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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
z = -1 – i\( \sqrt{{3}} \).
हल:
मान लीजिए : = – 1 – i\( \sqrt{{3}} \) = r(cos θ + i sin θ)
अर्थात् r cos θ = -1, r sin θ = – \( \sqrt{{3}} \)
वर्ग करके जोड़ने पर, r² = 1 + 3 = 4 या r = 2
z का मापांक = 2
अब cosθ = \(-\frac{1}{2}\) = – cos \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 2.
–\( \sqrt{{3}} \) + i
हल:
मान लीजिए x = –\( \sqrt{{3}} \) + i = r (cos θ + i sin θ)
D r cos θ = –\( \sqrt{{3}} \), r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1 = 4 ,
∴ r² = 4 या r = 2

प्रश्न 3 से 8 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए :
प्रश्न 3.
1 – i.
हल:
मान लीजिए z = 1 – i = r(cos θ + i sinθ)
∴ r cos θ = 1 तथा rsin θ = -1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r² cos² θ + r² sin²θ = 1 + 1 = 2
या r² (cos²θ + sin²θ) = 2
या r² = 2 या r = –\( \sqrt{{2}} \)
अब cos θ धनात्मक है और sin θ ऋणात्मक है।
∴ θ चौथे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 4.
-1 + i.
हल:
मान लीजिए z = -1 + i = r(cos θ + isin θ)
⇒ r cosθ = – 1 और r sin θ = 1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 1
या (cos² θ + sin²θ) = 1
r² = 2 या r = \( \sqrt{{2}} \)
यहाँ cos θ ऋणात्मक तथा sin θ धनात्मक है
⇒ θ दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 5.
-1 – i
हल:
मान लीजिए z = – 1 – i = r(cos θ + i sin θ)
∴ rcos θ = – 1, r sin θ = -1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r² cos²θ + r² sin² θ = 1 + 1 = 2
या r²(cos² θ + sin²θ) = 2
∴ r² = 2 या r = \( \sqrt{{2}} \)
यहाँ cos θ और sin θ दोनों ही ऋणात्मक हैं।
∴ θ तीसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 6.
-3.
हल:
मान लीजिए z = – 3 = r (cos θ + sin θ)
∴ r cos θ = – 3, r sin θ = 0
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r²cos²θ + r² sin² θ = 9
r² (cos²θ + sin² θ) = r² = 9 या r = 3
अब \(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=\frac{0}{-3}=0\) परन्तु r cos θ ऋणात्मक है।
∴ θ = π
∴ z का ध्रुवीय रूप = 3(cos π + i sin π).

प्रश्न 7.
\( \sqrt{{3}} \) + i.
हल:
मान लीजिए z = \( \sqrt{{3}} \) + i = r(cos θ + i sin θ)
∴ rcos θ = \( \sqrt{{3}} \), r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r² cos² θ + r² sin² θ = 3 + 1 = 4
या r²(cos² θ + sin² θ) = 4
r² = 4 या r = 2
∴ cos² = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin θ = \(\frac{1}{2}\)
sin θ और cos θ दोनों ही धनात्मक है।
∴ θ पहले चतुर्थांश में है।

प्रश्न 8.
i.
हल:
मान लीजिए z = i = r(cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = 0 और r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 0 + 1
या r²(sin²θ + cos²θ) = 1 .
या r² = 1 या r = 1

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.1

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
प्रश्न 1.
\((5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right)\)
हलः
\((5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right)\) = -5 × \(\frac{3}{5}\) × i × i
= -3i² = 3 [∵ i² = i]

प्रश्न 2.
i⁹ + i¹⁹
हल:
i⁹ + i¹⁹ = i⁸.i + i¹⁸.i.
= [i²]⁴.i + [i²]⁹. i
= (-1)⁹ i + (-1)⁹ i = i – i = 0.

प्रश्न 3.
i^-39
हल:

प्रश्न 4.
3(7 + i7) + i (7 + i7).
हल:
3(7 + i7) + i (7 + i7) = 21 + 21i + 7i + 7i²
= 21 + 28i + 7(-1) [∵ i² = -1]
= 21 – 7 + 28i
= 14 + 28i.

प्रश्न 5.
(1 – i) – (-1 + i6).
हल:
(1 – i) – (-1 + i6) = (1 – i) + (1 – 6i)
= 1 – i + 1 – 6i
= 2 – 7i.

प्रश्न 6.
\(\left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right)\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right)\)
हल:

प्रश्न 8.
(1 – i)⁴.
हल:
(1 – i)² = [(1 – i)²]²
= [1 – 2i + i²]²
= [1 – 2i – 1]²2 [∵ i² = -1]
= (- 2i)²
= – 2i × -2i
= 4i² = 4(-1) = -4.

प्रश्न 9.
\(\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^{3}\).
हल:

प्रश्न 10.
\(\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^{3}\)
हल:

प्रश्न 11 से 13 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
हल:

प्रश्न 12.
\( \sqrt{{5}} \) + 3i.
हल:
\( \sqrt{{5}} \) + 3i का गुणात्मक प्रतिलोम

प्रश्न 13.
– i.
हल:
– i का गुणात्मक प्रतिलोम
= \(\frac{1}{-i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=-\frac{i}{i^{2}}=-\frac{i}{-1}\) = -i

प्रश्न 14.
निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए :

हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1

सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
प्रश्न 1.
1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\).
हल:
माना दिया हुआ कथन P(n) है।
∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
n = 1 रखने पर, ∴ बायाँ पक्ष P(n) = 1

∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
यह कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।
⇒ जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।

प्रश्न 2.
1³ + 2³ + 3³ + …………….. + n³ = \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\).
हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.

प्रश्न 3.

हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
1.2.3 + 2.3.4 +…..+ n(n + 1)(n + 2) = \(\frac{\left.n(n+1\right)(n+2)(n+3)}{4}\).
हल:
मान लीजिए



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n= k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
1.3 + 2.3² + 3.3³ + ……. + n. 3ⁿ = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\).
हल:
माना
P(n) : 1.3 + 2.3² + 3.3³ + ……. + n. 3ⁿ = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\)
यदि n = 1, P(n) का बायाँ पक्ष = 1.3 = 3

इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 6.
1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\).
हल:
माना
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=\frac{1.2 .3}{3}\) = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है

∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 7.
1.3 + 3.5 + 5.7 + …….. + (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
हल:
मान लीजिए
P(n) : 1.3 + 3.5 + 5.7 +….+ (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.3 = 3


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 8.
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2.
हल:
माना
P(n) : 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2 .
दायाँ पक्ष = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……… + k.2^k = (k – 1).2^k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2^k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……….. + k.2^k + (k + 1).2^k+1 = (k – 1).2^k+1 + 2 + (k + 1).2^k+1
= (k – 1 + k + 1).2^k+1 + 2
= 2k.2^k+1 + 2 = k.2^k+2 + 2
= \((\overline{k+1}-1), 2^{\overline{k+1}}+1+2\)
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 9.

हल:

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 10.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

पश्न 11.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 12.
a + ar + ar² + …….. + ar^n-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\).
हल:
मान लीजिए P(n) = a + ar + ar² + …….. + ar^n-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = a
दायाँ पक्ष = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\) = a
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 13.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 14.

हल:

इससे सिद्ध होता है कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 15.
1² + 3² + 5² + ……..+ (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\).
हल:
माना
P(n) : 1² + 3² + 5² + ……..+ (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1² = 1
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}=\frac{1.1 .3}{3}\) = 1
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 16.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 17.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 18.
1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)².
हल:
माना P(n) 1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1


⇒ P(n) , n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 19.
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का गुणज है
n = 1 के लिए n(n + 1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
k(k + 1)(k + 5) = 3m
या 3 + 6k² + 5k = 3m
k के स्थान पर k + 1 रखने पर।
(k + 1)³ + 6(k + 1)² + 5(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + 6(k² + 2k + 1) + 5k + 5
= k³ + 9k² + 20k + 12
= (k³ + 6k² + 5k) + (3k² + 15k + 12)
= 3m + 3(k² + 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
10^2n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
हल:
माना P(n) : 10^2n-1 + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।
n = 1, के लिए 10^2n-1 + 1 = 10² – 1 + 1 = 11
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 10^2k-1 + 1, संख्या 11 से विभाजित होती है।
या 10^2k-1 + 11m (माना)
k को k + 1 से बदलने पर
10^2(k+1)-1 + 1 = 10^2k+1 + 1
= 10².10^2k-1 + 1
= 10²(10^2k-1 + 1) – 100 + 1.
= 100.11m – 99
= 11 (100m – 9)
इससे सिद्ध हुआ कि 10^2k+1 + 1 भी 11 से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 21.
x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : x²ⁿ – y²ⁿ, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x² – y² = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x^2k – y^2k, x + y से विभक्त होता है।
या x²⁶ – y^2k = m(x + y)
या x^2k = m(x + y) + y^2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x^2(k+1) – y^2(k+1) = x². x^2k – y^2k+2
= x²[m(x + y) + y^2k] – y^2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x² + x²y^2k – y^2k+2
= m(x + y)x² + y^2k(x² – y²)
= (x + y) [mx² + y^2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 22.
3²ⁿ⁺² – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 3²ⁿ⁺² – 8n – 9 संख्या 8 से विभक्त होती है।
n = 1 के लिए,
3ⁿ⁺² – 8n – 9 = 3²⁺² – 8.1 – 9
= 3⁴ – 8 – 9
= 81 – 17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात
3^2k+2 – 8k – 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या 3^2k+2 – 8k – 9 = 8m.
3^2k+2 = 8m + 8k + 9
k को k+ 1 से बदलने पर
3^2(k+1)+2 – 8 (k + 1) – 9 = 3².3^2k+2 – 8(k + 1) – 9.
= 9(8m + 8k + 9) – 8k – 17
= 9(8m + 8k) + 81 – 8k – 17
= 72m + 64k + 64
= 8(9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 23.
41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का गुणज है।
n = 1 के लिए, 41ⁿ – 14ⁿ = 41 – 14 = 27
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना, P(n), n =k के लिए सत्य है।
⇒ 41^k – 14^k = 27m
⇒ 41^k = 27m + 14^k
k के स्थान पर k + 1 रखने पर
41^k+1 – 14^k+1 = 41. 41^k – 14^k+1 [41^k = 27m + 14^k रखने से]
= 41[27m + 14^k] – 14^k+1
= 27. 41m + 41. 14^k – 14^k+1
= 27. 41m + 14^k.27
= 27[41m +14^k]
जो कि 27 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 24.
(2n + 7) < (n+ 3)².
हल:
मान लीजिए P(n) = (2n + 7) < (n + 3)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 2 × 1 + 7 = 9
दायाँ पक्ष = (n + 3)²
= (1 + 3)² = 4² = 16
9 < 16
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 2k + 7 < (k + 3)²
या 2(k + 1) + 7 < (k + 3)² + 2. [दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]
⇒ 2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 ….(1)
k को k + 1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k + 5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 + 2k + 5
< k² + 8k + 16
< (k + 4)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos\(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos\(\frac{5 \pi}{13}\) = 0.
हल:
बायाँ पक्ष =
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos\(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos\(\frac{5 \pi}{13}\)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए : (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0.
हल:
बायाँ पक्ष = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cosx
= sin 3x sin x + sin²x + cos 3x cos x – cos²x
= (cos 3x cos x + sin 3x sin x) – (cos² x – sin²x)
= cos 2x – cos 2x
= 0 [∵ cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए : (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 cos²\(\frac{x+y}{2}\).
हल:
बायाँ पक्ष = (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए : (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 sin\(\frac{x-y}{2}\).
हल:
बायाँ पक्ष = (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए : sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)


= 4 sin 4x cos 2x cos x
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए : sin 3x + sin 2x – sin x = 4 sin cos \(\frac{x}{2}\) cos \(\frac{3x}{2}\)
हल:
बायाँ पक्ष = sin 3x + (sin 2x – sin x)

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\), और tan \(\frac{x}{2}\), ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8.
tan x = –\(\frac{4}{3}\), x द्वितीय चतुर्थाश में हैं।
हल:
∵ x दूसरे चतुर्थांश में है, ∴ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थांश में है इसलिए sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\), और tan \(\frac{x}{2}\), धनात्मक होंगे।

प्रश्न 9.
cos x = \(-\frac{1}{3}\), x तीसरे चतुर्थांश में है।
हल:
x, तीसरे चतुर्थांश में है।
अर्थात 180° < x < 270°
90° < \(\frac{x}{2}\) < 135
⇒ \(\frac{x}{2}\) दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 10.
sin x = \(\frac{1}{4}\) द्वितीय चतुर्थाश में है।
हल:
x, दूसरे चतुर्थांश में है।
⇒ 90° < \(\frac{x}{2}\) < 180°
2 से भाग देने पर 45° < \(\frac{x}{2}\) < 90°
⇒ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थाश में है

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक) :
प्रश्न 1.
tan x = \( \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 2.
secx = 2.
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(– \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 4.
cosecx = – 2.
हल:

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हल:
cos 4x = cos 2x
या cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cosx – cos 2x = 0.
हल:
cos 3x + cos x – cos 2x = 0

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.
हल:
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0 [∴ sin 2x = 2 sin x cos x]
या cos x (2 sin x + 1) = 0
(i) जब cos x = 0, x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x.
हल:
sec² 2x = 1 – tan 2x
या 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x [∵ sec²A = 1 + tan² A]
या tan² 2x + tan 2x = 0
या tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0, y tan 2x + 1 = 0

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
हल:
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
या \(2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}\) + sin 3x = 0 [∵ sin C + sin D = 2 \(\frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\)]
या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3 x (2 cos 2 x + 1) = 0
⇒ sin 3x = 0
या 2 cos 2x + 1 = 0

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए : cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\) = \(-\sqrt{2}\)sinx
हल:
बायाँ पक्ष = cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin²6x – sin²4x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin² 6x – sin²4x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin²6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x = 4 cos² x sin 4x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\)
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\) (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin² x cos²x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos²A – 1)
= 2 cos² 2x – 1
= 2[2 cos² x – 1]² – 1
= 2 [4cos⁴ x – 4 cos²x + 1] – 1
= 8 cos⁴x – 8 cos²x + 1
= 1 + 8 cos⁴ x – 8 cos²x
= 1 + 8 cos² x (cos² x – 1)
= 1 – 8 cos²x sin²x [∵ 1 – cos² x = sin² x]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos² A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos²A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A (1 – cos² A) [∵sin² A = 1 – cos²A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos³ A
= 4 cos³ A – 3 cos A
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos² x – 1)³ – 3 (2 cos²x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos²x – 1)
= 4[8 cos⁶ x – 12 cos⁴ x + 6 cos²x – 1)] – (6 cos²x – 3)
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴x + 18 cos² x – 1
= दायाँ पक्ष।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
cos x = \(-\frac{1}{2}\), x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
∆OAB में,

प्रश्न 2.
sin x = \(\frac{3}{5}\), x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(\frac{3}{4}\), x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल:
cot x = \(\frac{3}{4}\)
यहाँ OA = 3 इकाई
∴ AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = \(\frac{13}{5}\), चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

यहाँ OB = 13 इकाई
∴ OA = 5 इकाई

प्रश्न 5.
tan x = \(-\frac{5}{12}\), x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
tan x = \(-\frac{5}{12}\)
∆OAB में, tan x = \(\frac{A B}{O A}\)

यहाँ AB = 5 इकाई
∴ OA = 12 इकाई
∴ OB = \(\) = 13
OA = -12 (∵ OX’ दिशा में है)
AB = 5 (∵ OY’ दिशा में है)
OB = 13

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 6.
sin 765°.
हल:
sin 765° = sin (2 × 360 + 45°)
= sin 45 [∵ – sin (360 + θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°.
हल:
cosec (-1410) = -cosec 1410 [∵ cosec (-θ) = – cosec θ]
= – cosec (4 × 360 – 30)
= – cosec (-30)° [∵ cosec (360 + θ) = cosec θ]
= cosec 30° [∵ cosec (-θ) = cosec θ]
= 2. [∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)]

प्रश्न 8.
tan \(\frac{19 \pi}{3}\)
हल:
tan \(\frac{19 \pi}{3}\) = tan \(\left(6 \pi+\frac{\pi}{3}\right)\)
= tan \(\frac{\pi}{3}\) [∵ tan (6π + θ) = tan θ]
= tan 60 = \( \sqrt{{3}} \). [∵ tan (π – θ)= – tan θ]

प्रश्न 9.
sin \(\left(\frac{-11 \pi}{3}\right)\).
हल:
\(\sin \left(\frac{-11 \pi}{3}\right)=-\sin \frac{11 \pi}{3}\) [∵ sin (-θ) = – sin θ]

प्रश्न 10.
cot \(\left(\frac{-15 \pi}{4}\right)\)
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
(i) 25°
(ii) – 47° 30′
(iii) 240°
(iv) 520°
हल:
(i) 180° = π रेडियन

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (π = \(\frac{22}{7}\)) का प्रयोग करें :

हल:

प्रश्न 3.
एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
हल:
1 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 21 रेडियन
∴ 360 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 360 × 2π रेडियन
∵ 1 मिनट अर्थात् 60 सेकण्ड में 360 × 2π रेडियन का कोण बनता है।
∴ 1 सेकण्ड में पहिया द्वारा बना कोण = \(\frac{360 \times 2 \pi}{60}\)
= 12π रेडियन।

प्रश्न 4.
एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी? (π = \(\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)
हल:
∵ चाप = त्रिज्या × कोण
जहाँ चाप, l = 22 सेमी
त्रिज्या r = 100 सेमी
22 = 100 × θ

प्रश्न 5.
एक वृत्त जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
व्यास = 40 सेमी
त्रिज्या = 20 सेमी

त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है
∠AOB = 60°
= \(\frac{60 \times \pi}{180}\) रेडियन
= \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन
मान लीजिए चाप AB = l
केन्द्र O पर चाप द्वारा बना कोण, θ = \(\frac{\pi}{3}\)
चाप AB की लम्बाई,
l = rθ = 20 × \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन
= \(\frac{20 \pi}{3}\) रेडियन।

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चाप की लंबाई = l
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ₁ = 60°
= \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन

मान लीजिए इसकी त्रिज्या = r₁
l = r₁θ₁
= r₁ \(\frac{\pi}{3}\)
∴ r₁ = \(\frac{3 l}{\pi}\) …(i)
दूसरे वृत्त के लिए,
माना त्रिज्या = r₂
चाप की लंबाई = l

चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, θ₂ = 75°

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर

प्रश्न 7.
75 सेमी लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैं :
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेम
हल:
त्रिज्या = 75 सेमी
(i) चाप की लम्बाई l₁ = 10 सेमी
यदि चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ रेडियन हो, तो
l₁ – rθ₁
10 = 75θ₂

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.

दर्शाइए कि क्यों है एक फलन है और g फलन नहीं है।
हल:
(i) दिए गए अंतराल 0 ≤ x ≤ 3 में, f(x) = x² जो कि पूर्णतया परिभाषित है। इस प्रकार अन्तराल 3 ≤ x ≤ 10 में f(x) = 3x भी पूर्णतया परिभाषित है। x = 3, हो, तब x² = 9, और 3x = 9.
अत f(3) = 9
इस प्रकार f एक फलन है।
(ii) अंतराल 0 ≤ x ≤ 2 में g(x) = x² जो कि पूर्णतया परिभाषित है।
अंतराल 2 ≤ x ≤ 10 में g(x) = 3x पूर्णतया परिभाषित है।
x = 2 पर x² = 4 और 3x = 6
x = 2 पर g(x) के दो मान हैं।
अतः संबंध g एक फलन नहीं है।

प्रश्न 2.
यदि f(x) = x² तो \(\frac{f(1.1)-f(1)}{1.1-1}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x²
∴ f(1.1) = (1.1)² = 1.21, और f(1) = 1² = 1

प्रश्न 3.
फलन f(x) = \(\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12}\) का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
हल:

x = 2 और x = 6 पर परिभाषित नहीं है।
अतः फलन का प्रान्त संख्याओं 6 और 2 को छोड़कर शेष वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 4.
f(x) = \(\sqrt{x-1}\) द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = \(\sqrt{x-1}\)
यदि x – 1 < 0 या x < 1, फलन परिभाषित नहीं है।
फलन का प्रांत = {x : x ϵ R, x ≥ 1) = [1, ∞)
(ii) मान लीजिए y = \(\sqrt{x-1}\) या y² = x – 1 या x = 1 + y²
अतः फलन का परिसर = {y : y ϵ R, Y ≥ 0} = [0, ∞).

प्रश्न 5.
f(x) = |x – 1| द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = |x – 1|
x के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए फलन परिभाषित है
f का प्रांत = R
f(x) = |x – 1|, f का मान जब x ϵ R, एक धनात्मक संख्या है।
अतः f का परिसर = ऋणेत्तर वास्तविक संख्याएँ।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि f = \(\left\{\left(x, \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right) : x \in R\right\}\) R से R में एक फलन है।। f का परिसर निर्धारित कीजिए।
हल:
माना f(x) = \(\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\) या y + yx² = x² या x² – x²y = y या x² (1 – y) = y तब x² = \(\frac{y}{1-y}\)
⇒ y ≠ 1
x की सभी वास्तविक मूल्यों के लिए y ≥ 0
f का अंश हर से सदैव कम है, y ≤ 1
∴ f का परिसर = कोई भी धन वास्तविक संख्या इस प्रकार कि 0 ≤ x ≤ 1.

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि f, g : R → R क्रमशः f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3 द्वारा परिभाषित है। f + g, f – g और \(\frac{f}{g}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x + 1, g(x) = 2x -3
(f + g) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x – 3 = 3x – 2.
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (x + 1) – (2x – 3) = x + 1 – 2x + 3 = – x + 4.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} Z से Z में, f(x) = ax + b, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ a, b कोई पूर्णांक हैं। a, b को निर्धारित कीजिए।
हल:
दिया है : f = {(1, 1). (2, 3), (0, -1), (- 1, -3)}
और f(x) = ax + b …(A)
जब x = 1, y = 1, हो तब a + b = 1 …(i)
और जब x = 2, y = 3, 2a + b = 3 …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
a = 2, b = -1
a तथा b के इन मानों को समीकरण (A) में रखने पर,
f(x) = 2x – 1
जब x = 0, f(x) = -1
और जब x = – 1, f(x) = – 3
अतः f(x) = 2x – 1
तथा a = 2, b = – 1.

प्रश्न 9.
R = {(a, b) : a, b ϵ N तथा a = b²} द्वारा परिभाषित N से N में, एक संबंध R है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य है।
(i) {a, a} ϵ R सभी a ϵ N
(ii) (a, b) ϵ R का तात्पर्य है कि (b, a) ϵ R
(ii) (a, b) ϵ R, (b, c) ϵ R का तात्पर्य है कि (a, c) ϵ R? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
(i) a = a यह सत्य है जब a = 0. 0 ∉ N,
अत: यह एक संबंध नहीं है।
(ii) a = b², और b = a², यह a, b ϵ N, a, b के सभी मूल्यों के लिए सत्य नहीं है। अत: यह एक संबंध नहीं है।
(iii) जब a = b², b = c² तब a ≠ c²
∴ यह संबंध नहीं है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} और f= {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, क्या निम्नलिखित कथन सत्य है ?
(i) f, A से B में एक संबंध है।
(ii) f, A से B में एक फलन है। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
(i) दिया है: A = {1, 2, 3, 4} तथा B = {1, 5, 9, 11, 15, 16}
∴ A × B = {(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1, 11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3,16), (4, 1), (4, 5), (4, 9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}
अवयव , A × B का उपसमुच्चय है।
अतः यह एक संबंध है।
(ii) f में (2, 9) और (2, 11) अवयव प्रथम घटक दोनों युग्मों में 2 है।
∴ यह फलन नहीं है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि f, f= {{ab, a + b); a, b ϵ Z द्वारा परिभाषित Z × Z का एक उपसमुच्चय है। क्या f, Z से Z में एक फलन है ? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए।
हल:
मान लीजिए a = 0, b = 1 हो, तब
ab = 0 और a + b = 0 + 1 = 1
पुनः माना a = 0, b = 2 हो, तब
ab = 0, a + b = 2
अवयव 0 के दो प्रतिबिंब 1 और 2 हैं।
अतः f एक फलन नहीं है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि A= {9, 10, 11, 12, 13} तथा f : A → N ,f(n) = n का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है। का परिसर ज्ञात करो।
हल:
यदि n = 9 = 3 × 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 10 = 2 × 5 तो 5 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 11 = 1 × 11 तो 11 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 12 = 2² × 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 13 = 1 × 13 तो 13 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
अतः f का परिसर = {3, 5, 11, 13}.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संबंधों में से कौन से फलन हैं ? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए।
(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
हल:
(i) माना R = {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
यह संबंध एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है।
प्रान्त = {2, 6, 8, 11, 14, 17} तथा परिसर = {1}.
(ii) माना R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
यह एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है।
अतः प्रांत = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
(iii) यह एक फलन नहीं है क्योंकि (1, 3), (1,5) में पहला घटक समान है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = – |x|
(ii) f(x) = \(\sqrt{9-x^{2}}\)
हल:
दिया है : f(x) = – |x |, f(x) ≤ 0 सभी x ⊂ R के लिए
f का प्रान्त = R
तथा f का परिसर = {y : y ϵ R, Y ≤ 0) = (-∞, 0]
(ii) (a) f(x) = \(\sqrt{9-x^{2}}\)
f(x) परिभाषित नहीं है जब 9 – x² < 0 या x² > 9
⇒ x > 3 और x < -3
∴ f परिभाषित है जब – 3 ≤ x ≤ 3.
f का प्रान्त = – 3 ≤ x ≤ 3, x ϵ R
अब मान लीजिए y = \(\sqrt{9-x^{2}}\) या y² = 9 – x²
x² = 9 – y², x = \(\sqrt{9-x^{2}}\)
f परिभाषित है यदि 9 ≥ y² 2 0 या y² ≤ 9
⇒ y ≤ 3, y ≠ – ve
(b) f का परिसर = y ≤ 3 और y ≥ 0
= {y : y ≤ R और 0 ≤ y ≤ 3}.

प्रश्न 3.
एक फलन f(x) = 2x – 5 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए :
(i) f(0)
(ii) f(7)
(iii) f(-3)
हल:
f(x) = 2x – 5
(i) f(o) = 2 × 0 – 5 = -5
(ii) f(7) = 14 – 5 = 9
(iii) f(-3) = 2 × (-3) – 5 = – 6 – 5 = – 11.

प्रश्न 4.
फलन ‘t’ सेल्सियस तापमान का फारेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो t(C) = \(\frac{9 C}{5}+32\) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) t (0)
(ii) t (28)
(iii) t (-10)
(iv) C का मान, जब t(C) = 212
हल:

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए :
(i) f(x) = 2 – 3x, x ϵ R, x > 0.
(ii) f(x) = x + 2, x एक वास्तविक संख्या है।
(iii) f(x) = x, x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
(i) दिया है : f(x) = 2 – 3x, x ϵ R, x > 0
= y (माना)
∴ 2 – 3x = y या 2 – y = 3x या x = \(\frac{2-y}{3}\)
दिया है: x > 0 अर्थात \(\frac{2-y}{3}\) > 0 या 2 – y > 0 या y < 2
अतः f का परिसर = y < 2 या (-∞, 2)
(ii) f(x) = y = x² + 2, x ϵ R
या x² = y – 2
या x = \(\sqrt{y-2}\)
अर्थात y – 2 ≤ 0 या y ≥ 2
अतः f का परिसर y = {y : y ϵ R और y ≥ 2}
= [2, ∞].
(iii) f(x) = y = x या x = y
∵ x ϵ R और x = y तब y ϵ R
अतः f का परिसर = {y : y ϵ R} = R.

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