Category: Class 11

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.4

प्रश्न 1.
यदि \(^{n} C_{8}=^{n} C_{2}\), तो ⁿC₂ ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
n का मान निकालिए, यदि
(i) \(^{2 n} C_{3}:^{n} C_{2}\) = 12 : 1
(ii) \(^{2 n} C_{3}:^{n} C_{2}\) = 11 : 1
हल :

प्रश्न 3.
किसी वृत्त पर स्थित 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
हल:
21 बिन्दुओं में कोई 2 बिन्दु मिलाने से एक जीवा प्राप्त होती है।
जीवाओं की संख्या = \(^{21} C_{2}=\frac{21 \times 20}{1 \times 2}=210\).

प्रश्न 4.
5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?
हल:
5 लड़कों में से 3 लड़कों के चुनने के तरीके = \(^{5} C_{3}\)
4 लड़कियों में से 3 लड़कियाँ चुनने के तरीके = \(^{4} C_{3}\)
∴ 5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमों की संख्या

प्रश्न 5.
6 लाल रंग की, 5 सफेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।
हल:
6 लाल रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^6 C_{3}\)
5 सफेद रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^5 C_{3}\)
5 नीले रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^5 C_{3}\)
इस प्रकार 6 लाल, 5 सफेद तथा 5 नीले रंग की गेंदों में से प्रत्येक रंग की 3 गेंदों के चुनने के तरीके.

= \(\frac{6.5 .4}{1.2 .3} \times \frac{5.4}{1.2} \times \frac{5.4}{1.2}\)
= 20 x 10 x 10
= 2000.

प्रश्न 6.
52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का हो।
हल:
ताश का गड्डी में 4 इक्के होते हैं।
∴ 4 में से 1 इक्का चुनने के तरीके = \(^{4} C_{1}\)
इक्का छोड़कर शेष पत्ते = 52 – 4 = 48
48 पत्तों में से कोई 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके = \(^{48} C_{4}\)
∴ ताश की गड्डी में 1 इक्का और 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके

प्रश्न 7.
17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः 4 गेंदबाज हैं?
हल:
5 गेंदबाज में 4 गेंदबाज चुनने के तरीके = \(^{5} C_{4}\)
शेष खिलाड़ी = 17 – 5 = 12
शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी = 11 – 4 = 7
∴ 12 खिलाड़ियों में से 7 खिलाड़ी चुनने के तरीके = \(^{12} C_{7}\)

प्रश्न 8.
एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंदें हैं। 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।
हल:
5 काली गेंदों में से 2 गेंदें चुनने के तरीके = \(^{5} C_{2}\)
6 लाल गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^6 C_{3}\)
5 काली व 6 लाल गेंदों में से 2 काली और 3 लाल गेंदें चुनने के कुल तरीके

प्रश्न 9.
9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी 5 पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं?
हल:
दो पाठ्यक्रम अनिवार्य हों, तब शेष पाठ्यक्रम = 9 – 2 = 7 .
7 पाठ्यक्रमों में से 3 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके = \(^{7} \mathrm{C}_{3}\)
अत: 9 में से 5 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके = \(^{7} C_{3}=\frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3}\) = 35

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.3

प्रश्न 1.
1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
हल:
3 अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं : इकाई, दहाई और सैकड़ा। इकाई के स्थान को 9 तरीकों से, दहाई के स्थान को 8 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 7 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 9 x 8 x 7 = 504.

प्रश्न 2.
किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
हल:
0 से 9 तक कुल 10 अंक हैं।
10 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या = \(10 p_{4}\)
= 10 x 9 x 8 x 7 = 5040
इनमें वे संख्याएं सम्मिलित हैं जिनमें हजार के स्थान पर 0 है।
0 को हजार के स्थान पर रखने पर और शेष स्थानों पर कोई तीन अंक रखने पर कुल संख्याओं की संख्या = \(^{9} P_{3}\)
= 9 x 8 x 7 = 504
चार अंकीय संख्याओं की संख्या = 5040 – 504 = 4536.

प्रश्न 3.
अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
हल:
2, 4, 6 में से किसी एक को इकाई के स्थान पर रखने से सम संख्या बनती है।
∴ इकाई का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई के स्थान को 5 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 4 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय सम संख्याओं की संख्या = 3 x 5 x 4 = 60.

प्रश्न 4.
अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी ?
हल:
(i) 5 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या = \(^{5} P_{4}\)
= 5 x 4 x 3 x 2 = 120
(ii) इकाई के स्थान पर 2 या 4 रखने से संख्या सम बनती है।
इस प्रकार इकाई का स्थान 2 तरीकों से, दहाई का स्थान 4 तरीकों से, सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से और हजार का स्थान 2 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 4 अंकीय सम संख्याओं की संख्या = 2 x 4 x 3 x 2 = 48.

प्रश्न 5.
8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
हल:
8 व्यक्तियों में से एक को अध्यक्ष चुनने के तरीके = 8
अध्यक्ष चुनने के बाद 7 व्यक्तियों में से एक उपाध्यक्ष चुना जाना है।
उपाध्यक्ष चुनने के तरीके = 7
∴ एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष को 8 x 7 = 56 तरीकों से चुना जा सकता है।

प्रश्न 6.
यदि \(^{n-1} P_{3}:^{n} P_{4}\) = 1 : 9 तो n ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

प्रश्न 7.
ज्ञात कीजिए यदि
(i) \(^{5} P_{r}=2^{6} P_{r-1}\)
(ii) \(^{5} P_{r}=^{6} P_{r-1}\)
हल:

r संख्या 5 से अधिक नहीं हो सकती

∴ r² – 13r + 36 = 0 या (r – 9)(r – 4) = 0
∴ r = 9, 4
r ≠ 9 क्योंकि यह 5 से बड़ा है
अतः r = 4.

प्रश्न 8.
EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
हल:
शब्द EQUATION में कुल 8 अक्षर हैं।
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों ( जो अर्थपूर्ण या अर्थहीन हैं) की संख्या = \(\frac{8 !}{(8-8) !}\) = 8!
= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 40320.

प्रश्न 9.
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है,
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
हल:
(i) MONDAY शब्द में कुल 6 अक्षर हैं।
6 अक्षरों में से 4 अक्षर एक समय पर लेकर कुल शब्दों की संख्या
= \(^6 P_{4}\) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
जबकि शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन हो सकते हैं।
(ii) सभी अक्षरों को एक साथ लेकर शब्दों की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
(iii) पहले स्थान पर A या O रखना है। यह दो तरीकों से हो सकता है।
शेष 5 स्थान 5! = 120 तरीकों से भरे जा सकते हैं।
उन शब्दों की संख्या जो स्वर से प्रारम्भ होते हैं = 2 x 120 = 240.

प्रश्न 10.
MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
हल:
शब्द MISSISSIPPI में कुल 11 अक्षर हैं जिसमें M, एक बार; I चार बार; S चार बार, तथा P दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = \(\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2}\)
मान लीजिए के 4 – I एक साथ हों, तब
कुल अक्षर = 8
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों की संख्या = \(\frac{8 !}{4 ! 2 !}\)
उन शब्दों का संख्या जब 4, I एक साथ नहीं है

प्रश्न 11.
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं।
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
हल:
PERMUTATIONS शब्द में कुल 12 अक्षर हैं जिनमें T – 2 है, शेष सब भिन्न हैं।
(i) P और S के स्थान स्थिर कर दिए गए हैं।
शेष अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = \(\frac{10 !}{2 !}\)
= 1814400.
(ii) सभी स्वरों को एक साथ कर दिया गया है (EUAIO)PRMTTNS जिनमें 2T हैं।
उन शब्दों की संख्या जब स्वर एक साथ है
= \(\frac{8 !}{2 !} \times 5 !=\frac{40320 \times 120}{2}\)
= 2419200.
(iii) P तथा S के बीच चार अक्षर होने चाहिए।
मान लीजिए 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1, 2, 3….. 12 रख दिया है।
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
इस प्रकार P को स्थान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पर रखा जा सकता है तो S को स्थान 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 पर रखा जा सकता है।
⇒ P और S को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।
इसी प्रकार S और P को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।
P और S या S और P को 7 + 7 = 14 तरीकों से रखा जा सकता
शेष 10 अक्षरों को \(\frac{10 !}{2 !}\) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
∴ उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच में 4 अक्षर हों
= \(\frac{10 !}{2 !}\) x 14 = 10! x 7
= 25401600.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.2

प्रश्न 1.
मान निकालिए :
(i) 8!
(ii) 4! – 3!
हल:
(i) 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320.
(ii) 4! – 3! = 4 x 3 x 2 x 1 – 3 x 2 x 1
= 24 – 6 = 18.

प्रश्न 2.
क्या 3! + 4! = 7!?
हल:
बायाँ पक्ष = 3! + 4!
= 3 x 2 x 1 + 4 x 3 x 2 x 1
= 6 + 24 = 30
दायाँ पक्ष = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5040
अतः 3! + 4! ≠ 7!.

प्रश्न 3.
\(\frac{8 !}{6 ! \times 2 !}\) का परिकलन कीजिए ।
हल:

प्रश्न 4.
यदि \(\frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}=\frac{x}{8 !}\), तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
\(\frac{x}{8 !}=\frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}\)

प्रश्न 5.
\(\frac{n !}{(n-r) !}\) का मान निकालिए जबकि
(i) n = 6, r = 2
(ii) n = 9, r = 5
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.1

प्रश्न 1.
अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो।
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो।
हल:
3 अंकीय संख्या में 3 स्थान होते हैं : इकाई, दहाई और सैकड़ा।
(i) इकाई का स्थान 5 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई भी एक अंक लिया जा सकता है। दहाई का स्थान भी 5 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है। 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई भी अंक लिया जा सकता है।
इसी प्रकार सैकड़े का स्थान भी 5 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 5 x 5 x 5 = 125.
(ii) इकाई का स्थान 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई-से एक अंक को लेकर 5 तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई का स्थान 4 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि एक अंक पहले ही चयनित कर लिया गया। पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। .
सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि 2 अंक पहले ही चयनित कर लिए गए हैं। .
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 5 x 4 x 3 = 60.

प्रश्न 2.
अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?
हल:
इकाई का स्थान 2, 4, 6 में से एक को लेकर 3 तरीकों से भरा जा सकता है।
क्योंकि पुनरावृत्ति की जा सकती है, दहाई का स्थान 6 तरीकों से भरा जा सकता है।
इसी प्रकार सैकड़े का स्थान भी 6 तरीकों से ही भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 6 x 6 x 3 = 108.

प्रश्न 3.
अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षरों के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती?
हल:
4 अक्षरों वाले कोड में 4 स्थान हैं। प्रत्येक अक्षर के लिए एक स्थान चाहिए।
पहले स्थान को 10 तरीकों से, दूसरे स्थान को 9 तरीकों से, तीसरे स्थान को 8 तरीकों से और चौथे स्थान को 7 तरीकों से भर सकते हैं क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। एक अक्षर दुबारा नहीं लिखा जा सकता।
∴ चार अक्षर वाले कोडों की संख्या = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040.

प्रश्न 4.
0 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितने 5 अंकीय टेलीफोन नम्बर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नम्बर 67 से आरम्भ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता है?
हल:
पांच अंकीय नम्बर में 5 स्थान हैं जिसमें पहले और दूसरे को I और II से निरूपित किया गया है। I और II स्थान पर 6 और 7 को रखा गया है।
शेष 8 अंकों में से एक-एक अंक लेकर III, IV और V स्थान को भरना है। स्थान III को 8 तरीकों से, स्थान IV को 7 तरीकों से तथा स्थान V को 6 तरीकों से भर सकते है।
∴ 5 अंकीय टेलीफोन नम्बरों की संख्या = 8 x 7 x 6 = 336

प्रश्न 5.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं। परिणामों की संभव संख्या क्या है?
हल:
एक बार सिक्का उछालने से दो में से एक भाग ऊपर आता है अर्थात T या H जबकि H चित्त और T पट को निरूपित करते हैं।
∴ एक बार सिक्का उछालने से दो परिणाम होते हैं। तीन बार सिक्का उछालने से 2 x 2 x 2 = 8 परिणाम होंगे। ये परिणाम इस प्रकार है :
TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH

प्रश्न 6.
भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए हुए हैं। इससे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडों, एक के नीचे दूसरे के प्रयोग की आवश्यक पड़ती है?
हल:
झंडे के ऊपर का स्थान भरने के 5 तरीके हैं। एक झंडा प्रयोग होने के बाद 4 झंडे रह जाते हैं। नीचे का दूसरा स्थान 4 तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल संकेतों की संख्या = 5 x 4 = 20.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 6 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1 से 6 तक की असमिकाओं को हल कीजिए :
प्रश्न 1.
2 ≤ 3x – 4 ≤ 5.
हल:
∵ 2 ≤ 3x – 4 ≤ 5
या 2 + 4 ≤ 3x ≤ 5 + 4
या 6 ≤ 3x ≤ 9
3 से दोनों पक्षों में भाग देने पर 2 ≤ x ≤ 3
∴ दी हुई असमिका का हल = [2, 3].

प्रश्न 2.
6 ≤ – 3 (2x – 4) < 12.
हल:
6 ≤ – 3(2x – 4) < 12 6 ≤ – 6(x – 2) > 12
– 6 से भाग करने पर
– 1 ≥ x – 2 > – 2;
– 1 + 2 ≥ x > – 2 + 2
1 ≥ x > 0 या 0 < x ≤ 1
दी हुई असमिका का इल (0, 1].

प्रश्न 3.
– 3 ≤ 4 – \(\frac{7 x}{2}\) ≤ 18
हल:
दी हुई असमिका – 3 ≤ 4 – \(\frac{7 x}{2}\) ≤ 18
2 से गुणा करने पर
– 6 ≤ 8 – 7x ≤ 36
8 घटाने पर,
– 14 ≤ – 7x ≤ 28
– 7 से भाग देने पर 2 ≥ x ≥ – 4 या – 4 ≤ x ≤ 2
∴ दी हुई असमिका का हल [- 4, 2].

प्रश्न 4.
– 15 < 3 \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
हल:
– 15 < 3 \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
5 से गुणा करने पर
– 75 < 3x – 6 ≤ 0
– 75 + 6 < 3x ≤ 6
3 से भाग देने पर
\(\frac{-69}{3}\) < x ≤ 2 या – 23 < x ≤ 2
∴ असमिका का हल = (- 23 , 2].

प्रश्न 5.
– 12 < 4 – \(\frac{3 x}{-5}\) ≤ 2
हल:

प्रश्न 6.
7 ≤ \(\frac{3 x+11}{2}\) ≤ 11.
हल:
7 ≤ \(\frac{3 x+11}{2}\) ≤ 11 2 से गुणा करने पर 14 ≤ 3x + 11 ≤ 22 11 घटाने पर 3 ≤ 3x ≤ 11 3 से भाग देने पर 1 ≤ x ≤ \(\frac{11}{3}\)
∴ असमिका का हल = [1, \(\frac{11}{3}\)].

प्रश्न 7 से 12 तक की असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या-रेखा पर निरूपित कीजिए :
प्रश्न 7.
5x + 1 > – 24, 5x – 1 < 24. हल: (i) 5x + 1 > – 24 या 5x > – 25 या x > – 5
(ii) 5x – 1 < 24 या 5x < 25
∴ x < 5
∴ असमिकाओं का हल (-5, 5).
इसका संख्या रेखा द्वारा निरूपण इस प्रकार है :

प्रश्न 8.
2(x – 1) < x + 5, 3(x + 2) > 2 – x.
हल:
दी हुई असमिकाएँ

असमिकाओं का हल (- 1, 7).

प्रश्न 9.
3x – 7 > 2(x -6), 6 – x > 11 – 2x.
हल:
दी हुइ असमिकाएँ


दी हुई असमिकाओं का हल (5, ∞ ) है और संख्या रेखा पर निरूपण इस प्रकार है।

प्रश्न 10.
5(2x – 7) – 3(2x + 3) ≤ 0, 2x + 19 ≤ 6x + 47.
हल:
दी हुई असमिकाएँ

प्रश्न 11.
एक विलयन को 68°F और 77°F के मध्य रखना है। सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट परिवर्तन सूत्र F = \(\frac{9}{5}\) C + 32 है।
हल :

\(\frac{5}{9}\) से गुणा करने पर
20° < C < 25°
∴ C का परिसर अंतराल (20°, 25°).

प्रश्न 12.
8% बोरिक एसिड के विलयन में 2% बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु (dilute) किया जाता है। परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड 4% से अधिक तथा 6% से कम होना चाहिए। यदि हमारे पास 8% विलयन की मात्रा 640 लीटर हो तो ज्ञात कीजिए कि 2% विलयन के कितने लीटर इसमें मिलाने होंगे?
हल:
माना 2% बोरिक एसिड का x लीटर विलयन मिलाया जाता है।
कुल मिश्रण की संख्या = 640 + x
(i) यदि मिश्रण में 4% से अधिक का विलयन है तो

इस प्रकार 2% एसिड विलयन की मात्रा 320 मीटर से-अभिक और 1280 लीटर से कम होनी चाहिए।

प्रश्न 13.
45% अम्ल के 1125 लीटर विलयन में कितना पानी मिलाया लाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल 25% से अधिक परन्तु 30% से कम हो जाए?
हल:
मान लीजिए 45% एसिड विलयन में x लीटर पानी मिलाया जाए, तो मिश्रण की कुल मात्रा
= 1125 + x लीटर


अर्थात् 562.5 लीटर से अधिक किंतु 900 लीटर से कम।

प्रश्न 14.
एक व्यक्ति के बोद्धिक-लब्धि (I.Q.) मापन का सूत्र निम्नलिखित है :
IQ= [Latex]\frac{M A}{C A}[/Latex] × 100
जहाँ MA मानसिक आयु और CA कालावकि भा है। दि 12 वर्ष की आयु के बच्चों के एक समूह की IQ, असमिका 80 ≤ IQ ≤ 140 द्वारा प्रबत हो तो इस समूह के बच्चों की मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए।

अत: मानसिक आयु कम से कम 9.6 वर्ष है और अधिक से अधिक 16.8 वर्ष है।

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 6 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 6.2

प्रश्न 1 से 15 तक निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखीय विधि से हल कीजिए :
प्रश्न 1.
x ≥ 3, y ≥ 2
हल:
x ≥ 3, y ≥ 2
(i) सरल रेखा x = 3 बिन्दु (3, 0) और (3, 2) से होकर जाती है।
x ≥ 3 में x = 0 रखने पर 0 ≥ 3, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) x ≥ 3 के क्षेत्र में नहीं है।
(ii) सरल रेखा y = 2 बिन्दु (0, 2) और (3, 2) से होकर जाती है।
y ≥ 2 में y = 0 रखने पर
0 ≥ 2, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
x ≥ 3 और y ≥ 2 का हल उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।

प्रश्न 2.
3x + 2y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 2.
हल:
दी हुई रैखिक असमिकाएँ 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 2
(i) रेखा 3x + 2y = 12 बिन्दु (2, 0) और (0, 6) से होकर जाती है।
3x + 2y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर
0 + 0 ≤ 12, अर्थात् 0 ≤ 12 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है।
3x + 2y ≤ 12 के हल में वे सभी बिन्दु हैं जो AB के नीचे है।

(ii) रेखा x = 1 बिन्दु B(1, 0), Q(1, 2) से होकर जाती है
x ≥ 1 में x = 0 रखने पर
0 ≥ 1, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है।
∴ x ≥ 1 का हल के सभी बिन्दु है जो है जो x = 1 के दाईं ओर है।
(iii) रेखा y = 2, बिन्दु C(0, 2) और D(3, 2) से होकर जाती है।
y ≥ 2 में y = 0 रखने पर 0 ≥ 2, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
y ≥ 2 का हल वे सब बिन्दु हैं जो y = 2 के ऊपर हैं।
तीनों असमिकाओं का हल इसके उभयनिष्ठ क्षेत्र ∆PQR के सभी बिन्दु हैं।

प्रश्न 3.
2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12.
हल:
दी हुई असमिकाएँ 2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12
(i) सरल रेखा 2x + y = 6 बिन्दु (3, 0) तथा (0, 6) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 6 जो सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है। 2x +y ≥ 6 का हल वे सभी बिन्दु हैं जो 2x + y = 6 के ऊपर है।

(ii) सरल रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु D(4,0) और C(0, 3) से होकर जाती है।
3x + 4y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 + 0 ≤ 12, जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है।
अत: 3x + 4y ≤ 12 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा CD के नीचे हैं।
इस प्रकार 2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12 का हल वह उभयनिष्ठ क्षेत्र है जो 2x + y = 6 के ऊपर और 3x + 4y = 12 के नीचे है। यह चित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

प्रश्न 4.
x + y > 4, 2x – y > 0.
हल:
दी हुई रैखिक असमिकाएँ x + y > 4, 2x – y > 0,
(i) रेखा x + y = 4, बिन्दु (4, 0) और (0, 4) से होकर जाती है। +
अब x + y > 4 में x = 0 y = 0 रखने पर, हमें प्राप्त हुआ 0 > 4 जो सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
x + y >4 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा AB के ऊपर है।

(ii) रेखा 2x – y = 0, बिन्दु 0 (0, 0) और D(1, 2) से होकर जाती है।
2x – y > 0 में x = 1, y = 0 रखते हुए 2 > 0, जो सत्य है।
∴ बिन्दु P(1, 0), 2x – y > 0 के क्षेत्र में है।
∴ 2x – y > 0 का हल वे सब बिन्दु हैं जो OD के नीचे हैं।

प्रश्न 5.
2x – y > 1,x – 2y < – 1. हल: दी हुई रैखिक असमिकाएँ 2x – y > 1 और x – 2y < – 1 (i) सरल रेखा 2x – y = 1 बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) और (0, – 1) से होकर जाती है। 2x – y > 1 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 > 1, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), 2x – y > 1 के क्षेत्र में नहीं है।
⇒ 2x – y > 1 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा AB के नीचे है।

(ii) रेखा x – 2y = – 1 बिन्दु C(-1, 0) और D\(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) से होकर जाती है।
x – 2y < – 1 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 < – 1, यह सत्य नहीं है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है। ⇒ 2x – y > 1 और x – 2y < – 1 का हल वह उभयनिष्ठ भाग QPR है जो AB के नीचे और CD के ऊपर है।

प्रश्न 6. x + y ≤ 6, x + y ≥ 4. हल: दी हुई रैखिक असमिकाएँ x + y ≤ 6 और x + y ≥ 4 है। (i) रेखा x + y = 6, बिन्दु A(6, 0), B(0, 6) से होकर जाती है। x + y ≤ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 + 0 ≤ 6 अर्थात् 0 ≤ 6 जो सत्य है ∴ मूल बिन्दु (0, 0), x + y ≤ 6 के क्षेत्र में है। (ii) रेखा x + y = 4, बिन्दु C(4, 0) और D(0, 4) से होकर जाती है। x + y ≥ 4 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 4, यह सत्य नहीं है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) x + y ≥ 4 में नहीं है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के ऊपर है। दी हुई आकृति में छायांकित क्षेत्र x + y ≤ 6 और x + y ≥ 4 के हल को दर्शाता है।

प्रश्न 7. 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10. हल: दी हुई रैखिक असमिकाएँ 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10 (i) रेखा 2x + y = 8 बिन्दु A(4,0); B(0, 8) से होकर जाती है। 2x + y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 8 जो असत्य है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है। ⇒ 2x + y ≥ 8 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा AB के ऊपर है।

(ii) रेखा x + 2y = 10, बिन्दु C(10, 0) और D(0, 5) से होकर जाती है। x + 2y ≥ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 10, यह सत्य नहीं है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) x + 2y ≥ 10 में नहीं है। ⇒ x + 2y ≥ के सभी बिन्दु CD के ऊपर हैं। अर्थात् 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10 का हल छायांकित उभयनिष्ठ भाग BPC है। प्रश्न 8. x + y ≤ 9, y ≥ x, x ≥ 0. हल: दी हुई रैखिक असमिकाएँ x + y ≤ 9, y ≥ x, x ≥ 0 (i) सरल रेखा x + y = 9 बिन्दु A(9, 0) और B(0, 9) से होकर जाती है। x + y ≤ 9 में x = 0, y = 0 रखते हुए 0 + 0 ≤ 9 अर्थात् 0 ≤ 9 जो सत्य है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है। ⇒ x + y ≤ 9 के बिन्दु AB रेखा के नीचे हैं। (ii) सरल रेखा y = x बिन्दु O(0, 0) और C(3, 3) से होकर जाती है। y > x में x = 0, y = 3 रखने पर, 3 > 0 जो सत्य है।

∴ बिन्दु (3, 0) इसके क्षेत्र में है।
⇒ y > x के सभी बिन्दु y = x के ऊपर हैं।
(iii) सरल रेखा x = 0, y- अक्ष को निरूपित करती है।
x ≥ 0 में x = 3, y = 0 रखने पर 3 ≥ 0 जो सत्य है।
⇒ x ≥ 0 के सभी बिन्दु x = 0 के दाईं ओर है।
आकृति में उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र असमिकाओं x + y ≥ 9, y > x, x ≥ 0 का हल है।

प्रश्न 9.
5x + 4y ≤ 20,x ≥ 1,y ≥ 2.
हल:
दी हुई रैखिक असमिकाएँ 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 1,y ≥ 2
सरल रेखा 5x + 4y = 20 बिन्दु A (4,0) और B (0, 5) से होकर जाती हैं। 5x + 4y ≤ 20 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 + 0 ≤ 20 अर्थात् 0 ≤ 20 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है।
5x + 4y ≤ 20 के सभी बिन्दु रेखा AB के नीचे है।

(ii) x = 1 बिन्दु C(1 , 0), D(1, 2) से होकर जाती है।
x ≥ 1 में x = 0 रखने पर 0 ≥ 1 जो सत्य नहीं है।
∴ x ≥ 1 के सभी बिन्दु x = 1 के दायीं ओर होते हैं।
(iii) y = 2, बिन्दु E(0, 2) और F(4, 2) से होकर जाती है।
y ≥ 2 में y = 0. रखने पर 0 ≥ 2 सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है।
y ≥ 2 का हल वे सब बिन्दु हैं जो EF के ऊपर हैं।
दी हुई असमिकाओं का हल आकृति में उभयनिष्ठ PDR छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

प्रश्न 10.
3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0.
हल:
दी हुई असमिकाएँ : 3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0.
(i) रेखा 3x + 4y = 60 बिन्दु A(20, 0) तथा B(0, 15) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 4y ≤ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 < 60 जो सत्य है। मूल बिन्दु इस क्षेत्र में पड़ता है। ⇒ इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो AB के नीचे हैं।

(ii) रेखा x + 3y = 30 बिन्दु C(30, 0) और D(0, 10) से होकर जाती है।, असमिका x + 3y ≤ 30 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 30 जो सत्य है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के नीचे हैं। (iii) x = 0, y-अक्ष को निरुपित करती है। x ≥ 0 में वे सब बिन्दु हैं जो y-अक्ष की दाईं ओर हैं। (iv) y = 0, x-अक्ष को निरुपित करती है। और y > 0 में वे सब बिन्दु हैं जो x-अक्ष के ऊपर हैं दी हुई असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो उभयनिष्ठ क्षेत्र PDOA में आते हैं।

प्रश्न 11.
2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, 2x – 3y ≤ 6.
हल:
दी हुई असमिकाएँ 2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, 2x – 3y ≤ 6
(i) रेखा 2x + y = 4, बिन्दु A (2, 0) और B(0, 4) से होकर जाती है।
असमिका 2x + y ≥ 4 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 + 0 ≥ 4 अर्थात् 0 ≥ 4जो सत्य नहीं है। मूल बिन्दु इस क्षेत्र में नहीं है।
इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो AB के ऊपर हैं।

(ii) रेखा x + 3y = 3 बिन्दु C(3, 0), D(0, 10) से होकर जाती है।
असमिका x + 3y ≤ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 3 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के नीचे हैं
(iii) रेखा 2x – 3y = 6, बिन्दु C(3,0) और E(0, – 2) से होकर जाती है।
असमिका 2x – 3y ≤ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 6, जो सत्य है।
मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CE के ऊपर हैं।
दी हुई असमिकाओं का हल छायांकित उभयनिष्ठ क्षेत्र AQC के सब बिन्दु हैं।

प्रश्न 12.
x – 3y ≤ 3, 3x + 4y 12, x ≥ 0, y ≥ 1.
हल:
दी हुई असमिकाएँ x – 2y ≤ 3, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0,y ≥ 1
(i) रेखा x – 3y = 3 बिन्दु A(3, 0), B(0, – 1) से होकर जाती है।
असमिका x – 3y ≤ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 3 जो सत्य है।

∴ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है।
इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो AB के ऊपर है।
(ii) रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु C(4, 0) और D(0, 3) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 4y ≥ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 12, जो सत्य नहीं है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है।
⇒ इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के ऊपर है।
(iii) x = 0, y-अक्ष को दर्शाती है।
x ≥ 0 का हल वे सब बिन्दु हैं जो y-अक्ष के दाईं ओर है।
(iv) रेखा y = 1 बिन्दु E(0, 1), Q(3, 1) से होकर जाती है।
असमिका y ≥ 1 का हल वे सब बिन्दु है जो संख्या y = 1 पर पड़ते हैं या इसके ऊपर हैं।
दी हुई असमिकाओं का हल वे सब बिन्दु हैं जो उभयनिष्ठ क्षेत्र PDQRS से निरूपित किया गया है।

प्रश्न 13.
4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≥ 3, x, y ≥ 0.
हल:
दी हुई असमिकाएँ 4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≥ 3, x, y ≥ 0
(i) सरल रेखा 4x + 3y = 60 बिन्दु A(15, 0), B(0, 20) से होकर जाती है।
4x + 3y ≤ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 60 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है।
⇒ इस असमिका का हल वे बिन्दु हैं जो रेखा AB या AB के नीचे होते हैं।

(ii) y – 2x = 0, बिन्दु 0(0, 0) और C(5, 10) से होकर जाती है।
y – 2x ≥ 0 में x = 5, y = 0 रखने पर, 0 – 10 ≥ 0 अर्थात् -10 ≥ 0 जो सत्य नहीं है।
बिन्दु (5, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
⇒ y – 2x ≥ 0 का हल वे सब बिन्दु हैं जो OC पर और OC के ऊपर हैं।
(iii) रेखा x ≥ 3 बिन्दु D(3, 0), E(3, 10) से होकर जाती है।
असमिका x ≥ 3 के हल वे बिन्दु हैं जो DE या.DE के दाईं ओर हैं।
(iv) x ≥ 0, y ≥ 0 पहले चतुर्थांश के बिन्दु हैं।
दी हुई असमिकाओं का हल उभयनिष्ठ क्षेत्र PQR पर और उसके अन्दर के बिन्दु हैं।

प्रश्न 14.
3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15, y ≥ 0.
हल:
दी हुई असमिकाएँ 3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15, y ≥ 0
(i) सरल रेखा 3x + 2y = 150, बिन्दु A(50, 0), B(0, 75) से होकर जाती है। असमिका 3x + 2y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 150 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है।
⇒ इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो AB पर या AB से नीचे हैं।
image 14
(ii) रेखा x + 4y = 80 बिन्दु C(80, 0), D(0, 20) से होकर जाती है।
असमिका x + 4y ≤ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 80 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु इस क्षेत्र में है।
इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD पर या CD के नीचे स्थित है।
(iii) x = 15 रेखा y-अक्ष के समान्तर है और x ≤ 15 का हल वे बिन्दु हैं जोx = 15 पर या इसके बाईं ओर स्थित है।
(iv) y ≥ 0 में y-अक्ष पर और उसके ऊपर के सब बिन्दु हैं।
दी हुई असमिकाओं का हल उभयनिष्ठ क्षेत्र PQRS हैं।

प्रश्न 15.
x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x – y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0.
हल:
दी हुई सममिकाएँ x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x – y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0

(i) सरल रेखा x + 2y = 10 बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है।
असमिका x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 10 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है।
इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो AB पर हैं तथा AB के नीचे हैं।
(ii) रेखा x + y = 1 बिन्दु C(1, 0), D(0 , 1) से होकर जाती है।
असमिका x + y ≥ 1 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 1 जो सत्य नहीं है।
⇒ मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है।
⇒ इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो CD पर हैं या इसके ऊपर हैं।
(iii) रेखा x – y = 0 बिन्दु (0, 0) और (1, 1) से होकर जाती है। असमिका x – y ≤ 0 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 0 जो सत्य है।
(0, 0) इसके क्षेत्र में है।
⇒ इस असमिका का हल वे बिन्दु जो x – y = 0 पर हैं या इसके ऊपर हैं।
(iv) x ≥ 0 वह क्षेत्र है जो y-अक्ष के दाईं ओर है।
(v) y ≥ 0 वह क्षेत्र है जो x-अक्ष के ऊपर है।
दी हुई असमिकाओं का हल वे सब बिन्दु हैं जो उभयनिष्ठ क्षेत्र PQDB में है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 6 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 6.2

निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखन विधि से द्विविमीय तल में निरूपित कीजिए। (प्रश्न 1 से 10 तक)
प्रश्न 1.
x + y < 5.
हल:
समीकरण x + y = 5 को लीजिए। यह एक सरल रेखा है जो बिन्दु (5, 0), (0, 5) से होकर गुजरती है।
x = 0, y = 0 असमिका x + y < 5 में रखने पर,
अर्थात 0 + 0 < 5 या 0 < 5
⇒ मूल बिन्दु x + y < 5 के क्षेत्र में है।
छायाकिंत क्षेत्र x + y < 5 को निरूपित करता है जो इसका हल है।

प्रश्न 2.
2x +y ≥ 6.
हल:
2x + y ≥ 6
समीकरण 2x + y = 6 को लीजिए, यह रेखा (3, 0) और (0, 6) से गुजरती है।
x = 0, y = 0 को 2x + y ≥ 6 में रखें तो 0 ≥ 6, जो सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु 2x + 2 6 के क्षेत्र में नहीं हैं।
2x + y ≥ 6 का क्षेत्र छायांकित किया गया है।

प्रश्न 3.
3x + 4y ≤ 12.
हल:
दी गई असमिका 3x + 4y ≤ 12 सरल रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु (4, 0), (0, 3) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 4y ≤ 12 में (0, 0) रखने पर,
0 + 0 ≤ 12 अर्थात 0 ≤ 12 जो सत्य है
∴ मूल बिन्दु 3x + 4y ≤ 12 के क्षेत्र में आता है।
इसका आलेख साथ वाली आकृति में दिखा गया है।

प्रश्न 4.
y+8 ≥ 2x.
हल:
दी हुई रैखिक असमिका y + 8 ≥ 2x सरल रेखा 2x – y = 8 बिन्दु (4,0). और (0, – 8) से होकर जाती है।
असमिका
y + 8 ≥ 2x,
x = 0, y = 0 रखने पर
0 + 8 ≥ 0 अर्थात 8 ≥ 0 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु y + 8 ≥ 2x के क्षेत्र में आता है। इसका आलेख साथ दी हुई आकृति में बनाया गया है।

प्रश्न 5.
x – y ≤ 2.
हल:
दी हुई असमिका x – y ≤ 2
सरल रेखा x – y = 2 बिन्दु (2, 0), (0, – 2) से होकर जाती है।
x = 0, y = 0 असमिका x – y ≤ 2 में रखने पर 0 ≤ 2 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु x – y ≤ 2 के क्षेत्र में है।
असमिका x – y ≤ 2 का आलेख साथ वाली आकृति में बनाया गया है।

प्रश्न 6.
2x – 3y > 6.
हल:
दी हुई रैखिक असमिका 2x – 3y > 6
सरल रेखा 2x – 3y = 6, (3, 0) और (0, – 2) से होकर जाती है।
असमिका 2x – 3y > 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 > 6 जो सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) दी हुई असमिका में नहीं आता है।
∴ इसका आलेख दी हुई आकृति में दर्शाया गया है।

प्रश्न 7.
– 3x + 2y ≥ – 6.
हल:
दी हुई रैखिक असमिका – 3x + 2y ≥ – 6 या 3x – 2y ≤ 6
सरल रेखा – 3x + 2y = – 6 बिन्दु (2, 0) और (0, – 3) से होकर जाती है।
– 3x + 2y ≥ – 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ – 6, जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), 3x + 2y ≥ – 6 असमिका के क्षेत्र में है।
∴ इसका आलेख दी हुई आकृति में दर्शाया गया है।

प्रश्न 8.
3y – 5x < 30.
हल:
दी हुई असमिका 3y – 5x < 30
सरल रेखा 3y – 5x = 30, बिन्दु (-6, 0) और (0, 10) से होकर जाती है।
असमिका 3y – 5x < 30 में x = 0, y = 0 रखने पर
∴ 0 < 30 सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0), 3y – 5x < 30 के क्षेत्र में है। इसका आलेख दी गई आकृति में दर्शाया गया है।

प्रश्न 9.
y < – 2
हल:
दी हुई रैखिक असमिका y < – 2 सरल रेखा y = – 2 बिन्दु (2, – 2) और (- 2, – 2) से होकर जाती है।
y <- 2 में y = 0 रखने पर 0 < – 2, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), y < – 2 में नहीं।
दी हुई आकृति में छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।

प्रश्न 10.
x > – 3
हल:
दी हुई रैखिक असमिका x > – 3
सरल रेखा x = – 3 बिन्दु (- 3, 2), (- 3, – 2) से होकर जाती है।
x > – 3 में x = 0 रखने पर,
0 > – 3, यह सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), x > – 3 में है। दी हुई आकृति में x > – 3 छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 6 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 6.1

प्रश्न 1.
हल कीजिए 24x < 100, जब
(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है।
हल:
24x < 100
24 से दोनों पक्षों में भाग करने पर
x < \(\frac{30}{-12}\) अर्थात x < \(-\frac{5}{2}\) (i) यदि x एक प्राकृत संख्या है तो हल {1, 2, 3, 4} है। (ii) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {……. – 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. प्रश्न 2. हल कीजिए : 12x > 30, जब
(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii)x एक पूर्णांक है।
हल:
– 12x > 30
– 12 से दोनों पक्षों में भाग करने पर,
\(x<\frac{100}{24}\) अर्थात \(x<\frac{25}{6}\)
(i) यदि x प्राकृत संख्या है तो कोई हल नहीं है।
(ii) यदि x पूर्णाक संख्या है तो हल {…..-5, -4 ,-3} है।

प्रश्न 3.
हल कीजिए : 5x – 3 < 7, जब
(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
5x – 3 < 7
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर,
5x < 10
5 से भाग देने पर .
x < \(\frac{10}{5}\) अर्थात x < 2 (i) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {….-2, –1, 0, 1}. (ii) यदि x एक वास्तविक संख्या है तो हल x ϵ (- ∞, 2). प्रश्न 4. हल कीजिए : 3x + 8 > 2, जब
(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
3x + 8 > 2
3x > 2 – 8 या 3x > – 6
3 से भाग करने पर
x > – \(\frac{6}{3}\) या x> – 2
(i) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {-1, 0, 1, 2 ,….}.
(ii) यदि x एक वास्तविक संख्या है तो हल x ϵ (-2, ∞).

प्रश्न 5.
हल कीजिए : 4x + 3 < 6x + 7.
हल :
4x + 3 < 6x + 7
6x को बाएँ पक्ष में तथा 3 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
4x – 6x < 7 – 3
या – 2x < 4 – 2 से भाग देने पर, \(x>\frac{4}{-2}\) या x > – 2
दी हुई असमिका का हल है : x ϵ (- 2, ∞).

प्रश्न 6.
हल कीजिए :
3x – 7 > 5x – 1.
हल:
3x – 7 > 5x – 1
5x का बाएँ पक्ष में और 7 को दाएँ पक्ष मे रखने पर,
3x – 5x > – 1 + 7
– 2x > 6
– 2 से भाग देने पर
x < – 3
∴ दी हुई असमिका का हल है x ϵ (- ∞, – 3).

प्रश्न 7.
हल कीजिए : 3(x – 1) ≤ 2 (x – 3).
हल:
असमिका
3(x – 1) ≤ 2 (x – 3)
3x – 3 ≤ 2x – 6
2x को बाएँ पक्ष में और 3 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
3x – 2x ≤ 3 – 6
या x ≤ – 3
∴ हल है : x ϵ (- ∞, – 3].

प्रश्न 8.
हल कीजिए:
3(2 –x) ≥ 2 (1 –x).
हल:
दी हुई असमिका
3(2 – x) ≥ 2 (1 – x)
6 – 3x ≥ 2 – 2x
2x को बायीं ओर तथा 6 को दायीं ओर रखने पर,
2x – 3x ≥ 2 – 6.
या – x ≥ – 4 या x ≤ 4
∴ हल है : x ϵ (- ∞, 4].

प्रश्न 9.
हल कीजिए : x + \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\) < 11
हल:

प्रश्न 10. हल कीजिए: \(\frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1\)
हल:
दी हुई असमिका \(\frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1\)

प्रश्न 11.
हल कीजिए: \(\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}\)
हल:
दी हुई असमिका है : \(\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}\)
दोनों ओर 15 से गुणा करने पर
9(x – 2) ≤ 5 (2 –x)
या 9x – 18 ≤ 50 – 25x
25x को बायीं ओर तथा 18 को दायीं ओर रखने पर,
9x + 25x ≤ 50 + 18
या 34x ≤ 68
या x ≤ 2
∴ दी हुई असमिका का हल है x ϵ (- ∞, 2].

प्रश्न 12 .
हल कीजिए: \(\frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x-6)\)
हल:
दी हुई असमिका

प्रश्न 13.
हल कीजिए :
2(2x + 3) – 10 < 6 (x – 2).
हल:
दी हुई असमिका
2(2x + 3) – 10 < 6(x – 2)
4x + 6 – 10 < 6x – 12
6x को बायीं ओर तथा — 4 को दायीं ओर रखने पर,
4x – 6x < – 12 +4
या – 2x < – 8 (- 1) से गुणा करने पर, x > 4
∴ हल है : x ϵ (4, ∞)

प्रश्न 14.
हल कीजिए: 37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8(x – 3).
हल:
दी हुई असमिका
37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8(x – 3)
37 – 3x-5 ≥ 9x – 8x + 24
– 3x + 32 ≥ x + 24
x को बायीं ओर तथा 32 को दायीं ओर रखने पर
– 3x – x ≥ 24 – 32
या – 4x ≥ – 8
(- 1) से गुणा करने पर तथा 4 से भाग देने पर
x ≤ \(\frac{8}{4}\) या x ≤ 2
∴ हल है : x ϵ (- ∞, 2].

प्रश्न 15.
हल कीजिए : \(\frac{x}{4}<\frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5}\)
हल : दी हुई असमिका \(\frac{x}{4}<\frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5}\)
60 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर ।
15x < 20(5x – 2) – 12 (7x – 3)
या 15x < 100x – 40 – 84x + 36
या 15x < 16x – 4
16x को बायीं ओर लाने पर,
15x – 16x < – 4
या – X < – 4 – 1 से गुणा करने पर x > 4
∴ हल है :
x ϵ (4, ∞)

प्रश्न 16.
हल कीजिए : \(\frac{2 x-1}{3} \geq \frac{3 x-2}{4}-\frac{2-x}{5}\)
हल:
दी हुई असमिका \(\frac{2 x-1}{3} \geq \frac{3 x-2}{4}-\frac{2-x}{5}\)
60 से गुणा करने पर,
20(2x – 1 ) ≥ 15(3x – 2) – 12(2 –x)
या 40x – 20 ≥ 45x – 30 – 24 + 12x
या 40x – 20 ≥ 57x – 54
57x को बायीं ओर तथा 20 को दायीं ओर रखने पर,
40x – 57x ≥ – 54 + 20
– 17x ≥ – 34
– 17 से भाग देने पर
x ≤ 2
∴ हल है :
x ϵ (- ∞, 2].

प्रश्न 17.
से 20 तक की असमिकाओं का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए।
प्रश्न 17.
3x – 2 < 2x + 1.
हल:
दी हुई असमिका 3x – 2 < 2x + 1
2x को बायीं ओर तथा 2 को दायीं ओर रखने पर,
3x – 2x < 1 + 2
या x <3
∴ हल है :
x ϵ (- ∞, 3].

प्रश्न 18.
5x – 3 ≥ 3x -5.
हल:
दी हुई असमिका 5x – 3 ≥ 3x – 5
3x को बायीं ओर तथा 3 को दायीं ओर रखने पर,
5x – 3x ≥ – 5 +3
या 2x ≥ – 2
2 से भाग देने पर
x ≥ – 1
∴ हल है x = [- 1, ∞).

प्रश्न 19.
3(1 – x) < 2 (x + 4)
हल:
दी हुई असमिका
3(1 – x) < 2 (x + 4)
3 – 3x < 2x +8
2x को बायीं ओर तथा 3 को दायीं ओर रखने पर,
– 3x – 2x < 8 – 3
या – 5x < 5 – 5 से भाग देने पर x > – 1
∴ हल है :
x ϵ (- 1, ∞)

प्रश्न 20.
\(\frac{x}{2}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}\)
हल:
दी हुई असमिका \(\frac{x}{2}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}\)
30 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
15x < 10 (5x – 2) – 6(7x – 3)
या 15x < 50x – 20 – 42x + 18
या 15x < 8x – 2
8x को बायीं ओर रखने पर,
15x – 8x < – 2
या 7x < – 2
∴ x < – \(\frac{2}{7}\)
∴ हल है : \(\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\)

प्रश्न 21.
रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके।
हल:
मान लीजिए तीसरे एकक परीक्षा में x अंक प्राप्त किए।
रवि द्वारा प्राप्त अंकों का औसत = \(\frac{70+75+x}{3}\)

3 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर,
145 + x ≥ 180
या x ≥ 180 – 145
या x ≥ 35
अतः रवि को तीसरी परीक्षा में 35 से अधिक या उसके बराबर अंक प्राप्त करने हैं।

प्रश्न 22.
किसी पाठ्यक्रम में ग्रेड A पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 अंकों में से) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक 87,92, 94 और 95 हों तो वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जिसे पांचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेड A पाएगी।
हल:
मान लीजिए सुनीता ने पांचवीं परीक्षा में x अंक प्राप्त किए।
पाँच परीक्षाओं के प्राप्त अंकों का औसत = \(\frac{87+92+94+95+x}{5}\)
= \(\frac{368+x}{5}\)
प्रश्नानुसार
∴ \(\frac{368+x}{5}\) ≥ 90
5 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
368 + x ≥ 5 x 90
या 368 + x ≥ 450
या x ≥ 450 – 368
∴ x ≥ 82
अतः सुनीता को पाँचवीं परीक्षा में 82 से अधिक या उसके बराबर अंक प्राप्त करने चाहिए।

प्रश्न 23.
10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अधिक हों।
हल:
मान लीजिए x और x + 2 दो विषम परिमेय संख्याएँ हैं।
x तथा x + 2 दोनों ही 10 से कम हैं।
⇒ x < 10 और x + 2 < 10 या x < 8 दोनों का योग 11 से अधिक है। ∴ x + (x + 2) > 11
या 2x + 2 > 11 या 2x > 11 – 2
∴ 2x > 9 या x > \(\frac{9}{2}\), या x > 4 \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् यदि x = 5 हो, तब दूसरी संख्या = x + 2 = 7
इसी प्रकार यदि x = 7, तो x + 2 = 9
∴ दूसरा युग्म (7, 9)
x = 9 नहीं हो सकता क्योंकि x + 2 = 11 > 10
अत: वांछित युग्म है (5, 7), (7, 9).

प्रश्न 24.
क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनमें से प्रत्येक 5 से बड़े हों, तथा उनका योगफल 23 से कम हो।
हल:
मान लीजिए x और x + 2 दो सम संख्याएँ हैं।
x और x + 2 दोनों ही 5 से बड़ी है।
⇒ x > 5
और x + (x + 2) < 23
∴ 2x + 2 < 23
या 2x < 23 – 2 = 21
∴ 2x < 21 या x < \(\frac{21}{2}\)
यदि x = 10, x + 2 = 12 ⇒ x + (x + 2) < 23
इसी प्रकार (6, 8), (8, 10) युग्म भी दी हुई शर्त पूरी करते हैं।
वांछित युग्म (6, 8), (8, 10), (10, 12).

प्रश्न 25.
एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे बड़ी भुजा से 2 सेमी कम है। तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है।
हल:
मान लीजिए त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेमी
सबसे बड़ी भुजा = 3x सेमी
तीसरी भुजा = 3x – 2 सेमी
प्रश्नानुसार
x + 3x + (3x – 2) ≥ 61
7x – 2 ≥ 61
7x ≥ 61 + 2 = 63
⇒ x ≥ 9
∴ सबसे छोटी भुजा 9 सेमी है।

प्रश्न 26.
एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाईयाँ काटना चाहता है। दूसरी लंबाई सबसे छोटो लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई की दूनी है। सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाई क्या है, यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 सेमी अधिक लंबा हो ?
हल:
मान लीजिए कटे हुए सबसे छोटे बोर्ड की लंबाई = x सेमी.
दूसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई = x + 3
तीसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई = 2x सेमी
दिया है कि
x + (x + 3) + 2x ≤ 91
या 4x + 3 ≤ 91
या 4x + 3 ≤ 91 – 3
या 4x ≤ 88
x ≤ 22 …(1)
∴ यह भी दिया गया है कि 2x ≥ (x + 3) +5
2x ≥ x +8
x ≥ 8
∴ सबसे छोटे बोर्ड की लम्बाई कम से कम 8 सेमी हो और अधिक से अधिक 22 सेमी हो। …(2)

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
\(\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

= (- 2 + 3i – i)
= – (- 2 + 2i) = 2 – 2i.

प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ और z₂ के लिए सिद्ध कीजिए:
Re(z₁z₂) = Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
हल:
मान लीजिए z₁ = a + ib, z₂ = c + id
∴ z₁z₂ = (a + ib)(c + id)
= ac + adi + bci + i²bd
= (ac – ba) + (ad + bc) i [∴ i² = – 1]
Re (z₁z₂) का वास्तविक भाग = ac – bd
= Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
यहाँ पर Rez₁ का वास्तविक भाग = a, इसी प्रकार Rez₂ = c
Imz₁ = z₁ का काल्पनिक भाग = b
इसी प्रकार Imz₂ = d.

प्रश्न 3.
\(\left(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right)\) को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि x – iy = \(\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}\), तो सिद्ध कीजिए x² + y² = \(\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}\)
हल:
x – iy = \(\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}\) ….(1)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
(1) = \(\frac{1+7 i}{(2-i)^{2}}\)
(2) = \(\frac{1+3 i}{1-2 i}\)
इल:
(i) माना.

∴ r cos θ = -1, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने करने पर r² cos²θ + r^{2 2}θ = 1 + 1
या r²(cos²θ + sin²θ ) = 2 या r² = 2 या r = \(\sqrt{2}\)
cos θ = ऋणात्मक, sin θ = धनात्मक
∴ 0 दूसरे चतुर्थांश में है।

(ii) \(\frac{1+3 i}{1-2 i}\)
हल:
मान लिया

प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए:
प्रश्न 6.
3x² 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0.
हल:
3x² 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0 को 3 से गुणा करने पर
9x² – 12x + 20 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 9, b = – 12, c = 20

प्रश्न 7.
x² – 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0.
हत्त:
x² – 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0, इसे 2 से गुणा करने पर .
2x² – 4x + 3 = 0
ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

प्रश्न 8.
27x² – 10x + 1 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण 27x² – 10 x + 1 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर a = 27, b = -10, c = 1

प्रश्न 9.
21x² – 28x + 10 = 0.
हल:
21x² – 28x + 10 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = 21, b = – 28, c = 10

प्रश्न 10.
यदि z₁ = 2 -i, z₂ = 1 + i, \(\left|\frac{z_{1}+z_{2}+1}{z_{1}-z_{2}+i}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 11.
यदि a + ib = \(\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}\), सिद्ध कीजिए कि a² + b² = \(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{2}}{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}}\).
हल :
a + ib = \(\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}\) …..(1)
i के स्थान पर – i रखने से
a – ib = \(\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}\) …..(2)
समी. (1) और (2) का गुणा करने पर

प्रश्न 12.
यदि z₁ = 2 – i, z₂ = – 2 + i, निम्न का मान ज्ञात कीजिए :
(1) Re \(\left(\frac{z_{1} z_{2}}{\overline{z}_{1}}\right)\)
(2) Im \(\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z}_{1}}\right)\)
हल:
(i)

(ii) Im \(\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z}_{1}}\right)\)
हल:
\(\frac{1}{z_{1} z_{1}}=\frac{1}{(2-i) \overline{(2-i)}}=\frac{1}{(2-i)(2+i)}\)

प्रश्न 13.
सम्मिश्र संख्या \(\frac{1+2 i}{1-3 i}\) का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
⇒ r cosθ = – \(\frac{1}{2}\), r sinθ = \(\frac{1}{2}\)
वर्ग करके जोड़ने पर,


प्रश्न 14.
यदि \((x-i y)(3+5 i),-6-24 i\) की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\overline{-6-24 i}\)= – 6 + 24i ….(1)
(x – iy) (3 + 5i) = (3x – 5yi<sup.2 + 5xi – 3yi)
= 3x + 5y + (5x – 3y)i ……(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x + 5y + (5x – 3y)i = – 6 + 24i
वास्तविक व काल्पनिक संख्याओं को समान लिखते हुए
3x + 5y = – 6 …..(3)
5x – 3y = 24 ……(4)
समी. (3) को 3 से और समी. (4) को 5 से गुणा करने पर
9x + 15y = – 18 ….(5)
25x – 15y = 120 ….(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
34x = 102 या x = \(\frac{102}{34}\) = 3
x का मान समी. (3) में रखने पर,
9+ 5y = – 6 या 5y = – 15, या y = – 3
अतः x = 3, y = – 3.

प्रश्न 15.
\(\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}\) का मापांक ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
यदि (x + iy)³ = u + iv, तो दर्शाइए कि \(\frac{u}{x}+\frac{v}{y}=4\left(x^{2}-y^{2}\right)\).
हल:

प्रश्न 17.
यदि α और β भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ \(|\boldsymbol{\beta}|\) = 1, तब \(\left|\frac{\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\alpha}}{1-\overline{\boldsymbol{\sigma}} \boldsymbol{\beta}}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:

प्रश्न 18.
समीकरण \(|1-i|^{x}=2^{x}\) के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:
हल:

इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त और कोई हल नहीं हो सकता।

प्रश्न 19.
यदि (a + ib)(c + id) (e + if)(g + ih) = A+iB है तो दर्शाइए कि (a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B².
हल:
(a + ib) (c + id) (e + if)(g + ih) = A + iB ….(1)
i के स्थान पर – i रखने पर,
(a – ib) (c – id) (e – if)(g – ih) = A – iB …..(2)
समी (1) और (2) को गुणा करने पर,
[(a + ib) (a – ib)] [(c + id) (c – id)] [(e + if)(e – if)][(g + ih)(g – ih)] = (A + iB)(A – iB)

प्रश्न 20.
यदि \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m}\) = 1, तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
11 1111
= 1+2+21
हल:

⇒ m संख्या 4 का गुणज है।
∴ m की कम से कम मूल्य = 4.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.3

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को हल कीजिए :

प्रश्न 1.
x² + 3 = 0.
हल:
x² + 3 = 0 या x 2 = – 3 या x = ± [/latex]\sqrt{-3}[/latex] = ± \(\sqrt{3}\)i.

प्रश्न 2.
2x² + x + 1 = 0.
हल:
दिया गया है : 2x² + x + 1 = 0,
समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,

प्रश्न 3.
x + 3x + 9 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण x² + 3x + 9 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, a = 1, b = 3, c = 9 .

प्रश्न 4.
-x² + x – 2 = 0.
हल:
दिया गया है :
– x² + x – 2 = 0,
– 1 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
x² x + 2 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, b = – 1, c = 2

प्रश्न 5.
x² + 3x + 5 = 0.
हल:
दिया गया है:
x² + 3x + 5 = 0 इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, a = 1, b = 3, c = 5
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

प्रश्न 6.
x² – x + 2 = 0
हल:
दिया है :
x²x + 2 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
∴ a = 1, b = – 1, c = 2

प्रश्न 7.
\(\sqrt{2}\) x² + x + \(\sqrt{2}\) = 0.
हल:
दिया है:
\(\sqrt{2}\) x² + x + \(\sqrt{2}\) = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

प्रश्न 8.
\(\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}\) = 0
हल:
दिया है :
\(\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}\) = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a= \(\sqrt{3}\), b = – \(\sqrt{2}\), c = 3\(\sqrt{3}\)

प्रश्न 9.
x² + x + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.
हल:
दिया है:
दोनों पक्षों में \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर,
\(\sqrt{2}\)x² + \(\sqrt{2}\)x + 1 = 0.
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = \(\sqrt{2}\) , b = \(\sqrt{2}\), c = 1

प्रश्न 10.
\(x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1\) = 0.
हल:
दिया है: \(x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1\) = 0.
दोनों पक्षों में \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर
\(\sqrt{2} x^{2}+x+\sqrt{2}\) = 0 .
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

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