Category: Class 6

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.3

प्रश्न 1.
विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं; 3 से विभाज्य हैं; 4 से विभाज्य हैं; 5 से विभाज्य है; 6 से विभाज्य हैं; 8 से विभाज्य है; 9 से विभाज्य हैं; 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं (हाँ या नहीं कहिए):
हल :

प्रश्न 2.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं और कौन-सी 8 से विभाज्य हैं :
(a) 572
(b) 726352
(c) 5500
(d) 6000
(e) 12159
(f) 14560
(g) 21084
(h) 31795072
(i) 1700
(j) 2150
हल :
4 से विभाज्यता-यदि किसी संख्या के दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में 72, 4 से विभाज्य है। अत: 572, 4 से विभाज्य है।
(b) 726352 में 52, 4 से विभाज्य है। अत: 726352, 4 से विभाज्य है।
(c) 5500 में 00, 4 से विभाज्य है। अतः 5500, 4 से विभाज्य है।
(d) 6000 में 00, 4 से विभाज्य है। अत: 6000, 4 से विभाज्य है।
(e) 12159 में 59, 4 से विभाज्य नहीं है। अत: 12159, 4 से विभाज्य नहीं है।
(f) 14560 में 60, 4 से विभाज्य है। अतः 14560, 4 से विभाज्य है।
(g) 21084 में 84, 4 से विभाज्य है। अत: 21084, 4 से विभाज्य है।
(h) 31795072 में 72, 4 से विभाज्य है। अतः 31795072, 4 से विभाज्य है।
(i) 1700 में 00, 4 से विभाज्य है। अतः 1700, 4 से विभाज्य है।
(j) 2150 में 50, 4 से विभाज्य है। अतः 2150, 4 से विभाज्य है।

8 से विभाज्यता – यदि किसी संख्या के सैकड़े, दहाई व इकाई के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है तो वह संख्या 8 से विभाज्य होगी।
(a) 572 में 572, 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 572, 8 से विभाज्य नहीं है।
(b) 726352 में 352, 8 से विभाज्य है। अतः 726352, 8 से विभाज्य है।
(c) 5500 में 500, 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 5500, 8 से विभाज्य नहीं है।
(d) 6000 में 000, 8 से विभाज्य है। अतः 6000, 8 से विभाज्य है।
(e) 12159 में 159, 8 से विभाज्य नहीं है। अत: 12159, 8 से विभाज्य नहीं है।
(f) 14560 में 560, 8 से विभाज्य है। अतः 14560, 8 से विभाज्य है।
(g)21084 में 084,8 से विभाज्य नहीं है। अत: 21084, 8 से विभाज्य नहीं है।
(h) 31795072 में 072, 8 से विभाज्य है। अतः 31795072, 8 से विभाज्य है।
(i) 1700 में 700, 8 से विभाज्य नहीं है। अतः 1700, 8 से विभाज्य नहीं है।
(j) 2150 में 150, 8 से विभाज्य नहीं है। अत: 2150, 8 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 3.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं:
(a) 297144
(b) 1258
(c) 4335
(d) 61233
(e) 901352
(f) 438750
(g) 1790184
(h) 12583
(i) 639210
(j) 17852
हल :
कोई भी संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 से विभाज्य हो।
(a) संख्या 297144 में इकाई का अंक 4 है इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 2 + 9 + 7 + 1 + 4 + 4 + 4 = 27 जो कि 3 से विभाज्य है।
∴297144, 6 से विभाज्य है।

(b) संख्या 1258 में इकाई का अंक 8 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 1 + 2 + 5 + 8 = 16 जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴1258, 6 से विभाज्य नहीं है।

(c) संख्या 4335 में इकाई का अंक 5 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴4335, 6 से भी विभाज्य नहीं है।

(d) संख्या 61233 में इकाई का अंक 3 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴61233, 6 से भी विभाज्य नहीं है।

(e) संख्या 901352 में इकाई का अंक 2 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 9 + 0 + 1 + 3 + 5 + 2 = 20 जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴901352, 6 से विभाज्य नहीं है।

(f) संख्या 438750 में इकाई का अंक 0 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 4 + 3 + 8 + 7 + 5 + 0 = 27 जो कि 3 से विभाज्य है।
∴438750, 6 से विभाज्य है।

(g) संख्या 1790184 में इकाई का अंक 4 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 1 + 7 + 9 + 0 + 1 + 8 + 4 = 30 जो कि 3 से विभाज्य है।
∴1790184, 6 से विभाज्य है।

(h) संख्या 12583 में इकाई का अंक 3 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।
∴12583, 6 से विभाज्य नहीं है।

(i) संख्या 639210 में इकाई का अंक शून्य है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 6 + 3 + 9 + 2 + 1 + 0 = 21, जोकि 3 से विभाज्य है।
∴639210, 6 से विभाज्य है।

(j) संख्या 17852 से इकाई का अंक 2 है। इसलिए यह 2 से विभाज्य है।
इसके अंकों का योग = 1 + 7 + 8 + 5 + 2 = 23 जो कि 3 से विभाज्य नहीं है।
∴17852, 6 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 4.
विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं :
(a) 5445
(b) 10824
(c) 7138965
(d) 70169308
(e) 10000001
(f) 901153
हल :
किसी संख्या के दायें से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अन्तर 0 हो या 11 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होगी।
(a) संख्या 5445
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 4 = 9
सम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 5 = 9
∵अंकों के योग का अन्तर = 9 – 9 = 0
∴5445, 11 से विभाज्य है।

(b) संख्या 10824
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 4 + 8 + 1 = 13
सम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 0 = 2
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 13 – 2 = 11
जो कि, 11 का गुणज है।
∴10824, 11 से विभाज्य है।

(c) संख्या 7138965
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 5 + 9 + 3 + 7 = 24
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 8 + 1 = 15
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 24 – 15 = 9
जो कि 11 का गुणज नहीं है।
∴7138965, 11 से विभाज्य नहीं है।

(d) संख्या 70169308 दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 8 + 3 + 6 + 0 = 17
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 9 + 1 + 7 = 17
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 17 – 17 = 0
∴70169308, 11 से विभाज्य है।

(e) संख्या 10000001 दायें से विषम स्थानों के अंकों का योग
= 1 + 0 + 0 + 0 = 1
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 1 – 1 = 0
∴10000001, 11 से विभाज्य है।

(f) संख्या 901153
दायें से, विषम स्थानों के अंकों का योग
= 3 + 1 + 0 = 4
समस्थानों के अंकों का योग = 5 + 1 + 9 = 15
∴इन दोनों योगों का अन्तर = 15 – 4 = 11
जो कि 11 का गुणज है।
∴901153, 11 से विभाज्य है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य हो :
(a)….. 6724
(b) 4765 …..2
हल :
यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है तो वह संख्या 3 से विभाज्य होगी।
(a)…… 6724 के अंकों का योग = 6 + 7 + 2 + 4 = 19
यदि इसमें 2 जोड़ दें तो 21 प्राप्त होगा जो कि 3 से विभाज्य है।
यदि इसमें 8 जोड़ दें तो 27 प्राप्त होगा जो कि 3 से विभाज्य है।
∴सबसे छोटा अंक 2 और सबसे बड़ा अंक 8 है।

(b) 4765……2 के अंकों का योग = 4 + 7 + 6 + 5 + 2 = 24
जो कि 3 से विभाज्य है। इसलिए सबसे छोटा अंक 0 है।
यदि 24 में 9 जोड़ दें तो 33 आएगा जो कि 3 से विभाज्य है।
∴सबसे छोटा अंक 0 और सबसे बड़ा अंक 9 है। उत्तर

प्रश्न 6.
निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिखिए, ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो :
(a) 92 – 389
(b) 8 – 9484
हल :
(a) 92 – 389 में, दायें से
विषम स्थानों के अंकों का योग = 9 + 3 + 2 = 14
सम स्थानों के अंकों का योग = 8 + अभीष्ट अंक + 9
= 17 + अभीष्ट अंक
इन दोनों योगों का अन्तर = अभीष्ट अंक + 17 -14
= अभीष्ट अंक + 3
∵यह संख्या 11 का गुणज होनी चाहिए
∴अभीष्ट अंक + 3 = 11
अभीष्ट अंक = 11 – 3 = 8

(b) 8 – 9484 में, दायें से
विषम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 4 + अभीष्ट अंक
= 8 + अभीष्ट अंक
सम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 9 + 8 = 25
इन दोनों योगों का अन्तर = 25 – (8 + अभीष्ट अंक)
= 17 – अभीष्ट अंक
∴यह संख्या 11 का गुणज होनी चाहिए।
∴17 – अभीष्ट अंक = 11
अत : अभीष्ट अंक = 17 – 11 = 6

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 62

प्रयास कीजिए

प्रश्न a.
निम्न युग्मों के उभयनिष्ठ या सार्व गुणनखण्ड क्या हैं ?
(a) 8, 20
(b) 9, 15
हल :
(a) 8 = 1 x 8, 8 = 2 x 4
∴8 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4 और 8 …(1)
पुनः 20 = 1 x 20, 20 = 2 x 10, 20 = 4 x 5
∴20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10 और 20 …(2)
(1) और (2) से,
8 और 20 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हैं : 1, 2 और 4

(b) 9 = 1 x 9,9 = 3 x 3
∴9 के गुणनखण्ड = 1, 3 और 9 ….(1)
पुनः 15 = 1 x 15, 15 = 3 x 5
∴15 के गुणनखण्ड = 1, 3 और 5
(1) और (2) से,
9 और 15 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1 और 3

प्रश्न 1.
और 16 के सार्व गुणनखण्ड क्या हैं ?
हल :
7 = 1 x 7;
16 = 1 x 16 = 2 x 8 = 4 x 4
स्पष्ट है कि 7 और 16 का सार्व गुणनखण्ड 1 है।

प्रश्न 2.
निम्न के सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(a) 8, 12, 20
(b) 9, 15, 21.
हल :
(a) 8 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, और 8
12 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4,6 और 12
20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10 और 20
अत : 8, 12 और 20 के सार्व गुणनखण्ड = 1, 2 और 4

(b) 9 के गुणनखण्ड = 1, 3 और 9
15 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15
21 के गुणनखण्ड = 1, 3,7 और 21
अत: 9,15 और 21 के सार्व गुणनखण्ड = 1 और 3

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 6 Integers Ex 6.3

Question 1.
Find
(a) 35 – (20)
(b) 72 – (90)
(c) (-15) – (-18)
(d) (-20) – (13)
(e) 23 – (- 12)
(f) (-32) – (-40)
Solution:
(a) 35 – 20 = 15
(b) 72 – 90 = -18
(c) (-15) – (-18) = -15 + 18 = 3
(d) (-20) – (13) = -20 – 13 = -33
(e) 23 – (-12) = 23 + 12 = 35
(f) (-32) – (-40) = -32 + 40 = 8

Question 2.
Fill in the blanks with >, < or = sign.
(a) (- 3) + (- 6) ___ (- 3) – (- 6)
(b) (-21) – (-10) ___ (-31) + (-11)
(c) 45 – (- 11) ___ 57 + (- 4)
(d) (- 25) – (- 42) ___ (- 42) – (- 25)
Solution:
(a) < : (-3) + (-6) = -3 – 6 = -9
(-3) – (-6) = -3 + 6 = 3
Since, -9 < 3
∴ (-3) + (-6) < (-3) – (-6) (b) >: (-21) – (-10) = -21 + 10 = -11
(-31)+ (-11) = -31 – 11 = -42
Since, -11 > -42
(-21) – (-10) > (-31) + (-11)

(c) >: 45 – (-11) = 45 + 11 = 56
57 + (-4) = 57 – 4 = 53
Since, 56 > 53
45 – (-11) > 57 + (-4)

(d) >: (-25) – (-42) = -25 + 42 = 17
(-42) – (-25) = -42 + 25 = -17
Since, 17 > -17
∴ (-25) – (-42) > (-42) – (-25)

Question 3.
Fill in the blanks.
(a) (-8) + ___ = 0
(b) 13 + ___ = 0
(c) 12 +(-12) = ___
(d) (-4) + ___ = -12
(e) __- 15 = – 10
Solution:
(a) 8 : (-8) + 8 = 0
(b) -13 : 13 + (-13) = 0
(c) 0 : 12 + (-12) = 0
(d) -8 : (-4) + (-8) = -12
(e) 5 : 5 – 15 = -10

Question 4.
Find
(a) (-7) – 8 – (-25)
(b) (-13) + 32 – 8 – 1
(c) (- 7) + (- 8) + (- 90)
(d) 50 – (- 40) – (- 2)
Solution:
(a) (-7) – 8 – (-25)
= -7 – 8 + 25
= -15 + 25 = 10

(b) (-13) + 32 – 8 – 1
= -13 + 32 – 8 – 1
= 32 – 22 = 10

(c) (-7) + (-8) + (-90)
= -7 – 8 – 90 = -105

(d) 50 – (-40) – (-2)
= 50 + 40 + 2 = 92

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 6 Integers Ex 6.2

Question 1.
Using the number line write the integer which is:
(a) 3 more than 5
(b) 5 more than -5
(c) 6 less than 2
(d) 3 less than -2
Solution:

Question 2.
Use number line and add the following integers:
(a) 9 +(-6)
(b) 5+ (-11)
(c) (- 1) + (- 7)
(d) (-5) +10
(e) (-1) + (- 2) + (- 3)
(f) (- 2) + 8 + (- 4)
Solution:

Question 3.
Add without using number line:
(a) 11 + (-7)
(b) (-13) + (+18)
(c) (- 10) + (+ 19)
(d) (- 250) + (+ 150)
(e) (-380) + (-270)
(f) (-217) + (-100)
Solution:
(a) 11 + (-7) = 11 – 7 = 4
(b) (-13) + (+18) = -13 + 18 = 5
(c) (-10) + (+19) = -10 + 19 = 9
(d) (-250) + (+150) = -250 + 150 = -100
(e) (-380) + (-270) = -380 – 270 = -650
(f) (-217) + (-100) = -217 – 100 = -317

Question 4.
Find the sum of:
(a) 137 and -354
(b) – 52 and 52
(c) – 312, 39 and 192
(d) – 50, – 200 and 300 .
Solution:
(a) 137 + (-354) = 137 – 354 = -217
(b) -52 + 52 = 0
(c) -312 + 39 + 192 = – 312 + 231 = -81
(d) -50 + (-200) + 300 = – 50 – 200 + 300
= – 250 + 300 = 50

Question 5.
Find the sum :
(a) (-7) + (-9) + 4 + 16
(b) (37) + (- 2) + (- 65) + (- 8)
Solution:
(a) (-7) + (-9) + 4 + 16 = -7 – 9 + 4 + 16
= -16 + 20 = 4

(b) (37) + (-2) + (-65) + (-8)
= 37 – 2 – 65 – 8
= 37 – 75 = – 38

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 56-57

प्रश्न 1.
बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों
(a) विषम संख्याएँ हों
(b) सम संख्याएँ हों।
हल :
(a) दो विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो सम संख्याओं का योग सम होता है।

प्रश्न 2.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य है और कौन-सा असत्य :
(a) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
(c) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।
(d) यदि किसी सम संख्या को 2 से भाग दिया जाए तो भागफल सदैव विषम होता है।
(e) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
(f) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखण्ड नहीं होते।
(g) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।
(h) केवल 2 ही एक सम अभाज्य संख्या है।
(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।
(j) दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।
उत्तर-
(a) असत्य
(b) सत्य
(c) सत्य
(d) असत्य
(e) असत्य
(f) असत्य
(g) असत्य
(h) सत्य
(i) असत्य
(j) सत्य।

प्रश्न 3.
संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और 3 हैं। 100 तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।
हल :
100 तक की अभाज्य संख्याएँ हैं : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
इनमें से समान इकाई वाली अभाज्य संख्याओं के युग्म हैं-17 और 71; 37 और 73; तथा 79 और 97

प्रश्न 4.
20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।
हल :
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं-2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19
20 से छोटी भाज्य संख्याएँ हैं-4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 और 18

प्रश्न 5.
1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।
उत्तर-
1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या = 7

प्रश्न 6.
निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :
(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18
हल :
(a) 44 = 13 + 31
या 44 = 3 + 41 या 44 = 37 + 7

(b) 36 = 5 + 31
36 = 23 + 13 या 36 = 17 + 19

(c) 24 = 11 + 13 या
24 = 5 + 19 या 24 = 7 + 17

(d) 18 = 7 + 11 या 18 = 5 + 13

प्रश्न 7.
अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिखिए जिनका अंतर 2 हो।
हल :
अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म जिनका अन्तर 2 हैं-
(i) 3 और 5,
(ii) 5 और 7
(iii) 11 और 13

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं?
(i) 23
(ii) 51
(iii) 37
(d) 26
हल :
(a)∵23 = 1 x 23
∴23 अभाज्य संख्या है।

(b)∵51 = 1 x 51 = 3 x 17
∴51 के गुणनखण्ड = 1, 3, 17 और 51
(दो से अधिक गुणनखण्ड)
∴51 अभाज्य संख्या नहीं है।

(c)∵37 = 1 x 37
∴37 अभाज्य संख्या है।

(d)∵26 = 1 x 26 = 2 x 13
∴26 के गुणनखण्ड = 1, 2, 13 और 26
(दो से अधिक गुणनखण्ड)
∴26 अभाज्य संख्या नहीं है।

प्रश्न 9.
100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है।
हल :
100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है
90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96

प्रश्न 10.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :
(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61
हल :
(a) 21 = 3 + 5 + 13
(b) 31 = 3 + 5 + 23
(c) 53 = 13 + 17 + 23
(d) 61 = 7 + 13 + 41

प्रश्न 11.
20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य (divisible) हो। (संकेत : 3 + 7 = 10)
हल :
20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19.
2 + 3 = 5, 5, 5 से विभाज्य है।
3 + 7 = 10, 10, 5 से विभाज्य है।
2 + 13 = 15, 15, 5 से विभाज्य है।
7 + 13 = 20, 20, 5 से विभाज्य है।
3 + 17 = 20, 20, 5 से विभाज्य है।
अत: अभीष्ट अभाज्य संख्याओं के युग्म : 2 और 3; 3 और 7; 2 और 13; 7 और 13; तथा 3 और 17

प्रश्न 12.
निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए:
(a) वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखण्ड हों ……… कहलाती है।
(b) वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखण्ड हों एक …… कहलाती है।
(c) 1 न तो …… है और न ही ……. ।
(d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ……… है।
(e) सबसे छोटी भाज्य संख्या …….. है।
(f) सबसे छोटी सम संख्या …. है।
उत्तर-
(a) अभाज्य संख्या,
(b) भाज्य संख्या,
(c) अभाज्य संख्या, भाज्य संख्या
(d) 2,
(e) 4
(f) 2.

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 6 Integers Ex 6.1

Question 1.
Write opposites of the following :
(a) Increase in weight
(b) 30 km north
(c) 326 BC
(d) Loss of ₹ 700
(e) 100 m above sea level
Solution:
(a) Decrease in weight
(b) 30 km south
(c) 326 AD
(d) Profit of ₹ 700
(e) 100 m below sea level

Question 2.
Represent the following numbers as integers with appropriate signs.
(a) An aeroplane is flying at a height, two thousand metre above the ground.
(b) A submarine is moving at a depth, eight hundred metre below the sea level.
(c) A deposit of rupees two hundred.
(d) Withdrawal of rupees seven hundred.
Solution:
(a) Two thousand metre above the ground = + 2000 metres
(b) Eight hundred metre below the sea level = – 800 metres
(c) Deposit of two hundred rupees = + 200 Rupees
(d) Withdrawal of seven hundred rupees = -700 Rupees

Question 3.
Represent the following numbers on a number line:
(a) +5
(b) -10
(c) + 8
(d) -1
(e) -6
Solution:

Question 4.
Adjacent figure is a vertical number line, representing integers. Observe it and locate the following points :
(a) If point D is + 8, then which point is-8?
(b) Is point G a negative integer or a positive integer?
(c) Write integers for points B and E.
(d) Which point marked on this number line has the least value?
(e) Arrange all the points in decreasing order of value.

Solution:
(a) We have, point D is +8. Therefore, 16 steps to the down from D is -8 i.e., the point F.
(b) Point G is a negative integer.
(c) Point B is four steps down from point D.
∴ Value of point B = +8 – 4 = +4
Point E is eighteen steps down from point D.
∴ Value of point E = +8 – 18 = -10
(d) Since, point E is located in the bottom. So, point E has the least value.
(e) Decreasing order of all the points is, D, C, B, A, O, H, G, F, E

Question 5.
Following is the list of temperatures of five places in India on a particular day of the year.

(a) Write the temperatures of these places in the form of integers in the blank column.
(b) Following is the number line representing the temperature in degree Celsius.

Plot the name of the city against its temperature.
(c) Which is the coolest place?
(d) Write the names of the places where temperatures are above 10°C.
Solution:

(c) Siachin is the coolest place.
(d) Ahmedabad and Delhi have temperature above 10°C.

Question 6.
In each of the following pairs, which number is to the right of the other on the number line?
(a) 2, 9
(b) -3, -8
(c) 0, -1
(d) -11, 10
(e) – 6, 6
(f) 1,-100
Solution:
(a) 9 is right to 2
(b) -3 is right to -8
(c) 0 is right to -1
(d) 10 is right to -11
(e) 6 is right to -6
(f) 1 is right to-100

Question 7.
Write all the integers between the given pairs (write them in the increasing order.)
(a) 0 and -7
(b) -4 and 4
(c) – 8 and – 15
(d) -30 and -23
(a) The integers between 0 and -7 are -6, -5, -4, -3, -2, -1
(b) The integers between -4 and 4 are -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
(c) The integers between -8 and -15 are -14, -13, -12,-11,-10, -9
(d) The integers between -30 and -23 are -29, -28, -27, -26, -25, -24

Question 8.
(a) Write four negative integers greater than -20.
(b) Write four negative integers less than -10.
Solution:
(a) There are 19 negative integers which are greater than -20. Four of them are -19, -18, -17, -16
(b) There are infinite negative integers which are less than -10. Four of them are -11, -12, -13, -14

Question 9.
For the following statements, write True (T) or False (F). If the statement is false, correct the statement.
(a) – 8 is to the right of – 10 on a number line.
(b) – 100 is to the right of – 50 on a number line.
(c) Smallest negative integer is – 1.
(d) – 26 is greater than – 25.
Solution:
(a) True
(b) False
Since -100 is to the left of -50 on the number line.
(c) False
Since -1 is the greatest negative integer.
(d) False
Since -26 is less than -25.

Question 10.
Draw a number line and answer the following :
(a) Which number will we reach if we move 4 numbers to the right of – 2.
(b) Which number will we reach if we move 5 numbers to the left of 1.
(c) If we are at – 8 on the number line, in which direction should we move to reach – 13?
(d) If we are at – 6 on the number line, in which direction should we move to reach – 1 ?
Solution:

Thus, we will reach 2 if we move 4 numbers to the right of -2

Thus, we will reach -4 if we move 5 numbers to the left of 1.

Thus, we should move 5 numbers to the left of -8 to reach -13.

Thus, we should move 5 numbers to the right of -6 to reach -1.

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखण्ड लिखिए :
(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36
हल :
(a)∵ 24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6
∴ 24 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24

(b)∵ 15 = 1 x 15
15 = 3 x 5
∴ 15 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15

(c)∵ 21 = 1 x 21
21 = 3 x 7
∴ 21 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 7 और 21

(d)∵ 27 = 1 x 27
27 = 3 x 9
∴ 27 के सभी गुणनखण्ड = 1, 3, 9 और 27

(e)∵ 12 = 1 x 12
12 = 2 x 6
12 = 3 x 4
∴ 12 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6 और 12

(f)∵ 20 = 1 x 20
20 = 2 x 10
20 = 4 x 5
∴ 20 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10 और 20

(g)∵ 8 = 1 x 18
18 = 2 x 9
18 = 3 x 6
∴ 18 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9, और 18

(h)∵ 23 = 1 x 23
∴ 23 के सभी गुणनखण्ड = 1 और 23

(i)∵ 36 = 1 x 36
36 = 2 x 18
36 = 3 x 12
36 = 4 x 9
36 = 6 x 6
∴ 36 के सभी गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36

प्रश्न 2.
निम्न संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए :
(a)5
(b)8
(c)9
हल :
(a) 5 x 1 = 5,
5 x 2 = 10,
5 x 3 = 15,
5 x 4 = 20,
5 x 5 = 25
अत: 5 के गुणज = 5, 10, 15, 20 और 25

(b) 8 x 1 = 8,
8 x 2 = 16,
8 x 3 = 24,
8 x 4 = 32,
8 x 5 = 40
अत: 8 के गुणज = 8, 16, 24, 32 और 40

(c) 9 x 1 = 9,
9 x 2 = 18,
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36,
9 x 5 = 45
अत : 9 के गुणन = 9, 18, 27, 36 और 45

प्रश्न 3.
स्तम्भ 1 की संख्याओं का स्तम्भ 2 के साथ मिलान कीजिए:

उत्तर-
(i) → (b),
(ii) → (d),
(iii) → (a),
(iv) → (f),
(v) → (e).

प्रश्न 4.
9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों।
हल:
∵ 9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
9 x 10 = 90
9 x 11 = 99
∴ 9 के 100 से कम गुणज = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 और 99

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 55

प्रश्न 1.
क्या 15 एक भाज्य संख्या है? 18 तथा 25 के बारे में आप क्या सोचते हैं ?
हल :
(i) 15 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 3, 5 और 15
∵ 15 के दो से अधिक गुणनखण्ड हैं।
∴ 15 भाज्य संख्या है।

(ii) 18 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9 और 18
∵ 18 के दो से अधिक गुणनखण्ड हैं।
∴ 18 भाज्य संख्या है।

(iii) 25 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 5, 25
∵ 25 के दो से अधिक गुणनखण्ड हैं।
∴ 25 भाज्य संख्या है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ध्यान दीजिए कि 2 x 3 + 1 = 7 एक अभाज्य संख्या है। यहाँ 2 के एक गुणज में 1 जोड़कर एक अभाज्य संख्या प्राप्त की गई है। क्या आप इस प्रकार से कुछ और अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं ?
हल :
2 x 2 + 1 = 5, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 5 + 1 = 11, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 6 + 1 = 13, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 8 + 1 = 17, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 9 + 1 = 19, जो कि एक अभाज्य संख्या है।
2 x 11 + 1 = 23, जो कि एक अभाज्य संख्या है।

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Intext Questions

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 51

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
45, 30 और 36 के सम्भावित गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
45 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 9, 15 और 45
30 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30
36 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 53

प्रश्न 1.
क्या 10 एक सम्पूर्ण संख्या है ?
हल :
10 के सम्भावित गुणनखण्ड = 1, 2, 5 और 10
गुणनखण्डों का योग = 1 + 2 + 5 + 10 = 18
संख्या का दो गुना = 2 x 10 = 20
स्पष्टतः 18 ≠ 20
∴10 एक सम्पूर्ण संख्या नहीं है।

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 5 Understanding Elementary Shapes Ex 5.9

Question 1.
Match the following :

Give two new examples of each shape.
Solution:
(a) ➝ (ii)
(b) ➝ (iv)
(c) ➝ (v)
(d) ➝ (iii)
(e) ➝ (i)


Two examples of cone : Ice-cream, Birthday cap
Two examples of sphere : Ball, Rasgulla
Two example of Cylinder : Pipe, Can
Two examples of Cuboid : Box, Brick
Two examples of a Pyramid : Roof of the house, Cheese grater

Question 2.
What shape is
(a) Your instrument box?
(b) A brick?
(c) A match box?
(d) A road-roller?
(e) A sweet laddu?
Solution:
(a) Cuboid
(b) Cuboid
(c) Cuboid
(d) Cylinder
(e) Sphere

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 5 Understanding Elementary Shapes Ex 5.8

Question 1.
Examine whether the following are polygons. If any one among them is not, say why?

Solution:
(a) As it is not a closed figure, therefore, it is not a polygon.
(b) It is a polygon because it is closed by line segments.
(c) It is not a polygon because it is not made by line segments.
(d) It is not a polygon because it is not made by only line segments and also it has curved surface.

Question 2.
Name each polygon.

Make two more examples of each of these.
Solution:
(a) Quadrilateral
(b) Triangle
(c) Pentagon
(d) Octagon
Two more examples of each :

Question 3.
Draw a rough sketch of a regular hexagon. Connecting any three of its vertices, draw a triangle. Identify the type of the triangle you have drawn.

Solution:
ABCDEF is a regular hexagon and ∆AEF is a triangle formed by joining AE.
Hence, ∆AEF is an isosceles triangle.

Question 4.
Draw a rough sketch of a regular octagon. (Use squared paper if you wish). Draw a rectangle by joining exactly four of the vertices of the octagon.
Solution:

ABCDEFGH is a regular octagon and CDGH is a rectangle formed by joining C and H; D and G.

Question 5.
A diagonal is a line segment that joins any two vertices of the polygon and is not a side of the polygon. Draw a rough sketch of a pentagon and draw its diagonals.
Solution:

ABCDE is the required pentagon and its diagonals are AD, AC, BE, BD and CE.

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 2 पूर्ण संख्याएँ Ex 2.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 45-46

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किसमें शून्य निरूपित नहीं होगा?
(a) 1 + 0
(b) 0 × 0
(c) \(\frac { 0 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 10-10 }{ 2 }\)
हल :
(a) 1 + 0 = 1,
(b) 0 x 0 = 0
(c) \(\frac { 0 }{ 2 }\) = 0
(d) \(\frac { 10-10 }{ 2 }\)
= \(\frac { 0 }{ 2 }\)
= 0
अतः (a) 1 + 0 में शून्य निरूपित नहीं होगा।

प्रश्न 2.
यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो क्या हम कह सकते हैं कि इनमें से एक या दोनों ही शून्य होने चाहिए ? उदाहरण देकर अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि पूर्ण संख्या और शून्य का गुणनफल शून्य होता है। अर्थात्
0 x 0 = 0,
1 x 0 = 0,
2 x 0 = 0,
0 x 3 = 0 इत्यादि।
हाँ, यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो उनमें से एक या दोनों शून्य होनी चाहिए।

प्रश्न 3.
यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल 1 है, तो हम कह सकते हैं कि इनमें से एक या दोनों ही 1 के बराबर होनी चाहिए ? उदाहरण देकर अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि किसी पूर्ण संख्या को 1 से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है।
7 x 1 = 7
119 x 1 = 119
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
23 x 1 = 23
∴1 गुणनफल प्राप्त होने के लिए दोनों संख्याएँ 1 होनी चाहिए।

प्रश्न 4.
वितरण विधि से ज्ञात कीजिए :
(a) 728 x 101
(b) 5437 x 1001
(c) 824 x 25
(d) 4275 x 125
(e) 504 x 35
हल :
(a) 728 x 101
= 728 (100 + 1)
= 728 x 100 + 728 x 1
= 72800 + 728
= 73,528

(b) 5437 x 1001
= 5437 x (1000 + 1)
= 5437 x 1000 + 5437 x 1
= 5437000 + 5437
= 54,42,437

(c) 824 x 25
= 824 x (20 + 5)
= 824 x 20 + 824 x 5
= 16480 + 4120
= 20,600

(d) 4275 x 125
= 4275 x (100 + 20 + 5)
= 4275 x 100 + 4275 x 20 + 4275 x 5
= 427500 + 85500+21375
= 5,34,375

(e) 504 x 35
= (500 + 4) x 35
= 500 x 35 + 4 x 35
= 17500 + 140
= 17.640

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिरूप का अध्ययन कीजिए :
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
अगले दो चरण लिखिए। क्या आप कह सकते हैं कि प्रतिरूप किस प्रकार कार्य करता है ?
(संकेत : 12345 = 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1)
हल :
अगले दो चरण होंगे
123456 x 8 + 6 = 987654
और 1234567 x 8 + 7 = 9876543
प्रतिरूप का कार्य
∴ 11 + 1 = 12
111 + 11 + 1 = 123
1111 + 111 + 11 + 1 = 1234
11111 + 1111 + 111 + 11 + 1 = 12345
(1) x 8 + 1 = 9 = (1) x 8 + 1
(12) x 8 + 2 = 98 = (11 + 1) x 8 + 2
(123) x 8 + 3 = 987 = (111 + 11 + 1) x 8 + 3
(1234) x 8 + 4 = 9876 = (1111 + 111 + 11 + 1) x 8 + 4
(12345) x 8 + 5 = 98765 = (11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) x 8 + 5
और (123456) x 8 + 6 = 987654 = (111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) x 8 + 6
(1234567) x 8 + 7 = 9876543 = (1111111 + 111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) x 8 + 7

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