होते हैं।
अत: घन की लम्बाई = चौड़ाई = ऊँचाई = प्रत्येक 3 इकाई।

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (3)² = 9 वर्ग इकाई।
हाँ, सभी फलकों के क्षेत्रफल समान हैं।

(c) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 612 वर्ग इकाई
= 6 x (3)²
= 54 वर्ग इकाई।

(d) घन की प्रत्येक भुजा = l
∴ प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल = l x l x l²
भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l x l + l x l + l x l)
= 2(l² + l² + l²)
= 2 x 3l² = 6l²
हाँ, हम कह सकते हैं कि ! भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 612 है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 191

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.8)

प्रश्न 1.
घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
घन A की लम्बाई = चौड़ाई = ऊँचाई = 10 सेमी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
= 6 x (10)² = 6 x 100
= 600 वर्ग सेमी
अतः घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600 वर्ग सेमी।
घन B की लम्बाई = चौड़ाई = ऊँचाई = 8 सेमी घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l + l) x l
= 2 (8 + 8) x 8 वर्ग सेमी
= 2 x 16 x 8 वर्ग सेमी।
= 256 वर्ग सेमी।
अतः घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 256 वर्ग सेमी।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.4)

प्रश्न 1.
1. b भुजा वाले दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (आकृति 11.37) । इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह 1252 है? क्या ऐसे तीन घनों को मिलाकर बनाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1862 है? क्यों?

2. न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे?

3. किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेंट करने के पश्चात् उस घन को समान विमाओं वाले 64 घनों में काटा जाता है (आकृति 11.38)। इनमें से कितने घनों का कोई भी फलक पेंट नहीं हुआ है? कितने घनों का 1 फलक पेंट हुआ है? कितने घनों के 2 फलक पेंट हुए हैं ? कितने घनों के तीन फलक पेंट हुए हैं?

हल:
1. b भुजा वाले दो घनों को मिलाकर बने घनाभ की लम्बाई l = b + b = 2b इकाई, चौड़ाई = b इकाई तथा ऊँचाई = b इकाई इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (2b x b + b x b + b x 2b)
= 2 (2b² + b² + 2b²)
= 2 x 5b² = 10b² वर्ग इकाई
अत: घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 10b² वर्ग इकाई उत्तर नहीं, यह 12b² नहीं है।
जब ऐसे तीन घनों को मिलाकर घनाभ बनाया जाता है, तब घनाभ की लम्बाई l = 3b, चौड़ाई = b, ऊँचाई = b इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (3b x b + b x b + b x 3b)
= 2 (3b² + b² + 3b²) वर्ग इकाई
= 2 x 7b² = 14b² वर्ग इकाई
नहीं, इस प्रकार बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 18b2 नहीं है। क्योंकि घनाभ की चौड़ाई और ऊँचाई में कोई परिवर्तन नहीं हुआ है।

2. प्रथम स्थिति:
घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को लम्बाई में व्यवस्थित करने पर

इस स्थिति में, l = 12b
b = b
h = b
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (12b x b + b x b + b x 12b)
= 2(12b² + b² + 12b²)
= 2 x 25b² = 50b²

द्वितीय स्थिति:

इस स्थिति में,
l = 6b
b = b
h = 2b
∴ इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(6b x b + b x 2b + 2b x 6b)
= 2(66² + 2b² + 12b²)
= 2 x 20b² = 40b²

तृतीय स्थिति:

इस स्थिति में,
l = 4b
b = b
h = 3b
∴ इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4b x b + b x 3b + 3b x 4b)
= 2(4b² + 3b² + 12b²)
= 2 x 19b² = 38b²
अतः न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को तृतीय स्थिति के अनुसार व्यवस्थित करना चाहिए।

3. घनों की संख्या जिनके कोई भी फलक पेंट नहीं हुए = 16
घनों की संख्या जिनका 1 फलक पेंट हुआ = 16
घनों की संख्या जिनके 2 फलक पेंट हुए = 24
घनों की संख्या जिनके 3 फलक पेंट हुए = 8

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 193

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.9)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति : 11.39)

हल:
(i) त्रिज्या r = 14 सेमी
ऊँचाई h = 8 सेमी
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) 14 (14 + 8)
= 2 x 22 x 2 x 22 वर्ग सेमी
= 1936 वर्ग सेमी
अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1936 वर्ग सेमी

(ii) यहाँ, त्रिज्या r = \(\frac{2}{2}\) मी = 1 मी
ऊँचाई h = 2 मी
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 1 (1 + 2) वर्ग मी
= \(\frac{44}{7}\) x 3 वर्ग मी.
= \(\frac{132}{7}\) वर्ग मी.
= 186 वर्ग मी.
अत: बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18\(\frac{6}{7}\) वर्ग मी

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.5)

प्रश्न 1.
नोट कीजिए कि किसी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) आधार की परिधि x बेलन की ऊँचाई के समान होता है। क्या हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप x घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?
हल:
माना कि घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः l, b तथा h हैं, तब
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l + b) x h
= आधार का परिमाप x ऊँचाई
अतः हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप – घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 16 Playing with Numbers Ex 16.1

Find the values of the letters in each of the following and give reasons for the steps involved.
Question 1.

Solution:
We have to find the values of A and B. We add the digits column-wise.
In C₂ : A + 5 gives 2, that is, a number whose ones digit is 2 i.e., 12.
∴ A + 5 = 12 ⇒ A = 12 – 5 = 7
In C₁ : 1 (Carry of C₂) + 3 + 2 = B
⇒ 6 = B
∴ We get A = 7, B = 6.

Question 2.

Solution:
We have to find the values of A, B and C.
We add the digits column-wise.
In C₃ : A + 8 gives 3, that is, a number whose ones digit is 3 i.e., 13.
Therefore, A + 8 = 13 ⇒ A = 13 – 8 = 5
In C₂ : 4 + 9 + 1 (Carry of C₃) = 14 gives B = 4
In C₁ : 1 (Carry of C₂) = 1
Therefore, A = 5, B = 4, C = 1.

Question 3.

Solution:
We have to find the value of A.
Since, the ones digit of A × A = A
⇒ A can be 0, 1, 5, 6
If A = 0, then 10 × 0 = 0 ≠ 90
If A = 1, then 11 × 1 = 11 ≠ 91
If A = 5, then 15 × 5 = 75 ≠ 95
If A = 6, then 16 × 6 = 96 = 96
Hence, A = 6.

Question 4.

Solution:
We have to find the values of A and B.
We add the digits column-wise.
In C₂ : B + 7 – A …………… (i)
In C₁ : A + 3 + carry = 6 …………. (ii)
Where, carry is the carry from (i)
Let carry = 0
∴ A + 3 = 6 or A = 3
Putting value of A in (i),
6 + 7 = 3 or 6 = – 4
But B can not be a negative number.
⇒ Carry = 1
In (ii), A + 3 + 1 = 6
⇒ A = 2
Putting value of A in (i), B + 7 = 2
But this is not possible
∴ 6 + 7 = 12 ⇒ 6 = 5.

Question 5.

Solution:
We have to find the values of A, 6 and C.
Now, looking at ones place
B × 3 = 6
This is possible only when B = 0, 5
Now, writing the equation for multiplication as
3 × (10A + B) = 100C + 10A + B
⇒ 30A + 3B = 100C + 10A + B
⇒ 20A + 2B = 100C
⇒ 50C = 10A + B ………….. (i)
But R.H.S. is the number we multiplied by 3 to obtain CAB.
∴ AB is a multiple of 50.
⇒ B = 0
Equation (i) becomes,
50C = 10A ⇒ 5C = A
Since, A is a single digit number.
∴ C = 1 & A = 5
Hence, A = 5, B = 0, C= 1.

Question 6.

Solution:
We have to find the values of A, B and C.
Now, looking at ones place
B × 5 = B
This is possible only when B = 0, 5
Also, writing the equation for multiplication
5 × (10A + B) = 100C + 10A + B
⇒ 50A + 5B = 100C + 10A + B
⇒ 40A + 4B = 100C
⇒ 25C = 10A + B ……………. (i)
But, RHS is the number we multiplied by 5 to obtain result CAB
AB is a multiple of 25.
⇒ B = 0 or 5
(1) Taking B = 0
EQ. (i) becomes
25C = 10A ⇒ 5C = 2A
The only integral one digit solution for this is A = 5, C = 2
(2) Taking B = 5
EQ. (i) becomes
25C = 10A + 5
or 5C = 2A +1
The integral one digit solutions are
A = 2, C = 1
or A = 7, C = 3
Hence, we have three solutions
A = 5, B = 0, C = 2
A = 2, B = 5, C = 1
A = 7, B = 5, C = 3

Question 7.

Solution:
We have to find the values of A and B.
Writing the multiplication equation
6 × (10A + B) = 100B + 10B + B
⇒ 60A + 6B = 111B
⇒ 60A = 105B
⇒ 4A = 7B
The only integral one digit solution is
A = 7, B = 4

Question 8.

Solution:
We have to find the values of A and B. We add the digits column-wise.
In C₂ : 1 + B = 10
⇒ B = 9
In C₁ : A + 1 + 1 (Carry of C₂) = B
⇒ A + 2 = 9
⇒ A = 7
∴ A = 7, B = 9

Question 9.

Solution:
We have to find the values of A and B.
We add the digits column-wise.
In C₃ : B + 1 = 8
⇒ B = 7
In C₂ : A + B = 11 {∵ B is 7 and A can’t be negative}
⇒ A + 7 = 11 ⇒ A = 4
∴ A = 4, B = 7

Question 10.

Solution:
We have to find the values of A and B.
We add the digits column-wise.
In C₃: A + B = 9
In C₂ : 2 + A = 10 (∵ A can’t be negative}
⇒ A = 8
∴ 8 + B = 9
⇒ B = 1
∴ A = 8, B = 1

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.1

प्रश्न 1.
जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है, एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिए हुए हैं। यदि इनके परिमाप समान हैं, तो किस खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा?

हल:
माना कि आयताकार खेत की चौड़ाई = b m है।
आयताकार खेत की लम्बाई = 80 m
वर्गकार खेत की भुजा = 60 m
वर्गाकार खेत का परिमाप = 4 x 60 m = 240 m
अब, प्रश्नानुसार, आयत का परिमाप – वर्ग का परिमाप
2(80 + b) = 240
80 + b = \(\frac{240}{2}\) = 120
b = (120 – 80) m = 40 m.
अतः आयत की चौड़ाई = 40 m.
अब, वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (60)² m²
= 60 x 60 m² = 3600 m²
आयताकार खेत का क्षेत्रफल = l x b = 80 m x 40 m
= 3200 m²
3600 m² > 3200 m²
अतः वर्गाकार खेत का शेत्रफल अधिक है।

प्रश्न 2.
श्रीमती कौशिक के पास चित्र में दर्शाए गए मापों वाला एक वर्गाकार प्लॉट है। वह प्लॉट के बीच में एक घर बनाना चाहती हैं। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है। ₹ 55 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस बगीचे को विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
वर्गाकार प्लॉट की भुजा = 25 m
वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल= (भुजा) = (25 m)²
= 25 m x 25 m = 625 m²
भीतरी आयत की लम्बाई l = 20 m, चौड़ाई = 15 m
भीतरी आयत का क्षेत्रफल = l x b = 20 m x 15 m
= 300 m²
∴ बगीचे का क्षेत्रफल = वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल – भीतरी आयत का क्षेत्रफल
= 625 m² – 300 m²
= 325 m²
₹ 55 प्रति वर्ग मीटर की दर से बगीचे को विकसित करने का व्यय
= ₹ 55 x 325
= ₹ 17,875

प्रश्न 3.
जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है, एक बगीचे का आकार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (आयत की लम्बाई 20 – (3.5 + 3.5) मीटर है।)

हल:
आयत की लम्बाई = 20 – (3.5 + 3.5) मीटर
= (20 – 7) मीटर = 13 मीटर
आयत की चौड़ाई = 7 मीटर ; वृत्त की त्रिज्या
= \(\frac{7}{2}\) मीटर = 3.5 मीटर
बगीचे का परिमाप = 2 x आयताकार भाग की
लम्बाई + दो अर्धवृत्तों का परिमाप
2 x l + 2πr = 2 x 13 + 2 x \(\frac{7}{2}\) x 3.5 मीटर
= 26 + 22 मीटर
= 48 मीटर
अतः बगीचे का परिमाप = 48 मीटर
बगीचे का क्षेत्रफल = आयताकार भाग का क्षेत्रफल + 2 अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= l x b + 2 x \(\frac{1}{2}\)πr²
= 13 x 7 + 2 x \(\frac{1}{2}\) x \(\frac{22}{7}\) x 3.5 x 3.5
= 91 + 38.5 मीटर² = 129.5 मीटर²
अतः बगीचे का क्षेत्रफल = 129.5 मीटर²

प्रश्न 4.
फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समान्तर चतुर्भुज का है जिसका आधार 24 cm और संगत ऊँचाई 10 cm है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढकने के लिए ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है? फर्श के कोनों को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते हैं।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का आधार = 24 सेमी
ऊँचाई = 10 सेमी।
एक टाइल का क्षेत्रफल = आधार x ऊँचाई
= 24 सेमी x 10 सेमी
= 240 सेमी²
फर्श का क्षेत्रफल = 1080 वर्ग मीटर
= 1080 x 100 x 100 वर्ग सेमी

= 45,000 टाइलें
अतः फर्श को ढकने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या = 45,000

प्रश्न 5.
एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभिन्न आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है।
भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े के लिए चींटी को लम्बा चक्कर लगाना पड़ेगा? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि c = 2πr, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।

हल:
दी गई आकृतियों पर बिन्दु A, B, C और D अंकित किए। माना कि चींटी प्रत्येक आकृति में भोज्य पदार्थों के टुकड़ों के चारों ओर घूमने के लिए बिन्दु A से प्रारम्भ करके पुनः उसी बिन्दु पर पहुँचती है।

1. भोज्य पदार्थ के (a) टुकड़े के लिए;
यहाँ r = \(\frac{2.8}{2}\) सेमी = 1.4 सेमी
चींटी द्वारा चली गई दूरी= चाप AB + दूरी BA
\(\frac{1}{2}\) x 2πr + BA
= \(\frac{1}{2}\) x 2 x \(\frac{22}{7}\) x 14 + 2.8 सेमी
= 4.4 + 2.8 = 7.2 सेमी

1. भोज्य पदार्थ के (b) टुकड़े के लिए,
चींटी द्वारा चली गई दूरी = चाप AB + दूरी BC + CD + DA
= \(\frac{1}{2}\) x 2πr + 1.5 सेमी + 2.8 सेमी + 1.5 सेमी
= \(\frac{1}{2}\) x 2 x \(\frac{22}{7}\) x 1.4 + 1.5 + 2.8 + 1.5 सेमी
= 4.4 सेमी + 5.8 सेमी
= 10.2 सेमी

3. भोज्य पदार्थ के (c) टुकड़े के लिए,
चींटी द्वारा चली गई दूरी = चाप AB + BC + CA
= \(\frac{1}{2}\) x 2πr + 2 सेमी + 2 सेमी
= \(\frac{22}{7}\) x 1.4 सेमी + 2 सेमी + 2 सेमी
= 4.4 सेमी + 4 सेमी = 8.4 सेमी
स्पष्ट है कि चींटी को भोज्य पदार्थ (b) टुकड़े के लिए लम्बा चक्कर लगाना पड़ेगा।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 180

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.2)

प्रश्न 1.
नजमा की बहन के पास भी एक समलम्ब के आकार का प्लॉट है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। इसे तीन भागों में बाँटिए। दर्शाइए कि समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = h \(\frac{a+b}{2}\).

हल:
माना कि Y और Z से लम्ब WX पर क्रमशः L तथा M पर मिलते हैं।
तब, समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल
= समकोण ∆LXY का क्षेत्रफल + आयत MLYZ का क्षेत्रफल + समकोण ∆WMZ का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) x LX x YL + ML x LY + \(\frac{1}{2}\) x WM x ZM
= \(\frac{1}{2}\) x d x h + h x h + \(\frac{1}{2}\) + x c x h
= \(\frac{1}{2}\)h (d + 2b + c)
= \(\frac{1}{2}\)h (2b + c + d)
= \(\frac{1}{2}\)h (b + b + c + d)
= \(\frac{1}{2}\)h (b + a)
(∴ a = b + c + d)
अतः समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = h \(\frac{a+b}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm, d = 4cm, तो इसके प्रत्येक भाग का मान अलग-अलग ज्ञात कीजिए और WXYZ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इनका योग कीजिए। h, a तथा b का मान व्यंजक \(\frac{h(a+b)}{2}\) में रखते हुए इसका सत्यापन कीजिए।
हल:
यहाँ h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm, d = 4 cm.
समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = समकोण ∆LXY का क्षेत्रफल + आयत MLYZ का क्षेत्रफल + समकोण ∆WMZ का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) x d x h + b x h + \(\frac{1}{2}\) x c x h
= \(\frac{1}{2}\) x 4 x 10 + 12 x 10 + \(\frac{1}{2}\) x 6 x 10
= 20 + 120 + 30 = 170 cm²
सत्यापन:
समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = h \(\frac{a+b}{2}\)
यहाँ, a = c + b + d = 6 cm + 12 cm + 4 cm = 22 cm
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = 10 x \(\frac{22+12}{2}\) cm²
= 5 x 34 cm² = 170 cm²
अतः सूत्र द्वारा क्षेत्रफल का सत्यापन होता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 181

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.1)

प्रश्न 1.
1. आलेख कागज (ग्राफ पेपर) के अन्दर कोई भी समलम्ब WXYZ खींचिए जैसाकि संलग्न आकृति 11.9 में दर्शाया गया है और इसे काटकर बाहर निकालिए।

2. भुजा XY को मोड़कर इसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए और इसे A नाम दीजिए (आकृति 11.10)।

3. भुजा ZA के साथ-साथ काटते हुए समलम्ब WXYZ को दो भागों में काटिए। ∆ZYA को ऐसे रखिए जैसा कि आकृति 11.11 में दर्शाया गया है जिसमें AY को AX के ऊपर रखा गया है। बड़े त्रिभुज के आधार की लम्बाई क्या है? इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का व्यंजक लिखिए (आकृति 11.11)।

4. इस त्रिभुज और समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल समान है। (कैसे)? त्रिभुज के क्षेत्रफल के व्यंजक का उपयोग करते हुए समलम्ब के क्षेत्रफल का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
हल:
3 बड़े त्रिभुज के आधार की लम्बाई
= WB = WX + XB
= WX + ZY
= a+b
∆WBZ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x आधार x ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) x WB x h
= \(\frac{1}{2}\) (a + b) x h
परन्तु समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x (a + b) h
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = ∆WBZ का क्षेत्रफल अतः समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x त्रिभुज का आधार x इसकी ऊँचाई

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समलम्बों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति : 11.12)।

हल:
(i) यहाँ, a = 9 सेमी
b = 7 सेमी तथा
h = 3 सेमी
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = h \(\frac{a+b}{2}\)
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = 3 x \(\frac{9+7}{2}\) वर्ग सेमी
= 3 x \(\frac{16}{2}\) वर्ग सेमी
= 24 वर्ग सेमी
अतः समलम्ब का क्षेत्रफल = 24 वर्ग सेमी

(ii) यहाँ, a = 10 सेमी
b = 5 सेमी तथा
h = 6 सेमी
समलम्ब का क्षेत्रफल = h \(\frac{a+b}{2}\)
समलम्ब का क्षेत्रफल = 6 x \(\frac{10+5}{2}\) वर्ग सेमी
= 3 x 15 = 45 वर्ग सेमी
अतः समलम्ब का क्षेत्रफल = 45 वर्ग सेमी

इन्हें कीजिए (क्रमांक 11.2)

प्रश्न 1.
1. कक्षा VII में हमने विभिन्न परिमापों लेकिन समान क्षेत्रफलों वाले समान्तर चतुर्भुजों की रचना करना सीखा है। क्या यह समलम्बों के लिए भी किया जा सकता है? जाँच कीजिए क्या विभिन्न परिमापों वाले निम्नलिखित समलम्ब क्षेत्रफल में समान हैं (आकृति 11.13)

2. हम जानते हैं। कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ क्षेत्रफल में समान होती हैं। क्या हम कह सकते हैं कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं? क्या ये आकृतियाँ सर्वांगसम हैं?
3. एक वर्गाकार शीट पर कम से कम तीन ऐसे समलम्ब खींचिए जिनके परिमाप समान हों परन्तु क्षेत्रफल विभिन्न हों।
हल:
1. हाँ, यह समलम्बों के लिए भी किया जा सकता है।
पहले समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)h(a+b)
= \(\frac{a+b}{2}\) x 4 x (10 + 14) वर्ग इकाई

= 2 x 24 वर्ग इकाई
= 48 वर्ग इकाई।
दूसरे समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x (4 + 8) x 8 वर्ग इकाई
= 4 x 12 वर्ग इकाई
= 48 वर्ग इकाई
तीसरे समलम्ब का क्षेत्रफल = \(\frac{a+b}{2}\) x (6 + 10) x 6 वर्ग इकाई
= 3 x 16 वर्ग इकाई
= 48 वर्ग इकाई
पहले समलम्ब का परिमाप = 5 + 10 + 4 + 14 इकाई
= 33 इकाई
दूसरे समलम्ब का परिमाप = 8 + 4 + 8 + 8 इकाई
= 28 इकाई
तीसरे समलम्ब का परिमाप = 6 + 6 + 10 + 7 इकाई
= 29 इकाई
अतः स्पष्ट है कि विभिन्न परिमाप वाले समलम्ब क्षेत्रफल में समान हैं।
2. यह आवश्यक नहीं कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी हों।
3. ऐसी आकृतियाँ जिनके परिमाप समान हैं परन्तु क्षेत्रफल विभिन्न हैं

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 182

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.4)

प्रश्न 1.
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज भी एक चतुर्भुज है। आइए, इसे भी हम दो त्रिभुजों में विभक्त करते हैं और इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात करते हैं। क्या यह सूत्र आपको पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है (आकृति 11.15)?

हल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल + ∆BCD का क्षेत्रफल
\(\frac{1}{2}\) = x b x h + \(\frac{1}{2}\) x b x h
= \(\frac{1}{2}\) x (b + b) x h
\(\frac{1}{2}\) x 2b x h = b x h = bh
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (समान्तर भुजाओं का योग) – उनके बीच की दूरी
= \(\frac{1}{2}\) x (b + b) x h
\(\frac{1}{2}\) x 2b x h = bh
हाँ, यह सूत्र पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 183

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 11.1)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण खींचकर इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जाता है। क्या समलम्ब को भी दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है?
उत्तर:
नहीं, समलम्ब को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में नहीं बाँटा जा सकता है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.5)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.16)

हल:
(i) यहाँ d = 6 सेमी,
h₁ = 3 सेमी,
h₂ = 5 सेमी
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x d x (h₁ + h₂)
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x 6 x (3 + 5)
वर्ग सेमी = 3 x 8 वर्ग सेमी
= 24 वर्ग सेमी।

(ii) यहाँ, d₁ = 7 सेमी तथा
d₂ = 6 सेमी
चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) – विकर्णों का गुणनफल
= \(\frac{1}{2}\) x d₁ x d₂
समचतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x 7 x 6 वर्ग सेमी
= 21 वर्ग सेमी।

(iii) चतुर्भुज MLNO का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज MLNO का क्षेत्रफल
= 2 x ∆LMN का क्षेत्रफल
= 2 x \(\frac{1}{2}\) x LN x MP x
= 2 x \(\frac{1}{2}\) x 8 सेमी x 2 सेमी
= 16 वर्ग सेमी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 184

प्रयास कीजिए (क्रमांक 11.6)

प्रश्न 1.
1. निम्नलिखित बहुभुजों (आकृति 11.17) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन्हें विभिन्न भागों (त्रिभुजों एवं समलम्बो) में विभाजित कीजिए।

2. बहुभुज ABCDE को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति 11.18 में दर्शाया गया है। यदि AD = 8 cm, AH = 6cm, AG = 4cm, AF = 3cm और लम्ब BF = 2cm, CH = 3 cm, EG = 2.5 cm तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ∆AFB का क्षेत्रफल + …

∆AFB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AF x BF
= \(\frac{1}{2}\) x 3 x 2 = …..
समलम्ब FBCH का क्षेत्रफल = FH x \(\frac{(BH+CH)}{2}\) = 3 x \(\frac{(2+3)}{2}\)
[FH = AH – AF]
∆CHD का क्षेत्रफल = F x HD x CH = …, ∆ADE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AD x GE = …
इसलिए बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ….

3. यदि MP = 9 cm, MD = 7 cm, MC = 6 cm, MB=4cm, MA=2 cm तो बहुभुज MNOPQR(आकृति 11.19) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। NA, OC, QD एवं RB विकर्ण MP पर खींचे गए लंब हैं।

हल:
1. दिए गए बहुभुज EFGHI को निम्नांकित भागों में विभाजित किया गया है।
बहुभुज का क्षेत्रफल = ∆FGL का क्षेत्रफल + समलम्ब LGHN का क्षेत्रफल + ∆NHI का क्षेत्रफल + ∆EFI का क्षेत्रफल

= \(\frac{1}{2}\) x FL x GL + \(\frac{1}{2}\) (GL + HN) x LN + \(\frac{1}{2}\) x NI x HN + \(\frac{1}{2}\) x FI x ME

बहुभुज MNOPQR को विभिन्न भागों में विभाजित किया गया है।
बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल = ∆MTN का क्षेत्रफल + ∆OSN का क्षेत्रफल + समलम्ब OPUS का क्षेत्रफल + ∆PQU का क्षेत्रफल + ∆RVQ का क्षेत्रफल + समलम्ब MTVR का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) x NT x TM + \(\frac{1}{2}\) x SN x OS + \(\frac{1}{2}\) (OS + PU) x SU + \(\frac{1}{2}\) x UQ x PU + \(\frac{1}{2}\) x QV x VR + \(\frac{1}{2}\) = (TM X VR) x TV

2. यहाँ, AD = 8 सेमी
AH = 6 सेमी
AG = 4 सेमी
AF = 3 सेमी
लम्ब BF = 2 सेमी
CH = 3 सेमी
EG = 2.5 सेमी।
बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ∆AFB का क्षेत्रफल + समलम्ब FBCH का क्षेत्रफल + ∆CHD का क्षेत्रफल + ∆ADE का क्षेत्रफल
∆AFB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AF x BF
= 1 x 3 x 2 = 3 सेमी
समलम्ब FBCH का क्षेत्रफल = FH x \(\frac{(BF+CH)}{2}\)
= 3 x \(\frac{2+3}{2}\) = \(\frac{15}{2}\) सेमी²
= 7.5 सेमी² (FH = AH – AF)
∆CHD का क्षेत्रफल= \(\frac{2+3}{2}\) x HD x CH
= \(\frac{1}{2}\) x 2 x 3 = 3 सेमी² (HD = AD – AH)
∆ADE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AD x BE = \(\frac{1}{2}\) x 8 x 2.5
= 10.0 सेमी²
इसीलिए बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल
= 3 सेमी² + 7.5 सेमी² + 3 सेमी² + 10.0 सेमी²
= 23.5 सेमी²

3. यहाँ, MP= 9 सेमी
MD = 7 सेमी
MC = 6 सेमी
MB = 4 सेमी
MA = 2 सेमी।
बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल = ∆MNA का क्षेत्रफल + समलम्ब ANOC का क्षेत्रफल + ∆OCP का क्षेत्रफल + AQDP का क्षेत्रफल + समलम्ब BDQR का क्षेत्रफल + ∆RBM का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) AM x MN + \(\frac{1}{2}\) x (AN + OC) x AC + \(\frac{1}{2}\) CP x OC + \(\frac{1}{2}\)DP x DQ + \(\frac{1}{2}\) (BN + DQ) – BD + \(\frac{1}{2}\) BM x BR
= \(\frac{1}{2}\) x 2 x 2.5 वर्ग सेमी + \(\frac{1}{2}\) 2x (2.5 + 3) x 4 वर्ग सेमी + \(\frac{1}{2}\) x 3 x 3 वर्ग सेमी + \(\frac{1}{2}\) x 2 x 2 वर्ग सेमी + \(\frac{1}{2}\) x (2.5 + 2) x 3 वर्ग सेमी + \(\frac{1}{2}\) x 4 x 2.5 वर्ग सेमी।
= 2.5 + 11.0 + 4.5 + 2 + 6.75 + 500 वर्ग सेमी
= 31.75 वर्ग सेमी।
(∴AC = MC – MA = 6 – 2 = 4 सेमी
CP = MP – MC = 9 – 6 = 3 सेमी
BD = MD – MB = 7 – 4 = 3 सेमी
DP = MP – MD = 9 – 7 = 2 सेमी)

MP Board Class 8th Maths Solutions